2025年電大數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)《高等代數(shù)》期末試題及答案解析一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)\(A\)是\(n\)階方陣，且\(\vertA\vert=2\)，則\(\vert-2A\vert\)等于（）A.\((-2)^n\times2\)B.\((-2)\times2\)C.\(2^n\times2\)D.\(-2\times2^n\)答案：A解析：根據(jù)行列式的性質(zhì)，若\(A\)是\(n\)階方陣，\(k\)為常數(shù)，則\(\vertkA\vert=k^n\vertA\vert\)。已知\(\vertA\vert=2\)，\(k=-2\)，所以\(\vert-2A\vert=(-2)^n\vertA\vert=(-2)^n\times2\)。2.設(shè)向量組\(\alpha_1=(1,0,0)^T\)，\(\alpha_2=(0,1,0)^T\)，\(\alpha_3=(0,0,1)^T\)，\(\beta=(2,-1,3)^T\)，則\(\beta\)由\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_3\)線性表示的表達(dá)式為（）A.\(\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3\)B.\(\beta=2\alpha_1+\alpha_2+3\alpha_3\)C.\(\beta=-2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3\)D.\(\beta=2\alpha_1-\alpha_2-3\alpha_3\)答案：A解析：設(shè)\(\beta=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_3\)，即\((2,-1,3)^T=x_1(1,0,0)^T+x_2(0,1,0)^T+x_3(0,0,1)^T=(x_1,x_2,x_3)^T\)。則可得方程組\(\begin{cases}x_1=2\\x_2=-1\\x_3=3\end{cases}\)，所以\(\beta=2\alpha_1-\alpha_2+3\alpha_3\)。3.設(shè)\(A\)為\(3\)階方陣，且\(r(A)=2\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)答案：B解析：對于\(n\)元齊次線性方程組\(Ax=0\)，基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(n-r(A)\)。已知\(n=3\)，\(r(A)=2\)，則基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為\(3-2=1\)。4.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&4\\0&4&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\0&2&2\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)答案：A解析：二次型\(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j\)（\(a_{ij}=a_{ji}\)）的矩陣\(A=(a_{ij})\)。對于\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+3x_3^2\)，\(a_{11}=1\)，\(a_{12}=1\)，\(a_{13}=0\)，\(a_{21}=1\)，\(a_{22}=2\)，\(a_{23}=2\)，\(a_{31}=0\)，\(a_{32}=2\)，\(a_{33}=3\)，所以二次型的矩陣為\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&2\\0&2&3\end{pmatrix}\)。5.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，則\(A^{-1}\)的特征值是（）A.\(\frac{1}{\lambda}\)B.\(-\lambda\)C.\(\lambda\)D.\(\vertA\vert\lambda\)答案：A解析：已知\(\lambda\)是\(A\)的一個特征值，存在非零向量\(\xi\)，使得\(A\xi=\lambda\xi\)。因為\(A\)可逆，兩邊同時左乘\(A^{-1}\)，得到\(A^{-1}A\xi=A^{-1}(\lambda\xi)\)，即\(\xi=\lambdaA^{-1}\xi\)，進(jìn)一步變形為\(A^{-1}\xi=\frac{1}{\lambda}\xi\)，所以\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值。二、填空題（每小題3分，共15分）1.行列式\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}\)的值為______。答案：\(-2\)解析：根據(jù)二階行列式的計算公式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\)，則\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times4-2\times3=4-6=-2\)。2.設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，\(B=\begin{pmatrix}5&6\\7&8\end{pmatrix}\)，則\(AB=\)______。答案：\(\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)解析：根據(jù)矩陣乘法規(guī)則，若\(A=(a_{ij})_{m\timess}\)，\(B=(b_{ij})_{s\timesn}\)，則\(AB=(c_{ij})_{m\timesn}\)，其中\(zhòng)(c_{ij}=\sum_{k=1}^{s}a_{ik}b_{kj}\)。\(AB=\begin{pmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5+14&6+16\\15+28&18+32\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}19&22\\43&50\end{pmatrix}\)。3.已知向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)，\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)，則該向量組的秩為______。答案：\(1\)解析：因為\(\alpha_2=2\alpha_1\)，說明向量組\(\{\alpha_1,\alpha_2\}\)線性相關(guān)，且\(\alpha_1\neq0\)，所以該向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個數(shù)為\(1\)，即向量組的秩為\(1\)。4.設(shè)\(A\)是\(3\)階方陣，且\(\vertA\vert=-2\)，則\(\vertA^\vert=\)______。答案：\(4\)解析：根據(jù)公式\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{n-1}\)（\(n\)為矩陣\(A\)的階數(shù)），已知\(n=3\)，\(\vertA\vert=-2\)，則\(\vertA^\vert=\vertA\vert^{3-1}=(-2)^2=4\)。5.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}\)，則\(A\)的特征值為______。答案：\(1\)和\(2\)解析：矩陣\(A\)的特征方程為\(\vert\lambdaE-A\vert=0\)，其中\(zhòng)(E\)為單位矩陣。\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&0\\0&\lambda-2\end{vmatrix}=(\lambda-1)(\lambda-2)=0\)，解得\(\lambda_1=1\)，\(\lambda_2=2\)，所以\(A\)的特征值為\(1\)和\(2\)。三、計算題（每小題10分，共50分）1.計算行列式\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\)。解：方法一：根據(jù)三階行列式的計算公式\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\)。\(D=1\times5\times9+2\times6\times7+3\times4\times8-3\times5\times7-2\times4\times9-1\times6\times8\)\(=45+84+96-105-72-48\)\(=225-225=0\)。方法二：對行列式進(jìn)行初等行變換，\(r_2-4r_1\)，\(r_3-7r_1\)得\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4-4\times1&5-4\times2&6-4\times3\\7-7\times1&8-7\times2&9-7\times3\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\)再\(r_3-2r_2\)得\(D=\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}=0\)。2.求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{pmatrix}\)的逆矩陣（若存在）。解：先求矩陣\(A\)的行列式\(\vertA\vert\)，\(\vertA\vert=\begin{vmatrix}1&2&3\\2&4&6\\3&6&9\end{vmatrix}\)，由上題可知\(\vertA\vert=0\)。因為矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(\vertA\vert\neq0\)，而\(\vertA\vert=0\)，所以矩陣\(A\)不可逆，即\(A\)的逆矩陣不存在。3.求向量組\(\alpha_1=(1,-1,2,4)^T\)，\(\alpha_2=(0,3,1,2)^T\)，\(\alpha_3=(3,0,7,14)^T\)，\(\alpha_4=(1,-1,2,0)^T\)的一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。解：構(gòu)造矩陣\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&0&3&1\\-1&3&0&-1\\2&1&7&2\\4&2&14&0\end{pmatrix}\)。對\(A\)進(jìn)行初等行變換：\(r_2+r_1\)，\(r_3-2r_1\)，\(r_4-4r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&3&3&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-4\end{pmatrix}\)。\(r_2\div3\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&2&2&-4\end{pmatrix}\)。\(r_3-r_2\)，\(r_4-2r_2\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-4\end{pmatrix}\)。\(r_3\leftrightarrowr_4\)，\(r_4\div(-4)\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)。\(r_1-r_3\)得\(\begin{pmatrix}1&0&3&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}\)?？梢奬(r(A)=3\)，\(\alpha_1\)，\(\alpha_2\)，\(\alpha_4\)是一個極大線性無關(guān)組。由矩陣變換結(jié)果可知\(\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2+0\alpha_4\)。4.求解齊次線性方程組\(\begin{cases}x_1+2x_2+x_3=0\\2x_1+4x_2+2x_3=0\\3x_1+6x_2+3x_3=0\end{cases}\)。解：系數(shù)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&2\\3&6&3\end{pmatrix}\)，對\(A\)進(jìn)行初等行變換：\(r_2-2r_1\)，\(r_3-3r_1\)得\(\begin{pmatrix}1&2&1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\)。則原方程組等價于\(x_1+2x_2+x_3=0\)，即\(x_1=-2x_2-x_3\)。令\(x_2=k_1\)，\(x_3=k_2\)（\(k_1,k_2\)為任意常數(shù)），則\(x_1=-2k_1-k_2\)。所以方程組的通解為\(\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=k_1\begin{pmatrix}-2\\1\\0\end{pmatrix}+k_2\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix}\)，\(k_1,k_2\inR\)。5.用正交變換法化二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2+4x_1x_2+x_2^2\)為標(biāo)準(zhǔn)形。解：二次型\(f(x_1,x_2)\)的矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\)。（1）求\(A\)的特征值：特征方程\(\vert\lambdaE-A\vert=\begin{vmatrix}\lambda-1&-2\\-2&\lambda-1\end{vmatrix}=(\lambda-1)^2-4=\lambda^2-2\lambda-3=0\)。因式分解得\((\lambda-3)(\lambda+1)=0\)，解得\(\lambda_1=3\)，\(\lambda_2=-1\)。（2）求特征向量：當(dāng)\(\lambda_1=3\)時，\((\lambda_1E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}2&-2\\-2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，等價于\(x_1-x_2=0\)，取\(\xi_1=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)。當(dāng)\(\lambda_2=-1\)時，\((\lambda_2E-A)X=0\)，即\(\begin{pmatrix}-2&-2\\-2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)，等價于\(x_1+x_2=0\)，取\(\xi_2=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)。（3）將特征向量正交化（本題特征向量已經(jīng)正交），再單位化：\(\eta_1=\frac{\xi_1}{\vert\vert\xi_1\vert\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}\)，\(\eta_2=\frac{\xi_2}{\vert\vert\xi_2\vert\vert}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\)。（4）構(gòu)造正交矩陣\(Q=(\eta_1,\eta_2)=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)。令\(X=QY\)，則二次型\(f(x_1,x_2)\)化為標(biāo)準(zhǔn)形\(f=3y_1^2-y_2^2\)。四、證明題（每小題10分，共20分）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=0\)，證明：\(r(A)+r(B)\leqn\)。證明：設(shè)\(B=(B_1,B_2,\cdots,B_n)\)，其中\(zhòng)(B_i\)（\(i=1,2,\cdots,n\)）為\(B\)的列向量。因為\(AB=0