《統(tǒng)計學(xué)》案例——相關(guān)回歸分析案例一質(zhì)量控制中的簡單線性回歸分析1、問題的提出某石油煉廠的催化裝置通過高溫及催化劑對原料的作用進行反應(yīng)，生成各種產(chǎn)品，其中液化氣用途廣泛、易于儲存運輸,所以，提高液化氣收率，降低不凝氣體產(chǎn)量,成為提高經(jīng)濟效益的關(guān)鍵問題。通過因果分析圖和排列圖的觀察，發(fā)現(xiàn)回流溫度是影響液化氣收率的主要原因,因此，只有確定二者之間的相關(guān)關(guān)系，尋找適當(dāng)?shù)幕亓鳒囟?，才能達到提高液化氣收率的目的。經(jīng)認真分析仔細研究，確定了在保持原有輕油收率的前提下，液化氣收率比去年同期增長1個百分點的目標(biāo),即達到12.24％的液化氣收率。數(shù)據(jù)的收集序號回流溫度(℃）液化氣收率（%）序號回流溫度（℃）液化氣收率（%）12345678910111213141536394343393843443740343940414413。112.811。311。412.312。511。110。813。111.913。612.212.211。811。116171819202122232425262728293042434644424145404647453839444512。311。910。910。411。512.511。111.111.110.810。512。112。511。510。9目標(biāo)值確定之后，我們收集了某年某季度的回流溫度與液化氣收率的30組數(shù)據(jù)(如上表）,進行簡單直線回歸分析.3。方法的確立設(shè)線性回歸模型為，估計回歸方程為將數(shù)據(jù)輸入計算機，輸出散點圖可見，液化氣收率y具有隨著回流溫度x的提高而降低的趨勢。因此,建立描述y與x之間關(guān)系的模型時，首選直線型是合理的。從線性回歸的計算結(jié)果，可以知道回歸系數(shù)的最小二乘估計值b0=21。263和b1=-0.229,于是最小二乘直線為這就表明，回流溫度每增加1℃（3)殘差分析為了判別簡單線性模型的假定是否有效，作出殘差圖，進行殘差分析。從圖中可以看到，殘差基本在—0。5—+0。5左右，說明建立回歸模型所依賴的假定是恰當(dāng)?shù)摹Ｕ`差項的估計值s=0。388。(4)回歸模型檢驗a.顯著性檢驗在90%的顯著水平下，進行t檢驗,拒絕域為︱t︱=︱b1/sb1︱>tα/2=1。7011。由輸出數(shù)據(jù)可以找到b1和sb1，t=b1/sb1=—0。229/0.022=—10.313，于是拒絕原假設(shè),說明液化氣收率與回流溫度之間存在線性關(guān)系。b.擬合度檢驗判定系數(shù)r2=0。792.這意味著液化氣收率的樣本變差大約有80%可以由它與回流溫度的線性關(guān)系來解釋。=-0.89這樣，r值為y與x之間存在中高度的負線性關(guān)系提供了進一步的證據(jù)。由于n≥30,我們近似確定y的90%置信區(qū)間為：=21.263—0.229x±1。282×0.388=21.263—0。229x±0。4974、結(jié)果分析由回歸直線圖可知，要保持液化氣收率在12.24%以上,回流溫度必須控制在34℃以下。因為裝置工藝卡片要求回流溫度在33—40℃之間，為確保液化氣質(zhì)量合格，可以將回流溫度控制在33—案例二：轎車生產(chǎn)與GDP等關(guān)系研究中國的轎車生產(chǎn)是否與GDP、城鎮(zhèn)居民人均可支配收入、城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)、私人載客汽車擁有量、公路里程等都有密切關(guān)系？如果有關(guān)系，它們之間是種什么關(guān)系?關(guān)系強度如何？

（數(shù)據(jù)見《中國統(tǒng)計年鑒》）（1）

分析轎車生產(chǎn)量與私人載客汽車擁有量之間的關(guān)系：

首先，求的因變量轎車生產(chǎn)量y和自變量私人載客汽車擁有量x1的相關(guān)系數(shù)r=0。,說明兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)程度很強。

然后以轎車生產(chǎn)量為因變量y,私人載客汽車擁有量x1為自變量進行一元線性回歸分析，結(jié)果如下:

①由回歸統(tǒng)計中的R=0.看出，所建立的回歸模型對樣本觀測值的擬合程度很好;

②估計出的樣本回歸函數(shù)為:?=1.+0.x1，說明私人載客汽車擁有量每增加1萬輛，轎車生產(chǎn)量增加2067。83輛；

③由上表中a和β?的p值分別是0。709481543和6。60805E-15，顯然a的p值大于顯著性水平α=0。05，不能拒絕原假設(shè)α=0,而β?的p值遠小于顯著性水平α=0.05，拒絕原假設(shè)β=0,說明私人載客汽車擁有量對轎車生產(chǎn)量有顯著影響。（2）

分析轎車生產(chǎn)量與城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)之間的關(guān)系：

首先，求的因變量轎車生產(chǎn)量y和自變量城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)x2的相關(guān)系數(shù)r=—0。77499,說明兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系但負相關(guān)程度一般.

然后以轎車生產(chǎn)量為因變量y，城鎮(zhèn)居民家庭恩格爾系數(shù)x2為自變量進行一元線性回歸分析，結(jié)果如下：由回歸統(tǒng)計中的R=0?？闯?，所建立的回歸模型對樣本觀測值的擬合程度一般，綜合其相關(guān)系數(shù)值可知此二者關(guān)系不太符合所建立的線性模型，說明二者間沒有密切的線性相關(guān)關(guān)系。

(3）

分析轎車生產(chǎn)量與公路里程之間的關(guān)系：

首先，求的因變量轎車生產(chǎn)量y和自變量公路里程x3的相關(guān)系數(shù)r=0。，說明兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)程度較強.

然后以轎車生產(chǎn)量為因變量y，公路里程x3為自變量進行一元線性回歸分析，結(jié)果如下：①由回歸統(tǒng)計中的R=0?？闯?，所建立的回歸模型對樣本觀測值的擬合程度較好；

②估計出的樣本回歸函數(shù)為：?=-125.156+1.x3，說明公路里程每增加1萬公里，轎車生產(chǎn)量增加1.萬輛;

③由上表中a和β?的p值分別是5。64E-05和1。82E-08,顯然a和β?的p值均遠小于顯著性水平α=0。05，拒絕原假設(shè)α=0、β=0，但由于β對兩者的影響更為顯著,所以可以說明公路里程對轎車生產(chǎn)量有顯著影響。

（4）

分析轎車生產(chǎn)量與GDP之間的關(guān)系：

首先,求的因變量轎車生產(chǎn)量y和自變量GDP

x4的相關(guān)系數(shù)r=0.，說明兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)程度較強。然后以轎車生產(chǎn)量為因變量y，GDP

x4為自變量進行一元線性回歸分析，結(jié)果如下：

①由回歸統(tǒng)計中的R=0.88359看出，所建立的回歸模型對樣本觀測值的擬合程度較好；

②估計出的樣本回歸函數(shù)為:?=-70.7127+0。001829x4,說明GDP每增加1億元，轎車生產(chǎn)量增加18。29輛；

③由上表中a和β?的p值分別是0。001534和2.11E-08，顯然a和β?的p值均小于顯著性水平α=0。05,拒絕原假設(shè)α=0、β=0，但由于β對兩者的影響更為顯著，所以可以說明GDP對轎車生產(chǎn)量有較顯著影響。

（5）

分析轎車生產(chǎn)量與城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x5之間的關(guān)系：

首先，求的因變量轎車生產(chǎn)量y和自變量城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x5的相關(guān)系數(shù)r=0。,說明兩者間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)程度較強。然后以轎車生產(chǎn)量為因變量y,城鎮(zhèn)居民人均可支配收入x5為自變量進行一元線性回歸分析，結(jié)果如下：①由回歸統(tǒng)計中的R=0。看出,所建立的回歸模型對樣本觀測值的擬合程度較好;

②估計出的樣本回歸函數(shù)為：?=-92.9054+0.032928x5,說明城鎮(zhèn)居民人均可支配收入每增加1元，轎車生產(chǎn)量增加329。28輛;

③由上表中a和β?的p值分別是0.001444和2。12E-07，顯然a和β?的p值均小于顯著性水平α=0.05，拒絕原假設(shè)α=0、β=0，但由于β對兩者的影響更為顯著，所以可以說明城鎮(zhèn)居民人均可支配收入對轎車生產(chǎn)量有顯著影響。案例三：子女身高與父母身高的回歸分析1、問題的提出

早在19世紀后期，英國生物學(xué)家Galton通過觀察1078個家庭中父親、母親身高的平均值x和其中一個成年兒子身高y，建立了關(guān)于父母身高與子女身高的線性方程:

y=33.73+0.516x

從方程可以看出，子女身高有回歸平均的傾向.那么,時隔一百多年后的今天，人類的物質(zhì)生活和精神生活都已發(fā)生巨大的變化，父母身高與子女身高之間將呈現(xiàn)出什么樣的關(guān)系呢？

在現(xiàn)實生活中，我們都知道父母身高對子女身高是有影響的，但父親與母親的影響分別有多大？他們對兒子和女兒的影響程度是否相同?能否用定量的形式回答這個問題呢?如果可以利用回歸方法，進一步揭示父親身高、母親身高與子女身高之間量化關(guān)系的秘密，將有助于那些關(guān)注自己后代身高的年輕父母們進行早期預(yù)測，同時也可為那些未婚青年男女在選擇理想配偶時提供科學(xué)的參考依據(jù).

2、數(shù)據(jù)的收集

為了問題的研究，我們要求所調(diào)查的家庭滿足下列條件:（1）家庭中有一個或多個子女（2)家庭成員身體健康，發(fā)育正常，無先天性和遺傳性疾病，無殘疾(3）子女的年齡均在23歲（含23歲)以上?？紤]到調(diào)查范圍的廣泛性，我們隨機抽取了機關(guān)干部、職員、工人、農(nóng)民、城市居民、軍人、大學(xué)生家庭,并特意選擇了一所全國招生的院校應(yīng)屆畢業(yè)生,他們來自于全國各地，家庭背景相對復(fù)雜,這樣使得樣本更具代表性。

在收回的410份（發(fā)放460份）調(diào)查表中，符合要求的有290個家庭，其中，有兒子405人，有女兒270人。

3、方法的確定根據(jù)所收集的數(shù)據(jù)，應(yīng)用二元回歸分析方法，研究父親身高、母親身高與兒子或女兒身高的關(guān)系.

（1）建立回歸方程

設(shè)X1為父親身高，X2為母親身高，Y為兒子或女兒身高。則父母身高與子女身高的回歸模型為：

Y=β0+β1X1+β2X2+ε

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)建立估計二元回歸方程:

y?=b0+b1x1+b2x2

（2）顯著性檢驗

對回歸方程進行F檢驗,拒絕區(qū)域為F﹥Fα（2，n—3）；對回歸系數(shù)進行t檢驗，拒絕區(qū)域為t﹥tα/2(n—3)

.

（3)預(yù)測

若某一家庭父親和母親身高分別為x10和

x20，則子女身高的點估計為:

y?=b0+b1x10+b2x20

區(qū)間估計方法已超出大綱要求，在此不要求。

4、結(jié)果分析

(1)父母身高對兒子身高的影響

y?=53。640+0。368x1+0。349x2

顯著性檢驗:在α=0。01的顯著水平下，F(xiàn)=62。714﹥Fα(2，400)=4.68

t1=7。85﹥tα/2（400）=2.689

t2=6。71﹥tα/2（400）=2.689

結(jié)果說明回歸方程顯著，兩個偏回歸系數(shù)顯著。因此，所建立回歸方程是有意義的，即父母身高與兒子身高有顯著的線性關(guān)系。

(2）父母身高對女兒身高的影響

y?=47.140+0。249x1+0.455x2

顯著性檢驗：在α=0.01的顯著水平下，F(xiàn)=46。81﹥Fα(2，300)=4.68

t1=4.92﹥tα/2（300）=2。68

t2=7.61﹥tα/2（300)=2.689

結(jié)果說明回歸方程顯著，回歸系數(shù)顯著，故所建立回歸方程有效,即女兒身高與父母身高有顯著的線性關(guān)系，特別是母親身高對女兒身高的影響更為重要。

（3)從以上結(jié)果可以看出，在某種程度上，父母身高對子女身高有重要影響，且在不同時期，子女身高有回歸平均身高的趨勢，即個子矮的父母，其子女身高未必低于自己,個子高的父母，其子女身高未必高于自己。下表給出了部分家庭子女身高的預(yù)測值,其中，區(qū)間估計的把握程度為95％.表:部分家庭子女身高的預(yù)測值

父親身高母親身高兒子身高女兒身高點估計下限上線點估計下限上線160155166。57165。32167.83157.50155。99159.02160160168。32167.16169。48159。78158。4316115169.41170.91161。02160.14161。90165165171.90171。01172。91163。30162。26164。33170160172。00171。53172.46162。27161。74162。7917