/2025年山東省泰安市高考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知集合，則A． B．， C．， D．，2，2．在某次高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)第一個(gè)解答題的得分情況如下：7，9，5，8，4，1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和極差分別為A． B． C． D．3．已知，則A． B． C． D．4．正方形中，，，設(shè)，，則A． B． C． D．5．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為A． B． C． D．6．對于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．將某公司新產(chǎn)品自上市起的月份與該月的對應(yīng)銷量（單位：萬件）整理成如表格：月份12345銷量0.511.4建立與的線性回歸方程為，則第2個(gè)月和第4個(gè)月的殘差和為A． B． C．0.1 D．0.9197．已知正三棱柱的表面積為，則當(dāng)其體積取得最大值時(shí)，該三棱柱的高為A．3 B． C． D．8．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則到軸的距離與到，距離之和的比值A(chǔ)．恒為定值 B．恒為定值 C．不為定值但有最小值 D．不為定值但有最大值二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則A． B． C． D．（多選）10．（6分）定義復(fù)數(shù)運(yùn)算：，已知，若復(fù)數(shù)滿足，則A．可以是 B．的最小值為 C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限 D．的實(shí)部是5（多選）11．（6分）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①，②的圖象過點(diǎn)，則A． B．為偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知△中，，，則．13．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則．14．若函數(shù)滿足：存在整數(shù)，實(shí)數(shù)，使得（a），則稱是“滯后的”．已知函數(shù)．不是“滯后的”，則的取值范圍是．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)，圓．（1）若兩條相鄰的對稱軸與相切，求，；（2）若，，2，是的極值點(diǎn)，且點(diǎn)，，2，有且僅有兩個(gè)在的內(nèi)部，求的取值范圍．16．（15分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）探究是否為的極大值點(diǎn)．17．（15分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：在雙方打成10平后，領(lǐng)先兩分者獲勝．在某校組織的乒乓球比賽中，甲、乙兩名同學(xué)已經(jīng)打成了10平．已知下一球乙同學(xué)得分的概率為，且對以后的每一球，若乙同學(xué)在本球中得分，則他在下一球的得分概率為，若乙同學(xué)在本球中未得分，則他在下一球的得分概率為．（1）求在繼續(xù)打了兩個(gè)球后比賽結(jié)束的條件下，乙同學(xué)獲勝的概率；（2）求乙同學(xué)最終獲勝的概率．18．（17分）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，交軸正半軸于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．記△，△，△的面積分別為，，．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）證明：；（3）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．19．（17分）如圖，四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，且，，平面．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最小值．

2025年山東省泰安市高考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案DADCCCBC二．多選題（共3小題）題號91011答案BCDBCDAC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求。1．已知集合，則A． B．， C．， D．，2，解：集合，則，2，．故選：．2．在某次高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)第一個(gè)解答題的得分情況如下：7，9，5，8，4，1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和極差分別為A． B． C． D．解：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：，這組數(shù)據(jù)的極差為：．故選：．3．已知，則A． B． C． D．解：因?yàn)?，所以，則．故選：．4．正方形中，，，設(shè)，，則A． B． C． D．解：如圖：，所以，，所以，所以．故選：．5．的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為A． B． C． D．解：的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，則展開式中項(xiàng)的系數(shù)為．故選：．6．對于響應(yīng)變量，通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差．將某公司新產(chǎn)品自上市起的月份與該月的對應(yīng)銷量（單位：萬件）整理成如表格：月份12345銷量0.511.4建立與的線性回歸方程為，則第2個(gè)月和第4個(gè)月的殘差和為A． B． C．0.1 D．0.919解：由題意可得，，將其代入回歸方程，得，故，將2，4代入線性回歸方程，則第2，4個(gè)月的預(yù)測值分別為，，故第2個(gè)月和第4個(gè)月的殘差和為．故選：．7．已知正三棱柱的表面積為，則當(dāng)其體積取得最大值時(shí)，該三棱柱的高為A．3 B． C． D．解：設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，則正三棱柱的體積為，所以，又正三棱柱的表面積為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，，又，即時(shí)，等號成立，所以當(dāng)正三棱柱的體積取得最大值時(shí)，該三棱柱的高．故選：．8．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，為上一動(dòng)點(diǎn)，則到軸的距離與到，距離之和的比值A(chǔ)．恒為定值 B．恒為定值 C．不為定值但有最小值 D．不為定值但有最大值解：由雙曲線的定義知，到，距離之和為，且到軸的距離，所以到軸的距離與到，距離之和的比值．故選：．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。（多選）9．（6分）已知公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則A． B． C． D．解：由，得，所以，解得或（舍去），故選項(xiàng)錯(cuò)誤，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確．故選：．（多選）10．（6分）定義復(fù)數(shù)運(yùn)算：，已知，若復(fù)數(shù)滿足，則A．可以是 B．的最小值為 C．在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)不可能位于第二象限 D．的實(shí)部是5解：由復(fù)數(shù)運(yùn)算，且，可得，設(shè)，則，可得，則．對于，，故錯(cuò)誤；對于，，則的最小值為，故正確；對于，由，可得，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，得，該點(diǎn)不可能位于第二象限，故正確；對于，，其實(shí)部等于，故正確．故選：．（多選）11．（6分）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：①，②的圖象過點(diǎn)，則A． B．為偶函數(shù) C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱 D．解：因?yàn)?，對于，令，，則（1）（1），又因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以（1），所以（1）（1），解得，故正確；對于，令，則，由可知，所以，所以，故為奇函數(shù)，故錯(cuò)誤；對于，令，則（1）（1），即的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，故正確；對于，由于且，則有，即，所以（2）（1），（3）（2），，，故錯(cuò)誤．故選：．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知△中，，，則．解：在△中，，，則．故答案為：．13．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，則．解：根據(jù)題意，，，，，，，，，所以，又的最小正周期為，所以．故答案為：．14．若函數(shù)滿足：存在整數(shù)，實(shí)數(shù)，使得（a），則稱是“滯后的”．已知函數(shù)．不是“滯后的”，則的取值范圍是．解：由“滯后的”的定義，單調(diào)函數(shù)必不為“滯后的”．當(dāng)，則，所以單調(diào)遞增，符合題意；由題知，因?yàn)椋粼谏洗嬖诹泓c(diǎn)，則符合“滯后的”定義．有（1），當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等．當(dāng)且，，，又因?yàn)椋?），所以在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，，，在區(qū)間上至少存在1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)，（a），，則，故（a），而不為整數(shù)，符合題意．綜上，的取值范圍為，．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15．（13分）已知函數(shù)，圓．（1）若兩條相鄰的對稱軸與相切，求，；（2）若，，2，是的極值點(diǎn)，且點(diǎn)，，2，有且僅有兩個(gè)在的內(nèi)部，求的取值范圍．解：（1）函數(shù)相鄰對稱軸間的距離為，由題知的直徑為3，所以，解得，的圓心，所以其中一條對稱軸為，代入的對稱軸方程，解得，因?yàn)?，所以；?）若，則的極值點(diǎn)滿足，所以，左頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，右頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，故原題設(shè)等價(jià)于有且僅有2個(gè)的值滿足，整理得，故能且僅能取0，1兩個(gè)值，所以，解得．16．（15分）已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程；（2）探究是否為的極大值點(diǎn)．解：（1）時(shí)，，（1），，（1），故曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，即．（2）易得，假設(shè)是的極大值點(diǎn)，則（a），即，化簡得，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；只有當(dāng)時(shí)，等號成立，故，當(dāng)時(shí)，，，，但由假設(shè)知是的極大值點(diǎn)，于是由極大值點(diǎn)的定義知存在，使得時(shí)，，與假設(shè)矛盾，因此不是的極大值點(diǎn)．17．（15分）乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：在雙方打成10平后，領(lǐng)先兩分者獲勝．在某校組織的乒乓球比賽中，甲、乙兩名同學(xué)已經(jīng)打成了10平．已知下一球乙同學(xué)得分的概率為，且對以后的每一球，若乙同學(xué)在本球中得分，則他在下一球的得分概率為，若乙同學(xué)在本球中未得分，則他在下一球的得分概率為．（1）求在繼續(xù)打了兩個(gè)球后比賽結(jié)束的條件下，乙同學(xué)獲勝的概率；（2）求乙同學(xué)最終獲勝的概率．解：（1）在打了兩個(gè)球后結(jié)束，則甲連勝兩球或乙連勝兩球，設(shè)事件為“再打了兩個(gè)球后結(jié)束”，事件為“乙贏得比賽”，則（A），，故；（2）設(shè)事件為“乙贏了本局”，設(shè)事件，0，為“當(dāng)前乙同學(xué)與甲同學(xué)分?jǐn)?shù)差為時(shí)，最終乙同學(xué)獲勝”，事件為“乙贏了上一局”，則時(shí)，乙肯定贏了上一局，（C），若贏球則直接贏得比賽，若輸球則獲勝概率為，（C），同理時(shí)，乙肯定輸了上一局，（C），若輸球則輸?shù)舯荣?，若贏球則獲勝概率為，則（C），當(dāng)時(shí)，若乙贏了上一局，（C），若贏球則獲勝概率為，若輸球則獲勝概率為，同理得（C），若乙輸了上一局，（C），同理可得（C），且初始（C），故乙同學(xué)最終獲勝得概率等價(jià)于，故，解方程組可得．故概率為．18．（17分）已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)滿足，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，過的直線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，過點(diǎn)作直線的垂線，交軸正半軸于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)．記△，△，△的面積分別為，，．（1）求的準(zhǔn)線方程；（2）證明：；（3）求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以，解得，則拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明：設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，消去并整理得，由韋達(dá)定理得，所以，由拋物線定義得，，所以，得證；（3）令，此時(shí)，代入拋物線方程得，，即，，，因?yàn)?，且直線的斜率，所以直線，即，令，解得，由，，可得直線，聯(lián)立，解得，所以，設(shè)，，可得，當(dāng)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，此時(shí)．19．（17分）如圖，四棱錐的各個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上，且，，平面．（1）證明：平面平面；（2）求四棱錐體積的最大值；（3）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最小值．【解答】（1）證明：由題意知，，，，四點(diǎn)共圓，所以，因?yàn)椋?，即，由平面，平面，可得，又，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）解：作，由（1）知平面平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，記四棱錐的體積為，則，而，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，由平面，平面，知，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，因?yàn)椋?，所以，故四棱錐體積的最大值為．（3）解：取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，過點(diǎn)且平行于的直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由（2）知，，，所以，即，所以，0，，設(shè)與軸交于點(diǎn)，則，2，，即是的中點(diǎn)，所以，不防設(shè)，，，其中，所以，，，易知平面的一個(gè)法向量為，0，，設(shè)直線與平面所成角為，則，，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，0，時(shí)，等號成立，故直線與平面所成角的正弦值的最小值為．——————————————————————————————————————————《初、高中數(shù)學(xué)教研微信系列群》簡介：目前有80個(gè)教研群（2個(gè)管理群、20個(gè)高中總?cè)海?1個(gè)分省群，4個(gè)教材主題研討群、3個(gè)初中群），共約20000多優(yōu)秀、特、高級教師，省、市、區(qū)縣教研員、教輔公司數(shù)學(xué)編輯、報(bào)刊雜志初中、高中數(shù)學(xué)編輯等匯聚而成，是一個(gè)圍繞高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究展開教研活動(dòng)的微信群.宗旨：腳踏實(shí)地、不口號、不花哨、接地氣的初、高中數(shù)學(xué)教研！