/2025年江西省贛州市高考數(shù)學一模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，2．已知復數(shù)滿足，且在復平面內(nèi)對應的點為，則A． B． C． D．3．函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．4．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則A．11 B．31 C．61 D．1215．甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出兩球，則取出的兩球都是紅球的概率為A． B． C． D．6．已知函數(shù)，，，若恰有3個極值點，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．7．已知雙曲線的左，右頂點分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點為，直線交的右支于點，若是等腰三角形，且的內(nèi)角平分線與軸平行，則的離心率為A．2 B． C． D．8．已知，記，，，則A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）已知，，則A． B． C． D．10．（6分）設(shè)是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則下列選項中（1）的取值可能為A． B．1 C． D．211．（6分）已知，，，為拋物線上異于原點的兩個動點，且，作交直線于點，則A．直線恒過定點 B． C．存在一個定點，使得為定值 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，，且，則．13．在三棱錐中，點在平面的射影為的中點，且，，設(shè)該三棱錐的體積為，該三棱錐外接球的表面積為，若，則的取值范圍為．14．若，，自然對數(shù)的底數(shù)為，則的最小值為．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求證：；（2）已知，當角取最大值時，求△的面積．16．（15分）如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，在四邊形中，，．（1）證明：平面平面；（2）若，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．條件①：異面直線與所成角的余弦值為；條件②：直線與平面所成角的正弦值為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別進行解答，按第一個解答計分．17．（15分）已知橢圓，其左頂點為，上頂點為，直線交直線于，且（其中為坐標原點）．（1）求橢圓的標準方程；（2）點在軸上，過點作直線與交于，兩點，問：是否存在定點，使得為定值，若存在，求出所有點的坐標并且求出定值；若不存在，請說明理由．18．（17分）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，．（1）求的取值范圍；（2）證明：對一切的，且，都有；證明：．19．（17分）十進制與二進制是常見的數(shù)制，其中十進制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進位規(guī)則是“逢十進一”，借位規(guī)則是“借一當十”；二進制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借一當二”；例如：十進制的數(shù)20對應二進制表示的數(shù)為，二進制的數(shù)對應十進制表示的數(shù)為15．用（A）表示非空的整數(shù)集合的所有元素的和，已知集合，，，，，，2，，且．（一個數(shù)，不特別說明，默認為十進制）．（1）寫出“37”對應二進制表示的數(shù)及“”對應的十進制數(shù)；（2）若集合，2，3，，，2，4，，，，求（C）與（D）的所有可能值組成的集合；（3）若，且對每個正整數(shù)，都存在的子集，使得，求的最小值．

2025年江西省贛州市高考數(shù)學一模試卷參考答案與試題解析題號12345678答案BABDBCBC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C． D．，解：集合，，因為，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍是，．故選：．2．已知復數(shù)滿足，且在復平面內(nèi)對應的點為，則A． B． C． D．解：由題意設(shè)，則，化簡為．故選：．3．函數(shù)的最小正周期為A． B． C． D．解：，由得，即，即即函數(shù)的定義域為且，在每個單位長度上，函數(shù)要去掉一個點，，函數(shù)圖象是每兩個個單位的長度上，重復出現(xiàn)一次相同的圖象，則函數(shù)的周期是，故選：．4．已知數(shù)列的前項和為，滿足，則A．11 B．31 C．61 D．121解：數(shù)列的前項和為，滿足，令，得，得，當時，由，可得，兩式相減得，，即，即，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以．故選：．5．甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球（兩箱中的球除顏色外沒有其他區(qū)別），先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出兩球，則取出的兩球都是紅球的概率為A． B． C． D．解：甲箱中有3個紅球和2個白球，乙箱中有2個紅球和3個白球，先從甲箱中隨機取出一球放入乙箱，再從乙箱中隨機取出兩球，分別用事件和表示從甲箱中取出的球是紅球和白球，用事件表示從乙箱中取出的兩球都是紅球，由題意可知，，，所以．故選：．6．已知函數(shù)，，，若恰有3個極值點，則正數(shù)的取值范圍為A． B． C． D．解：當，時，，，若在區(qū)間，上恰有3個極值點，則這3個極值點分別滿足，，0．所以，解得．故選：．7．已知雙曲線的左，右頂點分別是，，圓與的漸近線在第一象限的交點為，直線交的右支于點，若是等腰三角形，且的內(nèi)角平分線與軸平行，則的離心率為A．2 B． C． D．解：聯(lián)立且在第一象限，可得，而，，所以，由題設(shè)，，故是等腰直角三角形，所以，而的內(nèi)角平分線與軸平行，所以，則，所以，所以．故選：．8．已知，記，，，則A． B． C． D．解：，，，因為，所以，又因為，所以，所以，可知，由，可得，由，可得，從而可得．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．（6分）已知，，則A． B． C． D．解：對于：由于，的展開式最高次冪為7，故；故正確；對于：由于，根據(jù)二項式的展開式，1，2，3，4，5，，當與配對時，，的系數(shù)為，當與1配對時，的系數(shù)為，故，故錯誤；對于：當時，，故正確；對于：當時，與選項構(gòu)建成方程組，故，故正確．故選：．10．（6分）設(shè)是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則下列選項中（1）的取值可能為A． B．1 C． D．2解：根據(jù)題意可得，問題相當于圓上由6個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合；設(shè)（1）處的點為，因為函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，因此旋轉(zhuǎn)后的對應點也在函數(shù)的圖象上，同理旋轉(zhuǎn)后的對應點也在圖象上，以此類推，函數(shù)對應的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點；當時，與軸正半軸夾角為，因此，此時，，此時，不滿足函數(shù)定義，屬于選項錯誤；當（1）時，與軸正半軸夾角的正切值為2，此時每個只對應一個，滿足函數(shù)定義，所以選項正確；當時，與軸正半軸夾角為，所以，此時，，此時，不滿足函數(shù)定義，所以選項錯誤；當（1）時，與軸正半軸夾角為，此時每個只對應一個，滿足函數(shù)定義，所以選項正確．故選：．11．（6分）已知，，，為拋物線上異于原點的兩個動點，且，作交直線于點，則A．直線恒過定點 B． C．存在一個定點，使得為定值 D．解：設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，可得，則△，所以，，所以，由，則，所以，解得或，因為，為異于原點的兩個動點，所以，則直線的方程為，所以直線恒過定點，故選項錯誤；所以，，所以，故選項正確；因為交直線于點，設(shè)直線恒過定點為，所以△為△且為斜邊所以點在以為直徑的圓上，圓心為，半徑為2，所以點的坐標為，所以為定值，故選項正確；因為，，故，故選項正確．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知向量，，且，則．解：由題意可知，，因為，則，所以，所以．故答案為：．13．在三棱錐中，點在平面的射影為的中點，且，，設(shè)該三棱錐的體積為，該三棱錐外接球的表面積為，若，則的取值范圍為．解：因為在三棱錐中，點在平面的射影為的中點，且，，又該三棱錐的體積為，該三棱錐外接球的表面積為，所以，如圖，取的中點，連接，由題意可知平面，，則，易得，，由題意知該三棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)為負，則球心在平面的下方），外接球半徑為，故，易知在上單調(diào)遞增，即，則，所以．故答案為：．14．若，，自然對數(shù)的底數(shù)為，則的最小值為2．解：對原式進行如下變形：，令對其求導可得：，令，即，解得，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以在處取得最小值，，由上述可知，，所以，當且僅當時，等號成立．故答案為：2．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）記△的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）求證：；（2）已知，當角取最大值時，求△的面積．解：（1）證明：因為，所以，所以，所以，所以，根據(jù)，可得，根據(jù)余弦定理和正弦定理得，，因此，得證．（2）因為，當且僅當時，等號成立，此時取最大值，此時三角形為正三角形．因為，所以．所以．16．（15分）如圖所示，平面平面，且四邊形為矩形，在四邊形中，，．（1）證明：平面平面；（2）若，再從條件①、條件②中選擇一個作為已知條件，求二面角的余弦值．條件①：異面直線與所成角的余弦值為；條件②：直線與平面所成角的正弦值為．注：如果選擇的條件不符合要求，得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別進行解答，按第一個解答計分．解：（1）證明：，，，，，，平面平面，平面平面，又平面，平面，又平面，平面平面；（2）若選條件①：由（1）可知，，為異面直線與所成角或其補角，令，則，，在三角形中，，，，即；若選條件②：由（1）可知平面，則為直線與平面所成的角，令，則，，，在△中，，，即，以點為坐標原點，分別以，為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，3，，，，，由，得，，，，令平面的法向量為，則，則，則，令，則，則，令平面的法向量為，則，則，則，令，則，，則，由已知可知二面角為銳二面角，令其大小為，則，，故二面角的余弦值為．17．（15分）已知橢圓，其左頂點為，上頂點為，直線交直線于，且（其中為坐標原點）．（1）求橢圓的標準方程；（2）點在軸上，過點作直線與交于，兩點，問：是否存在定點，使得為定值，若存在，求出所有點的坐標并且求出定值；若不存在，請說明理由．解：（1）由已知可得，，，，，解得，，橢圓的標準方程為．（2）根據(jù)已知條件設(shè)，設(shè)，，，，當直線斜率不為0時，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，由△，可得，，，故，為定值，，整理得，解得，此時；當直線斜率為0時，不妨設(shè)，，，此時符合題設(shè)，同理可證當?shù)淖鴺藶闀r也符合題設(shè)，又恒成立，存在點或使得的值為（定值）．18．（17分）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）有兩個零點，．（1）求的取值范圍；（2）證明：對一切的，且，都有；證明：．解：（1）由，得，①當時，，此時在上遞增，不合題意；②當時，令，得；令，得，故在上遞減，在上遞增，由題設(shè)知，即，又，（或，，故在與分別存在一個零點，符合題設(shè)，故的取值范圍為．（另解）：由，得，當時，，故函數(shù)的零點，當時，，令，，當時，，單調(diào)遞減且，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，即當時，（1），當時，，當時，，故的取值范圍為．（2）證明：不妨設(shè)，則等價于，即證：，令，即證：對一切恒成立．記，則，所以在上單調(diào)遞增，從而有（1）證畢．（ⅱ）由（1）知：，故，從而，即，（也可以由，得，則，由知；，證畢．（也可以．19．（17分）十進制與二進制是常見的數(shù)制，其中十進制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進位規(guī)則是“逢十進一”，借位規(guī)則是“借一當十”；二進制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進位規(guī)則是“逢二進一”，借位規(guī)則是“借一當二”；例如：十進制的數(shù)20對應二進制表示的數(shù)為，二進制的數(shù)對應十進制表示的數(shù)為15．用（A）表示非空的整數(shù)集合的所有元素的和，已知集合，，，，，，2，，且．（一個數(shù)，不特別說明，默認為十進制）．（1）寫出“37”對應二進制表示的數(shù)及“”對應的十進制數(shù)；（2）若集合，2，3，，，2，4，，，，求（C）與（D）的所有可能值組成的集合；（3）若，且對每個正整數(shù)，都存在的子集，使得，求的最小值．解：（1）根據(jù)題意可知，，；（2）集合，2，3，，，2，4，，，，，為非空集合，所以，2，3，，因為集合為，，，，，，，，，，，，，，，，，2，，，2，，，3，，，3，，，2，3，中一種，所以（C）可能值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因為，2，4，，所以集合為，，，，，，，，，，，，，，，，，2，，，2，，，4，，，4，，，2，4，中一種，所以（D）可能值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，因此（C）與（D）的所有可能值組成的集合分別為，2，3，4，5，6，7，8，9，，，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，；（3）根據(jù)整數(shù)二進制表示可知：1到中正整數(shù)可以表示為，可知，對每個正整數(shù)，都存在，2，4，8，16，32，64，128，的子集，使得，從而對每個正整數(shù)，都存在，2，4，8，16，32，64，128，256，的子集，使得，進而對每個正整數(shù)，都