第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年湖北省新八校協(xié)作體高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（2月份）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則A． B．，0，1， C．，1， D．，2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 C．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減4．已知向量，且，則△的面積為A． B． C． D．5．已知，則A． B． C． D．6．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，則該四棱錐的體積為A．1 B．2 C． D．7．費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)為雙曲線，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)處的切線平分已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線，過左焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為A．2 B． C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，滿足，且（1）（2），則下列結(jié)論一定正確的是A． B． C． D．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖像與的圖像在，內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)10．（6分）函數(shù)叫自然指數(shù)函數(shù)，是一種常見的超越函數(shù)，它常與其它函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算產(chǎn)生新的函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)既有極大值，也有極小值 C．方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 D．在定義域內(nèi)，恒有11．（6分）二元一次方程：可以表示平面內(nèi)所有的直線，二元二次方程可以表示平面內(nèi)所有的二次曲線．下列對(duì)二元二次方程所表示曲線的性質(zhì)描述正確有A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱 B．曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍是 C．存在，使與曲線相切 D．過的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，的最小值為2三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．現(xiàn)有5名志愿者被派往，，三個(gè)小區(qū)參加志愿者活動(dòng)，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)，小區(qū)安排1人，小區(qū)安排2人，小區(qū)安排2人．則不同的安排方案共有種．（用數(shù)字作答）13．已知直線與曲線相切，則直線的方程為：．14．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，若△的面積不超過，則滿足條件的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）在矩形中，點(diǎn)在線段上，且．（1）求；（2）若動(dòng)點(diǎn)，分別在線段，上，且△與△面積之比為，試求的最小值．16．（15分）秋收冬藏，禳禳滿家．神州大地，又是一個(gè)豐收年年我國(guó)糧食年產(chǎn)量首次邁上1.4萬(wàn)億斤新臺(tái)階，實(shí)現(xiàn)高位增產(chǎn)．某地農(nóng)科院為研究不同土壤條件對(duì)大豆產(chǎn)量的影響，在該地區(qū)選取了一批試驗(yàn)田種植大豆，現(xiàn)隨機(jī)抽取了面積相等的10塊試驗(yàn)田，得到各塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：，并整理得下表：畝產(chǎn)量，，，，頻數(shù)1324現(xiàn)將畝產(chǎn)量不少于的試驗(yàn)田記為“優(yōu)等田”（1）從這10塊試驗(yàn)田中任選3塊田，求恰有1塊是“優(yōu)等田”的概率；（2）以這10塊試驗(yàn)田的檢驗(yàn)結(jié)果來估計(jì)該地區(qū)不同土壤條件對(duì)大豆產(chǎn)量的影響，若從該地區(qū)隨機(jī)抽取3塊試驗(yàn)田，記“優(yōu)等田”的塊數(shù)為，求的分布列和期望．17．（15分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過軸下方的一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為，，且直線剛好與圓相切．設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)曲線與軸交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．18．（17分）如圖，在平面四邊形中，△為等腰直角三角形，△為正三角形，，，現(xiàn)將△沿翻折至△，形成三棱錐，其中為動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，求球心到平面的距離；（3）求平面與平面夾角余弦值的最小值．19．（17分）已知函數(shù)，．（1）求在處的瞬時(shí)變化率；（2）若恒成立；求的值；（3）求證：．

2025年湖北省新八校協(xié)作體高考數(shù)學(xué)聯(lián)考試卷（2月份）參考答案與試題解析題號(hào)12345678答案CCBAABBD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)集合，，則A． B．，0，1， C．，1， D．，解：因?yàn)椋?，2，，中元素滿足集合中不等式的有0，1，2，所以，1，．故選：．2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，且，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：設(shè)，由于復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以，，因?yàn)?，所以，所以，，因此在?fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限．故選：．3．函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，下列結(jié)論正確的是A．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 B．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增 C．是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減 D．是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減解：的定義域?yàn)?，函?shù)可化為，則，故是奇函數(shù)，由于，函數(shù)單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，故選：．4．已知向量，且，則△的面積為A． B． C． D．解：因?yàn)椋裕?jiǎn)得，所以，又因?yàn)?，所以，解得，所以，則，，所以△的面積為．故選：．5．已知，則A． B． C． D．解：因?yàn)?，由，所以，得到，又，所以．故選：．6．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，，，則該四棱錐的體積為A．1 B．2 C． D．解：如圖，取，的中點(diǎn)，，連接，，，則，，且，，平面，故平面，平面，故平面平面，平面平面，過作的垂線，垂足為，即，平面，故平面，由題意可知，，由余弦定理可得，因?yàn)?，所以，故，所以四棱錐的高為1，則四棱錐的體積為．故選：．7．費(fèi)馬定理是幾何光學(xué)中的一條重要原理，在數(shù)學(xué)中可以推導(dǎo)出圓錐曲線的一些光學(xué)性質(zhì)．例如，點(diǎn)為雙曲線，為焦點(diǎn)）上一點(diǎn)，點(diǎn)處的切線平分已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線，過左焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，若，則雙曲線的離心率為A．2 B． C． D．解：已知雙曲線為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)處的切線為直線，過左焦點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，，如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由于是的角平分線上的一點(diǎn)，且，所以點(diǎn)為的點(diǎn)，所以，又為的中點(diǎn)，所以，故，故，即，將點(diǎn)代入可得，解得，故離心率為．故選：．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，滿足，且（1）（2），則下列結(jié)論一定正確的是A． B． C． D．解：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，，?）（2），由累加法可得（2），又（2），，故，故錯(cuò)誤，由，，，（3）（1），所以，故，所以錯(cuò)誤，正確．故選：．二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）已知函數(shù)，若將的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D．的圖像與的圖像在，內(nèi)有4個(gè)交點(diǎn)解：將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后，再把所得曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)，錯(cuò)誤；因?yàn)椋吹膱D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，正確；因?yàn)?，函?shù)的圖像不關(guān)于直線對(duì)稱，錯(cuò)誤；令，則，所以或，，解得或，，因?yàn)椋?，所以，，，?個(gè)，正確．故選：．10．（6分）函數(shù)叫自然指數(shù)函數(shù)，是一種常見的超越函數(shù)，它常與其它函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算產(chǎn)生新的函數(shù)．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A．函數(shù)在上單調(diào)遞減 B．函數(shù)既有極大值，也有極小值 C．方程有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 D．在定義域內(nèi)，恒有解：易知的定義域?yàn)?，，?duì)于選項(xiàng)，由，得到，且，所以減區(qū)間為，，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，得到或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，所以的極大值為，極小值為，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，由選項(xiàng)知，的增區(qū)間為，，減區(qū)間為，，當(dāng)時(shí)，，，且時(shí)，，當(dāng)從左邊時(shí)，，當(dāng)從右邊時(shí)，，且時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，圖象如圖所示，由圖知，只有一個(gè)零點(diǎn)且，令，由，得到，所以，令，由圖知，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，令，易知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以，即，得到，故選項(xiàng)正確．故選：．11．（6分）二元一次方程：可以表示平面內(nèi)所有的直線，二元二次方程可以表示平面內(nèi)所有的二次曲線．下列對(duì)二元二次方程所表示曲線的性質(zhì)描述正確有A．曲線關(guān)于直線對(duì)稱 B．曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的范圍是 C．存在，使與曲線相切 D．過的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，的最小值為2解：對(duì)于選項(xiàng)：將換成，將換成，方程不變，所以方程所表示的曲線關(guān)于直線對(duì)稱，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以，則，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)：聯(lián)立，消去并整理得，即，可得該方程有唯一的實(shí)數(shù)根，則曲線與直線有唯一的交點(diǎn)，所以無(wú)論為何值，與曲線均不相切，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)：由選項(xiàng)知，曲線關(guān)于對(duì)稱，所以，可得，此時(shí)，則的最小值為2，故選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12．現(xiàn)有5名志愿者被派往，，三個(gè)小區(qū)參加志愿者活動(dòng)，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū)，小區(qū)安排1人，小區(qū)安排2人，小區(qū)安排2人．則不同的安排方案共有30種．（用數(shù)字作答）解：現(xiàn)有5名志愿者被派往，，三個(gè)小區(qū)參加志愿者活動(dòng)，小區(qū)安排1人，小區(qū)安排2人，小區(qū)安排2人．首先從5名志愿者中選出1人去小區(qū)，共有種情況，再?gòu)氖Ｏ碌?名志愿者中選出2人去小區(qū)，共有種情況，剩下的2個(gè)人安排到小區(qū)，因此不同的安排方法共有種．故答案為：30．13．已知直線與曲線相切，則直線的方程為：．解：因?yàn)?，所以，設(shè)直線與曲線相切于，則切線方程為，即為，又直線可化為，所以，解得，所以，所以直線的方程為，即為．故答案為：．14．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知，若△的面積不超過，則滿足條件的整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）的個(gè)數(shù)為24．解：設(shè)，，直線方程為，可知，故，得，設(shè)，則為整數(shù)，則，，，，，可得，故，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在直線上，此時(shí)不能構(gòu)成三角形，故舍去，當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，，，，根據(jù)對(duì)稱性可知：當(dāng)，，時(shí)，也分別有4個(gè)整數(shù)點(diǎn)，故共有24個(gè)整點(diǎn)．故答案為：24．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟。15．（13分）在矩形中，點(diǎn)在線段上，且．（1）求；（2）若動(dòng)點(diǎn)，分別在線段，上，且△與△面積之比為，試求的最小值．解：（1）過作于，設(shè)，因?yàn)榫匦沃?，，，所以，，則，因?yàn)?，所以，整理得：，解得或（舍，所以．?）由（1）知，，，設(shè)，，又，解得，在△中，由余弦定理得：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為．16．（15分）秋收冬藏，禳禳滿家．神州大地，又是一個(gè)豐收年年我國(guó)糧食年產(chǎn)量首次邁上1.4萬(wàn)億斤新臺(tái)階，實(shí)現(xiàn)高位增產(chǎn)．某地農(nóng)科院為研究不同土壤條件對(duì)大豆產(chǎn)量的影響，在該地區(qū)選取了一批試驗(yàn)田種植大豆，現(xiàn)隨機(jī)抽取了面積相等的10塊試驗(yàn)田，得到各塊試驗(yàn)田的畝產(chǎn)量（單位：，并整理得下表：畝產(chǎn)量，，，，頻數(shù)1324現(xiàn)將畝產(chǎn)量不少于的試驗(yàn)田記為“優(yōu)等田”（1）從這10塊試驗(yàn)田中任選3塊田，求恰有1塊是“優(yōu)等田”的概率；（2）以這10塊試驗(yàn)田的檢驗(yàn)結(jié)果來估計(jì)該地區(qū)不同土壤條件對(duì)大豆產(chǎn)量的影響，若從該地區(qū)隨機(jī)抽取3塊試驗(yàn)田，記“優(yōu)等田”的塊數(shù)為，求的分布列和期望．解：（1）若將畝產(chǎn)量不少于的試驗(yàn)田記為“優(yōu)等田”，易知10塊試驗(yàn)田中，“優(yōu)等田”有4個(gè)，所以從這10塊試驗(yàn)田中任選3塊田，恰有1塊是“優(yōu)等田”的概率為；（2）易知從這10塊試驗(yàn)田中人選1塊田，恰好是“優(yōu)等田”的概率為，因?yàn)榈乃锌赡苋≈禐?，1，2，3，所以，此時(shí)，，，，則的分布列為：0123故．17．（15分）已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1，過軸下方的一動(dòng)點(diǎn)作拋物線的兩切線，切點(diǎn)分別為，，且直線剛好與圓相切．設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，過點(diǎn)的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)．（1）求拋物線的方程；（2）求點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)曲線與軸交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．解：（1）因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為1可得，故拋物線的方程為；（2）設(shè)，，，，，，所以直線，即，同理可得，設(shè)，，則，且，故，，，在直線上，即直線方程為，由于直線與圓相切，故，即，化簡(jiǎn)可得，故點(diǎn)的軌跡方程；（3）證明：由題意可知，，設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立方程，化簡(jiǎn)可得，則，故，由于直線與雙曲線的下支相交于，兩點(diǎn)，故，即，解得，，故為定值．18．（17分）如圖，在平面四邊形中，△為等腰直角三角形，△為正三角形，，，現(xiàn)將△沿翻折至△，形成三棱錐，其中為動(dòng)點(diǎn)．（1）證明：；（2）若，三棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，求球心到平面的