第2課時正弦定理(二)1.D[解析]由正弦定理得2sinAsinB=3sinB,∵sinB≠0,∴sinA=32.又∵A為銳角,∴A=π3.故選2.B[解析]由正弦定理asinA=bsinB及a=bsinA知sinA=sinB·sinA,∵sinA≠0,∴sinB=1,又0°<B<180°,∴B=90°,故3.D[解析]如圖所示,因為△ABC有兩解,所以asinC=12a<c=10<a,解得10<a<20.故選D4.B[解析]由題意可得bcos(A+B)=bcos(π-C)=-bcosC=(c-2a)cosB,所以2acosB=ccosB+bcosC,由正弦定理可得2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC,即2sinAcosB=sin(B+C)=sinA,因為sinA≠0,所以cosB=12,又B∈(0,π),所以B=π3.故選5.B[解析]由題可得sin2A2=c-b2c,則1-cosA2=c-b2c,即cosA=bc,由正弦定理可得cosA=sinBsinC,所以cosAsinC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,可得cosCsinA=0,因為sinA≠0,所以cosC=0,6.B[解析]因為cosB+3sinB=2,所以sinB+π6=1,又B為銳角,所以B=π3,所以A+C=2π3.根據(jù)正弦定理得asinA=csinC,則a=csinAsinC=2sinAsin2π3-A,所以S△ABC=1因為0<A<π2,0<2π3-A<π2,所以π6<A<π2,所以tanA>33,所以0<32tanA<32,所以127.C[解析]由b=ccos∠BAC及正弦定理得sinB=sinCcos∠BAC,即sin∠BACcosC+cos∠BACsinC=sinCcos∠BAC,則cosCsin∠BAC=0,因為0°<∠BAC<180°,所以sin∠BAC>0,所以cosC=0,又0°<C<180°,所以C=90°.在Rt△ABC中,設(shè)AC=x,易知AB=8x,BC=37x,因為AD平分∠BAC,所以ABAC=BDDC,即37x-CDCD=8,又CD=AD2-AC2=1-x2,所以8.AC[解析]對于A,由正弦定理及c-b=2bcosA得sinC-sinB=2sinBcosA,又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以sinAcosB-cosAsinB=sinB,即sin(A-B)=sinB,因為0<A<π,0<B<π,所以sinB>0,所以0<A-B<π,所以A-B=B或A-B+B=π,即A=2B或A=π(舍去),所以A=2B,故A正確;對于B,因為三角形ABC為銳角三角形,A=2B,所以C=π-3B,由0<B<π2,0<2B<π2,0<π-3B<π2,解得B∈π6,π4,故B錯誤;對于C,由正弦定理得ab=sinAsinB=sin2BsinB=2cosB,因為B∈π6,π4,所以cosB∈22,32,所以2cosB∈(2,3),所以ab的取值范圍為(2,3),故C正確;對于D,1tanB-1tanA+2sinA=cosBsinB-cosAsinA+2sinA=sin(9.ACD[解析]對于A,因為△ABC是銳角三角形,所以A+B>π2,所以sinA>sinπ2-B,即sinA>cosB,故A正確;對于B,由b=acosC+ccosA及正弦定理,可得sin(A+C)=sinB,即sinB=sinB,不能得到△ABC是等腰三角形,故B錯誤;對于C,由bcosC+ccosB=b及正弦定理,可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sinA=sinB,因為A,B為△ABC的內(nèi)角,所以A=B,所以△ABC是等腰三角形,故C正確;對于D,因為△ABC是等邊三角形,所以A=B=C,a=b=c,所以acosA=bcosB=c10.π3[解析]由2ccosB=2a-b及正弦定理得2sinCcosB=2sinA-sinB,則2sinCcosB=2sin(B+C)-sinB,即2sinBcosC=sinB,因為sinB>0,所以cosC=12,又C∈(0,π),所以C=11.14[解析]由正弦定理及(2a+b)cosC+ccosB=0,得2sinAcosC+sin(B+C)=0,可得cosC=-12,所以C=2π3,所以sinA·sinB=sinA·sinπ3-A=12sin2A+π6-14,因為0<A<π3,所以當(dāng)12.2[解析]在△ABC中,由正弦定理得BCsin∠BAC=ABsinC,則sinC=AB×sin∠BACBC=2×326=22,又AB<BC,所以C<∠BAC,所以C=45°,所以B=180°-45°-60°=75°,因為AD為∠BAC的平分線,所以∠BAD=30°,所以∠13.證明:∵asinA=bsinB=csinC=2R(∴a2-b2cosA+cosB=4R2sin同理,b2-c2cosB+cosCc2-a2cosC+cosA=4R2(cosA-cosC),∴a2-b2cosA+cosB+b2-c2cos14.解:(1)證明:由sinBsinC=cos2A2可得sinBsinC=1+cosA∵A=π-B-C,∴2sinBsinC=1-cos(B+C),即2sinBsinC+cosBcosC-sinBsinC=1,即cos(B-C)=1,又B-C∈(-π,π),∴B-C=0,∴B=C,∴b=c,∴△ABC是等腰三角形.(2)由tanA+B2+tanC2=4,得tanπ-C2+tan∴cosC2sinC2+sinC2cosC∵B=C,∴C為銳角,∴C=π6,∴B=π6,A=由正弦定理得asinA=bsinB=∴b=c=2,∴△ABC的周長為4+23.15.4[解析]由3ccosA+asinC=0及正弦定理,得3sinCcosA+sinAsinC=0,因為C∈(0°,180°),所以sinC≠0,所以3cosA+sinA=0,即tanA=-3,又A∈(0°,180°),所以A=120°.因為S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以12bc×sin120°=12c×1×sin60°+12b×1×sin60°,所以bc=b+c,即1b+1c=1,所以b+c=(b+c)1b+1c=2+bc+cb≥2+2bc×cb=4,當(dāng)且僅當(dāng)16.解:(1)因為acos(B-C)-acos(B+C)=23csinBcosA,所以acosBcosC+asinBsinC-a(cosBcosC-sinBsinC)=23csinBcosA,即asinBsinC=3csinBcosA,由正弦定理得sinAsinBsinC=3sinCsinBcosA,因為sinC>0,sinB>0,所以sinA=3cosA,所以