1、矩陣引例2、矩陣的定義3、矩陣相等4、特殊的矩陣教學(xué)要求：(1)理解矩陣的概念.(2)了解零矩陣、方陣、單位矩陣、對角矩陣、數(shù)量矩陣等矩陣是線性代數(shù)的一個最基本概念，也是數(shù)學(xué)中一個最基本的工具。矩陣理論在二十世紀得到了飛速發(fā)展，成為在物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)、經(jīng)濟學(xué)、數(shù)據(jù)科學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支。

本章介紹矩陣的概念，矩陣的基本運算，逆矩陣的概念，矩陣的分塊與矩陣的初等變換，最后介紹矩陣的秩等內(nèi)容。1、矩陣引例的解，由克拉姆法則知，該方程組的解取決于系數(shù)aij(i,j=1,2,...,n),常數(shù)項bi(i=1,2,...,n).【例2.1】考察n個未知量與n個線性方程的方程組這就是矩陣那么，對線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對這張表(矩陣)的研究.將線性方程組的系數(shù)aij與常數(shù)bi按原位置排成數(shù)表：與數(shù)表（矩陣）例如：線性方程組對應(yīng)。【例2.2】某航空公司在A,B,C,D四城市之間開辟了若干航線,如圖所示表示了四城市間的航班圖,如果從A到B有航班,則用帶箭頭的線連接

A與B，等等.從i市到j(luò)市有1條單向航線；從i市到j(luò)市沒有單向航線城市間的航班示意圖四城市間的航班圖情況可用表格來表示:發(fā)站到站其中表示有航班.為了便于計算,把表中的

改成1,空白地方填上0,就得到一個數(shù)表:這個數(shù)表反映了四城市間交通聯(lián)接情況.定義2.1

由m×n個數(shù)aij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)排成m行n列的數(shù)表稱為m行n列的矩陣，簡稱m×n

矩陣，記作A。這m×n個數(shù)稱為矩陣A的元素，簡稱為元，數(shù)aij

稱為矩陣A的(i,j)元,以數(shù)aij為(i,j)元的矩陣A可記作(aij)或(aij)m×n

。用粗體大寫字母A,B,C,…

等表示矩陣.2、矩陣定義說明:（1）

矩陣與行列式比較：從形式上看矩陣與行列式很相似，但它們有本質(zhì)上的區(qū)別。①行列式是一個算式，其結(jié)果是數(shù)；而矩陣是數(shù)表，僅此而已。②行列式的行數(shù)與列數(shù)必須相等，而矩陣的行數(shù)與列數(shù)可以相等，也可以不相等。行列式矩陣

(2)實矩陣：元素是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣，元素是復(fù)數(shù)的矩稱為復(fù)矩陣。本課程中除特別說明外，都指實矩陣。(3)零矩陣：元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記作O.注意:不同型的零矩陣是不同的！(4)行矩陣：若矩陣A=(aij)m×n的行數(shù)m=1,即

稱為行矩陣，又稱行向量。若矩陣A=(aij)m×n的列數(shù)n=1,即稱為列矩陣，又稱列向量。有時,行矩陣的元與元之間用逗號隔開，也簡記作(5)方陣：行數(shù)與列數(shù)相同，且都等于n的矩陣稱為n階矩陣

或n階方陣。n階矩陣也記作An.A2為2階方陣；B3為3階方陣

.當(dāng)矩陣An=(aij)n階數(shù)n=1時,一階方陣A1=(a11)是一個數(shù)a11,因此,今后一階方陣和一個數(shù)等同看待,即一階矩陣可省略圓括號，記為(a11)=a11.(6)對角矩陣：

n階方陣從左上角到右下角的直線叫做主對角線,主對角線不在主對角線上的元素aij(i≠

j)都為0的方陣稱為對角矩陣，即形如矩陣為對角矩陣，簡記作注：對角矩陣在書寫時可省略“0”,用空白替代,且aii簡記為ai,即例如，以下列舉了2，3，4階單位矩陣:(7)單位矩陣：主對角線上元素全為1的對角矩陣叫做單位矩陣，n階單位矩陣記為In或En,簡記作I或E.2階單位矩陣3階單位矩陣4階單位矩陣(8)數(shù)量矩陣:主對角線上的元素都等于數(shù)“a”的對角矩陣稱為a的數(shù)量矩陣,數(shù)a的n階數(shù)量矩陣記為aEn或aIn,即例如，數(shù)“5”的3階數(shù)量矩陣為5E3,即顯然,當(dāng)a=1時，數(shù)“1”的數(shù)量矩陣就是單位矩陣.即1En=En。兩個矩陣的行數(shù)相等，列數(shù)也相等時，就稱它們?yōu)橥途仃嚒Ｈ绻鸄=(aij)與B=(bij)是同型矩陣，并且它們的對應(yīng)元相等，即那么就稱矩陣A與矩陣B相等。記作A=B.3、矩陣相等例如：

設(shè)解:已知A=B,求x,y,z.因為A=B,所以兩矩陣對應(yīng)元相等，故【例2.1】設(shè)矩陣A=(aij)3

4,其中【解】依題意，矩陣A的行數(shù)為3，列數(shù)為4，故行標(biāo)i可取1，2，3，列標(biāo)j可取1，2，3，4，所以A的第一行元素分別為類似可求出A的第二、三、四行的元素，故得試寫出矩陣A。A=其中aij為工廠向第

i(i=1,2,3)店發(fā)送第j(j=1,2,3,4)種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價及單件重量也可構(gòu)成矩陣：【例2.3

】某公司向3個商店發(fā)送4種產(chǎn)品的數(shù)量可列成矩陣這四種產(chǎn)品的單價及單件重量也可構(gòu)成矩陣：其中bi1為第i種產(chǎn)品的單價，bi2為第i種產(chǎn)品的單件重量(i=1,2,3,4)。注：注意到矩陣B的第一列數(shù)值與第二列的數(shù)值量綱不同！可見量綱不同的數(shù)值也可以構(gòu)成矩陣。

定義2.2

設(shè)n個變量x1,x2,…,xn與m個變量y1,y2,…,ym之間的關(guān)系式稱為變量x1,x2,…,xn到變量y1,y2,…,ym的線性變換,其中aij(i=1,2,...,n;j=1,2,...,m)為常數(shù),稱為變換系數(shù)。矩陣A=(aij)m×n稱為線性變換矩陣。4、線性變換矩陣的變換矩陣線性變換給定了線性變換，它的系數(shù)所構(gòu)成的矩陣也就確定。反之，如果給出一個矩陣作為線性變換的變換矩陣，則線性變換也就確定。在這個意義上說，線性變換和變換矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系。則變換矩陣為例如，給定線性變換，反之給定線性變換矩陣則對應(yīng)的線性變換為:1.寫出下列矩陣（1）設(shè)矩陣A=(aij)4×5,其中aij=2i-j,試寫出矩陣A.（2）設(shè)矩陣A=(aij)4×4,其中aij=i+j(i≥j),aij=1/(i+j)(i<j),試寫出矩陣A.練習(xí)2.設(shè)矩陣且A=B，求x,y,z。3.寫出下列線性變換的變換矩陣END2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.

注：矩陣相加就是兩個矩陣對應(yīng)位置兩元相加.定義2.3

設(shè)兩個m×n矩陣A=(aij),B=(bij),定義矩陣C=(aij+bij)m×n

,即稱C為矩陣A

與B

的和，記作C=A+B。2.2.1、矩陣加法A+B=AB例如：注:(1)只有兩矩陣是同型矩陣，才能兩矩陣相加.(2)矩陣的加法可以推廣到有限個矩陣求和，如三個同型矩陣A,B,C,求和為A+B+C.(3)顯然,兩個對角矩陣的和還是對角矩陣,即(4)負矩陣：設(shè)矩陣A=(aij)m×n,記

A=(

aij)m×n,則

A稱為A的負矩陣。矩陣減法的定義A

B

=A+(

B

).例如：可以證明,矩陣加法滿足以下四條運算規(guī)律:(3)對于所有的矩陣A，都有A+(

A)=O.(4)對于所有的矩陣A，都有A+O=A.設(shè)A,B,C

都是m×n矩陣，則加法滿足：(2)結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C).(1)交換律A+B=B+A.矩陣加法應(yīng)用舉例：某單位三位職工1、2月份的工資及明細如下表，求該三位職工的兩個月的工資及及明細的合計數(shù)?；竟べY(百元)職務(wù)津貼(百元)代扣代繳(百元)實發(fā)總額(百元)1月張三2515238李四2916342王五35254562月張三2516140李四2917244王五3526457分別記1、2月份的工資及明細為矩陣A，B，即2516140291724435264572515238291634235254565031378583358670518113那么A+B表示該三位職工的兩個月的工資及明細合計。基本工資(百元)職務(wù)津貼(百元)代扣代繳(百元)實發(fā)總額(百元)1月2月份合計張三5031378李四5833586王五70518113三位職工的兩個月的工資合計及明細合計定義2.4

常數(shù)c與矩陣A=(aij)m×n

的乘積記作cA,定義為說明：數(shù)與矩陣的乘積就是用這個數(shù)去乘矩陣中的每個元素。2.2.2數(shù)乘矩陣及其運算性質(zhì)數(shù)與矩陣的乘積稱為矩陣的數(shù)乘運算。cA例如，3可以證明，數(shù)乘矩陣滿足以下四條運算規(guī)律：注：矩陣的相加與數(shù)乘運算統(tǒng)稱為矩陣的線性運算。設(shè)A、B

為m×n矩陣，c，d是常數(shù)，則數(shù)乘運算滿足：（1）結(jié)合律：(cd)A=c(dA)=d(cA);（2）分配律：(c+d)A=cA+dA;（3）分配律：c(A+B)=cA+cB;（4）常數(shù)1與A相乘：1A

=A。區(qū)別：數(shù)乘行列式數(shù)乘矩陣數(shù)乘行列式等于該數(shù)乘行列式中某行每個元素。數(shù)乘矩陣等于該數(shù)乘矩陣中每個元素?！纠?.4】某物流企業(yè)從兩個生產(chǎn)地直接將商品運到三個銷售地，設(shè)生產(chǎn)地到銷售地的距離(單位：km)矩陣為其中bij表示第i個生產(chǎn)地到第j個銷售地的距離(單位：km)，已知9.6米貨車拉18噸貨物，每噸每千米運費為0.5元，那么貨車拉滿18噸貨物從各產(chǎn)地到各銷地運費矩陣為從各產(chǎn)地到各銷地運費矩陣為其中cij表示第i個生產(chǎn)地到第j個銷售地的運費(單位：元).C=180.5B，即【例2.5】若【解】由矩陣線性運算定義及運算性質(zhì)，有A+B=求A+B，A

B，3A+2B.A

B=3A+2B=【例2.6】設(shè)注：這種含有未知矩陣的矩陣等式也稱為矩陣方程。，且A+4X=B，求矩陣X.【解】已知A+4X=B，移項可得4X=B

A，而B

A所以，X=如：設(shè)已知

A+(1/2)X=B,求X.解：在等式中移項得，再兩邊乘以2得所以2.設(shè)矩陣A=且2(A-E)+X=3(A+X),求矩陣X.1.若求2A+3B.練習(xí)END2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.定義2.5

設(shè)A=(aik)是m×s矩陣，B=(bkj)是s×n矩陣，定義A

與B

的乘積是一個m×n的矩陣C=(cij),

其中記作C=AB。2.2.3矩陣乘法1、矩陣乘法定義說明：（1）兩個矩陣相乘，其結(jié)果仍是一個矩陣。習(xí)慣上，矩陣A與B乘積AB也稱為A左乘B或者B右乘A

。（2）乘積C=AB的（i,j）元cij是A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元乘積再求和A的第i行與B的第j列的對應(yīng)元乘積再求和示意圖：×××cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsjcij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj（3）只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣（左矩陣）的列數(shù)與第二個矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時才能相乘。例如：設(shè)例題表明：行矩陣乘以列矩陣結(jié)果為一階矩陣，一階矩陣括號可以省略，因而一階矩陣也就是一個數(shù)。求AB,BA.解：例題表明：列矩陣乘以行矩陣結(jié)果為m×n矩陣，其中m為列矩陣的行數(shù)，n為行矩陣的列數(shù)。注：顯然，AB與BA不相同，因而矩陣乘法不滿足交換律?！纠?.7】設(shè)A，B=，求AB.【解】設(shè)，AB的第一行元素類似求出第二行，所以求乘積矩陣AB

的動畫演示！10

=0×4+5×1+(-1)×(-1)+4×110

=0×4+5×1+(-1)×(-1)+4×1例如

設(shè)矩陣（3）一般情況下，

AB有意義，BA不一定有意義，即使BA有意義，也不一定有AB=BA

，即矩陣的乘法不滿足交換律。求AB，BA.

（4）兩個不為零的矩陣的乘積可以為零矩陣，或者說由AB=O也不能說明A=O或B=O，即矩陣的乘法不滿足消去律。有例外，比如設(shè)則有此時有AB=BA.（5）可交換矩陣定義2.6給定矩陣A，B，若AB=BA，則稱矩陣A與B可交換.可以證明：（1）可交換的矩陣一定是同階方陣。（2）與一個給定的方陣可交換的矩陣有無數(shù)多個。例如：與可交換的矩陣有等等。設(shè)矩陣A,B,C

以下運算都是可行的，則滿足下列運算規(guī)律:（1）結(jié)合律:(AB)C=A(BC);（2）數(shù)乘結(jié)合律:k(AB)=(kA)B=A(kB);（3）左分配律:A(B+C)=AB+AC;右分配律(B+C)A=BA+CA;（4）對于單位陣,EmAm×n=Am×nEn=Am×n或簡寫成EA=AE=A.2、乘法運算律（方法2）運用乘法分配律【例2.8】已知【解】(方法1）先分別求AB與AC，然后求和AB+AC求AB+AC.AB+AC=A(B+C)AB+ACAB+AC其中k

是整數(shù)。由定義，只有方陣才有乘冪的概念。乘冪滿足下列運算規(guī)律：AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl,

其中k,l

為正整數(shù)。3、n

階方陣的方冪定義2.7

設(shè)A為n階方陣，定義A的k次乘冪為例如求A3.先求A2，再求A3，注：由于矩陣乘法不滿足交換律，所以一般來說:例如：若(AB)≠BA,則

(AB)k≠AkBk

(k>1).(AB)2=(AB)(AB)≠A2B2.(AB)3=(AB)(AB)(AB)=A(BA)2B≠A3B3.等等

由定義,對角矩陣的冪等于對角線上元素的冪,即【例2.9】已知AA2

2A求A2

2A.【解】(方法1)(方法2)運用乘法的分配律，有A2

2A=(A

2E)A=A(A

2E)，所以A2

2A=(A

2E)A【例2.10】設(shè)A與B是可交換矩陣，證明：(A

B)(A+B)=A2

B2.【證】運用矩陣乘法的左、右分配律，有(A

B)(A+B)=(A

B)A+(A

B)B（左分配律）

=A2

BA+AB

B2，（右分配律）由于AB=BA，故(A

B)(A+B)=A2

B2.【例2.11】若AB=BA，證明(A+B)2=A2+B2+2AB.證明所以即(A+B)2=A2+B2+2AB.因為AB=BA,A2+B2+BA+AB=A2+B2+2AB.證畢.思考：若AB=BA，證明:(1)(A

B)2=A2+B2

2AB.(2)A2

B2=(A

B)

(A+B).注：例與思考題的結(jié)論很像初等數(shù)學(xué)中的平方（或差）公式,不妨稱其為矩陣的平方（或差）公式.但要注意矩陣的平方差（或差）公式成立是有條件的,即A與B要滿足可交換條件.4、矩陣多項式定義2.7

設(shè)x的k次多項式f(x)=a0xk+a1xk-1+…+ak-1x+ak,其中a0,a1,…,ak-1,ak為常數(shù)，A為n階方陣，En為n階單位矩陣，定義f(A)=a0Ak+a1Ak-1+…+ak-1A+akEn,稱f(A)為f(x)對應(yīng)的k次矩陣多項式，簡稱f(A)為A的矩陣多項式。事實上，矩陣A與矩陣A的多項式f(A)可交換，即Af(A)=f(A)A。5、矩陣乘法的應(yīng)用（教材補充?。?）線性方程組的矩陣表示設(shè)線性方程組利用矩陣乘法，可記作AX=b,記這稱為線性方程組的矩陣表示。即例如，線性方程組則線性方程組的矩陣表示記即Ax=b.(2)設(shè)線性變換的矩陣表示。利用矩陣乘法，則y=Ax,這稱為線性變換的矩陣表示。記設(shè)則線性變換的矩陣表示例如，給定線性變換3

6

07

-1

2

354161

（3）矩陣的行（列）和1

1

11結(jié)論：在矩陣A的右側(cè)乘上元為1的列矩陣相當(dāng)于求矩陣A的每行和。如：求矩陣的每一行的和3

6

07

-1

2

354161

求矩陣的每一列的和結(jié)論：在矩陣A的左側(cè)乘上元為1的行矩陣相當(dāng)于求矩陣A的每一列的和。3

6

07

-1

2

354161

（4）提取矩陣的某行（列）0

1

00提取矩陣的第i列，即在矩陣A

的右側(cè)乘上第i(=2)個元為1其余元為0的列矩陣相當(dāng)于提取矩陣A

的第i(=2)列。（提取第2列）1.計算練習(xí)END2.2.1矩陣的加法及其性質(zhì)2.2.2數(shù)乘矩陣及其性質(zhì)2.2.3矩陣的乘積及其性質(zhì)2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置及其性質(zhì)2.2.5矩陣的行列式教學(xué)要求：(1)掌握矩陣的線性運算、乘法、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)則;(2)了解對稱矩陣、反稱矩陣以及基本性質(zhì);(3)了解伴隨矩陣的概念.教學(xué)內(nèi)容：1、矩陣的轉(zhuǎn)置運算及其性質(zhì)2、對稱矩陣3、反對稱矩陣定義2.8

設(shè)m×n矩陣A=(aij)m×n,將A的第i行寫成新矩陣的第i列2.2.4矩陣的轉(zhuǎn)置(稱為互換A的行與列),稱新矩陣為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作AT,即AT

=(aji)n×m1、的轉(zhuǎn)置矩陣的定義矩陣轉(zhuǎn)置演示其轉(zhuǎn)置是

例如，矩陣若A=則AT=矩陣轉(zhuǎn)置滿足以下運算規(guī)律：（1）轉(zhuǎn)置再轉(zhuǎn)置：對于任意矩陣A，

(AT)T=A;（2）和矩陣的轉(zhuǎn)置：給定矩陣A,B，則(A+B)T=AT+BT;（3）數(shù)乘矩陣的轉(zhuǎn)置：任意常數(shù)c，(cA)T=cAT;（4）乘積矩陣的轉(zhuǎn)置：給定矩陣A,B，則(AB)T=BTAT;證明略！下面用一個具體例子說明規(guī)律（4）。解法1

先計算乘積AB，再轉(zhuǎn)置所以因為求

(AB)T例如：已知解法2

先將A，B分別轉(zhuǎn)置，再計算乘積BTAT。所以因為定義2.9

設(shè)A=(aij)為n階方陣，如果滿足AT=A,即則稱A為對稱矩陣。對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等。顯然，2、對稱矩陣aij=aji

(i,j=1,2,3,…,n)由定義，對角矩陣，單位矩陣，數(shù)量矩陣是對稱矩陣。例如，A是一個3階對稱陣。是一個4階對稱陣。事實上,由轉(zhuǎn)置的性質(zhì)，得命題1（1）對于任意n階方陣A，則A+AT是對稱矩陣；（2）對于任意m×n階矩陣B,

則BBT,BTB是對稱矩陣。(A+AT)T=AT+(AT)T

=AT+A=A+AT;(BBT)T=(BT)T

BT=BBT;(BTB)T=BT

(BT)T

=BTB.注：BTB與BBT不一定相同。例如由定義，反對稱陣的主對角線元全為數(shù)0，其余的元素關(guān)于主對角線為成對稱的相反數(shù)。是3階反對稱陣。3.反對稱矩陣定義2.10

設(shè)A=(aij)為n階方陣，如果滿足AT=-A,即則稱A為反對稱矩陣。其中(A+AT)

是對稱矩陣，(A

AT)

是反對稱矩陣。關(guān)于對稱陣與反對稱陣有如下結(jié)論:(1)設(shè)A,B均為n階對稱矩陣,則A+B,kA是對稱矩陣.(2)設(shè)A,B均為n階反對稱矩陣,則A+B,kA也是反對稱矩陣.(3)任一方陣A都可以分解成對稱陣與反對稱陣的和。事實上，這因為計算ATA,BA,ATBA.BA=【例2.11】設(shè)ATA=【解】計算ATA,BA,ATBA.ATBA=AT(BA)【例2.11】設(shè)BA=【例2.12】設(shè)A,B均為n階對稱矩陣，則AB為對稱矩陣的充分必要條件是A,B為可交換矩陣.【證】(必要性)設(shè)AB為對稱矩陣，即(AB)T=AB，又(AB)T=BTAT=BA,所以

AB=BA,即A、B為可交換矩陣.(充分性)設(shè)A,B為可交換矩陣，則AB=BA，所以(AB)T=BTAT=BA=AB即AB為對稱矩陣.【例2.13】設(shè)矩陣X=(x1,x2,…,xn)T,滿足XTX=1,E

為n階單位矩陣,H=E

2XXT,證明H是對稱矩陣，且HHT=E。證明：對稱矩陣，且因為HT=(E

2XXT)T=ET

2(XXT)T=E

2XXT=H,所以H是HHT=H2=(E

2XXT)2=E2

4E(XXT)

+4(XXT)(XXT)=E

4XXT+4X(XTX)XT=E

4XXT+4X(1)XT=E證畢。定義2.11

由n

階方陣A=(aij)n的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），叫做方陣A的行列式，記作|A|或det(A)。

2.2.5方陣的行列式例如，矩陣則A的行列式可以證明,矩陣行列式運算有如下性質(zhì).設(shè)A、B

為n階方陣，c為常數(shù)，則矩陣A

、B的行列式滿足:①轉(zhuǎn)置矩陣：|AT|=|A|,即A的轉(zhuǎn)置行列式與A的行列式相等。②數(shù)乘矩陣：|cA|=cn|A|,即A的數(shù)乘行列式等于該數(shù)的n次冪乘

A的行列式;③乘積矩陣：

|AB|=|A||B|=|BA|,即乘積矩陣行列式等于各個矩陣的行列式乘積;④方冪矩陣：|Ak|=|A|k

(k為正整數(shù)),即A的方冪矩陣行列式等于矩陣

A的行列式方冪.

對于n階單位矩陣En，有|En|=1，即對于對角矩陣

=diag(a1,a2,…,an

)，有|

|=a1a2…an,即結(jié)論：單位矩陣的行列式值等于1。結(jié)論：對角矩陣的行列式值等于對角線元素的乘積。定義2.12

設(shè)n(n>1)階矩陣A=(aij),由|A|中各個元素aij的代數(shù)余子式Aij

所構(gòu)成的n階矩陣

(Aij)T

稱為矩陣A的伴隨矩陣，記作A*，即2、伴隨矩陣由定義，矩陣A的伴隨矩陣的第i列是|A|的第i行元素的代數(shù)余子式.證明（1）設(shè)A=(aij),且記AA*=(bij),則定理2.1

（伴隨矩陣的性質(zhì)）：(1)AA*=A*A=|A|E,即A與A*可交換，且A*A是|A|的數(shù)量矩陣。(2)|A*|=|A|n-1(n為A的階數(shù)),即A*的行列式等于|A|n-1。所以，由矩陣的乘法定義,有同理可證A*A=|A|E，

這說明A與A*

是可交換矩陣，且A*A,AA*是|A|的數(shù)量矩陣。又由行列式的按行展開定理,有所以所以AA*=A*A=|A|E.

證畢(2)由性質(zhì)（1），因為AA*=|A|E，兩邊同取行列式有當(dāng)|A|≠0時，上式兩邊同除|A|，得|A*|=|A|n-1.|AA*|=||A|E|,所以所以不論|A|是否為0，都有|A*|=|A|n-1.

證畢|A||A*|=|A|n|E|=|A|n,當(dāng)|A|=0時，在第三章里也能證得|A*|=0.|AA*|=||A|E|,說明：(1)性質(zhì)表明,A與其伴隨矩陣A*是可交換的矩陣.這樣,當(dāng)A已知時,就可找到和A的可交換的矩陣來.(2)要靈活應(yīng)用性質(zhì)。若記A*的伴隨矩陣為(A*)*,則有A*(A*)*=(A*)*A*=|A*|E.作為教材補充，以下例舉求伴隨矩陣的例子！的伴隨矩陣（a,b,c,d為常數(shù)）。解：|A|的第1行的元素的代數(shù)余子式所以【補例1】求二階矩陣|A|的第2行的代數(shù)余子式將A的每行的元素的代數(shù)余子式按列排，的伴隨矩陣為二階矩陣規(guī)律：二階矩陣的伴隨矩陣是原矩陣主對角線元交換位置，其余元取相反數(shù)。的伴隨矩陣。解：|A|的第一行的元素的代數(shù)余子式【補例2】求|A|的第2行的代數(shù)余子式，，，，，，所以|A|的第3行的代數(shù)余子式將|A|的每行的元素的代數(shù)余子式按列排，這是|A|的第1行元素的代數(shù)余子式！這是|A|的第2行元素的代數(shù)余子式！這是|A|的第3行元素的代數(shù)余子式！2.設(shè)矩陣A=求(AT+A),(AT

A).1.若求(1)2AT+3BT

;(2)AAT及ATA;3.設(shè)矩陣X=求H=E

2XXT,并驗證HHT=E3.(3)ATB及ABT.練習(xí)3.設(shè)矩陣A=(aij)為3階實矩陣,且aij=Aij,a33=

1,求A的行列式|A|.1.若求|A|,A*,|A*|.練習(xí)2.若A=,求|A|,A*,|A*|

，A**.考研真題3.(2012數(shù)學(xué)三)設(shè)A為3階矩陣,|A|=2,A*為A的伴隨矩陣，若交換A的第一行與第二行得矩陣B,則|BA*|=（）.1.(2010數(shù)學(xué)三)設(shè)A,B為3階矩陣，且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2，則|B-1+A|=（

）。

滿足BA=B+2E,則|B|=（

）.2.(2006數(shù)學(xué)三)設(shè)矩陣E為2階單位矩陣，矩陣A4.（2005數(shù)學(xué)3）設(shè)A=(aij)3×3滿足A*=AT，其中A*為A的伴隨矩陣，AT為A的轉(zhuǎn)置矩陣，若a11,a12,a13為3個相等的正數(shù)，則a11為（A

）

。END教學(xué)內(nèi)容1、逆矩陣的概念2、矩陣可逆的條件3、逆矩陣的性質(zhì)啊教學(xué)要求：理解逆矩陣的概念；掌握逆矩陣的性質(zhì)；掌握用伴隨矩陣求逆矩陣方法.在上一節(jié)中，我們定義了可交換矩陣的概念，即若AB=BA，稱A與B是可交換的。本節(jié)我們探討A與B不僅可交換，而且滿足AB=BA=E的情形，從而建立逆矩陣的概念。則稱方陣

A

是可逆的，并把方陣

B

稱為

A

的逆矩陣。說明：（1）只有方陣才有逆矩陣的概念。（2）當(dāng)B

為A

的逆矩陣時，A也是B

的逆矩陣。因此也稱A與B是互逆矩陣。定義2.13

對于n階方陣A，如果有一個n階方陣B，使AB=BA=E，1、逆陣的定義例如因為AB=BA=E,所以B是A的逆矩陣，同樣A

也是B

的逆矩陣。

滿足AA

1

=A

1A

=E。（3）如果方陣A是可逆的，則

A

的逆陣一定是唯一的。這是因為：設(shè)B、C

都是

A的逆矩陣，則有B=BE=B（AC）=（BA）C=EC=C，即A

的逆陣唯一。A的逆陣記作A

1,這樣BA=AB=

E,AC=CA=E,所以例如所以B

是A的逆陣，即A

1=B?；?/p>

因為AB=BA=E

，（4）有了逆矩陣概念，一些矩陣方程的解就可以用逆矩陣來表示.比如，在用矩陣表示的線性方程組Ax=b中，如果A可逆，則在方程的兩邊同時左乘A

1，得A

1Ax=A

1b，又因為A

1A=E，Ex=x，所以方程的解可表示為x=A

1b.這一方程解的形式比較簡潔，也很“美”!(5)有不可逆的矩陣存在，如是不可逆的矩陣，因為不存在這樣的矩陣B，使AB=BA=E2成立。那么，什么樣的矩陣一定是可逆的矩陣呢？在可逆的情況下，又如何求出逆矩陣呢？這兩個問題在下面將給出答案。定理2.2

若方陣

A可逆，則

A

的行列式不等于0。

定理表明：可逆矩陣的行列式一定不等于零。2、矩陣可逆的條件證明：

A

可逆，即存在

A

1，使

AA

1=

E

，故|A||A

1|=|E

|=1≠0，所以|A|≠0。定理2.2的逆命題也成立。定理2.2’

若矩陣A

的行列式不等于0，則A

可逆，且證明：由伴隨矩陣性質(zhì)知

AA*=A*A=|A|E，因為|A|≠0,兩邊同除以|A|,故有其中A*是

A的伴隨矩陣。所以，由定理2.2和2.2’可得矩陣可逆的充分必要條件：說明：(1)行列式不等于零的方陣又叫做非奇異矩陣.因此,非奇異矩陣和可逆矩陣是等價概念.行列式等于零的矩陣自然叫做奇異矩陣。

方陣A

可逆的充分必要條件是|A|≠0,且A

1

=|A|

1

A*

.的行列式|A|=0，所以A是奇異矩陣。例如：矩陣(2)從可逆的充要條件可以體會,前面為什么我們對行列式的值是否為“0”感興趣！(3)公式

A

1

=|A|

1

A*

給出了求逆矩陣的方法,即先計算A的行列式,當(dāng)行列式不為零時,再計算A的伴隨矩陣A*,最后寫出A的逆矩陣,這一方法也稱為伴隨矩陣法.

【例2.15】設(shè)求A

1.說明：通常利用伴隨陣A*來計算A的逆矩陣的方法只限于階數(shù)不超過3的矩陣，否則計算量可能很大。對于階數(shù)高于3的矩陣，以后將介紹用初等變換的方法來求逆矩陣。所以解：

因為|A|=

1≠0

，故A可逆。又A的伴隨矩陣為【例2.16】

設(shè)解：因為|A|=

求A的逆矩陣A

1.所以A-1存在。再求A的伴隨矩陣，因為同理故所以A的伴隨矩陣為B=EB=(A

1A)B=A

1(AB)=A

1E=A

1。定理2.3

設(shè)A,B均為n階方陣，若

AB=E(或

BA=E)，則B=

A

1。證明：因為|A||B

|=|E

|＝1，故|A|≠0，因而A

1存在，于是說明:(1)定理也可表述為：若AB=E，則BA=E。(2)定理表明，證明B是否為A的逆矩陣，只要驗證等式AB=E或BA=E中的一個成立即行了,與定義2.13相比較，減少了計算量。3、逆矩陣運算性質(zhì)（3）由定理，可得對角矩陣的逆矩陣。設(shè)對角矩陣則A的逆矩陣對角矩陣的逆矩陣是對角線上元素取倒數(shù)！可見，對角矩陣的逆矩陣是對角線上元素取倒數(shù)。思考：單位矩陣E的逆矩陣是多少？（答案：E-1=E）【例2.17】設(shè)矩陣A滿足A2-A-2E=O，證明A,A+2E都可逆，并求它們的逆矩陣。證明：由A2-A-2E=O,移項得A2-A=2E，所以A(A-E)=2E,又由A2-A-2E=O,變形可得A2+2A-3(A+2E)+4E=O，由乘法分配律得,(A+2E)(A-3E)+4E=O,故(A+2E)可逆，且說明：從例題看出，求A-1

及(A+2E)-1

就是將其表示成A與E的表達式。性質(zhì)1(自反性)若A可逆,則A

1也可逆,且(A

1)

1=A.證明根據(jù)定理2.3,只需做一個乘積,因為AA

1=E,故得證.性質(zhì)2(數(shù)乘矩陣的逆矩陣)若A可逆,且常數(shù)k≠0,則kA也可逆,且(kA)

1=k

1A

1.證明因為(kA)(k

1A

1)=(kk

1)(AA

1)=1E=E,故由定理2.3,得(kA)

1=k

1A

1,證畢性質(zhì)3(乘積矩陣的逆矩陣)若A,B是同階矩陣且都可逆,則(AB)

1=B

1A

1.證明因為

(AB)(B

1A

1)=A(BB

1)A

1=AEA

1=AA

1=E,故由逆矩陣定義,得(AB)

1=B

1A

1,證畢.性質(zhì)4(轉(zhuǎn)置矩陣的逆矩陣)若A可逆,則AT也可逆,且(AT)

1=(A

1)T.證明因為AT(A

1)T=(A1A)T=ET=E,故由逆矩陣定義（或定理2.3）,得(AT)

1=(A

1)T.證畢.性質(zhì)5(逆矩陣的行列式)若A可逆,則|A

1|=|A|

1.證明因為AA

1=E,所以由矩陣乘積的行列式性質(zhì),得|AA

1|=|E|=|A||A

1|=1,故|A

1|=|A|

1.證畢.不難證明,逆矩陣還有如下兩個常用的結(jié)論：(1)若A可逆,k為正整數(shù),則(Ak)

1

=(A

1)k;(2)若A可逆,則A的伴隨矩陣A*也可逆，且(A*)

1=(A

1)*=|A|

1A.方陣冪運算的推廣：當(dāng)|A|≠0，k,s

為整數(shù)時，有當(dāng)|A|≠0時，定義A0=E,A

k

=(A

1)k,其中k為正整數(shù)。負指數(shù)冪：因為|A|=記【例2.18】解線性方程組【解】方程組的矩陣式為即方程組的解為所以A可逆，且故【例2.19】設(shè)解：因為

求矩陣X使?jié)M足AXB=C。所以A

1

,B

1存在.

于是，又由AXB=C【補例4】設(shè)四階矩陣A的行列式|A|=2,求|3A

1

A*|.解因為|A|=2,所以A可逆.又因為AA*=A*A=|A|E,所以A*=|A|A

1=2A

1

,這樣,|4A

1

A*|=|4A

1

2A

1|=|2A

1|=(2)4|A

1|=16|A|

1=8.注：這種含有A

1,A*的計算問題，通常把A*轉(zhuǎn)化成A

1的表達式。解：由XA+2E=A2+X可得2E

A2=X

XA，即2E

A2=X(E

A)，所以X=(2E

A2)

(E

A)

1

，【補例5】設(shè)3階方陣X滿足XA+2E=A2+X(E為單位矩陣),求X,其中2.若A2=A,求證A+E可逆,并求(A+E)

1.1.用伴隨矩陣法求的逆矩陣

.練習(xí)3.已知4.設(shè)A,B為3階矩陣，且|A|=3,|B|=2,|A-1+B|=2，求|B-1+A|。

求矩陣X使AX=B?？佳姓骖}(2)設(shè)3階方陣X滿足X-XA2-AX+AXA2=E(E為單位矩陣),求矩陣X。1.（2015數(shù)學(xué)3）設(shè)3階方陣且A3=O,(1)求常數(shù)a;2.（2013數(shù)學(xué)3）設(shè)A=(aij)為三階非零矩陣,Aij

是aij的代數(shù)余子式，滿足aij+Aij=0(i,j=1,2,3),試證A可逆，并求A的行列式|A|。3.(2008數(shù)學(xué)3)設(shè)A為n階非零矩陣，E為n階單位矩陣，且A3=O,則（C）.(A)E-

A

不可逆,E+A不可逆;(B)E-

A

不可逆,E+A可逆;(C)E-

A

可逆,E+A可逆;

(D)E-

A

可逆,E+A不可逆.END教學(xué)內(nèi)容：1、矩陣的初等變換的概念2、階梯形矩陣3、行簡化的階梯形矩陣4、矩陣的標(biāo)準形教學(xué)要求：了解階梯形矩陣概念理解矩陣的初等變換概念掌握矩陣的初等變換方法化矩陣為標(biāo)準形了解矩陣等價的概念.定義2.14

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換：(1)互換兩行元素的位置（互換

i,j兩行，記作

ri

←→

rj

）;(2)以非零常數(shù)乘某一行中的所有元素（第

i行乘

k，記作

ri

×k）;(3)把某一行的所有元素的

k倍加到另一行對應(yīng)的元素上去（第

j行的

k倍加到第

i行上，記作ri

＋krj

）.1、矩陣的初等變換若矩陣A經(jīng)行(列)初等變換后得矩陣B，則稱A與B是等價矩陣，記為例如,對下面矩陣A進行若干次的初等行變換，得矩陣

B?；Q第1，2行第1行的-2倍加到第3行注:(1)把定義中的“行”換成“列”，即得矩陣的初等列變換的定義（所用的記號是把“r”換成“c”,即ci

←→

cj

;ci

×k;ci

＋kcj

）。(2)初等行與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。（4）矩陣之間的等價關(guān)系具有下面的性質(zhì)：

1)反身性：A～A；

2)對稱性：若A～B，則B～A；

3)傳遞性：若A～B，B～C，則A～C。數(shù)學(xué)中，把具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系。

例如,對下面矩陣A進行若干次的初等行變換，得到一個等價的階梯形矩陣B。2、階梯形矩陣

對矩陣作初等變換，要將其變換成什么樣形式的等價矩陣呢？一般說來，將其變換成階梯形矩陣有助于問題的求解。定義2.15

滿足下列條件的矩陣稱為階梯形矩陣：(1)若矩陣有零行(元素全為零的行)，零行全部位于矩陣行最下方；(2)各非零行的第一個非零元的列標(biāo)隨著行標(biāo)的遞增而嚴格增大.例如，矩陣都是階梯形矩陣。而下面這些矩陣不是階梯形矩陣：定理2.4對于任何m×n矩陣A,總可經(jīng)過有限次初等行變換把它變?yōu)樾须A梯形矩陣B。此時稱B為A的階梯形陣?！咀C】設(shè)A=(aij)m×n是一個m×n矩陣,如果A是零矩陣,則A已是階梯形矩陣;如果A不是零矩陣,則A中至少有一個不為零的元素.不妨設(shè)a11≠0,此時,把第一行乘以(

a21/a11)加到第二行相應(yīng)元素上,把第一行乘以(

a31/a11)加到第三行相應(yīng)元素上,……,依此類推,就可以把第一列除a11外的其余元素化為0,B矩陣除第一行與第一列外,右下方是一個(m

1)×(n

1)的矩陣,即若該矩陣是階梯形矩陣,則A已化成了階梯形矩陣;若該矩陣不是階梯形矩陣,則對該矩陣作類似的上述初等行變換,這樣經(jīng)過有限次的初等行變換,一定可以把A化成階梯形矩陣.證畢.若該矩陣是階梯形矩陣,則A已化成了階梯形矩陣;若該矩陣不是階梯形矩陣,則對該矩陣作類似的上述初等行變換,這樣經(jīng)過有限次的初等行變換,一定可以把A化成階梯形矩陣.證畢.【例2.20】用初等行變換將A化為階梯形陣。顯然，矩陣的階梯形矩陣不唯一?。A梯形矩陣）（行簡化矩陣）3、行簡化階梯形矩陣定義2.16

若階梯形矩陣還滿足：非零行第一個非零元為常數(shù)”1”,且這個非零元所在的列的其他元素都為數(shù)”0”，則稱該矩陣為行簡化階梯形矩陣，簡稱行簡化矩陣。定理2.5

對于矩陣A的階梯形陣B

，再經(jīng)過有限次初等行變換一定可把它變?yōu)樾泻喕A梯形矩陣C。此時稱C為A的行簡化矩陣。ABC矩陣階梯形矩陣行簡化矩陣【證】參見教材對行簡化矩陣再作初等列變換，可變成一種形狀更簡單的分塊矩陣4、矩陣的標(biāo)準形稱F為A的標(biāo)準形，其中Er是r階單位矩陣，r是A的階梯形矩陣中非零行的行數(shù)。（續(xù)例2.20）將A化為標(biāo)準形，由A的行簡化矩陣C再作列變換，得（作列變換）（A的標(biāo)準形）定理2.6

對于任一m×n矩陣A，總可經(jīng)過有限次初等變換（行變換和列變換）將其化為標(biāo)準形F，其中標(biāo)準形F由m，n，r三個數(shù)完全確定，其中r

就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)，它是唯一確定的。矩陣標(biāo)準形特點是：F

的左上角是一個單位矩陣，其余元素全為0。常見的矩陣標(biāo)準型有以下四種形狀：什么樣的矩陣的標(biāo)準型是第四種呢？我們有下面的定理。結(jié)論：設(shè)A是可逆矩陣，則A

的標(biāo)準形為單位矩陣E，即

A~E?！纠?.21】利用初等行變換化矩陣A為行階梯形矩陣,再化為行簡化階梯形矩陣,最后化為A的標(biāo)準形矩陣.

注意：化矩陣為行階梯形或行簡化形矩陣時只能用初等行變換，不得作列變換.顯然，B為矩陣A的行階梯形矩陣！顯然，C為矩陣A的行簡化階梯形矩陣！繼續(xù)對行簡化階梯形矩陣C作列變換F為矩陣A的標(biāo)準形！！1.把下列矩陣化為行簡化矩陣.練習(xí)2.設(shè)矩陣求a,b的值。的階梯形矩陣有兩個非零行，3.將矩陣A=化為標(biāo)準形。END教學(xué)內(nèi)容：1、初等矩陣的概念2、初等矩陣的性質(zhì)教學(xué)要求：理解初等矩陣的概念.理解初等矩陣與矩陣初等變換的關(guān)系；掌握用矩陣的行初等變換求逆矩陣的方法。定義2.18

由單位陣

En

經(jīng)過一次初等變換得到的方陣稱為初等矩陣。

三種初等變換(換法變換、倍法變換、倍加法變換）對應(yīng)三種初等矩陣,分別稱為換法初等矩陣、倍法初等矩陣、倍加法初等矩陣。1、初等矩陣的定義(1)換法初等矩陣：把單位陣En中的第i行(列)與第

j行(列)互換得初等矩陣En(i,j),即稱En(i,j)為換法初等矩陣。1100例如：由3階單位矩陣可得如下的換法初等矩陣：等等。由4階單位矩陣可得如下的換法初等矩陣：等等。(2)倍乘法初等矩陣。以數(shù)

k

(k≠0)乘單位陣En的第

i

行，得初等矩陣En(i(k)),即稱En(i(k))為倍乘法初等矩陣。例如：由3階單位矩陣可得如下的倍法初等矩陣：等等。

(3)倍加法初等矩陣:以單位陣En

的第

j

行乘以數(shù)k加到第

i

行上(ri+krj)[或單位陣E

的第

i列乘以數(shù)

k加到第

j列上(cj

+kci)]，得初等矩陣En(i,j（k）),即稱En(i,j(k))為倍加法初等矩陣。例如：由3階單位矩陣可得如下的倍加法初等矩陣：等等。初等矩陣的逆矩陣：由逆矩陣的定義，容易驗證初等矩陣可逆，且（1）En(i,j)-1=

En(i,j),即換法初等矩陣的逆矩陣是其本身。（2）En(i(k))-1=

En(i(1/k))，倍乘初等矩陣的逆矩陣是倍除矩陣。（3）En(i,j(k))-1=

En(i,j(-k))，倍加初等矩陣的逆矩陣是倍減矩陣2、初等矩陣的性質(zhì)

結(jié)論：初等矩陣是可逆矩陣，且逆矩陣也是同種變換初等矩陣。初等矩陣的行列式：det[En(i,j)]=

1,det[En(i(k))]=k,det[En(i,j(k))]=1.例如，下列初等矩陣的逆矩陣：（其中k為常數(shù)）。3、矩陣的初等變換與初等矩陣間的關(guān)系定理2.7(左行右列原理)設(shè)

A

是一個

m×n的矩陣，(1)對

A作一次初等行變換，相當(dāng)于在

A的左邊乘上相應(yīng)的

m階初等矩陣；(2)對

A作一次列初等變換,相當(dāng)于在

A的右邊乘上相應(yīng)的

n階初等矩陣?！咀C】在此只證明行變換的情形，列變換的情形可以同樣證明.(1)用m階初等矩陣左乘A，相當(dāng)于把A的第i行與第j行交換將矩陣A按行分塊，得A=即(2)用m階初等矩陣左乘A，得這相當(dāng)于把A的第i行乘以常數(shù)c.（3）用m階初等矩陣這相當(dāng)于把A的第j行乘以常數(shù)c加到第i行上.證畢.左乘A，得例如：交換A矩陣的第1與第2行,得矩陣B，即等同于在A的左邊乘初等矩陣E3(1,2)，即例如：互換矩陣A的第一列與第二列，得等同于在矩陣A的右邊乘初等矩陣E3(1,2)，即等同于在A的左邊乘初等矩陣E3（1(4)），即例如：矩陣A的第一行乘以數(shù)4，得矩陣B，即等同于在A的右邊乘初等矩陣E3（2(3)），即例如：矩陣A的第二列乘以數(shù)“3”，得矩陣B，即等同于在A的左邊乘初等矩陣E3(2,1(-4))，即例如：矩陣A的第1行乘以數(shù)（

4）對應(yīng)加到第2行上，等同于在A的右邊乘初等矩陣E3(2,1(-2))，即例如：矩陣A的第1列乘以數(shù)（-2）對應(yīng)加到第2列上，利用左行右列原理，注意到P1,P2是初等矩陣，因此求乘積P1AP2時，不必直接作矩陣乘法，而是通過矩陣初等變換得結(jié)果。由性質(zhì)知P1A相當(dāng)于把A

的第2行加到第3行，即有例如設(shè)即P2是由單位矩陣的第1、3行（列）交換得到初等矩陣，從而P1AP2=(P1A)P2相當(dāng)于把P1A的第1列與第3列交換，從而得又因為4、矩陣的分解定理定理2.8(矩陣的分解定理)設(shè)m×n矩陣A的標(biāo)準形為則存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps與n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt

,使證明因為A的標(biāo)準形為由定理2.5及定理2.7知,存在m階初等矩陣T1,T2,…,Ts與n階初等矩陣S1,S2,…,St,使又由于初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣,所以令則證畢.推論1

n階矩陣A可逆的充分必要條件是A可表示成初等矩陣的乘積.【證】(必要性)因為A可逆,則A的標(biāo)準形必為單位矩陣E(否則由矩陣的分解定理有|A|=0),因而存在初等矩陣P1,P2,…,Ps;Q1,Q2,…,Qt,使得A=P1P2…PsEQ1Q2…Qt

,即A可表示成初等矩陣的乘積.(充分性)設(shè)A=T1T2…Tm,其中T1,T2,…,Tm為m個初等矩陣,所以|A|=|T1||T2|…|Tm|≠0,

故A可逆.證畢.推論2

可逆矩陣經(jīng)過一系列“初等行變換”可化成單位矩陣.【證】不妨設(shè)n階矩陣A可分解成初等矩陣Ti(i=1,2,…,m)的乘積,即

A=T1T2…Tm上式兩邊分別左乘以由于初等矩陣的逆矩陣還是初等矩陣,而在A的左邊乘上一個初等矩陣,相當(dāng)于對A作一次初等行變換,因此,上式表明A經(jīng)過一系列“初等行變換”可化成單位矩陣.證畢.,得推論3

m×n矩陣

A～B

的充分必要條件是：存在

m階可逆矩陣

P以及

n階可逆矩陣

Q，使PAQ=B

。證明：因為A～B，故存在m階初等矩陣P1,P2,…,Ps以及n階初等矩陣Q1,Q2,…,Qt

，使得P1P2…Ps

A

Q1Q2…Qt=B

令P=P1P2…Ps

，

Q=

Q1Q2…Qt

，則P

為m階可逆矩陣，Q為n階可逆矩陣

Q，且PAQ=

B

。證畢。由推論2,設(shè)矩陣A可逆,則存在初等矩陣P1,P2,…,Ps,使P1P2…PsA=E(1)上式兩邊右乘A

1,則有P1P2…PsE=A

1(2)(1)式表明對A作一系列初等行變換將其化成了單位矩陣E,此時(2)式表明對單位矩陣E作同樣的初等行變換就將其化成了A

1.5、初等行變換求逆矩陣初等行變換求逆矩陣的步驟：(1)在矩陣A的右邊寫上同階的單位矩陣E,構(gòu)成一個n×(2n)矩陣(A,E)n×(2n);(2)對(A,E)n×(2n)作初等行變換,將左半的矩陣A化成單位矩陣,那么右半部的單位矩陣E就同時化成了A

1，即(A,E)→(E,A

1)(3)寫出逆矩陣A

1.解:已知A是3階矩陣,在A的右邊寫上3階單位矩陣,并對其作初等行變換,得【例2.22】設(shè)用初等行變換求A

1

.所以單位矩陣！說明：對任意一個n階矩陣A,不管其是否為可逆矩陣,都可以構(gòu)造矩陣(A,E)n×(2n),對(A,E)n×(2n)作初等行變換,在變換過程中,當(dāng)A中出現(xiàn)了零行,則可以判定原矩陣A不可逆.A的逆矩陣！【例2.23】設(shè)矩陣A=，問A是否可逆?若可逆，求出A

1.矩陣A中出現(xiàn)了零行，所以矩陣A不是滿秩矩陣，即A不可逆.【解】A是3階矩陣，在A的右邊寫上3階單位矩陣，并對其作行初等變換，得設(shè)矩陣A與B已知,X是未知矩陣,則AX=B(或XA=B)是矩陣方程.對于該方程,當(dāng)A可逆時,方程兩邊左（右）乘A

1,得方程解為X=A

1B(或X=BA

1)6、初等行變換法求解矩陣方程同求逆矩陣的分析一樣,可得初等行變換求方程AX=B解的方法.這一方法是:(1)把A與B并排寫成一個分塊矩陣(A,B)；(2)對矩陣(A,B)作一系列初等行變換,如果左半部分的A化成了單位矩陣,則與此同時,右半部分的B就被化成了A

1B,即(A,B)→(E,A

1B)=(E,X)；(3)寫出解X=A

1B.【例2.24】設(shè)求解方程AX=C

。

【解】構(gòu)造分塊矩陣(A，C)，并對其作行初等變換，得所以說明：當(dāng)A

可逆時，對于方程XA=B，先方程兩邊轉(zhuǎn)置，得

ATXT=BT,再對(AT,BT

)作初等行變換，即(AT,BT)→(E,(AT)

1BT)=(E,XT)所以X=BA

1解：因為ATXT=BT，故例如設(shè)所以求X使得XA=B.XT解畢.2.計算1.計算練習(xí)4.已知3.用初等行變換求的逆矩陣

.且AX=B,求X.5.設(shè)矩陣A=滿足AX=2X+A2

E,求矩陣X.考研真題1.(2021數(shù)學(xué)3)已知矩陣A=若存在下三角矩陣P和上三角矩陣Q，使PAQ為對角矩陣，則P,Q分別為(C).2.（