第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（5月份）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，1，2，3，，，則A．，1， B．， C．，2， D．2．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的虛部為A． B． C． D．3．已知圓的一般方程為，則圓的圓心坐標(biāo)為A． B． C． D．4．已知是公差為1的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若，則A．1 B．2 C． D．5．如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則經(jīng)過(guò)3次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于1處的概率為A． B． C． D．6．下列頻率分布直方圖中，平均數(shù)大于中位數(shù)的是A． B． C． D．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則A． B． C． D．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且與的一條漸近線平行的直線交于點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為A．3 B． C．2 D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)該圖抽象得到的正八邊形，其中，為正八邊形的中心，則A． B． C． D．（多選）10．（6分）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則A．既有最小項(xiàng)，也有最大項(xiàng) B．使的的值共有5個(gè) C．滿足的的值共有5個(gè) D．使取得最小值的的值為4（多選）11．（6分）如圖（1），在長(zhǎng)方形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，分別交于點(diǎn)，，將△沿直線折起到△的位置，如圖（2），則下列說(shuō)法正確的是A．在翻折的過(guò)程中，恒有平面 B．若為直線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離為 C．當(dāng)二面角的大小為時(shí)， D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐外接球的表面積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)（1），則曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為．14．已知函數(shù)滿足，且在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）記△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（Ⅰ）證明：，，成等差數(shù)列；（Ⅱ）求的最大值．16．（15分）如圖，在四棱錐中，，，，為棱的中點(diǎn)，且．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）證明：平面；（Ⅲ）若，，且二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．17．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．18．（17分）某學(xué)校有，，三個(gè)學(xué)生餐廳，高一新生王同學(xué)在開學(xué)第一天隨機(jī)選擇一個(gè)餐廳就餐，若前一天在餐廳就餐，則當(dāng)天還在餐廳就餐的概率為，若前一天在餐廳就餐，則當(dāng)天在餐廳就餐的概率為，若前一天在餐廳就餐，則當(dāng)天在餐廳就餐的概率為．（Ⅰ）求王同學(xué)第二天在餐廳就餐的概率；（Ⅱ）求王同學(xué)第天在餐廳就餐的概率；（Ⅲ）以王同學(xué)在，，餐廳就餐的概率估計(jì)高一新生在，，餐廳就餐的概率，若餐廳當(dāng)天就餐人數(shù)比前一天就餐人數(shù)增加的比例不超過(guò)5‰，則稱就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定，試判斷餐廳從第幾天開始就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定．19．（17分）已知橢圓的離心率為為上一點(diǎn)．（Ⅰ）求的方程．（Ⅱ）過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，記△為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為，過(guò)線段的中點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，設(shè)直線，的斜率分別為，．求的取值范圍；求證：為定值．

2025年山西省晉中市高考數(shù)學(xué)適應(yīng)性試卷（5月份）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案BDCABDCB二．多選題（共3小題）題號(hào)91011答案ACDADABD一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，1，2，3，，，則A．，1， B．， C．，2， D．解：因?yàn)榧?，?，2，3，，所以，．故選：．2．已知復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位），則的虛部為A． B． C． D．解：由，得，則的虛部為．故選：．3．已知圓的一般方程為，則圓的圓心坐標(biāo)為A． B． C． D．解：將圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，所以圓的圓心為，半徑．故選：．4．已知是公差為1的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若，則A．1 B．2 C． D．解：因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，，所以，所以，即，所以．故選：．5．如圖所示，已知一質(zhì)點(diǎn)在外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每次向左移動(dòng)的概率為，向右移動(dòng)的概率為，若該質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，則經(jīng)過(guò)3次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于1處的概率為A． B． C． D．解：質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，移動(dòng)到1處時(shí)，向左移動(dòng)了一次，向右移動(dòng)了兩次，記向左移動(dòng)的次數(shù)為，則，即經(jīng)過(guò)3次移動(dòng)后，該質(zhì)點(diǎn)位于1處的概率為．故選：．6．下列頻率分布直方圖中，平均數(shù)大于中位數(shù)的是A． B． C． D．解：對(duì)，，由圖形的對(duì)稱性，易得平均數(shù)等于中位數(shù)，所以，選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)，因?yàn)轭l率分布直方圖向左拖尾，所以平均數(shù)小于中位數(shù)，所以錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)轭l率分布直方圖向右拖尾，所以平均數(shù)大于中位數(shù)，所以正確．故選：．7．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則A． B． C． D．解：根據(jù)題意，定義在上的奇函數(shù)滿足，則有，變形可得，則有，故是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則．故選：．8．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)且與的一條漸近線平行的直線交于點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)），則的離心率為A．3 B． C．2 D．解：設(shè)的半焦距為，過(guò)點(diǎn)且與的一條漸近線平行的直線交于點(diǎn)，由，可知△為直角三角形，因?yàn)樗谥本€與平行，為銳角，所以，即，又，聯(lián)立解得，又，則，所以，，又由雙曲線的定義可得，則，所以，，則的離心率．故選：．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）《易經(jīng)》是中華民族智慧的結(jié)晶，易有太極，太極生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦．如圖所示是八卦模型圖以及根據(jù)該圖抽象得到的正八邊形，其中，為正八邊形的中心，則A． B． C． D．解：正八邊形，其中，為正八邊形的中心，對(duì)于選項(xiàng)，根據(jù)相反向量和平面向量減法法則可得，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，如圖，連接交于點(diǎn)，可知為的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)向量可得，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，在△中，易知，且，所以，，由二倍角公式可得，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，連接，則，所以，故選項(xiàng)正確．故選：．（多選）10．（6分）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則A．既有最小項(xiàng)，也有最大項(xiàng) B．使的的值共有5個(gè) C．滿足的的值共有5個(gè) D．使取得最小值的的值為4解：根據(jù)題目：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，令，易知在，上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，又由，知，，對(duì)于，由上述分析知數(shù)列有最小項(xiàng)，且有最大項(xiàng)，故正確；對(duì)于，由，知，又，所以或或或，所以使的的值共有4個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，要使，又，所以，，中有1個(gè)負(fù)數(shù)或3個(gè)負(fù)數(shù)，所以或或，故滿足的的值共有3個(gè)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故正確．故選：．（多選）11．（6分）如圖（1），在長(zhǎng)方形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，連接，，分別交于點(diǎn)，，將△沿直線折起到△的位置，如圖（2），則下列說(shuō)法正確的是A．在翻折的過(guò)程中，恒有平面 B．若為直線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最短距離為 C．當(dāng)二面角的大小為時(shí)， D．當(dāng)平面平面時(shí)，三棱錐外接球的表面積為解：在長(zhǎng)方形中，，，，分別為，的中點(diǎn)，計(jì)算可得，，易知△△，又，所以，則，，所以，所以，同理可得．對(duì)于選項(xiàng)，由上述過(guò)程可知在翻折的過(guò)程中，，而，因?yàn)?，，平面，所以平面，故選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，與同理可得平面，因?yàn)槠矫?，所以，由平面，平面，可得，所以為，的公垂線段，所以點(diǎn)到直線的最短距離為，而，故選項(xiàng)正確；對(duì)于，因?yàn)槎娼堑拇笮?，則，又因?yàn)?，所以，所以，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椤骱汀鞫际侵苯侨切?，且為公共邊，所以的中點(diǎn)為其所在三角形的外心，同時(shí)也是三棱錐外接球的球心，所以外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積，故選項(xiàng)正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若函數(shù)（1），則曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為．解：因?yàn)椋?），所以（1），所以（1）（1），所以（1），所以，所以（1），所以所求切線方程為，即．故答案為：．13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為10．解：因?yàn)?，又的展開式的通項(xiàng)為，則的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．故答案為：10．14．已知函數(shù)滿足，且在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，則．解：由題意函數(shù)滿足，且在上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知，所以，即，解得．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）記△的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知．（Ⅰ）證明：，，成等差數(shù)列；（Ⅱ）求的最大值．解：（Ⅰ）證明：由題意可得，整理得，①因?yàn)?，所以，②將②代入①，得，所以，故，，成等差?shù)列，得證；（Ⅱ）由題意，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由，可得，所以的最大值為．16．（15分）如圖，在四棱錐中，，，，為棱的中點(diǎn)，且．（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）證明：平面；（Ⅲ）若，，且二面角的余弦值為，求的長(zhǎng)．解：（Ⅰ）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，則，，又，，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；（Ⅱ）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，，且、平面，所以平面；?）由，，可知，所以．故，，兩兩垂直，所以可以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，1，，，0，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，則，即，令，得，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，則，即，令，得，，所以，設(shè)二面角的大小為（由題可知為銳角），則，解得，所以的長(zhǎng)為1．17．（15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）討論的單調(diào)性；（Ⅱ）若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）的定義域?yàn)?，又?dǎo)函數(shù)，令，得，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）根據(jù)對(duì)任意恒成立，得對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立．令函數(shù)，那么有，顯然函數(shù)為增函數(shù)，可得，那么，因此．根據(jù)第一問(wèn)可知（1），因此，所以，．18．（17分）某學(xué)校有，，三個(gè)學(xué)生餐廳，高一新生王同學(xué)在開學(xué)第一天隨機(jī)選擇一個(gè)餐廳就餐，若前一天在餐廳就餐，則當(dāng)天還在餐廳就餐的概率為，若前一天在餐廳就餐，則當(dāng)天在餐廳就餐的概率為，若前一天在餐廳就餐，則當(dāng)天在餐廳就餐的概率為．（Ⅰ）求王同學(xué)第二天在餐廳就餐的概率；（Ⅱ）求王同學(xué)第天在餐廳就餐的概率；（Ⅲ）以王同學(xué)在，，餐廳就餐的概率估計(jì)高一新生在，，餐廳就餐的概率，若餐廳當(dāng)天就餐人數(shù)比前一天就餐人數(shù)增加的比例不超過(guò)5‰，則稱就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定，試判斷餐廳從第幾天開始就餐人數(shù)趨于穩(wěn)定．解：（Ⅰ）記第天去，，餐廳就餐的概率分別為，，，，由全概率公式可得：，所以王同學(xué)第二天在餐廳就的概率為．（Ⅱ）由題可知，當(dāng)時(shí)，，所以，又，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以王同學(xué)第天在餐廳就餐的概率為．（Ⅲ）由（Ⅱ）的計(jì)算可知，，，，，，，，，所以餐廳從第5天開始就餐人