數(shù)學(xué)競(jìng)賽近年試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題1.若\(a\)、\(b\)為有理數(shù)，且\(\verta-3\vert+(b+2)^2=0\)，則\(b^a\)的值為（）A.-8B.8C.-9D.9答案：A2.方程\(2x+3y=20\)的正整數(shù)解有（）組A.2B.3C.4D.5答案：B3.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的\(3\)倍，則這個(gè)多邊形是（）A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形答案：C4.已知一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((0,-2)\)，且\(y\)隨\(x\)的增大而增大，則\(k\)、\(b\)的取值范圍是（）A.\(k>0\)，\(b>0\)B.\(k>0\)，\(b<0\)C.\(k<0\)，\(b>0\)D.\(k<0\)，\(b<0\)答案：B5.若關(guān)于\(x\)的分式方程\(\frac{x}{x-3}-\frac{m}{x-3}=2\)有增根，則\(m\)的值為（）A.3B.0C.-3D.2答案：A6.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.\(a<0\)B.\(b>0\)C.\(c>0\)D.\(b^2-4ac>0\)答案：B7.若\(a\)、\(b\)、\(c\)為\(\triangleABC\)的三邊，且滿(mǎn)足\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=0\)，則\(\triangleABC\)的形狀是（）A.直角三角形B.等邊三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形答案：B8.從\(1\)，\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，恰好是偶數(shù)的概率是（）A.\(\frac{1}{5}\)B.\(\frac{2}{5}\)C.\(\frac{3}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)答案：B9.已知圓錐的底面半徑為\(3cm\)，母線(xiàn)長(zhǎng)為\(5cm\)，則圓錐的側(cè)面積是（）A.\(15\picm^2\)B.\(20\picm^2\)C.\(25\picm^2\)D.\(30\picm^2\)答案：A10.已知\(x_1\)、\(x_2\)是一元二次方程\(x^2-3x-1=0\)的兩個(gè)根，則\(x_1^2+x_2^2\)的值為（）A.7B.9C.11D.13答案：C二、多項(xiàng)選擇題1.下列運(yùn)算正確的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^5\)B.\((a^2)^3=a^6\)C.\(a^6\diva^2=a^3\)D.\((ab)^3=a^3b^3\)答案：ABD2.下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有（）A.矩形B.菱形C.正方形D.等腰三角形答案：ABC3.已知點(diǎn)\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)在反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的圖象上，若\(x_1<x_2<0\)，且\(y_1<y_2\)，則\(k\)的值可以是（）A.-1B.-2C.1D.2答案：AB4.下列數(shù)據(jù)是某班\(6\)名同學(xué)的數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）：\(86\)，\(91\)，\(98\)，\(72\)，\(89\)，\(92\)，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是（）A.\(89\)B.\(90\)C.無(wú)眾數(shù)D.\(92\)答案：BC5.已知\(a\)、\(b\)、\(c\)滿(mǎn)足\(a+b+c=0\)，\(abc>0\)，則\(\frac{a}{\verta\vert}+\frac{\vertb\vert}+\frac{c}{\vertc\vert}\)的值為（）A.1B.-1C.3D.-3答案：A6.一個(gè)圓柱的底面半徑為\(r\)，高為\(h\)，則這個(gè)圓柱的（）A.側(cè)面積為\(2\pirh\)B.表面積為\(2\pir^2+2\pirh\)C.體積為\(\pir^2h\)D.軸截面面積為\(2rh\)答案：ABCD7.已知\(\odotO\)的半徑為\(5\)，點(diǎn)\(P\)到圓心\(O\)的距離為\(d\)，若點(diǎn)\(P\)在\(\odotO\)外，則\(d\)的值可以是（）A.4B.5C.6D.7答案：CD8.下列命題中，真命題有（）A.同位角相等B.三角形的內(nèi)角和是\(180^{\circ}\)C.平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分D.矩形的對(duì)角線(xiàn)相等答案：BCD9.若關(guān)于\(x\)的不等式組\(\begin{cases}x-a\geqslant0\\3-2x>-1\end{cases}\)有且只有\(zhòng)(3\)個(gè)整數(shù)解，則\(a\)的取值范圍是（）A.\(a<1\)B.\(a\geqslant-1\)C.\(-1\leqslanta<0\)D.\(-1<a\leqslant0\)答案：C10.已知二次函數(shù)\(y=x^2-2x-3\)，當(dāng)\(y<0\)時(shí)，\(x\)的取值范圍是（）A.\(x<-1\)B.\(-1<x<3\)C.\(x>3\)D.無(wú)解答案：B三、判斷題1.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和一定是無(wú)理數(shù)。（×）2.對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形是矩形。（×）3.若\(a>b\)，則\(ac^2>bc^2\)。（×）4.反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}(k\neq0)\)的圖象，當(dāng)\(k>0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。（×）5.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)。（√）6.若\(x^2+kx+9\)是完全平方式，則\(k=6\)。（×）7.一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大。（√）8.直徑是圓中最長(zhǎng)的弦。（√）9.若\(a\)、\(b\)、\(c\)為直角三角形的三邊，則\(a^2+b^2=c^2\)。（×）10.一次函數(shù)\(y=kx+b\)，當(dāng)\(k<0\)時(shí)，\(y\)隨\(x\)的增大而減小。（√）四、簡(jiǎn)答題1.先化簡(jiǎn)，再求值：\((\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})\div\frac{x^2+x}{x^2+2x+1}\)，其中\(zhòng)(x=2\)?；?jiǎn)過(guò)程：\[\begin{align}&(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x^2-1})\div\frac{x^2+x}{x^2+2x+1}\\=&[\frac{x}{x-1}-\frac{1}{(x+1)(x-1)}]\div\frac{x(x+1)}{(x+1)^2}\\=&\frac{x(x+1)-1}{(x+1)(x-1)}\times\frac{(x+1)^2}{x(x+1)}\\=&\frac{x^2+x-1}{(x-1)x}\end{align}\]當(dāng)\(x=2\)時(shí)，代入得\(\frac{2^2+2-1}{(2-1)\times2}=\frac{5}{2}\)。2.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和的\(3\)倍少\(180^{\circ}\)，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為\(n\)。多邊形內(nèi)角和公式為\((n-2)\times180^{\circ}\)，外角和是\(360^{\circ}\)。由題意得\((n-2)\times180=3\times360-180\)，\((n-2)\times180=900\)，\(n-2=5\)，\(n=7\)。所以這個(gè)多邊形是七邊形。3.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(AB=AC\)，\(AD\)是\(BC\)邊上的中線(xiàn)，\(BE\perpAC\)于點(diǎn)\(E\)，交\(AD\)于點(diǎn)\(F\)，已知\(\angleBAC=45^{\circ}\)，求證：\(AF=2BD\)。證明：因?yàn)閈(AB=AC\)，\(AD\)是\(BC\)邊上的中線(xiàn)，所以\(AD\perpBC\)，\(BD=DC\)，\(\angleCAD=\frac{1}{2}\angleBAC=22.5^{\circ}\)。又因?yàn)閈(BE\perpAC\)，\(\angleBAC=45^{\circ}\)，所以\(\triangleABE\)是等腰直角三角形，\(AE=BE\)。在\(\triangleAEF\)和\(\triangleBEC\)中，\(\angleAEF=\angleBEC=90^{\circ}\)，\(\angleEAF=\angleEBC=22.5^{\circ}\)，\(AE=BE\)，所以\(\triangleAEF\cong\triangleBEC\)，則\(AF=BC\)，又因?yàn)閈(BC=2BD\)，所以\(AF=2BD\)。4.已知二次函數(shù)\(y=-x^2+bx+c\)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)\((-1,0)\)，\((0,3)\)，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并求出它的最大值。把點(diǎn)\((-1,0)\)，\((0,3)\)代入\(y=-x^2+bx+c\)得：\(\begin{cases}-1-b+c=0\\c=3\end{cases}\)，把\(c=3\)代入\(-1-b+c=0\)得\(-1-b+3=0\)，\(b=2\)。所以二次函數(shù)解析式為\(y=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4\)。因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)\(-1<0\)，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向下，當(dāng)\(x=1\)時(shí)，\(y\)有最大值\(4\)。五、討論題1.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖象與反比例函數(shù)\(y=\frac{m}{x}\)的圖象交于\(A(1,4)\)、\(B(4,n)\)兩點(diǎn)。（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）求\(\triangleAOB\)的面積；（3）直接寫(xiě)出不等式\(kx+b>\frac{m}{x}\)的解集。（1）把\(A(1,4)\)代入\(y=\frac{m}{x}\)得\(m=4\)，所以反比例函數(shù)解析式為\(y=\frac{4}{x}\)。把\(B(4,n)\)代入\(y=\frac{4}{x}\)得\(n=1\)，即\(B(4,1)\)。把\(A(1,4)\)，\(B(4,1)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}k+b=4\\4k+b=1\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}k=-1\\b=5\end{cases}\)，所以一次函數(shù)解析式為\(y=-x+5\)。（2）設(shè)直線(xiàn)\(y=-x+5\)與\(x\)軸交點(diǎn)為\(C\)，令\(y=0\)，則\(x=5\)，\(C(5,0)\)。\(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleAOC}-S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}\times5\times4-\frac{1}{2}\times5\times1=\frac{15}{2}\)。（3）由圖象可知，不等式\(kx+b>\frac{m}{x}\)的解集為\(1<x<4\)。2.某商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)\(A\)、\(B\)兩種商品，已知購(gòu)進(jìn)\(A\)種商品\(20\)件和\(B\)種商品\(15\)件需\(380\)元；購(gòu)進(jìn)\(A\)種商品\(15\)件和\(B\)種商品\(10\)件需\(280\)元。（1）求\(A\)、\(B\)兩種商品每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？（2）若該商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)\(A\)、\(B\)兩種商品共\(100\)件，總費(fèi)用不超過(guò)\(900\)元，問(wèn)最多能購(gòu)進(jìn)\(A\)種商品多少件？（1）設(shè)\(A\)種