高考數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)專題詳解與習(xí)題復(fù)數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，雖然在高考中所占分值比重不算最大，但其獨(dú)特的概念和運(yùn)算體系，以及在數(shù)學(xué)后續(xù)學(xué)習(xí)中的基礎(chǔ)作用，使其成為不可忽視的一環(huán)。本專題旨在系統(tǒng)梳理復(fù)數(shù)的核心知識(shí)，剖析其內(nèi)在邏輯，并通過典型例題與習(xí)題的演練，幫助同學(xué)們夯實(shí)基礎(chǔ)，提升解題能力，從容應(yīng)對(duì)高考。一、復(fù)數(shù)的基本概念：從“無”到“有”的數(shù)系擴(kuò)充我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)，是一個(gè)不斷擴(kuò)充的過程。從自然數(shù)到整數(shù)，從整數(shù)到有理數(shù)，再到實(shí)數(shù)，每一次擴(kuò)充都是為了滿足解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)內(nèi)部邏輯發(fā)展的需要。然而，即便在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，像方程\(x^2+1=0\)這樣簡(jiǎn)單的二次方程也無法求解。為了攻克這類難題，數(shù)學(xué)家引入了一個(gè)全新的數(shù)——虛數(shù)單位\(i\)。1.1虛數(shù)單位\(i\)的定義虛數(shù)單位\(i\)滿足以下兩條基本性質(zhì)：1.\(i^2=-1\)；2.\(i\)可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行四則運(yùn)算，且原有的加法、乘法運(yùn)算律仍然成立。1.2復(fù)數(shù)的代數(shù)形式形如\(z=a+bi\)（其中\(zhòng)(a,b\)均為實(shí)數(shù)）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)。\(a\)稱為復(fù)數(shù)\(z\)的實(shí)部，記作\(Re(z)=a\)；\(b\)稱為復(fù)數(shù)\(z\)的虛部，記作\(Im(z)=b\)。特別注意，虛部是一個(gè)實(shí)數(shù)，不包含虛數(shù)單位\(i\)。1.3復(fù)數(shù)的分類根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部的取值情況，復(fù)數(shù)可以分為：實(shí)數(shù)：當(dāng)\(b=0\)時(shí)，復(fù)數(shù)\(z=a+0i=a\)就是實(shí)數(shù)。虛數(shù)：當(dāng)\(b\neq0\)時(shí)，復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)叫做虛數(shù)。純虛數(shù)：當(dāng)\(a=0\)且\(b\neq0\)時(shí)，復(fù)數(shù)\(z=0+bi=bi\)叫做純虛數(shù)。1.4復(fù)數(shù)相等的條件兩個(gè)復(fù)數(shù)\(z_1=a+bi\)和\(z_2=c+di\)（其中\(zhòng)(a,b,c,d\)均為實(shí)數(shù)）相等，當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部與虛部分別相等，即：\[a=c\quad\text{且}\quadb=d\]特別地，若\(z=a+bi=0\)，則必有\(zhòng)(a=0\)且\(b=0\)。二、復(fù)數(shù)的幾何意義：代數(shù)與幾何的橋梁復(fù)數(shù)的引入，不僅僅是數(shù)系的一次擴(kuò)充，更重要的是它建立了代數(shù)形式與幾何圖形之間的橋梁，這為我們解決問題提供了新的視角和工具。2.1復(fù)平面我們可以建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的實(shí)部，縱坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的虛部。這樣的平面稱為復(fù)平面（或高斯平面）。復(fù)平面中，橫軸稱為實(shí)軸，單位是1；縱軸稱為虛軸，單位是\(i\)。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，虛軸上除原點(diǎn)外的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。2.2復(fù)數(shù)與點(diǎn)、向量的對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)：每一個(gè)復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)都可以唯一地用復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)\(Z(a,b)\)來表示；反之，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)\(Z(a,b)\)都對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)。復(fù)數(shù)與向量的對(duì)應(yīng)：復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)還可以與復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)\(O\)為起點(diǎn)、點(diǎn)\(Z(a,b)\)為終點(diǎn)的向量\(\overrightarrow{OZ}\)一一對(duì)應(yīng)。我們常把復(fù)數(shù)\(z\)說成點(diǎn)\(Z\)或向量\(\overrightarrow{OZ}\)，并規(guī)定相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù)。2.3復(fù)數(shù)的模向量\(\overrightarrow{OZ}\)的模（即有向線段\(OZ\)的長(zhǎng)度）叫做復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的模（或絕對(duì)值），記作\(|z|\)或\(|a+bi|\)。由模的定義可知：\[|z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}\]復(fù)數(shù)的模具有以下性質(zhì)：1.\(|z|\geq0\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(z=0\)時(shí)，等號(hào)成立。2.\(|z_1\cdotz_2|=|z_1|\cdot|z_2|\)3.\(|\frac{z_1}{z_2}|=\frac{|z_1|}{|z_2|}\)(\(z_2\neq0\))4.\(|z|^2=z\cdot\overline{z}\)（其中\(zhòng)(\overline{z}\)是\(z\)的共軛復(fù)數(shù)，見下文）三、復(fù)數(shù)的運(yùn)算：規(guī)則與技巧復(fù)數(shù)的運(yùn)算遵循實(shí)數(shù)運(yùn)算的基本法則，但需注意虛數(shù)單位\(i\)的特殊性。3.1復(fù)數(shù)的加法與減法設(shè)\(z_1=a+bi\)，\(z_2=c+di\)（\(a,b,c,d\)均為實(shí)數(shù)），則：加法：\(z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i\)減法：\(z_1-z_2=(a-c)+(b-d)i\)幾何意義：復(fù)數(shù)的加法滿足向量加法的平行四邊形法則或三角形法則；減法滿足向量減法的三角形法則（即\(\overrightarrow{Z_2Z_1}=\overrightarrow{OZ_1}-\overrightarrow{OZ_2}\)）。3.2復(fù)數(shù)的乘法\[z_1\cdotz_2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2\]由于\(i^2=-1\)，上式可化簡(jiǎn)為：\[z_1\cdotz_2=(ac-bd)+(ad+bc)i\]復(fù)數(shù)的乘法滿足交換律、結(jié)合律以及乘法對(duì)加法的分配律。3.3復(fù)數(shù)的除法除法是乘法的逆運(yùn)算。為了將分母有理化（或說“實(shí)數(shù)化”），我們引入共軛復(fù)數(shù)的概念。共軛復(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)。復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)的共軛復(fù)數(shù)記作\(\overline{z}\)，即\(\overline{z}=a-bi\)。共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)：\(\overline{z_1\pmz_2}=\overline{z_1}\pm\overline{z_2}\)；\(\overline{z_1\cdotz_2}=\overline{z_1}\cdot\overline{z_2}\)；\(\overline{(\frac{z_1}{z_2})}=\frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}\)(\(z_2\neq0\))；\(|z|=|\overline{z}|\)。復(fù)數(shù)的除法法則：\[\frac{z_1}{z_2}=\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}\]即分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母化為實(shí)數(shù)，再進(jìn)行化簡(jiǎn)。3.4虛數(shù)單位\(i\)的乘方由\(i^2=-1\)，可以推得\(i\)的乘方具有周期性：\[i^1=i\]\[i^2=-1\]\[i^3=i^2\cdoti=-i\]\[i^4=(i^2)^2=(-1)^2=1\]\[i^5=i^4\cdoti=i\]...一般地，對(duì)于任意整數(shù)\(n\)，有\(zhòng)(i^{4n}=1\)，\(i^{4n+1}=i\)，\(i^{4n+2}=-1\)，\(i^{4n+3}=-i\)。四、高考考點(diǎn)分析與備考建議4.1考點(diǎn)梳理高考對(duì)復(fù)數(shù)的考查，重點(diǎn)在于以下幾個(gè)方面：1.復(fù)數(shù)的基本概念：如復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部、復(fù)數(shù)的分類（實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)）、共軛復(fù)數(shù)等。2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算：包括加減乘除四則運(yùn)算，尤其是除法運(yùn)算（分母實(shí)數(shù)化）和乘法運(yùn)算。3.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的模的計(jì)算及其幾何意義。4.復(fù)數(shù)相等的條件：利用實(shí)部、虛部分別相等列方程求解參數(shù)。4.2備考建議1.夯實(shí)基礎(chǔ)：深刻理解復(fù)數(shù)的基本概念，熟練掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則，這是解決一切復(fù)數(shù)問題的前提。2.把握重點(diǎn)：運(yùn)算能力是核心，務(wù)必確保加減乘除運(yùn)算的準(zhǔn)確性，特別是乘法和除法。3.數(shù)形結(jié)合：理解復(fù)數(shù)的幾何意義，能將復(fù)數(shù)問題與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量聯(lián)系起來，有時(shí)能起到事半功倍的效果。4.適量練習(xí)：通過典型例題和練習(xí)題，熟悉高考題型，總結(jié)解題規(guī)律和技巧。注意易錯(cuò)點(diǎn)，如混淆虛部與虛數(shù)單位、復(fù)數(shù)模的計(jì)算等。5.重視細(xì)節(jié)：在進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算時(shí)，要注意符號(hào)和運(yùn)算順序，避免粗心導(dǎo)致的錯(cuò)誤。五、習(xí)題演練：鞏固與提升基礎(chǔ)鞏固1.選擇題：若復(fù)數(shù)\(z=(m^2-m)+mi\)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)\(m\)的值為（）A.0B.1C.0或1D.-1（提示：純虛數(shù)需滿足實(shí)部為0且虛部不為0。）2.填空題：已知復(fù)數(shù)\(z=3-4i\)，則\(|z|=\)______，\(\overline{z}=\)______。（提示：直接應(yīng)用復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式和共軛復(fù)數(shù)的定義。）3.計(jì)算題：計(jì)算\((2+3i)+(4-5i)\)。（提示：實(shí)部相加，虛部相加。）4.計(jì)算題：計(jì)算\((1+i)(2-i)\)。（提示：按多項(xiàng)式乘法法則展開，注意\(i^2=-1\)。）5.計(jì)算題：計(jì)算\(\frac{2+i}{1-i}\)。（提示：分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)\(1+i\)。）能力提升6.選擇題：復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z(1+i)=2\)，則\(z\)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限（提示：先求出復(fù)數(shù)\(z\)的代數(shù)形式，再確定其對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)。）7.填空題：已知復(fù)數(shù)\(z=a+bi\)（\(a,b\in\mathbb{R}\)），且\(|z|=5\)，\(z+\overline{z}=6\)，則\(z=\)______。（提示：\(z+\overline{z}=2a\)，結(jié)合模長(zhǎng)公式列方程組求解。）8.解答題：設(shè)復(fù)數(shù)\(z_1=m+2i\)，\(z_2=3-ni\)（\(m,n\in\mathbb{R}\)），若\(z_1=z_2\)，求\(m\)和\(n\)的值。（提示：利用復(fù)數(shù)相等的充要條件。）拓展探究9.解答題：已知復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(|z-1|=|z-i|\)，且\(|z|=\sqrt{2}\)，求復(fù)數(shù)\(z\)。（提示：設(shè)\(z=x+yi\)，將模的條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于\(x,y\)的方程。幾何意義：到點(diǎn)(1,0)和(0,1)距離相等的點(diǎn)的軌跡是線段中垂線。）10.解答題：設(shè)復(fù)數(shù)\(z\)滿足\(z\cdot\overline{z}+z+\overline{z}=3\)，求\(|z+1|\)的值。（提示：令\(z=a+bi\)，代入等式，或利用\(z\cdot\overline{z}=|z|^2\)以及\(z+\overline{z}=2a\)，嘗試整體代換求\(|z+1|\)。）六、習(xí)題解答與提示基礎(chǔ)鞏固1.B提示：純虛數(shù)要求實(shí)部\(m^2-m=0\)且虛部\(m\neq0\)，解得\(m=1\)。2.\(5\)，\(3+4i\)提示：\(|z|=\sqrt{3^2+(-4)^2}=5\)，\(\overline{z}=3+4i\)。3.\(6-2i\)提示：\((2+4)+(3i-5i)=6-2i\)。4.\(3+i\)提示：\(1\times2+1\times(-i)+i\times2+i\times(-i)=2-i+2i-i^2=2+i+1=3+i\)（注意\(i^2=-1\)，所以\(-i^2=1\)）。5.\(\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)提示：\(\frac{(2+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+2i+i+i^2}{1-i^2}=\frac{1+3i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}i\)。能力提升6.A提示：\(z=\frac{2}{1+i}=\frac{2(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{2-2i}{2}=1-i\)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-1)，在第四象限。（原題選項(xiàng)設(shè)置可能與此解答對(duì)應(yīng)，若計(jì)算結(jié)果為1+i，則在第一象限，請(qǐng)注意計(jì)算準(zhǔn)確性。此處按\(z(1+i)=2\)計(jì)算，\(z=1-i\)是正確的，對(duì)應(yīng)第四象限。若題目為\(z(1-i)=2\)，則\(z=1+i\)對(duì)應(yīng)第一象限。請(qǐng)核對(duì)題目。）7.\(3+4i\)或\(3-4i\)提示：由\(z+\overline{z}=6\)得\(2a=6\)，\(a=3\)。又\(|z|=5\)，所以\(\sqrt{3^2+b^2}=5\)，解得\(b=\pm4\)。8.\(m=3\)，\(n=-2\