1、基變換與過(guò)渡矩陣2、坐標(biāo)變換公式教學(xué)要求：了解n維向量空間的概念，了解Rn的基底、子空間及其維數(shù)的概念，了解向量在不同基底下的坐標(biāo)變換。向量組的極大無(wú)關(guān)組不是唯一的，向量空間作為無(wú)窮多個(gè)向量組成的向量組，它的基也不是唯一的，那么不同的兩組基之間關(guān)系如何？【引入基變換與過(guò)度矩陣概念?。?！】

同一向量在不同的基下的坐標(biāo)是不同的，那么，不同基下的坐標(biāo)之間有怎樣的關(guān)系呢？【引入坐標(biāo)變換公式?。?！】1、基變換與過(guò)渡矩陣定義4.5(基變換公式)設(shè)

1,

2,…,

n與

1,

2,…,

n是空間Rn中的兩組基，且存在如下線性關(guān)系

其中pij(i,j=1,2,…,n)為常數(shù)，則稱(chēng)（4.1）為基

1,

2,…,

n到基

1,

2,…,

n的基變換公式。稱(chēng)P為由基

1,

2,…,

n到基

1,

2,…,

n的過(guò)渡矩陣。記矩陣?yán)?在Rn中的兩組基與顯然有基變換公式所以由基到基的過(guò)渡矩陣?yán)梅謮K矩陣的乘法，（4.1）式可表示為記矩陣A=(

1,

2,…,

n

),B=(

1,

2,…,

n

)，稱(chēng)A,B

為基矩陣，由（4.2），顯然矩陣A，B，P

滿足等式：B=AP.又由于

1,

2,…,

n與

1,

2,…,

n都是基向量組，故兩個(gè)向量組都是線性無(wú)關(guān)組，所以基矩陣A,B都可逆，因此P=(pij)

也可逆，且

P=A-1B.即過(guò)渡矩陣P是滿足矩陣方程AX=B的解。根據(jù)矩陣方程AX=B的求解方法，可得求過(guò)渡矩陣P的方法，即用初等行變換求過(guò)渡矩陣P：P2、坐標(biāo)變換公式定理4.1設(shè)Rn中的向量

在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(x1,x2,…,xn)T,在基

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(y1,y2,…,yn)T,且基

1,

2,…,

n

到基

1,

2,…,

n的過(guò)渡矩陣為P，則坐標(biāo)變換公式：或者稱(chēng)為坐標(biāo)變換公式。證明：因?yàn)棣猎诨?/p>

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(x1,x2,…,xn)T,所以又因?yàn)棣猎诨?/p>

1,

2,…,

n下的坐標(biāo)是(y1,y2,…,yn)T,所以于是，得出而基

1,

2,…,

n與基

1,

2,…,

n下之間有關(guān)系式的唯一性，于是或者由坐標(biāo)表示證畢(1)求基到基(2)求

關(guān)于這兩個(gè)基的坐標(biāo)。

設(shè)R3的兩個(gè)基為【例4.8】和以及向量的過(guò)渡矩陣；【解】(1)記對(duì)矩陣(A,B)作初等行變換，。所以，由基到基的過(guò)渡矩陣：(2)求向量在基中的坐標(biāo)，即設(shè)之下的坐標(biāo)為所以

在用初等行變換求解方程，下的坐標(biāo)為下的坐標(biāo)為

在又由(1)的過(guò)渡矩陣P以及坐標(biāo)變換公式得之下的坐標(biāo)為即

在

在【補(bǔ)例4】在向量空間R3中，取兩組基α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,3,2)T,β1=(2,4,3)T,β2=(3,6,6)T,β3=(2,5,5)T,

求α1,α2,α3

到β1,

β2,β3的過(guò)渡矩陣與基變換公式。解求過(guò)渡矩陣（初等行變換法）P所以由基α1,α2,α3

到基β1,

β2,β3的變換公式為P所以過(guò)渡矩陣其逆矩陣【補(bǔ)例5】在向量空間R

3中，取兩組基α1=(1,1,1)T,α2=(1,2,1)T,α3=(1,3,2)T,β1=(2,4,3)T,β2=(3,6,6)T,β3=(2,5,5)T,求α=(7,9,11)T分別在兩組基下的坐標(biāo)?！窘狻肯惹筮^(guò)渡矩陣（初等行變換法）所以過(guò)渡矩陣其逆矩陣方法一：分別求α

在基α1,α2,α3

及β1,β2,β3下的坐標(biāo),用初等行變換所以α

在基α1,α2,α3

下的坐標(biāo)為(5,2,0)T.所以α

在基β1,

β2,β3下的坐標(biāo)為(-2,7,-5)T.方法二：用坐標(biāo)變換公式求

在基

1,

2,

3

的下的坐標(biāo)。已知

在基

1,

2,

3下的坐標(biāo)為(5,2,0)T

，且基

1,

2,

3

到基

1,

2,

3設(shè)

在基

1,

2,

3

下的坐標(biāo)為(y1,y2,y3)T

，由坐標(biāo)變換公式，則其逆矩陣的過(guò)渡矩陣為【補(bǔ)例5

】

設(shè)解

要驗(yàn)證

1,

2,

3是R3的一個(gè)基，只要證

1,

2,

3線性無(wú)關(guān)。驗(yàn)證

1,

2,

3是R3

的一個(gè)基，并把

1,

2

用該組基線性表示。設(shè)記作AX=B。則其矩陣表示為對(duì)矩陣(A,B)施行初等行變換，若A

能變成E，則α1,α2,α3是R3

的一個(gè)基，且當(dāng)A

變成E

時(shí)，同時(shí)B

就變?yōu)閄=A-1B.這是矩陣方程，求解這個(gè)矩陣方程：

所以即把

1,

2

用

1,

2,

3表示為解畢。1.求基α1,α2,…,αn到基αn,αn-1,…,α2,α1的過(guò)渡矩陣。2.在R3中，取兩組基α1=(1,2,1)T,

α2=(2,3,3)T,

α3=(3,7,1)T以及β1

=

(3,1,4