1二、交錯級數(shù)及其審斂法三、任意項級數(shù)的審斂法第二節(jié)一、正項級數(shù)的判斂法常數(shù)項級數(shù)的判斂法2單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)增加單調(diào)減少單調(diào)數(shù)列復(fù)習(xí)：引理1：收斂數(shù)列必有界。3一、正項級數(shù)及其審斂法若定理1.

正項級數(shù)收斂部分和數(shù)列有界.若收斂,∴部分和數(shù)列有界,故從而又已知故有界.則稱為正項級數(shù).單調(diào)遞增,收斂,也收斂.證:“”“”4

例1.

級數(shù)是否收斂？解：該級數(shù)為正項級數(shù)，又有(n=1,2,…),故當(dāng)n1時，有即其部分和數(shù)列{Sn}有界，從而，級數(shù)5定理2

（比較審斂法）反之，若發(fā)散，則發(fā)散.若收斂,則收斂；大的收，則小的收小的發(fā)，則大的發(fā)且6證明:即部分和數(shù)列有界，定理證畢.不是有界數(shù)列，7解:

1.發(fā)散,例2.

判斷下列級數(shù)的斂散性而收斂,由比較判別法可知原級數(shù)收斂.2.而由比較判別法可知原級數(shù)發(fā)散.8例3.

討論p-級數(shù)(常數(shù)p>0)的斂散性.解:1)若因為對一切而調(diào)和級數(shù)由比較審斂法可知p

級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,9因為當(dāng)故故p-級數(shù)收斂.時,2)

若10調(diào)和級數(shù)與p

級數(shù)是兩個常用的比較級數(shù).若存在對一切p-級數(shù):重要參考級數(shù):

幾何級數(shù),p-級數(shù),調(diào)和級數(shù).11證明級數(shù)發(fā)散.證:

因為而級數(shù)發(fā)散根據(jù)比較審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.例4.12例5.而級數(shù)13練習(xí).判別級數(shù)的斂散性.而級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散.14定理3.

(比較審斂法的極限形式)則有兩個級數(shù)同時收斂或發(fā)散;(2)當(dāng)

l=

0(3)當(dāng)

l=+∞

設(shè)兩正項級數(shù)滿足(1)當(dāng)0<l<+∞

時,15的斂散性.

～例6.

判別級數(shù)的斂散性.

解:

根據(jù)比較審斂法知例7.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法知～發(fā)散，收斂，16例8.

判別級數(shù)的斂散性.～的斂散性.解:

根據(jù)比較審斂法知例9.

判別級數(shù)解:根據(jù)比較審斂法知原級數(shù)收斂.收斂，收斂，17例10.

判別級數(shù)的斂散性:解:

(1)故原級數(shù)收斂.不是p–級數(shù)(2)故原級數(shù)發(fā)散.收斂，發(fā)散，1819推論：設(shè)為正項級數(shù),⑴如果⑵如果則：其中則：20定理4.

比值審斂法

(D’alembert判別法)設(shè)為正項級數(shù),且則(1)當(dāng)(2)當(dāng)時,級數(shù)收斂;或時,級數(shù)發(fā)散.說明:

當(dāng)時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例如,

p–級數(shù)但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.21例1.判斷下列級數(shù)的斂散性.解：解：由正項級數(shù)的比值判別法可知原級數(shù)收斂.由正項級數(shù)的比值判別法可知原級數(shù)發(fā)散.解：比值判別法失效！22解:

因分母的最高次數(shù)與分子的最高次數(shù)之差為用比較法！則取為p-級數(shù)，且p>1,因此收斂.則原級數(shù)收斂.23故級數(shù)收斂。解：24解25比值審斂法失效,改用比較審斂法26解：考慮以為通項的級數(shù)用比值法知級數(shù)收斂，例2.

求證27定理5.

根值審斂法(Cauchy判別法)設(shè)則為正項級數(shù),

且例如

,

p–

級數(shù)說明:但級數(shù)收斂;級數(shù)發(fā)散.時,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.28例3.判斷下列級數(shù)的斂散性解：由正項級數(shù)的根值判別法可知原級數(shù)發(fā)散。解：由正項級數(shù)的根值判別法可知原級數(shù)收斂。解：由正項級數(shù)的根值判別法可知原級數(shù)收斂。29二、交錯級數(shù)及其審斂法則各項符號正負相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)

.定理6.

(Leibnitz

判別法

)

若交錯級數(shù)滿足條件:則級數(shù)收斂,且其和其余項滿足30證:是單調(diào)遞增有界數(shù)列,又故級數(shù)收斂于S,且故31收斂收斂用Leibnitz判別法判別下列級數(shù)的斂散性:收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂?發(fā)散收斂收斂32例4.

判斷交錯級數(shù)設(shè)：的斂散性。解：由于：33三、任意項級數(shù)的審斂法定義:

對任意項級數(shù)若若原級數(shù)收斂,但取絕對值以后的級數(shù)發(fā)散,則稱收斂,原級數(shù)絕對收斂；則稱原級數(shù)條件收斂.可正可負可為零。34絕對收斂.例如：絕對收斂.條件收斂.35定理7.

絕對收斂的級數(shù)一定收斂.若收斂,則級數(shù)收斂.證:

設(shè)根據(jù)比較審斂法顯然收斂,收斂也收斂.且收斂,令36例4.判斷下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。證:

(1)而收斂,收斂因此絕對收斂.37(2)

令因此收斂,絕對收斂.發(fā)散.38例5.

判斷下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。收斂，,且發(fā)散，39例6.

判斷下列級數(shù)是絕對收斂、條件收斂還是發(fā)散。分析：此為交錯級數(shù)，是否絕對收斂用正項級數(shù)判別法，關(guān)鍵是將通項絕對值如何放大或縮小。解：原級數(shù)條件收斂！是發(fā)散的級數(shù),40例7.判別級數(shù)的斂散性:解：41因單調(diào)遞減,且但對即條件收斂

.由Leibniz審斂法知級數(shù)收斂

;且發(fā)散,發(fā)散，即原級數(shù)條件收斂

.發(fā)散，42因即原級數(shù)絕對收斂.收斂，43因,且但對由Leibniz審斂法知級數(shù)收斂

;發(fā)散，,且因此發(fā)散，即級數(shù)條件收斂

.4445內(nèi)容小結(jié)1.利用部分和數(shù)列的極