馬爾科夫鏈知識與方法雖然貝葉斯公式不做要求，但是全概率公式已經(jīng)是新高考考查內(nèi)容了，利用全概率公式，我們既可以構(gòu)造某些遞推關(guān)系求解概率，還可以推導(dǎo)經(jīng)典的一維隨機游走模型，即：設(shè)數(shù)軸上一個點，它的位置只能位于整點處，在時刻時，位于點，下一個時刻，它將以概率或者（）向左或者向右平移一個單位.若記狀態(tài)表示：在時刻該點位于位置，那么由全概率公式可得：另一方面，由于，代入上式可得：.進一步，我們假設(shè)在與處各有一個吸收壁，當點到達吸收壁時被吸收，不再游走.于是，.隨機游走模型是一個典型的馬爾科夫過程.進一步，若點在某個位置后有三種情況：向左平移一個單位，其概率為，原地不動，其概率為，向右平移一個單位，其概率為，那么根據(jù)全概率公式可得：典型例題乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若末命中則換為對方投籃．無論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8．由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5．（1）求第2次投籃的人是乙的概率；（2）求第次投籃的人是甲的概率；（3）已知：若隨機變量服從兩點分布，且，則．記前次（即從第1次到第次投籃）中甲投籃的次數(shù)為，求．【解析】（1）記“第次投籃的人是甲”為事件，“第次投籃的人是乙”為事件，所以，.（2）設(shè)，依題可知，，則，即，構(gòu)造等比數(shù)列，設(shè)，解得，則，又，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，即．（3）因為，，所以當時，，故．為治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道哪種新藥更有效，為此進行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機選一只施以甲藥，另一只施以乙藥.一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認為治愈只數(shù)多的藥更有效.為了方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得分；若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得分；若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分.甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.（1）求X的分布列.（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，表示“甲藥的累計得分為i時，最終認為甲藥比乙藥更有效”的概率，則，，，其中，.假設(shè)，.①證明：為等比數(shù)列；②求，并根據(jù)的值解釋這種試驗方案的合理性.【解析】（1）X的所有可能取值為－1，0，1.，，，所以X的分布列為X－101P（2）①證明由（1）得，，.因此，故，則.又因為，所以為公比為4，首項為的等比數(shù)列.②由①得.由于，故，所以.表示最終認為甲藥更有效的概率.由計算結(jié)果可以看出，在甲藥治愈率為0.5，乙藥治愈率為0.8時，認為甲藥更有效的概率為，此時得出錯誤結(jié)論的概率非常小，說明這種試驗方案合理.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第１次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人．求次傳球后球在甲手中的概率．【解析】記第次傳球后球在甲手中的概率為，則第次傳球后球在甲手中的概率為，開始時球在甲手中，則．若第次傳球后球在甲手中，則第次傳球后球不在甲手中，即第次傳球后球在乙或丙手中，所以第次傳球后球不在甲手中的概率為，又乙或丙在第次把球傳到甲手上的概率為，于是有，即，，于是數(shù)列是首項為，公比為得等比數(shù)列，所以，所以.4．馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾科夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第，，，…次狀態(tài)無關(guān)，即.已知甲盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數(shù)為，恰有2個黑球的概率為，恰有1個黑球的概率為.(1)求，和，；(2)證明：為等比數(shù)列（且）；(3)求的期望（用表示，且）.【解析】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，乙盒為2白，概率為，所以，①當甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，綜上可知：，.（2）經(jīng)過次這樣的操作.記甲盒子恰有2個黑1白的概率為，恰有1黑2白的概率為，3白的概率為，①當甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?白，概率為，若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，②當甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為，此時：若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑1白，概率為，③當甲盒中3白，乙盒2黑，概率為，此時：若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變?yōu)?黑2白，概率為，故.，因此，因此為等比數(shù)列，且公比為.（3）由（2）知為等比數(shù)列，且公比為，首項為，故，所以，.5．在某個周末，甲、乙、丙、丁四名同學(xué)相約打臺球．四人約定游戲規(guī)則：①每輪游戲均將四人分成兩組，進行組內(nèi)一對一對打；②第一輪甲乙對打、丙丁對打；③每輪游戲結(jié)束后，兩名優(yōu)勝者組成優(yōu)勝組在下一輪游戲中對打，同樣的，兩名失敗者組成敗者組在下一輪游戲中對打；④每輪比賽均無平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、乙勝丙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、乙勝丁的概率均為，甲勝丁的概率為．(1)設(shè)在前三輪比賽中，甲乙對打的次數(shù)為隨機變量X，求X的數(shù)學(xué)期望；(2)求在第10輪比賽中，甲丙對打的概率．【解析】（1）由題可知，甲乙在第一輪對打，且在第二輪不對打，所以的可取值為1，2，，則，所以X的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)在第輪中，甲乙對打的概率為，甲丙對打的概率為，甲丁對打的概率為，易知，，，且，又，所以，整理得，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，即，所以，則，故在第10輪比賽中，甲丙對打的概率為．6．有編號為1，2，3，...，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現(xiàn)從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記為從第個箱子中取出黃球的概率.(1)求；(2)求.【解析】（1）從第二個箱子取出黃球的概率，從第三個箱子取出黃球的概率；（2）由題意可知，，即，又，.強化訓(xùn)練有編號為1，2，3，...，18，19，20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個黃球2個綠球，現(xiàn)從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第三個箱子，以此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記為從第個箱子中取出黃球的概率.(1)求；(2)求.【答案】(1)，；(2)【分析】（1）分第一次取出黃球和綠球兩種情況，再由互斥事件概率加法公式計算可得答案；（2）由題意可得，可得答案.【詳解】（1）從第二個箱子取出黃球的概率，從第三個箱子取出黃球的概率；（2）由題意可知，，即，又，.某品牌女裝專賣店設(shè)計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．(1)求的值，并探究數(shù)列的通項公式；(2)求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．【答案】(1)，(2)第二次，證明見解析【分析】（1）根據(jù)全概率公式即可求解，利用抽獎規(guī)則，結(jié)合全概率公式即可由等比數(shù)列的定義求解，（2）根據(jù)，即可對分奇偶性求解.【詳解】（1）記該顧客第次摸球抽中獎品為事件A，依題意，，．因為，，，所以，所以，所以，又因為，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）證明：當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，則隨著n的增大而減小，所以，，綜上，該顧客第二次摸球抽中獎品的概率最大.從甲?乙?丙等5人中隨機地抽取三個人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，每次必須將球傳出.(1)記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機變量，求的分布列；(2)若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，①直接寫出的值；②求與的關(guān)系式，并求.【答案】(1)分布列見解析(2)①，，；②；【分析】（1）由離散型隨機變量的分布列可解；（2）記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，由全概率公式可求再由數(shù)列知識，由遞推公式求得通項公式.【詳解】（1）可能取值為，；；所以隨機變量的分布列為123（2）若剛好抽到甲乙丙三個人相互做傳球訓(xùn)練，且次傳球后球在甲手中的概率為，則有記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，所以即，所以，且所以數(shù)列表示以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以所以即次傳球后球在甲手中的概率是.為了避免就餐聚集和減少排隊時間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞?已知某同學(xué)每天中午會在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù).（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?/p>

（2）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋á瘢┳C明：為等比數(shù)列；（Ⅱ）證明：當時，.【解析】（1）設(shè)“第1天選擇米飯?zhí)撞汀?，“?天選擇米飯?zhí)撞汀保瑒t“第1天不選擇米飯?zhí)撞汀?，于是，，，，，由全概率公式；?）（Ⅰ）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀保瑒t，，，，，所以，是以為首項，為公比的等比數(shù)列。（Ⅱ），當為大于1的奇數(shù)時，；當為正偶數(shù)時，；綜上所述，當時，.有個編號分別為的盒子，第1個盒子中有2個白球1個黑球，其余盒子均為1個白球1個黑球，現(xiàn)從第1個盒中任取一球放入第2個盒子，再從第2個盒子中任取一球放入第3個盒子，以此類推，則從第2個盒子中取到白球的概率是，從第個盒子中取到白球的概率是.【答案】記事件表示從第個盒子中取出白球，則，，，，，，，，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，.甲、乙、丙三人玩?zhèn)髑蛴螒?，?次由甲傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩人中的任何一人.設(shè)第次傳球后球在甲手中的概率為，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.C.D.【答案】表示第次傳球后球在甲手中的概率，所以，A選項正確.表示第次傳球后球在甲手中的概率，則，B選項錯誤.，即，C選項正確.，，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以所以，，D選項錯誤.甲，乙，丙三人進行傳球游戲，每次投擲一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子決定傳球的方式：當球在甲手中時，若骰子點數(shù)大于3，則甲將球傳給乙，若點數(shù)不大于3，則甲將球保留；當球在乙手中時，若骰子點數(shù)大于4，則乙將球傳給甲，若點數(shù)不大于4，則乙將球傳給丙；當球在丙手中時，若骰子點數(shù)大于3，則丙將球傳給甲，若骰子點數(shù)不大于3，則丙將球傳給乙．初始時，球在甲手中，投擲n次骰子后（），記球在甲手中的概率為，則；．【答案】，【分析】結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式，結(jié)合題意，利用列舉法和分類討論，即可求解.【詳解】由題意，當投擲3次骰子后，球在甲手中，共有4中情況：①：甲甲甲甲，其概率為②：甲甲乙甲，其概率為③：甲乙甲甲，其概率為④：甲乙丙甲，其概率為所以投擲3次后，球在甲手中的概率為.記當投擲次骰子后，球在甲手中的概率為，再三次投擲后，即投擲次，球仍在甲手中的概率為，則，即，即又因為，當時，；當時，；當時，，所以.甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個黑球和1個白球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子中各任取一個球交換放入另一個盒子中，重復(fù)次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數(shù)為，甲盒中恰有2個黑球的概率為，恰有3個黑球的概率為.(1)求；(2)設(shè)，證明：；(3)求的數(shù)學(xué)期望的值.【答案】(1)，(2)證明見解析，(3)2【分析】（1）交換后甲盒有黑球，說明兩個盒子相互交換個白球或者交換個黑球，若交換后甲盒有黑球，說明甲給乙白球，乙給甲黑球；（2）根據(jù)全概率公式進行求解；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論和期望公式進行求解即可.【詳解】（1）由題可知：，（2）次操作后，甲盒有一個黑球的概率，由全概率公式知：，即（3），又，

即2022年2月6日，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足．(1)撲點球的難度一般比較大，假設(shè)罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓(xùn)練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓(xùn)練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設(shè)第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大小．【答案】(1)分布列見解析，；(2)①證明見解析；②【分析】（1）先計算門將每次可以撲出點球的概率，再列出其分布列，進而求得數(shù)學(xué)期望；（2）遞推求解，記第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，滿足.【詳解】（1）解析1：分布列與期望依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，，，，，X的分布列為：X0123P期望．（1）解析2：二項分布依題意可得，門將每次可以撲出點球的概率為，門將在前三次撲出點球的個數(shù)X可能的取值為0，1，2，3，易知，，．X的分布列為：X0123P期望．（2）解析：遞推求解①第n次傳球之前球在甲腳下的概率為，則當時，第次傳球之前球在甲腳下的概率為，第次傳球之前球不在甲腳下的概率為，則，從而，又，∴是以為首項．公比為的等比數(shù)列．②由①可知，，，故．甲、乙兩人進行拋擲骰子游戲，兩人輪流地擲一枚質(zhì)均勻的骰子.規(guī)定：先擲出點數(shù)6的獲勝，游戲結(jié)束.（1）記兩人拋擲骰子的總次數(shù)為，若每人最多拋擲兩次骰子，求比賽結(jié)束時，X的分布列和期望；（2）已知甲先擲，求甲恰好拋擲n次骰子并獲得勝利的概率.【解析】（1）依題意，拋擲骰子一次獲勝的概率，的可能值為1，2，3，4，，，，所以的分布列為：1234期望；（2）設(shè)甲拋擲第次骰子且不獲勝的事件的概率為，，當時，，因此數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，當時，甲拋擲第次骰子且獲勝的事件的概率為，顯然當時，滿足上式，所以甲恰好拋次骰子并獲得勝利的概率為，.馬爾科夫鏈是概率統(tǒng)計中的一個重要模型，也是機器學(xué)習和人工智能的基石，在強化學(xué)習、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即.現(xiàn)實生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．假如一名賭徒進入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為50%，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿?0%，且賭輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為元，賭博過程為如圖所示的數(shù)軸．當賭徒手中有n元時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：（1）請直接寫出與的數(shù)值；（2）證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差；（3）當時，分別計算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實際，解釋當時，的統(tǒng)計含義.【解答】（1）當時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.當時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.（2）記事件“賭徒有n元是最后輸光的”，事件“賭徒有n元下一場贏”，由全概率公式，，即，所以，所以是一個等差數(shù)列．設(shè)，則，故，得.（3）由，即，，當時，，當，，當時，，因此可知久賭無贏家，即便是一個這樣看似公平的游戲，只要賭徒一直玩下去就會有100%的概率輸光.校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到。記開始傳球的人為第1次觸球者，第n次觸球者是甲的概率記為，即.（1）求；（2）證明:數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大小.【解析】（1）由題意得：第二次觸球者為乙，丙，丁中的一個，第二次觸球者傳給包括甲的三人中的一人，故傳給甲的概率為，故.（2）第次觸球為甲的概率為，則當時，第次觸球為甲的概率為，第次觸球不是甲的概率為，則，從而，又，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，，，，故第19次觸球者是甲的概率大.學(xué)?；@球隊30名同學(xué)按照1，2，…，30號站成一列做傳球投籃練習，籃球首先由1號傳出，訓(xùn)練規(guī)則要求：第號同學(xué)得到球后傳給號同學(xué)的概率為，傳給號同學(xué)的概率為，直到傳到第29號（投籃練習）或第30號（投籃練習）時，認定一輪訓(xùn)練結(jié)束，已知29號同學(xué)投籃命中的概率為，30號同學(xué)投籃命中的概率為，設(shè)傳球傳到第號的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號和30號投籃命中的概率大小．【詳解】（1）解：依題意，籃球傳到4號有以下三種途徑：1號傳2號傳3號傳4號其概率為；1號傳2號傳4號其概率為；1號傳3號傳4號其概率為，因此．（2）解：依題意籃球傳到第號，再傳給號其概率為；籃球傳到第號，再傳給號其概率為，因此有，可得，且，所以是首先為，公比為的等比數(shù)列．（3）解：，，，，，，由累加法，可得，所以，，所以號投籃命中的概率為號投籃命中的概率為，因為，所以29號投籃命中概率大于30號投籃命中概率馬爾可夫鏈是因俄國數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫得名，其過程具備“無記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)是“沒有任何關(guān)系的”.現(xiàn)有甲、乙兩個盒子，盒子中都有大小、形狀、質(zhì)地相同的2個紅球和1個黑球.從兩個盒子中各任取一個球交換，重復(fù)進行次操作后，記甲盒子中黑球個數(shù)為，甲盒中恰有1個黑球的概率為，恰有2個黑球的概率為.(1)求的分布列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求的期望.【答案】(1)答案見解析；(2)；(3)1【分析】（1）由題意分析的可能取值為0，1，2.分別求出概率，寫出分布列；（2）由全概率公式得到，判斷出數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列即可求解；（3）利用全概率公式求出求出，進而求出.【詳解】（1）（1）由題可知，的可能取值為0，1，2.由相互獨立事件概率乘法公式可知：;;，故的分布列如下表：012（2）由全概率公式可知：，即：，所以，所以，又，所以，數(shù)列為以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即：.（3）由全概率公式可得：,即：,又,所以,所以,又,所以,所以,所以,所以.籃球誕生美國馬薩諸塞州的春田學(xué)院．1891年，春田學(xué)院的體育教師加拿大人詹姆斯奈史密斯博士（JamesNaismith）為了對付冬季寒冷的氣溫，讓學(xué)生們能夠在室內(nèi)有限的空間里繼續(xù)進行有趣的傳球訓(xùn)練．現(xiàn)有甲、乙、丙3名同學(xué)在某次傳球的訓(xùn)練中，球從甲開始，等可能地隨機傳向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外2人中的1人，如此不停地傳下去，假設(shè)傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲手里的概率為pn，第n次傳球之前球在乙手里的概率為qn，顯然p1=1，q1=0．(1)求p3＋2q3的值；(2)比較p8，q8的大小．【答案】(1)1 (2)【分析】（1）分析傳球的過程，求出和，即可求出；（2）由題意知，即可得到，判斷出成首項為，公比為的等比數(shù)列，求出，同理求出，可以比較出．【詳解】（1）第3次傳球之前，球在甲手中的情形何分為：甲→乙→甲或甲→丙→甲所以，第3次傳球之前，球在乙手里的情形僅有：甲→丙→乙所以，所以.（2）（2）由題意知，整理得：所以，，所以成首項為，公比為的等比數(shù)列，又同理成首項為，公比為的等比數(shù)列，所以因為，，，，所以2021年奧運會我國射擊項目收獲豐盛，在我國射擊也是一項歷史悠久的運動.某射擊運動愛好者甲來到靶場練習.(1)已知用于射擊打靶的某型號槍支彈夾中一共有發(fā)子彈，甲每次打靶的命中率均為，一旦出現(xiàn)子彈脫靶或者子彈打光便立即停止射擊.記標靶上的子彈數(shù)量為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)若某種型號的槍支彈巢中一共可裝填6發(fā)子彈，現(xiàn)有一槍支其中有發(fā)為實彈，其余均為空包彈，現(xiàn)規(guī)定：每次射擊后，都需要在下一次射擊之前填充一發(fā)空包彈，假設(shè)每次射擊相互獨立且均隨機，在進行次射擊后，記彈巢中空包彈的發(fā)數(shù)為，①當時，請直接寫出數(shù)學(xué)期望與的關(guān)系；②求出關(guān)于的表達式.【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)①；②.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出的所有可能值，再求出各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.（2）①按第次射出是空包彈和實彈求出對應(yīng)的概率及空包彈數(shù)，進而求出即可；②利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項公式作答.【詳解】（1）依題意，的所有可能取值為，，，所以的分布列為012……的數(shù)學(xué)期望，顯然，兩式相減得，所以.（2）①第次射擊后，包含兩種情況：第次射出空包彈和第次射出實彈，第次射擊前，剩余空包彈的期望是，若第次射出空包彈，則此時對應(yīng)的概率為，因為射擊后要填充一發(fā)空包彈，則此時空包彈的數(shù)量為，若第次射出實彈，則此時對應(yīng)的概率為，此時空包彈的數(shù)量為，所以.②當時，彈巢中有發(fā)空包彈，即，由，得，當時，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，因此，而當時，滿足上式，所以17.“綠色出行，低碳環(huán)?！钡睦砟钜呀?jīng)深入人心，逐漸成為新的時尚．甲、乙、丙三人為響應(yīng)“綠色出行，低碳環(huán)?！碧栒?，他們計劃每天選擇“共享單車”或“地鐵”兩種出行方式中的一種．他們之間的出行互不影響，其中，甲每天選擇“共享單車”的概率為，乙每天選擇“共享單車”的概率為，丙在每月第一天選擇“共享單車”的概率為，從第二天起，若前一天選擇“共享單車”，后一天繼續(xù)選擇“共享單車”的概率為，若前一天選擇“地鐵”，后一天繼續(xù)選擇“地鐵”的概率為，如此往復(fù)．(1)若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，求丙選擇“共享單車”的概率；(2)記甲、乙、丙三人中3月1日選擇“共享單車”出行的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(3)求丙在3月份第天選擇“共享單車”的概率，并幫丙確定在3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù)．【答案】(1)(2)分布列見解析；期望為(3)；2天【分析】（1）利用相互獨立事件概率的乘法公式與條件概率公式進行求解即可；（2）依題意得到的所有可能取值及對應(yīng)的概率，從而求得分布列及數(shù)學(xué)期望；（3）由題意，求得與的關(guān)系，通過構(gòu)造等比數(shù)列求出，再由求出對應(yīng)的，即可求解．【詳解】（1）記甲、乙、丙三人3月1日選擇“共享單車”出行分別為事件，記三人中恰有兩人選擇“共享單車”出行為事件，則，又，所以，即若3月1日有兩人選擇“共享單車”出行，丙選擇“共享單車”的概率為．（2）由題意可知，的所有可能取值為0，1，2，3，則，，，，所以的分布列為0123故，即的數(shù)學(xué)期望為．（3）由題意得，則，所以，所以．又因為，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗當時，上式也成立，所以．由題意知，3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率需滿足，即，則，即，當為偶數(shù)時，顯然不成立，當為奇數(shù)時，不等式可變?yōu)?，當時，成立；當時，成立；當時，，則時，不成立．又因為函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，不成立，所以只有在第1天和第3天時，，所以丙在3月份中選擇“共享單車”的概率大于“地鐵”的概率的天數(shù)只有2天．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第三問關(guān)鍵是得到遞推公式，再由構(gòu)造法得到的通項.18.一枚質(zhì)地均勻的小正四面體，其中兩個面標有數(shù)字1，兩個面標有數(shù)字2.現(xiàn)將此正四面體任意拋擲次，落于水平的桌面，記次底面的數(shù)字之和為.(1)當時，記為被3整除的余數(shù)，求的分布列與期望；(2)求能被3整除的概率.【答案】(1)分布列見解析，期望為(2)【分析】（1）先確定的可能值，再分別求概率列表求期望.（2）先得到遞推關(guān)系，再構(gòu)造等比數(shù)列求解.【詳解】（1）由題可知，正四面體與桌面接觸的數(shù)字為1和2的概率均為，的取值可能為0，1，2.，，，則的分布列為012.（2）由題可知，當時，次底面的數(shù)字之和能被3整除的概率為，所以，則，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，即.19.某個足球俱樂部為了提高隊員的進球水平，開展罰點球積分游戲，開始記0分，罰點球一次，罰進記2分，罰不進記1分．已知該俱樂部某隊員罰點球一次罰進的概率為，罰不進的概率為，每次罰球相互獨立．(1)若該隊員罰點球4次，記積分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)記點球積分的概率為．（?。┣蟮闹?；（ⅱ）求．【答案】(1)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；(2)（i）；（ii）.【分析】（1）根據(jù)題意可取，分別求出相應(yīng)的概率，列出分布列，求出期望.（2）（?。└鶕?jù)題意可求出，（ⅱ）要得分，分先得分再點1個球不進，或者先得分再點1個球進球時的概率，因這兩種情況互斥，從而可求出為等比數(shù)列，再利用累加法從而可求解.【詳解】（1）由題意得，的所有可能取值為4，5，6，7，8，，，的分布列為45678．（2）（?。┯深}意得，．（ⅱ）由題意得，要得分，必須滿足以下情形：先得分，再點1個球不進，此時概率為，或先得分，再點1個球進球，此時概率為，這兩種情況互斥，，是首項為，公比為的等比數(shù)列，，，．20.某學(xué)校有甲，乙兩個餐廳，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學(xué)生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學(xué)第天選擇餐廳甲就餐的概率為．(1)記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及期望；(2)學(xué)校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級抽調(diào)21人到甲乙兩個餐廳參加志愿服務(wù)，請求出的通項公式，根據(jù)以上數(shù)據(jù)合理分配甲，乙兩個餐廳志愿者人數(shù)，并說明理由．【答案】(1)分布列見解析，；(2)，分配到甲，乙兩個餐廳志愿者人數(shù)分別為和.【分析】（1）先求某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率，然后根據(jù)二項分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二項分布期望公式可得期望；（2）根據(jù)題意先求與的關(guān)系，然后利用構(gòu)適法可得通項，由確定兩餐廳志愿者人數(shù)分配.【詳解】（1）某同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的概率某同學(xué)第二天選擇餐廳乙就餐的概率所以3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲就餐的人數(shù)為記某班3位同學(xué)第二天選擇餐廳甲的人數(shù)為，所有可能的取值為，則的分布列為：X0123P.（2）依題意，，即，則有，當時，可得，數(shù)列是首項為公比為的等比數(shù)列，則，時，，所以，各年級抽調(diào)的21人中，分配到餐廳甲的志愿者人數(shù)為，分配到餐廳乙的志愿者人數(shù)為.21.詩詞大會的挑戰(zhàn)賽上，挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯，則另一方自動獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對問題的概率都是，且每次答題互不影響．(1)若在不多于兩次答題就決出勝負的情況下，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少？(2)在此次比賽中，挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率是多少？(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)全部8位守擂者，以（2）中求得的挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率作為挑戰(zhàn)者面對每個守擂者的獲勝概率，每次挑戰(zhàn)之間相互獨立，若最終統(tǒng)計結(jié)果是挑戰(zhàn)者戰(zhàn)勝了超過三分之二的守擂者，則稱該挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)成功，反之則稱挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)失?。粼僭黾?位守擂者，試分析該挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)成功的概率是否會增加？并說明理由．【答案】(1)(2)(3)沒有增加，理由見解析【分析】（1）根據(jù)條件概率公式求解即可；（2）進行輪后不分勝負的概率為，進行第輪后挑戰(zhàn)者功的概率為，挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為無窮等比數(shù)列的和；（3）分別求出增加1位守擂者前后挑戰(zhàn)者勝利的概率，進行比較即可求解.【詳解】（1）設(shè)事件A為“挑戰(zhàn)者獲勝”，事件B為“不多于兩次答題就決出勝負”，則，又事件為“不多于兩次答題就決出勝負且挑戰(zhàn)者獲勝”，即只有“挑戰(zhàn)者獲勝，守擂者失敗”這一種情況，則，所以.（2）假設(shè)挑戰(zhàn)者和守擂者依次答題一次為一輪，每一輪答題中兩人都答對的概率為，進行輪后不分勝負的概率為，進行第輪后挑戰(zhàn)者功的概率為，（前輪兩人都答對，第n輪挑戰(zhàn)者答對且守擂答錯）.挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率為無窮等比數(shù)列的和：，當時,,所以可認為，故在此次比賽中，挑戰(zhàn)者最終獲勝的概率是.（3）設(shè)隨機變量X為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者時能夠戰(zhàn)勝守擂者的人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)成功的概率，因為守擂者有8位，所以挑戰(zhàn)者要想挑戰(zhàn)成功，至少需要戰(zhàn)勝6位守擂者，即；設(shè)Y為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9位守擂者時能夠戰(zhàn)勝守擂者的人數(shù)，為此時挑戰(zhàn)者挑戰(zhàn)成功的概率，因為守擂者有9位，所以挑戰(zhàn)者要想挑戰(zhàn)成功，至少需要戰(zhàn)勝7位守擂者，即.，，顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加22．文具盒里裝有7支規(guī)格一致的圓珠筆，其中4支