幻燈片1：封面課程名稱：4.3.2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)教材版本：2024北師大版數(shù)學(xué)年級：八年級上冊銜接提示：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，知道它是特殊的一次函數(shù)（b=0時(shí)）。本節(jié)課，我們將聚焦一般形式的一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），探究其圖象與正比例函數(shù)圖象的聯(lián)系（平移關(guān)系），以及k和b分別對圖象位置、增減性、傾斜程度的影響，構(gòu)建完整的一次函數(shù)圖象與性質(zhì)知識體系?；脽羝?：學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握一次函數(shù)圖象的繪制方法，明確其圖象是平行于正比例函數(shù)y=kx的直線，理解“平移法”畫一次函數(shù)圖象的原理。理解比例系數(shù)k和常數(shù)項(xiàng)b對一次函數(shù)圖象的雙重影響：k決定圖象的傾斜程度和增減性，b決定圖象與y軸的交點(diǎn)位置。能運(yùn)用一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問題（如求與坐標(biāo)軸交點(diǎn)、判斷函數(shù)值變化、比較函數(shù)大?。嵘龜?shù)形結(jié)合與邏輯推理能力?；脽羝?：情境導(dǎo)入——一次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)的聯(lián)系問題1：我們已經(jīng)知道正比例函數(shù)y=2x的圖象是經(jīng)過原點(diǎn)的直線，那么一次函數(shù)y=2x+3的圖象是什么形狀？它與y=2x的圖象有什么關(guān)系？引導(dǎo)學(xué)生通過“列表描點(diǎn)”對比：x-2-1012y=2x-4-2024y=2x+3-11357觀察發(fā)現(xiàn)：對于相同的x，y=2x+3的函數(shù)值比y=2x大3，圖象是y=2x的直線向上平移3個(gè)單位。問題2：再繪制y=2x-2的圖象，對比y=2x的圖象，又有什么變化？學(xué)生操作后發(fā)現(xiàn)：y=2x-2的圖象是y=2x的直線向下平移2個(gè)單位。引出主題：一次函數(shù)y=kx+b的圖象是由正比例函數(shù)y=kx的圖象平移得到的，平移方向和距離由b決定，而k則決定了圖象的傾斜方向和增減性，這就是我們本節(jié)課的探究核心?；脽羝?：一次函數(shù)圖象的繪制方法方法1：列表描點(diǎn)法（通用方法）：列表：選取2-3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)（建議包含與y軸交點(diǎn)(0,b)和與x軸交點(diǎn)(-b/k,0)，兩點(diǎn)確定一條直線）；示例（y=-x+2）：|x|0|2||:--:|:--:|:--:||y|2|0|描點(diǎn)：在坐標(biāo)系中描出(0,2)和(2,0)；連線：用直線連接兩點(diǎn)，延伸至坐標(biāo)系邊緣。方法2：平移法（基于正比例函數(shù)圖象）：先畫出正比例函數(shù)y=kx的圖象；根據(jù)b的正負(fù)平移：當(dāng)b>0時(shí)，將y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位，得到y(tǒng)=kx+b的圖象；當(dāng)b<0時(shí)，將y=kx的圖象向下平移|b|個(gè)單位，得到y(tǒng)=kx+b的圖象。示例：繪制y=3x-1的圖象，先畫y=3x的直線，再向下平移1個(gè)單位，得到y(tǒng)=3x-1的圖象。關(guān)鍵結(jié)論：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象是平行于直線y=kx的一條直線，稱為“一次直線”，其形狀由k決定，位置由b決定?；脽羝?：常數(shù)項(xiàng)b對一次函數(shù)圖象位置的影響探究分析：對比y=2x+3、y=2x、y=2x-2的圖象：共同點(diǎn)：k=2相同，圖象互相平行；不同點(diǎn)：與y軸的交點(diǎn)不同，分別為(0,3)、(0,0)、(0,-2)，交點(diǎn)縱坐標(biāo)等于b。規(guī)律總結(jié)：一次函數(shù)y=kx+b的圖象與y軸的交點(diǎn)為**(0,b)**，b稱為“圖象在y軸上的截距”；當(dāng)b>0時(shí)，交點(diǎn)在y軸正半軸；當(dāng)b=0時(shí)，交點(diǎn)為原點(diǎn)（即正比例函數(shù)）；當(dāng)b<0時(shí)，交點(diǎn)在y軸負(fù)半軸。例題1：指出下列一次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并判斷交點(diǎn)位置：y=4x-5：交點(diǎn)(0,-5)，y軸負(fù)半軸；y=-2x+3：交點(diǎn)(0,3)，y軸正半軸；y=0.5x：交點(diǎn)(0,0)，原點(diǎn)?；脽羝?：比例系數(shù)k對一次函數(shù)圖象的影響1.k對增減性的影響（與正比例函數(shù)一致）：當(dāng)k>0時(shí)，直線從左向右上升，y隨x的增大而增大（增函數(shù)）；當(dāng)k<0時(shí)，直線從左向右下降，y隨x的增大而減?。p函數(shù)）。示例：y=3x+1（k>0）是增函數(shù)，y=-x-2（k<0）是減函數(shù)。2.k對圖象傾斜程度的影響（與正比例函數(shù)一致）：|k|越大，直線越陡（x每變化1個(gè)單位，y變化幅度越大）；|k|越小，直線越平緩（x每變化1個(gè)單位，y變化幅度越?。?。示例：y=5x-2（|k|=5）比y=0.2x+1（|k|=0.2）的圖象更陡。3.k和b共同決定圖象所在象限：|k的符號|b的符號|圖象經(jīng)過的象限|示例（y=kx+b）||:--:|:--:|:--:|:--:||k>0|b>0|第一、二、三象限|y=2x+3||k>0|b=0|第一、三象限|y=2x||k>0|b<0|第一、三、四象限|y=2x-2||k<0|b>0|第一、二、四象限|y=-2x+3||k<0|b=0|第二、四象限|y=-2x||k<0|b<0|第二、三、四象限|y=-2x-2|例題2：判斷一次函數(shù)y=-3x+4的圖象經(jīng)過哪些象限，y隨x的增大如何變化？解答：k=-3<0，b=4>0，圖象經(jīng)過第一、二、四象限；y隨x的增大而減小?；脽羝?：一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)1.與y軸的交點(diǎn)：求法：令x=0，代入y=kx+b，得y=b，故交點(diǎn)為**(0,b)**（前文已提及）。2.與x軸的交點(diǎn)：求法：令y=0，代入y=kx+b，得0=kx+b→x=-b/k（k≠0），故交點(diǎn)為**(-b/k,0)**。注意：當(dāng)b=0時(shí)，與x軸交點(diǎn)為原點(diǎn)，即正比例函數(shù)的情況。例題3：求一次函數(shù)y=2x-6與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算兩點(diǎn)之間的距離。解答：與y軸交點(diǎn)：x=0時(shí)，y=-6，交點(diǎn)(0,-6)；與x軸交點(diǎn)：y=0時(shí)，2x-6=0→x=3，交點(diǎn)(3,0)；兩點(diǎn)距離：√[(3-0)2+(0-(-6))2]=√(9+36)=√45=3√5?；脽羝?：一次函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用例題4：已知一次函數(shù)y=(m-1)x+2m+1，解答下列問題：若函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)，求m的值；解答：過原點(diǎn)(0,0)，代入得0=0+2m+1→m=-1/2。若函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，求m的取值范圍；解答：需滿足k<0且b>0→m-1<0（k<0），2m+1>0（b>0）→-1/2<m<1。當(dāng)x增大時(shí)，y隨之減小，求m的取值范圍；解答：k<0→m-1<0→m<1。例題5：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,3)和B(-2,-3)，求：函數(shù)解析式；圖象與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)x=4時(shí)，y的值；當(dāng)y=5時(shí)，x的值。解答：代入兩點(diǎn)得\(\begin{cases}k+b=3\\-2k+b=-3\end{cases}\)，解得k=2，b=1，解析式為y=2x+1；與x軸交點(diǎn)：y=0→2x+1=0→x=-1/2，交點(diǎn)(-1/2,0)；與y軸交點(diǎn)(0,1)；x=4時(shí)，y=2×4+1=9；y=5時(shí)，5=2x+1→x=2?；脽羝?：課堂練習(xí)基礎(chǔ)題：一次函數(shù)y=-2x+5的圖象經(jīng)過第______象限，y隨x的增大而______，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為______；答案：一、二、四；減小；(0,5)。若一次函數(shù)y=(2k-3)x+1的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，則k的取值范圍是______；答案：k>3/2（k>0且b=1>0，滿足一、三、四象限）。提升題：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象平行于y=-3x，且經(jīng)過點(diǎn)(0,-2)，求該函數(shù)解析式，并計(jì)算圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；解答：平行則k=-3，過(0,-2)則b=-2，解析式y(tǒng)=-3x-2；與x軸交點(diǎn)：y=0→-3x-2=0→x=-2/3，交點(diǎn)(-2/3,0)。已知一次函數(shù)y=ax+4與y=bx-2的圖象相交于x軸上同一點(diǎn)，求a/b的值；解答：交于x軸上一點(diǎn)，令y=0，得ax+4=0→x=-4/a；bx-2=0→x=2/b，故-4/a=2/b→a/b=-2。幻燈片10：課堂總結(jié)知識梳理：一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的核心內(nèi)容：圖象特征：平行于y=kx的直線，由y=kx平移|b|個(gè)單位得到（b>0上移，b<0下移）；與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：(0,b)（y軸）、(-b/k,0)（x軸）；性質(zhì)：增減性：k>0時(shí)y隨x增大而增大，k<0時(shí)y隨x增大而減?。粌A斜程度：|k|越大，直線越陡；象限分布：由k和b共同決定（如k>0、b<0時(shí)過一、三、四象限）。思想方法：延續(xù)“數(shù)形結(jié)合”思想，將一次函數(shù)的代數(shù)表達(dá)式（y=kx+b）與幾何圖象（直線）緊密結(jié)合，通過圖象直觀理解函數(shù)性質(zhì)，通過性質(zhì)分析圖象特征?；脽羝?1：布置作業(yè)基礎(chǔ)作業(yè)：教材習(xí)題4.4第1、2、3題，鞏固一次函數(shù)圖象的繪制、性質(zhì)判斷及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的求解；拓展作業(yè)：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,5)，且與y軸交于點(diǎn)(0,3)，求該函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；在平面直角坐標(biāo)系中，畫出y=x+1和y=-x+3的圖象，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并計(jì)算該交點(diǎn)到x軸的距離，深化對一次函數(shù)圖象交點(diǎn)的理解。2024北師大版數(shù)學(xué)八年級上冊授課教師：

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4.3.2一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)第四章

一次函數(shù)aiTujmiaNg學(xué)習(xí)目標(biāo)經(jīng)歷從正比例函數(shù)到一次函數(shù)的圖象變化過程，發(fā)展數(shù)形結(jié)合的意識和能力。能熟練畫出一次函數(shù)的圖象,掌握一次函數(shù)及其圖象的簡單性質(zhì)。2.正比例函數(shù):當(dāng)b=0時(shí)的一次函數(shù),即形如y=kx(k≠0)的函數(shù)，稱作正比例函數(shù)。定義:1.一次函數(shù):若兩個(gè)變量x,y之間的對應(yīng)關(guān)系可以表示成y=kx+b(k≠0)的形式,則稱y是x的一次函數(shù)。y=kx圖象性質(zhì)及特征k＞0k＜0正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象是一條過原點(diǎn)的直線。xyxy經(jīng)過一、三象限，y隨著x的增大而增大圖象呈上升趨勢經(jīng)過二、四象限，y隨著x的增大而減小圖象呈下降趨勢y=

2x

畫出正比例函數(shù)y=

2x的圖象。解：(1)列表；x01y=

2x02(2)描點(diǎn)；(3)連線。你能畫出一次函數(shù)y=

2x＋1的圖象嗎？知識點(diǎn)一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)（重點(diǎn)）（1）畫一次函數(shù)y=2x＋1

的圖象。y=2x＋1解：(1)列表;x…-2-1012…y135-3-1······

(2)描點(diǎn)；(3)連線。操作·思考（2）一次函數(shù)y=2x＋1

的圖象真的是一條直線嗎？y=2x＋1（3）這兩個(gè)函數(shù)圖象有什么關(guān)系？y=2x相同點(diǎn)：________________________不同點(diǎn)：__________________________________________________聯(lián)系：____________________________________________________都是直線；傾斜程度相同；y=2x的圖象過原點(diǎn)；y=2x+1的圖象與y軸交于點(diǎn)(0,1)；y=2x+1的圖象可以看作y=2x的圖象向上平移1個(gè)單位長度得到的。……兩條直線平行在一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象經(jīng)過點(diǎn)_______，它可以看作由函數(shù)_________平移_______個(gè)單位長度得到。當(dāng)b＞0時(shí)，向_____平移；當(dāng)b＜0時(shí)，向______平移。（0，b）y＝kx|b|上下一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象是一條直線，它與正比例函數(shù)y＝kx的圖象相互平行。因此，畫一次函數(shù)圖象時(shí)，只要確定兩個(gè)點(diǎn)，再過這兩個(gè)點(diǎn)畫直線就可以了。一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象也稱為直線

y＝kx＋b。（4）一般地，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖象與正比例函數(shù)y＝kx的圖象有什么關(guān)系？在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出一次函數(shù)y=2x+1和y=2x－1的圖象.例1x01y=2x＋113y=2x－1－11解：列表如下：描點(diǎn)、連線，即得到y(tǒng)=2x+1和y=2x－1的圖象.(1)將直線y=2x向上平移2個(gè)單位長度后,得到直線AB,求直線AB對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式;(2)將(1)中直線AB再向下平移3個(gè)單位長度后,得到直線CD,求直線CD對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.例3解：(1)y=2x+2;(2)y=2x－1.直線y=kx+b平移時(shí),k的值不變,向上平移h(h>0)個(gè)單位長度時(shí),是b

加h;向下平移h(h>0)個(gè)單位長度時(shí),是b減h.所以直線的上、下平移可簡記為“上加下減”.技巧點(diǎn)撥解：列表→描點(diǎn)→連線;關(guān)系式x=0x=1y=3x＋114y=

-x＋110y＝3x－2-21y＝4x－3-31y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別畫出一次函數(shù)y＝3x＋1，y＝-x＋1，y＝3x－2和

y＝4x－3的圖象。y=3x－2（1）右圖四個(gè)函數(shù)中，哪個(gè)函數(shù)y

的值隨著x值的增大而增大？哪個(gè)函數(shù)y

的值隨著x值的增大而減??？嘗試·思考y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1y=3x－2當(dāng)k＞0時(shí)，y的值隨著x值的_____而_____，圖象呈________趨勢；當(dāng)k＜0時(shí)，y的值隨著x值的_____而_____，圖象呈_______趨勢。上升增大減小增大增大下降y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1y=3x－2（2）隨著x值的增大，y

的值增大速度最快的函數(shù)是哪個(gè)？嘗試·思考y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1y=3x－2當(dāng)_____越大時(shí)，直線越陡，圖象越靠近

y

軸，相應(yīng)的函數(shù)值上升或下降得越快。|k|（3）哪兩個(gè)函數(shù)的圖象相互平行？嘗試·思考y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1y=3x－2對于一次函數(shù)y=kx＋b，當(dāng)_______相等，而b值不相等時(shí)，函數(shù)的圖象相互平行。k（4）圖象與y

軸相交于同一點(diǎn)的函數(shù)有哪些？嘗試·思考y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1y=3x－2對于一次函數(shù)y=kx＋b，當(dāng)____相等，而k值不相等時(shí)，函數(shù)圖象與y

軸相交于同一點(diǎn)，交點(diǎn)坐標(biāo)為________。b(0，b)思考·交流y=3x＋1y=4x－3y=

-x＋1y=3x－2對于一次函數(shù)y=kx＋b的圖象，你有哪些結(jié)論？梳理一下，并與同伴進(jìn)行交流。一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，b），與函數(shù)y=kx的圖象平行（k值相同的兩個(gè)一次函數(shù)圖象平行）。

在一次函數(shù)y=kx+b中，當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨著x值的增大而增大；當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨著x值的增大而減小。k＞0k＜0b＞0b＝0b＜0b＞0b＝0b＜0圖象性質(zhì)與y軸交點(diǎn)的位置經(jīng)過的象限正半軸負(fù)半軸原點(diǎn)正半軸負(fù)半軸原點(diǎn)y的值隨著x值的增大而增大y的值隨著x值的增大而減小第一、二、三象限第一、三象限第二、四象限第一、三、四象限第二、三、四象限第一、二、四象限歸納：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)點(diǎn)擊返回對于一次函數(shù)y=x+2的說法錯(cuò)誤的是()A.

圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,3)B.y的值隨著x值的增大而增大C.圖象不經(jīng)過第四象限D(zhuǎn).當(dāng)x>2時(shí),y<4D例3一次函數(shù)的圖象在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置由k,b的值與0的大小關(guān)系決定;而一次函數(shù)的增減性只由k的正負(fù)性決定,與b沒有關(guān)系.知識點(diǎn)睛一次函數(shù)y＝kx＋b（k≠0）k和b分別對函數(shù)圖象有何影響？（1）y＝4x；（2）;（3）畫出下列函數(shù)的圖象:1.【教材P93習(xí)題4.3第1題】（4）y＝4x－1；（5）y＝4x＋1；（6）y＝－4x－1。知識技能（1）y＝8x；（2）y＝﹣0.6x；

下列正比例函數(shù)中，y的值隨著x值的增大而減小的是____________。2.【教材P93習(xí)題4.3第2題】（2）（4）寫出圖中直線l所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式。3.y＝3x【教材P93習(xí)題4.3第3題】下列三條直線中，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)相同的兩條直線是____________與______________，y的值隨著x值的增大而減小的是___________。（1）y=6x－2；（2）y=－6x－2；（3）

y=－6x＋2。4.（1）（2）（2）（3）【教材P93習(xí)題4.3第4題】如圖，將直線OA向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)一次函數(shù)的圖象，求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式。5.解：直線OA過原點(diǎn)，則其函數(shù)表達(dá)式可表示為y＝kx（k≠0）。因?yàn)橹本€過點(diǎn)A（2,4）,所以4=k×2，解得k=2。所以直線OA的函數(shù)表達(dá)式為y＝2x。因?yàn)橐淮魏瘮?shù)的圖象是由直線OA向上平移1個(gè)單位得到的，所以這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為y＝2x+1。【教材P93習(xí)題4.3第5題】寫出3個(gè)函數(shù)值隨著自變量值的增大而增大的正比例函數(shù)，并說明其中哪個(gè)正比例函數(shù)增大得更快一些。6.【教材P93習(xí)題4.3第6題】解：y=2x，y=3x，y=4x的函數(shù)值都隨著自變量值的增大而增大，其中y=4x增大地更快一些。（答案不唯一）數(shù)學(xué)理解小明是這樣理解“函數(shù)y＝x的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)的直線”的：如圖，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝0，所以原點(diǎn)（0，0）在函數(shù)y=x的圖象上；當(dāng)x＝t時(shí)，y＝t，即MN＝ON，∠MON=45°，而這個(gè)結(jié)論對任意的t值都正確，所以函數(shù)y=x的圖象是一條經(jīng)過原點(diǎn)、與橫軸成45°角的直線。請你解釋他的想法。7.解：小明想法的實(shí)質(zhì)是，圖象上其他點(diǎn)與原點(diǎn)的連線和水平方向所成的角相同，因此這些點(diǎn)都在一條直線上?！窘滩腜94習(xí)題4.3第7題】（1）寫出m的兩個(gè)值，使相應(yīng)的一次函數(shù)y＝mx－2的

值都是隨著x值的增大而減小的；解：m＝-1或m＝-2，答案不唯一，只要滿足m＜0即可。解：m＝-1或m＝-2，答案不唯一，只要滿足m＜

即可。8.（2）寫出m的兩個(gè)值，使相應(yīng)的一次函數(shù)y＝（2m－1）x＋2

的值都是隨著x值的增大而減小的?！窘滩腜94習(xí)題4.3第8題】寫出幾個(gè)圖象與y

軸的交點(diǎn)在x

軸上方的一次函數(shù)表達(dá)式；不畫圖，分別說出它們的圖象與y

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。9.【教材P94習(xí)題4.3第9題】解：y=2x+1，y=-3x+2，y=4x+3的圖象與y

軸的交點(diǎn)都在x軸上方，他們的圖象與y

軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（0，1），（0，2），（0，3）。小明畫某一次函數(shù)圖象，在列表時(shí)他將其中一個(gè)函數(shù)值算錯(cuò)了，試在下表中找出這個(gè)算錯(cuò)的函數(shù)值，并寫出這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式。10.【教材P94習(xí)題4.3第10題】解：算錯(cuò)的函數(shù)值是當(dāng)x=-1時(shí)y的值，這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式為y=-4x+2。x-1012y32-2-61．將直線y=-3x－1向上平移2個(gè)單位，平移后的直線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式（）A.y=-3x－5B.y=-3x－3C.y=-3x＋1D.y=-3x＋3C2．對于一次函數(shù)y=x＋2，下列說法錯(cuò)誤的是（）A.圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，3）B.y的值隨著x值的增大而增大