2、向量的長度與夾角1、內(nèi)積的定義和性質(zhì)3、正交向量組教學(xué)要求：了解n維向量內(nèi)積的概念，會(huì)用施密特(Schmidt)方法將線性無關(guān)向量組標(biāo)準(zhǔn)正交化。了解正交矩陣的概念及其性質(zhì)。1、內(nèi)積的定義定義4.6

設(shè)n維實(shí)向量

=(a1,a2,…,an)T,

=(b1,b2,…,bn)T,稱實(shí)數(shù)a1b1+a2

b2+…+anbn為向量α與β的內(nèi)積，記作[

,

],即[

,

]=a1b1+a2b2+…+anbn

.說明：由定義，向量的內(nèi)積是標(biāo)量數(shù)值，因此有些教材將內(nèi)積也稱為數(shù)量積。(2)由定義，內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，用矩陣形式表示，有或者因此，向量的內(nèi)積又可記成：

T

或者

T

用矩陣形式表示，有例如，已知

=(1,2,0,4)T,

=(-1,2,5,-2)T,則它們的內(nèi)積或者用矩陣形式表示，有注：可見，向量的內(nèi)積為常數(shù)，該常數(shù)可正，可負(fù)，可為零.例如，已知?jiǎng)t它們的內(nèi)積內(nèi)積運(yùn)算的性質(zhì)：（1）對稱性：[

,

]=[

,

]；（2）分配律：[

,

+

]=[

,

]+[

,

];（4）非負(fù)性：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對于任何向量

=(a1,a2,…,an)T

,[

,

]=（3）結(jié)合律：[k

,

]=k[

,

];當(dāng)且僅當(dāng)

=0時(shí)[

,

]=0.給定向量

，

，

，以及常數(shù)k,則內(nèi)積滿足下列性質(zhì)：【解】由內(nèi)積定義【例4.9】設(shè)計(jì)算2、向量的長度與單位化為向量

的長度(模或范數(shù))。當(dāng)||

||=１時(shí)，稱向量

稱為單位向量.定義4.7

設(shè)n維向量

=(a1,a2,…,an)T,稱注：由定義，基本單位向量組ε1,ε2,…,εn中每個(gè)向量是單位向量，這因?yàn)檫@也是基本單位向量名稱的由來?。≌f明：①當(dāng)

≠0時(shí)，稱是

的單位化向量.②由非零向量

得到單位向量的過程稱為

的單位化。設(shè)所以

的單位化向量為則向量

的長度例如：因?yàn)楣?/p>

不是單位向量，而

是單位向量?！纠?.10】

檢驗(yàn)向量是否為單位向量?！窘狻恳?yàn)橄蛄块L度的運(yùn)算性質(zhì)（1）正定性：||

||≥0,當(dāng)且僅當(dāng)

=0時(shí)||

||=0.（2）齊次性：||k

||=|k|||

||.（3）三角不等式：||

+

||≤||

||+||

||.（4）柯西－施瓦茲（Cauchy－Schwarz）不等式:當(dāng)且僅當(dāng)

與

的線性相關(guān)時(shí)，等號成立.施瓦茲不等式的證明如下：1）若

,

線性相關(guān)，可設(shè)

=k，于是，于是2）若

,

線性無關(guān)，則可設(shè)等號成立綜上1）和2），總有這是關(guān)于k的二次三項(xiàng)式，判別式應(yīng)小于0,即所以成立。證畢3、向量的夾角定義4.8

設(shè)

與

為n維空間的兩個(gè)非零向量，

與

的夾角θ的余弦定義為

與

的夾角θ為例如：設(shè)

=(1,2,2,3)T,

=(3,1,5,1)T,

則定義4.9

對于向量

,

，若[

,

]=0，則稱

與

正交，記為

⊥

。例如，向量這因?yàn)閯t它們正交。說明：①若

=O,則

與任何向量都正交.②

⊥

當(dāng)且僅當(dāng)

=0。③對于非零向量

與

，因?yàn)閇

,O]=0因?yàn)閇α

,α

]=0【補(bǔ)例6】在向量空間Rn中，證明等式：||

+

||2=||

||2+||

||2成立的充要條件是向量

與

正交.解：因?yàn)樗詜|

+

||2=||

||2+||

||2成立的充要條件是[

,

]=0,即

與

正交.||

+

||2=[

+

,

+

]=[

,

]+[

,

]+2[

,

]=||

||2+||

||2+2[

,

]勾股定理推廣?。?、正交向量組

則稱為正交向量組。定義4.10如果非零向量兩兩正交，即由定義，正交向量組中的向量必須是非零向量。正交向量組具有下面的性質(zhì)。定理4.2

設(shè)是正交向量組，則必線性無關(guān)?！咀C】設(shè)有數(shù)使得左乘上式兩端得用又因?yàn)椋杂幸虼?，向量組線性無關(guān)。而，所以性質(zhì)1（線性無關(guān)性）非零正交向量組必是線性無關(guān)組。證明：設(shè)α1,α2,…,αr

(r>0)是非零正交向量組，存在數(shù)k1,k2,…,kr

，使得以左乘上式兩端得又因?yàn)樗杂卸砸虼?，由線性無關(guān)的定義，向量組α1,α2,…,αr線性無關(guān)。說明：(1)該性質(zhì)的逆命題是不成立的.即線性無關(guān)組未必是正交向量組。性質(zhì)2（組合正交性）若向量β與α1,α2,…,αs中每個(gè)向量都正交，則β

與α1,α2,…,αs的任一線性組合也正交.證明因?yàn)棣?/p>

與α1,α2,…,αs中每個(gè)向量都正交，即[β,αi]=0(i=1,2,…,s)又設(shè)k1,k2,…,ks為任意常數(shù)，由內(nèi)積的性質(zhì)[β,k1α1+k2α2+…+ksαs

]=k1[β,α1]+k2[β,α2]+…+ks[β,αs

]=0,即β

與α1,α2,…,αs

的任一線性組合正交.說明：若向量空間的基是正交向量組，稱該基為向量空間的正交基。在向量空間中,通常選用標(biāo)準(zhǔn)正交基,這樣便于對向量空間問題的深入研究.注:(1)定理表明，正交向量組是線性無關(guān)組。但反之不一定成立，即定理的逆命題是不成立的.這說明正交向量組是線性無關(guān)組中的特例。在一個(gè)向量空間中，若一個(gè)基(當(dāng)然是線性無關(guān)組)是正交向量組，稱該基為向量空間的正交基。我們研究向量空間時(shí),通常選用正交基,這樣更便于對問題的深入研究.以下我們主要研究向量