《勾股定理》綜合練習(xí)題

一.選擇題（共10小題）

1.（2021春?海淀區(qū)校級期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是

歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不

能證明勾股定理的是（）

2.（2020秋?惠來縣期末）如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影

部分面積是（）

A.16B.25C.144D.169

3.（2021?海曙區(qū)模擬）如圖，在RlZXABC中，ZBAC=90°,以其三邊為邊分別向外作正

方形，延長EC,分別交GF,AH于點(diǎn)N,K,連接KN交AG于點(diǎn)若Si-Sz=2,

AC=4,則AB的長為（）

A.2c.2V2D-i

4.（2020秋?南沙區(qū)期末）如圖，在等腰△ABC和等腰A/WE中,ZA?C=120°,AB=BC

=BE=2,。為AE的中點(diǎn)，則線段CD的最小值為｛）

E

A.2B.V7~1C.2V3-1D.VS-1

5.（2019春?壽縣期末）在8c中，A4=BC=2,。是線段A8的中點(diǎn)，。是射線C。上

的一個動點(diǎn)，NAOC=60°,則當(dāng)△租4為直角三角形時，AP的長為（）

A.1,近，7B.1,加，41C.1,愿，41D.1,3,41

6.（2019?濱湖區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為3〃

-1>-^-in--）（其中為實(shí)數(shù)），當(dāng)PM的長最小時，"7的值為（）

44

A.-衛(wèi)B.-工C.3D.4

55

7.（2018秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)。在線段4B上，40=2,OB=1,OC為射線，旦

ZBOC=60°,動點(diǎn)。以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)0出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動,

設(shè)運(yùn)動時間為，秒.當(dāng)△48P是直角三角形時，，的值為（）

8.（2015春?蒼溪縣期末）在△A8C中，AB=AC=\0,BO是AC邊上的高，DC=2,則8。

C.6D.8

9.（2020?宿遷一模）如圖，在RtZXA8c中，ZC=90°,NA=30°,點(diǎn)&”在斜邊A8

上，且滿足AE=Er=FB=2,點(diǎn)尸在直角邊上，且滿足PE+PF=5,則這樣的P點(diǎn)個數(shù)

有（）

A.1B.2C.3D.4

10.（2020春?和平區(qū)校級月考）如圖，在△￡>￡/中，ZD=90°,DGtGE=\：3,GE=

GF,Q是EF上一動點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QMLDE于M,QN工GF于N,EF=4&,則QM+QN

的長是（）

11.（2021?嘉興二模）己如，如圖，△A8C中，ZB=30°,BC=6,AB=7,。是5C上一

點(diǎn)，BD=4,￡為44邊上一動點(diǎn)，以￡>￡為邊向右側(cè)作等邊三角形△。石廠.

（1）當(dāng)尸在A8上時，BF長為：

（2）連結(jié)CK則的取值范圍為.

12.（2020秋?常州期末）如圖,RtAABC中,ZBAC=90°,分別以△ABC的三條邊為直

角邊作三個等腰直角三角形：△AB。、△ACE、ABCF,若圖中陰影部分的面積Si=6.5,

52=3.5,53=5.5,則S4=.

=6,則Si+S5=.（注：圖中所示面積S表示相應(yīng)封閉區(qū)域的面積，如S3表示△43C

的面積）

18.（2019?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系宜萬中，在直線x=l處放置反光鏡I,在

y軸處放置一個有缺口的擋板1【，缺口為線段48,其中點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)8在點(diǎn)A上方,

且48=1,在直線x=-I處放置一個擋板HI,從點(diǎn)0發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡【反射后，通

過缺口人8照射在擋板山上，則落在擋板m上的光線的長度為.

V

擋板in

擋板n

ox

x=-lX=1

19.（2019春?內(nèi)黃縣期末）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較

長直角邊的中點(diǎn)作垂線，圍成面積為4的小正方形EFG”.已知AM為較長直

角邊，AM=2&ER則正方形的面積為.

20.如圖，在四邊形人8CD中，AC=BDfAC1.BD,NBAQ=105",4。=4的，C'O=13,

三.解答題（共10小題）

21.（2021春?江津區(qū)校級月考）勾股定理是一個基本的幾何定理，早在我國西漢時明《周

牌算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載.如果個直角三角形三邊長都是正整數(shù)，這樣的

直角三角形叫“正整數(shù)直角三角形”，這三個正整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”，如：3,4,5；

5,12,13；7,24,25等都是勾股數(shù).

（1）小歡在研究勾股數(shù)時發(fā)現(xiàn)，某些正整數(shù)直角三角形的斜邊能寫成兩個整數(shù)的平方和，

有一條直角邊能寫成這兩個整數(shù)的平方差，我們這樣的勾股數(shù)叫做完美勾股數(shù).如3,4,

5中，5=22+12,3=22-I2；5,12,13中，13=32+22,5=32-22.判斷8,15,17和

9,40,41這兩組勾股數(shù)是不是完美勾股數(shù)，并說明理由；

（2）有一個直角三角形兩直角邊長分別為丫7a-7和J150-30b，斜邊長為公國，且a

和〃均為正整數(shù)，用含〃的代數(shù)式表示小并求出〃和人的值.

22.（2021春?亭湖區(qū)校級期中）【知識生成】通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探

求相應(yīng)的等式，兩個邊長分別為小沙的直角三角形和一個兩條直角邊都是c?的直角三角

形拼成如圖所示的梯形，請用兩種方法計算梯形面積.

（1）方法一可表示為；

方法二可表示為；

（2）根據(jù)方法一和方法二，你能得出小兒c之間的數(shù)量關(guān)系是（等

式的兩邊需寫成最簡形式）；

（3）由上可知，一直角三角形的兩條直角邊長為6和8,則其斜邊長

為.

【知識遷移】通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應(yīng)的等式.如圖2

是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊.

（4）用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以

為.（等號兩邊需化為最簡形式）

3

（5）已知2m-n=4,mn=2t利用上面的規(guī)律求8/M-/的值.

23.（2021春?涪城區(qū)校級期中）如圖,有一直立標(biāo)桿，它的上部被風(fēng)從B處吹折，桿頂C

著地，離桿腳2〃?，修好后又被風(fēng)吹折，因新斷處。比前一次低0.5〃?，故桿頂￡著地比

前次遠(yuǎn)\m,求原標(biāo)桿的高度.

24.（2021春?中原區(qū)校級期中）如圖，三角形A'B'C是由三角形A8C經(jīng)過某種平移得

到的，點(diǎn)A與點(diǎn)A',點(diǎn)8與點(diǎn)8,點(diǎn)。與點(diǎn)C'分別對應(yīng)，且這六個點(diǎn)都在格點(diǎn)上,

請解答卜列問題:

（I）分別寫出點(diǎn)8和點(diǎn)用的坐標(biāo)，并說明三角形4'B'C是由三角形A8C經(jīng)過怎樣的

平移得到的.

（2）連接直接寫出NCBC'與NB'CO之間的數(shù)量關(guān)系;

（3）若點(diǎn)M（〃-1,2b-5）是三角形4BC內(nèi)一點(diǎn)，它隨三角形A8C按（1）中方式平

4?5）.求〃和b的值.

25.（2021春?武漢期中）如圖，在四邊形ABCO中，N8=90°,AB=BC=2,AD=a,

CD=V10.求:

（1）/D4B的度數(shù).

（2）連接BD,求B。的長.

26.（2021春?江西月考）某中學(xué)有一塊如圖所示的四邊形空地A8CD,學(xué)校為了綠化環(huán)境，

計劃在空地上種植花草，經(jīng)測量NA6C=90°,AB=20米，8c=15米，CO=7米，AD

=24米.求四邊形空地A8CQ的面積.

27.（2020秋?沙坪壩區(qū)期末）如圖是某“飛越叢林”俱樂部新近打造的一款兒童游戲項(xiàng)目，

工作人員告訴小敏，該項(xiàng)目A3段和BC段均由不銹鋼管材打造，總長度為26米，長方

形CQE尸為一木質(zhì)平臺的主視圖.小敏經(jīng)過現(xiàn)場測量得知：。。=1米，AO=15米，于

是小敏大膽猜想立柱A8段的長為10米，請判斷小敏的猜想是否正確？如果正確，請寫

出理由，如果錯誤，請求出立柱44段的正確長度.

28.（2020秋?邛峻市期末）在△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b.如圖1,若/C=90。時,

根據(jù)勾股定理有a2+b2=c2.

（1）如圖2,當(dāng)△A8C為銳角三角形時，類比勾股定理，判斷/+戶與。2的大小關(guān)系，

并證明；

（2）如圖3,當(dāng)為鈍角三角形時，類比勾股定理，判斷/+/與J的大小關(guān)系，

并證明：

（3）如圖4,一塊四邊形的試驗(yàn)田ABCD,已知NB=90°,4B=80米，BC=60米,

CO=90米，AO=UO米，求這塊試驗(yàn)田的面積.

圖1圖2圖3圖4

29.（2021春?茂南區(qū)校級月考）用四個完全相同的直角三角形（如圖1）拼成一大一小兩個

正方形（如圖2）,直角三角形的兩直角邊分別是。、b斜邊長為cc加，請解答:

（1）圖2中間小正方形的周長,大正方形的邊長為.

（2）用兩種方法表示圖2正方形的面積.（用含小b,c）

9S=；

②S=;

（3）利用（2）小題的結(jié)果寫出a、b、c三者之間的一個等式.

（4）根據(jù)第（3）小題的結(jié)果，解決下面的問題：

已知直角三角形的兩條腿直角邊長分為是。=8,〃=6,求斜邊c的值.

圖1圖2

30.（2021春?越秀區(qū)校級期中）如圖1,正方形紙片ABCD的邊長為4,點(diǎn)E、F、M、N

分別是正方形紙片四條邊上的點(diǎn)，且AE=BF=CM=DM

（1）求證：四邊形EFMN是正方形；

（2）把圖1的四個直角三角形剪下來，拼成如圖2所示的“趙爽弦圖”（由四個全等的

直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形）.若EN=4,求中間小正方形的

面積.

圖1圖2

參考答案

一.選擇題(共10小題)

1.(2021春?海淀區(qū)校級期中)勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，這是

歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端.下面四幅圖中，不

【考點(diǎn)】勾股定理的證明.

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可.

【解答】解：A、*.*^ah+-^-c2+-^cib=—(a+b)(a+b),

2222

???整理得：J+廬=。2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

B、V4xX/Z?+?=(〃+〃)2,

2

???整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、?.?4XL)+(b-a)2=d,

2

???整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意；

。、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個部分的面積列出等式是解此題

的關(guān)鍵.

2.(2020秋?惠來縣期木)如圖，由兩個直角三角形和三個大正方形組成的圖形，其中陰影

部分面積是()

A.16B.25C.144D.169

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀.

【分析】根據(jù)勾股定理解答即可.

：,EF=AB=5,

???陰影部分面積是25,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)如果直角三角形的兩條直角邊長分別是小b,

斜邊長為c,那么廿+力2=c,2解答.

3.（2021?海曙區(qū)模擬）如圖，在RtAA3c中，N/MC=90°,以其三邊為邊分別向外作正

方形，延長EC,分別交GRA”于點(diǎn)MK,連接KN交AG于點(diǎn)M,若Si?Sz=2,

AC=4,則AB的長為（）

A.2B.V2C.2V2D.-Z.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】創(chuàng)新題型；解題方法；幾何直觀；推理能力；應(yīng)用意識.

【分析】根據(jù)圖形條件，（1）可以得到“K”型△A8C與△FNC全等，得到N尸=A5=x；

（2）連接GK,可以發(fā)現(xiàn)△GNK的面積=GNXAG+2=2GN,同理△KAG的面積=2AK,

利用條件S-S2=2,得至IJGN-4K=1；（3）注意在Z\K8c中，有射影定埋4H2=4。乂

AK.這樣可以得到方程，求解問題.

【解答】解：(1)如圖，根據(jù)條件得到“K”型得到NF=A8=x.

(2)連接GK,可以發(fā)現(xiàn)△GNK的面積=GNXAG+2=2GN,同理△K4G的面積=2AK.

利用條件SI?S2=2,得至l」GN-AK=l,即〃-加=1,又因?yàn)椤?x=4,所以m=3r.

(3)在△KBC中，有射影定理A82=ACXAK.

這樣可以得到方程：，=4X(3-x),解得x=2,即48=2.

故選：4.

【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形，一元二次方程，是一個綜合型問題.該題知識點(diǎn)考查

了基本圖形：K型全等，母子三角形等中常見的思路與結(jié)論，建立一元二次方程，求解.

4.(2020秋?南沙區(qū)期末)如圖，在等腰△48C和等腰AA8E中，N48C=120°,AB=BC

=BE=2,。為AE的中點(diǎn)，則線段CO的最小值為()

A.2B.V7-1C.2代?1D.V6-1

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；推理能力.

【分析】取A8的中點(diǎn)G,連接。G,CG,過。作CH_LA8于點(diǎn)從根據(jù)三角形中位線

的性質(zhì)和勾股定理解答即可.

【解答】解：取A4的中點(diǎn)G,連接。G,CG,過C作C〃_L4/3于點(diǎn)從

c

???。是AE的中點(diǎn)，G是A6的中點(diǎn)，

???QG是a/W七的中位線，

：.DG=LBE,

2

'：AB=BC=BE=2,

：,DG=\,BG=1,

VZABC=\20°,

，NC8H=180°-120°=60°,

'CCHLBH,

???NC”B=90°,ZBOT=90°-60°=30°,

：.BH=^BC=\,

2

,C7/=7BC^W=V4ZI=V3,

:?HG=BG+BH=\+\=2,

在對△CTG中，CG二/?2+,2=歷=干，

VCG-DGWCDMDG+CG,

:.中CD<V7+］，

當(dāng)且僅當(dāng)。，G,C三點(diǎn)共線時，CD最短為W-l,

故選：B.

【點(diǎn)評】此題考查勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理和勾股定理解答.

5.（2019春?壽縣期末）在△ABC中，AB=BC=2,O是線段AB的中點(diǎn)，尸是射線CO上

的一個動點(diǎn)，N4OC=60°,則當(dāng)△BAB為直角三角形時，4尸的長為（）

A.1,近，7B.1,加，V7C.1,M，V7D.1,3,V7

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)：勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形.

【分析】分三種情況討論：①當(dāng)NAPB=90°,點(diǎn)尸在C。的延長線上時，利用直角三

角形斜邊的中線等于斜邊的一半得出PO=B。，易得△BOP為等邊三角形，利用銳角三

角函數(shù)可得AP的長；易得BP,利用勾股定理可得4P的長：②當(dāng)NA8P=90°,點(diǎn)P

在CO的延長線上時，由對頂角的性質(zhì)可得NAOC=/8OP=60°,易得N8PO=30°,

易得的長，利用勾股定理可得AP的長；③當(dāng)NAP8=90",點(diǎn)。在CO上時，利用

直角三角形斜邊的中線等手斜邊的一半可得結(jié)論.

【解答】解：如圖1,當(dāng)NAP8=90°時，

*：AO=BO,

:,PO=BO,

VZAOC=60°,

：.ZBOP=60°,

:.4BOP為等功三角形，

?：AB=BC=2,

?"P=AB?sin60°=2><退=第；

2

如圖2,當(dāng)NA8P=90°時，

VZAOC=ZBOP=6(JQ,

，N8PO=30°,

:.BP=―^_=-^=-=^3，

tan30時

~3~

在直角三角形43。中，

—正+小產(chǎn)儲；

如圖3,???A0=80,NAP8=90°,

/.PO=AO,

VZA0C=60°,

???△A。尸為等邊三角形，

：,AP=AO=\,

故選：C.

G

【點(diǎn)評】本題主要考杳了勾股定理，含30°直角三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線,

運(yùn)用分類討論，數(shù)形結(jié)合思想是解答此題的關(guān)鍵.

6.（2019?濱湖區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的2標(biāo)為（0,2）,點(diǎn)M的坐標(biāo)為（機(jī)

-1,9）（其中用為實(shí)數(shù)），當(dāng)PM的長最小時，小的值為（）

44

A.-KB.-工C.3D.4

55

【考點(diǎn)】兩點(diǎn)間的距離公式；勾股定理.

【專題】平面直角坐標(biāo)系.

【分析】由兩點(diǎn)間的距離公式可得出外射關(guān)于6的二次函數(shù)關(guān)系式，利用配方法結(jié)合二

次函數(shù)的性質(zhì)即可得出當(dāng)PM取最小值時m的值.

【解答】解：由兩點(diǎn)間的距離公式可知：尸序=（5?]）2+（■2〃]-9-2）2=&.（川+工）

44165

2+16,

???空＞0,

16

工當(dāng)〃?=-1時，PM?最小.

5

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了兩點(diǎn)間的距離公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出冏/關(guān)

于〃?的二次函數(shù)關(guān)系式.

7.（2018秋?惠山區(qū)校級月考）如圖，點(diǎn)O在線段上，AO=2,OB=\,OC為射線，且

//3。。=60。，動點(diǎn)P以每秒2個單位長度的速度從點(diǎn)。出發(fā)，沿射線OC做勻速運(yùn)動,

設(shè)運(yùn)動時間為/秒.當(dāng)AABP是直角三角形時，/的值為（）

A.-LB.里龍C.1或T心D.1或把區(qū)

8888

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】常規(guī)題型.

【分析】根據(jù)題意分三種情況考慮：當(dāng)NA=90。；當(dāng)NB=90°；當(dāng)NAP8=90°,根

據(jù)為直角三角形，分別求出/的值即可.

【解答】解：分三種情況考慮：

當(dāng)NA=90°,即△A8P為直角三角形時，

ZBOC>ZA,且/BOC=60°,

???NAH900,故此情況不存在；

當(dāng)N8=90°,即△A3。為直角三角形時，如圖所示：

/.ZBPO=30°,

???00=208=2,

0P=2t,

：?t—1；

/.0D=0P?cosZBOC=t,PD=OP?sinZBOC=0

：,AD=AO+OD=2+t,BD=OB-OD=\-t,即4B=3,

在長△A8P中，根據(jù)勾股定理得：AP2+BPZ=AB2,即（2+/）2+（迎）2+（?）2+（j

-/）2=32,

解得：二一1六房或-1一信（負(fù)值舍去）,

88

綜上，當(dāng)，=1或時，ZXAB尸是直角三角形.

8

故選：C.

【點(diǎn)評】此題考查了勾股定理的運(yùn)用，利用了分類討論的思想，熟練掌握勾股定理是解

本題的關(guān)鍵.

8.（2015春?蒼溪縣期末）在△A8C中，AB=AC=\0,8。是AC邊上的高，。。=2,則

【考點(diǎn)】等腰三角形論性質(zhì)；勾股定理.

【分析】求出4。，在RtZXBDA中，根據(jù)勾股定理求出8。即可.

【解答】解：VAB=AC=10,CD=2,

**?AD=10-2=8,

???是AC邊上的高，

.??N8D4=90°,

rh勾股定理得：BD=，AB2-AD2=yj102-82=6?

故選：c.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生能否正確運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計算，

注意：在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

9.（2020?宿遷一模）如圖，在RtZ\A3C中，ZC=90°,NA=30°，點(diǎn)、E,尸在斜邊A3

上，且滿足八七=￡尸=/必=2，點(diǎn)夕在直角邊上，且滿足PE+PP=5,則這樣的。點(diǎn)個數(shù)

有（）

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)】含30度角的直角三角形：勾股定理.

【專題】數(shù)形結(jié)合；分類討論；等腰三角形與直角三角形；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；運(yùn)算能

力；推理能力.

【分析】分為兩種情況：①當(dāng)。在線段4C上時，②當(dāng)P在BC上時，分別求出PE或

PF的值，再根據(jù)/=2判斷即可.

【解答】解：分為兩種情況：①當(dāng)P在線段AC上時，作E關(guān)于AC的對稱點(diǎn)&,連接

石E交4C于點(diǎn)O,

則ACLEE,

連接Eb交AC丁尸，過￡作E〃_LA5TH,

■:E,E關(guān)于AC對稱,

???PE=PE,

???PE+PF=PE+PF,

???兩點(diǎn)之間，線段最短，

：.PE+PF的最小值為線段EF的長度，

\'AE=2,NA=3U°,DE±AC,

：.DE=\,ZAED=60°，

???EE=DE+DE=2DE=2,

;EH工AB,

；?HE=1,HE=M，

V￡F=2,

：,HF=HE+EF=\+2=3,

???EF=正\+取2=V(V3)2+32=2V§<5'

當(dāng)P在點(diǎn)A處時，PE^PF=AE+AF=AE+AE+EF=2-^2+2=()>5t

當(dāng)P在點(diǎn)C處時，連接AE,CF,過C作CMJ_AB于M,

VZC=90°,N4=30°,AB=AE+EF+FB=6,

???8C=3,AC=3^：CMYAB,

，NAMC=90°,

:,CM=A/W=—,

2

：,FM=AM-AF=AM-(AE+EF)=上，EM=AM-AE=^--9~,

222

在RLACM/7中，CM=-|^,MF=^/CMr=90°,

?"尸=也［2+叱2=有,

在RtZ\C￡M中，CM=我，EM=$,ZCME=90°,

2

/-Cfc=7cM2+EM2=V13,

當(dāng)P在C處時，PE+PF=CE+CF=V13W7〉5,

，當(dāng)P在AC邊上時，存在兩個點(diǎn)P使尸E+P/=5,

②當(dāng)夕在BC邊上時，作尸關(guān)于4C的對稱點(diǎn)"，連接W,交4C于點(diǎn)G,則3CJ_”尸,

過尸作/ML/IB,交48的延長線于點(diǎn)M連接尸石，交.BC于P,連接。尸，如圖：

F

???F與尸關(guān)于水?對稱，

:?PF=PF,

:?PE+PF=PE+PF,

；?PE+PF的最小值為線段E尸的長度.

VZC=90°,NA=30°,

???NB=60°,

又?：FFLBC,

.,.ZGF^=30°,

?：BF=2,

?,?尸G=近，

.?.FF=FG+GF=2FG=2近,

又?：FNLAB,

N=M，F(xiàn)N=3,

又,：EF=2,

：.EN=EF+FN=2+3=5,

：?￡^=VEN2+FZN2=20>5，

，當(dāng)P在BC邊上時，不存在PE+P尸=5,

綜上所述，點(diǎn)P在直角邊上，且滿足PE+P尸=5,則這樣的P點(diǎn)個數(shù)有兩個.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、含30°的直角三角形的性質(zhì)及軸對稱等知識點(diǎn)，數(shù)形結(jié)

合、分類討論及熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

10.（2020春?和平區(qū)校級月考）如圖，在△￡>￡“中，ZD=90°,DG：GE=\：3,GE=

GF,Q是E尸上一動點(diǎn)，過點(diǎn)。作QMJ_OE于M,QN工GF于N,EF=4&,則QM+QN

的長是（）

D

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】連接QG.解直角三角形求出。F,再證明QW+QN=OF,即可解決問題.

【解答】解：連接QG

?:DG：GE=1：3,

,可以假設(shè)。G=A,EG=3k,

?：GF=EG,ZD=90°,

:?FG=3k，。尸二炮^^口揚(yáng)

?；EF=W3,EF2=DE2+DF2,

，48=16F+8F,

；?k=&或（舍棄），

ADF=4,

S&EFG=L?EG?DF=A*EG?QM+2?GF*QN,

222

:.QM+QN=DF=4,

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是

學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方桂解決問題，屬于中考?？碱}型.

二.填空題（共10小題）

11.（2021?嘉興二模）己知，如圖，△ABC中，N3=30°,8C=6,AB=7,。是8c上一

點(diǎn)，BD=4,E為84邊上一動點(diǎn)，以O(shè)E為邊向右側(cè)作等邊三角形△。七立

(1)當(dāng)戶在人B上時，長為__1A/t；

(2)連結(jié)C3則C尸的取值范圍為TWCFW2\H.

【考點(diǎn)】垂線段最短；等邊三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】幾何綜合題；運(yùn)算能力；推理能力.

【分析】(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在上時，根據(jù)△￡>￡尸為等邊三角形，可證明NFOB=90°,

再利用坨=cos/B,即可求出答案；

BF

(2)分別求出點(diǎn)E在AB邊上運(yùn)動時，C尸的最大值和最小值，①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時?,

如圖2,連接C凡過點(diǎn)F作FHL3C于點(diǎn)H,可求出此時C”最大；②當(dāng)點(diǎn)

E在84邊上時，以CQ為邊在△ABC內(nèi)部作等邊三角形CQG,延長CG交4B于點(diǎn)E,

此時C77最短，如圖3,先證明△OEG竺△￡)■7(SAS),根據(jù)C/=EG=CE-CG,即可

求出CF的最小值，從而得出答案.

【解答】解：(1)如圖I,當(dāng)點(diǎn)尸在人8上時，

???△。石〃為等邊三角形，

；?NAED=NEFD=NEDF=60°,

???NB=30°,

/.ZFDB=1800-Z5-ZEFD=180°?30°-60c=900,

??@=cosNB,

BF

：.BF=即=4二阻

CQS/BCOS303

故答案為：色巨；

3

(2)①當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)8重合時，如圖2,連接C凡過點(diǎn)尸作于點(diǎn)從

???△OE/為等邊三角形，

：,DF=BD=4,NBDF=60°,BH=DH=2,

：.FH=DF*sinZBDF=4*sin600=2的，

:.CH=BC-BH=6-2=4,

ACF=22=2

VCH+FH74+(2A/3)2=2V??此時C尸最大；

②當(dāng)點(diǎn)E在BA邊上時，以CD為邊在△AEC內(nèi)部作等邊三角形CDG,

延長CG交4B于點(diǎn)E,此時C77最短，如圖3,

???△CQG和△￡)￡￡均為等邊三角形，

???/EO/=NCOG=60°,DE=DF,DG=DC,

AZZEDF-ZFDG=ZCDG-乙FDG,

即NEDG=NFDC,

:ADEGqADFC(SAS'),

:.CF=EG,

???當(dāng)EGLAB時,EG最小，

J此時，C尸最小,

???NB=3OU,NOCG=6(T,

???此時，C,E,G三點(diǎn)共線,

在中，C￡=23C=3,

2

?:CG=CD=2,

：.EG=CE-CG=l,

???C尸的最小值為1,

綜上所述，C尸的取值范圍為：1或。尸《2狼,

故答案為：1WC尸這2\弓：

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形判定和性質(zhì)，特殊角三角函數(shù)值，等邊三角形性質(zhì)，勾

股定理等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵.

12.（2020秋?常州期末）如圖，RtAABC+?ZBAC=90°,分別以△ABC的三條邊為直

角邊作三個等腰直角三角形：△ABD、△ACE、ABCF,若圖中陰影部分的面積5i=6.5,

【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力.

【分析】設(shè)A8=8O=a,AC=CE=h,BC=CF=c,SaABG=m,S^ACH=n,由《尸+〃2=

C2,可得S^,ABD+S^ACE=S&BCF，由此構(gòu)建關(guān)系式，可得結(jié)論.

【解答】解：?「△4BQ、XACE、ABC/均是等腰直角三角形，

：.AB=BD,AC=CE,BC=CF,

設(shè)A8=8O=a,AC=CE=b?BC=CF=c,S&ABG="?，S.ACH=n，

*.*a2+b2=c2,

:.S^ABD+S^ACE=SABCF,

Si+"1+〃+S4=S2+S3+用+〃，

.*.54=3.5+5.5-6.5=2,5

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理在幾何計算中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用

所學(xué)知識解決問題.

13.(2020秋?香坊區(qū)期末)如圖，四邊形ABC。中，對角線AC_L8。，點(diǎn)F為上一點(diǎn),

連接AF交BD于點(diǎn)、E,AF1A8,DE=DF,ZBAG=ZABC=45<},BC+AG=2(yfi,

AE=2EF,則4尸=12.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】推理填空題；數(shù)形結(jié)合；圖形的全等：等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力；

椎理能力.

【分析】延長人人BC,交于點(diǎn)H,先證明為等腰直角三角形，再判定△八BGg

AHAC(ASA),然后在等腰直角三角形△相〃中，由勾股定理得與4”的值，設(shè)石廠

=x,則AE=2Y,判定AAGE四△”CF(A4S),從而FH=AE=Zx,解得x的值，最后根

2().如圖.四邊形,4次；〃中陽角線AC上BD,點(diǎn)F為CD上點(diǎn),連接AF交BD于羔E,AFLAB,

DE=DF,(B4G=LABC=45°,RC^G=20/2.AE=IEF.?1!4F=.

【解答】解：延長AABC,交于點(diǎn)”，如圖：

,：AF1AB,/A8C=45°，

???N8A”=90°,NAHB=900-NABC=45°,

???△AB”為等腰直角三角形，

：,AH=AB,

?：N8AH=9()°,ZBAG=45°,ZAH13=45°,

AZGAE=ZBAG=ZAHB=45°,

VAC1BD,

???NABG+NBAC=90°,

VZBAC+ZHAC=ZBAH=90°,

/.ZABG=NHAC,

在△A8G和△”AC中，

'NABG二NHAC

?AB=AH，

ZBAG=ZAHC

：.XABGeXHAC(ASA),

：,AG=HC,

BH=BC+CH=BC+AG=20匹

在等腰直角三角形△AB”中，AH=AB,N8A”=9(T,由勾股定理得:

AB2+AH2-BH2,

?"B=4〃=20,

,：AE=2EF,

???設(shè)則AE=2t,

?:DE=DF,

:?/DEF=/DFE,

???RAEG=UHFC,

VZAHB=ZGAE=45O,

ZAGE=135°-NHFC=NFCH,

在△AGE和產(chǎn)中，

，ZAEG=ZHFC

<ZAGE=ZFCH?

AG=HC

/.△AGh^AHCF1/L45),

:,FH=AE=2x,

：,AH=AE+EF+FH=5x=20,

解得：x=4,

：,AF=AE+EF=3x=\2,

故答案為：12.

【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的判定與性質(zhì)等

知識點(diǎn)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

14.（2021?西城區(qū)校級模擬）如圖，已知在AABC中，N4CB=90°,AC=2,BC=4.D

為△48C所在平面內(nèi)的一個動點(diǎn)，且滿足N8OC=9（T,E為線段A。的中點(diǎn)，連接CE,

則線段CE長的最大侑為1+乃.

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】幾何圖形；應(yīng)用意識.

【分析】取8c的中點(diǎn)G,連接AG,取中點(diǎn)廣，則O/^^AG即可解決?

22

【解答】解：取8c的中點(diǎn)G,連接AG,DG,取中點(diǎn)F,連接EF,CF,

VZBDC=90°,8c=4,

；?DG=CG=2,

在RtzMCG中，AG=^22+22=2V2,

二方為AG的中點(diǎn),

ACF=V2?

???￡為線段AD的中點(diǎn)，/為AG的中點(diǎn),

A￡/r=yDG=l?

〈CF+EF2CE,

???CE最大值為I。，

E

D

故答案為：l+&.

【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及三角形中位線的性

質(zhì)定理，作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵.

15.(2020春?南崗區(qū)校級月考)如圖，NBAC=90°,ZABC=2ZCAD,NAOE=4f°,

BE=9,CD=1,則BC=8.5.

2

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】構(gòu)造法；幾何直觀.

【分析】由二倍角想到作角平分線構(gòu)造全等來解決問題.

【解答】解：作N4BC的平分線8尸交AC于F,連接。尸交84的延長線于從

所以設(shè)

所以N8A￡)=90-x,

ZADB=9()-x

所以

所以/W=BZ),

又因?yàn)镹4ED=45+M

NEDH=45+x,

所以NAED=NEDH,

所以EH=HD,

在△AFH和△。尸C中，

因?yàn)?AFH=NC/。，AF=FD,4HAF=NFDC,

所以△AFHgZSOFC(ASA),

所以A”=CD=1,HF=CF,AF=FD,

設(shè)AE=m,

所以AB=BD=m十2，

2

所以BC=/??+—,

2

AC=HD=HE=m+\,

在RtZ\48C中，由勾股定理得：

(m-^|-)2+(in+l)2=("號)2,

解之得5=3,

所以8。=8.5,

【點(diǎn)評】本題綜合運(yùn)用了直角三角形、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理列方程等知識，綜合性比較強(qiáng).

16.（2021?江西模擬）Rt&4￡?C中，N4AC=90。,AC=5,AC=4,過點(diǎn)"的直線把△44C

分割成兩個三角形，使其中只有一個是等腰三角形，則這個等腰三角形的面積是」

4.32或4.8.

【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理.

【專題】等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力.

【分析】在RdABC中，通過解直角三角形可得出48=3,S^A8c=6,找出所有可能的

剪法，并求出剪出的等腰三角形的面積即可.

【解答】解:在RtZ\48C中，NA8C=90°,AC=5,BC=4,

**?AB=rAC?-BC2=《52_42=3,S^ABC-BC—6.

2

沿過點(diǎn)B的直線把△ABC分割成兩個三角形，使其中只有一個是等腰三角形，有三種情

況:

①當(dāng)48=4P=3時，如圖①所示，

SWAA/?P=-^-S，A4?C=—X6=3.6：

AC5

②當(dāng)/W=4P=3,且戶在AC上時，如圖②所示，

作△ABC的高4。，則3巳=研呻2=至注=2.4,

AC5

；.AD=DP=q1一2"^=L8，

?"P=2A￡>=3.6,

S空櫻口人勿—.^^-SaAOC=.3g6,X6=d.32；

③當(dāng)C8=CP=4時，如圖③所示，

S等蕤6=4.8.

AC5

綜上所述：等腰三角形的面積可能為3.6或4.32或4.8.

故答案為3.6或4.32或4.8.

【點(diǎn)評】本題考杳了勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積，找出所有可能的

剪法，并求出剪出的等腰三角形的面積是解題的關(guān)鍵.

17.（2018秋?上虞區(qū)期末）如圖，以A8為斜邊的R1ZX4BC的每條邊為邊作三個正方形，

分別是正方形48MN,正方形BCPQ,正方形ACEF,且邊石尸恰好經(jīng)過點(diǎn)M若§3=54

=6,則SI+55=6.（注:圖中所示面積S表示相應(yīng)封閉區(qū)域的面積，如S3表示AABC

的面積）

【考點(diǎn)】勾股定理.

【專題】矩形菱形正方形；應(yīng)用意識.

【分析】如圖，連接MQ,作MGJ_EC于G,設(shè)尸C交BM于。MN交EC于W.證明

(SAS),推出NACB=NBQM=90°,由NPQ8=90°,推出M,P,Q

共線，由四邊形CGMP是矩形，推出MG=PC=BC證明△MGWgaBCT(AAS),推

出MW=BT,由MN=BM,NW=MT,可證△NWE也M7P,推出SI+S5=S3=6,

【解答】解：如圖，11?接MQ,作MG_LEC于G,設(shè)PC交BM于丁，MN交EC于W.

VZABM=ZCBQ=90a,

ZABC=ZMBQ,

?:BA=BM,BC=BQ,

???△ABgAMBQ(5/15),

???NACB=/BQM=90°,

9：ZPQB=90°,

AM,P,Q共線，

???四邊形CGMP是矩形，

:.MG=PC=BC,

???NBCT=NMGQ=9()°,NBTC+NCBT=9()°,NBQM+NCBT=90",

：.4MQG=NBTC,

???△MGWgaBCT(A45),

：.MW=BT,

":MN=BM,

:.NW=MT、可證△NIME竺/WTP,

?**SI+S5=S3=6,

解法二：???AC2+8C2=A82,

.*.51+52+5左空+S右空+S5=53+54+S左空+S右空，

/.SI+55=S4=6

故答案為6.

【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的知識，有一定難度，解題關(guān)鍵是將勾股定埋和正方形的面

積公式進(jìn)行靈活的結(jié)合和應(yīng)用.

18.（2019?株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，在直線x=l處放置反光鏡I,在

y軸處放置一個有缺口的擋板II,缺口為線段48,其中點(diǎn)A（0,1）,點(diǎn)8在點(diǎn)A上方,

且A8=l,在直線1處放置一個擋板HI,從點(diǎn)0發(fā)出的光線經(jīng)反光鏡【反射后，通

過缺口A3照射在擋板山上，則落在擋板III上的光線的長度為

y

擋板in

擋板n

??????3

x

x=-lX=1

【考點(diǎn)】勾股定理；坐標(biāo)與圖形變化-對稱.

【專題】推理填空題；解直角三角形及其應(yīng)用；空間觀念.

【分析】當(dāng)光線沿0、G、B、C傳輸時，由tan/OG，=tan/CGE,即：型屈，即:

GHGF

L=1,解得：〃=1,求出yc=1+2=3,同理可得：yD=\.5,即可求解.

a2-a

【解答】解：當(dāng)光線沿。、G、B、。傳輸時,

過點(diǎn)8作8凡1_6”于點(diǎn)八過點(diǎn)。作CEJ_G，于點(diǎn)E,

擋板in

B

D

G

OHx

x=-lX=1

方法一：???△GOB為等腰三角形,

:.G(1,1),

為CG中點(diǎn),

AC(-1,3),

同理。(-1,1.5),

：.CD=3-1.5=1.5

方法二：/OGH=/CGE=a,設(shè)GH=m貝1」6/=2-小

貝ijian/OG"=lanNCGE,即：型理,

GHGF

即：工」一,解得:

a2-a

貝Ua=45°,

：.GE=CE=2,yc=1-2=3,

當(dāng)光線反射過點(diǎn)A時,

同理可得：JD=1.5>

落在擋板HI上的光線的長度=8=3?1.5=1.5,

故答案為1.5.

【點(diǎn)評】本題考查的是坐標(biāo)與圖形的變化，涉及到解直角三角形等知識，本題關(guān)鍵是弄

懂題意，正確畫圖.

19.（2019春?內(nèi)黃縣期末）四個全等的直角三角形按圖示方式圍成正方形ABCD,過各較

長直角