10.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握復(fù)平面的定義,能根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對應(yīng)的點及向量;2.掌握復(fù)數(shù)模的幾何意義及計算公式;3.掌握共軛復(fù)數(shù)的定義及幾何意義,應(yīng)用復(fù)數(shù)的幾何意義解決有關(guān)問題,通過對復(fù)數(shù)幾何意義的理解,培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).◆知識點一復(fù)平面的定義與復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面如圖所示,點Z的橫坐標(biāo)為a,縱坐標(biāo)為b,復(fù)數(shù)z=a+bi?點Z(a,b).建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面也稱為.在復(fù)平面內(nèi),x軸上的點對應(yīng)的都是實數(shù),因此x軸稱為;y軸上的點除了原點外,對應(yīng)的都是純虛數(shù),為了方便起見,稱y軸為.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點;

(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量OZ=(以原點O為始點、Z(a,b)為終點的向量).

【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應(yīng). ()(2)如果復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點在第一象限,則與該復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量的終點也一定在第一象限. ()(3)相等的向量對應(yīng)著相等的復(fù)數(shù). ()2.在復(fù)平面內(nèi),下列各點中對應(yīng)的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的是 ()A.(1,2) B.(-3,0)C.(0,0) D.(0,-2)◆知識點二共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模1.共軛復(fù)數(shù)(1)共軛復(fù)數(shù)的概念:一般地,如果兩個復(fù)數(shù)的實部,而虛部互為,則稱這兩個復(fù)數(shù)互為.

(2)共軛復(fù)數(shù)的表示:復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用z表示,因此,當(dāng)z=a+bi(a,b∈R)時,有z=.

(3)互為共軛復(fù)數(shù)的幾何意義:在復(fù)平面內(nèi),表示兩個共軛復(fù)數(shù)的點關(guān)于;反之,如果表示兩個復(fù)數(shù)的點在復(fù)平面內(nèi)關(guān)于實軸對稱,則這兩個復(fù)數(shù)互為.

2.復(fù)數(shù)的模一般地,向量OZ=(a,b)的稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模(或絕對值),復(fù)數(shù)z的模用|z|表示,因此|z|=.一般地,兩個共軛復(fù)數(shù)的模相等,即|z|=|z|.

【診斷分析】1.判斷下列說法的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)復(fù)數(shù)的?？偸欠秦摂?shù). ()(2)若z1=z2,則z1=z2=0. ((3)已知復(fù)數(shù)z=1-i,則z的共軛復(fù)數(shù)為1+i.()2.若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),則|z|有怎樣的幾何含義?3.復(fù)數(shù)中兩虛數(shù)不能比較大小,它們的模呢?◆探究點一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點的關(guān)系[探索]1.在復(fù)平面內(nèi),如何確定復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應(yīng)的點所在的位置?

2.在復(fù)平面內(nèi),若復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)對應(yīng)的點在第一象限,則實數(shù)a,b應(yīng)滿足什么條件?我們可以得到什么啟示?

例1當(dāng)實數(shù)m分別為何值時,復(fù)數(shù)(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點:(1)位于第四象限?(2)位于x軸的負半軸上?(3)位于y軸的正半軸上?變式(多選題)[2024·安徽銅陵高一期末]已知復(fù)數(shù)z=(m2-4m-5)+(m2+3m+2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為Z,則下列結(jié)論正確的是 ()A.若m=-1,則z為純虛數(shù)B.若m=-2,則z為實數(shù)C.若m=32,則點Z在直線y=-xD.若-2<m<5,則點Z在第三象限[素養(yǎng)小結(jié)](1)復(fù)數(shù)的實部、虛部分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)相應(yīng)點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點所處的位置,決定了復(fù)數(shù)實部、虛部的取值特征.(2)由復(fù)平面內(nèi)滿足某種條件的點的集合求參數(shù)的取值(或取值范圍)時,通常是根據(jù)對應(yīng)關(guān)系,列出方程(組)或不等式(組)求解.◆探究點二復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的關(guān)系例2在復(fù)平面內(nèi)的長方形ABCD的四個頂點中,點A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是2+3i,3+2i,-2-3i,求點D對應(yīng)的復(fù)數(shù).變式在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量OA,OB對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2-3i,-3+2i,那么向量BA對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.-5+5i B.5-5iC.5+5i D.-5-5i[素養(yǎng)小結(jié)](1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點在原點時,向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).反之復(fù)數(shù)對應(yīng)的點確定后,從原點引出的指向該點的有向線段,即為復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量.(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對應(yīng)的問題時,一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點一一對應(yīng)為工具,實現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點、向量之間的轉(zhuǎn)化.拓展(1)在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量OZ對應(yīng)的復(fù)數(shù)是-1+i,將OZ繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)π4,則所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 (A.-2 B.-2iC.-1 D.-i(2)[2023·北京豐臺區(qū)高一期末]在復(fù)平面內(nèi),O為坐標(biāo)原點,向量OZ1對應(yīng)的復(fù)數(shù)是2-i,向量OZ2對應(yīng)的復(fù)數(shù)是a-2i(a∈R),若OZ1⊥◆探究點三共軛復(fù)數(shù)例3(1)[2024·四川岳池中學(xué)高一月考]在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z=-1+i,則z對應(yīng)的點位于 ()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限(2)[2024·陜西漢中高一期末]已知復(fù)數(shù)z=(m2-2m-3)+(m2+3m+2)i,m∈R,且z=z,則m=()A.-1或3 B.-1或-2C.3 D.-2變式(多選題)已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位),且a+b=1,則下列說法正確的是()A.z不可能為純虛數(shù)B.若z=z,則z是實數(shù)C.若z=|z|,則z是實數(shù)D.|z|可以等于1[素養(yǎng)小結(jié)]互為共軛復(fù)數(shù)的兩個復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱.特別地,實數(shù)和它的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點重合,且在實軸上.◆探究點四復(fù)數(shù)的模例4已知復(fù)數(shù)z1=3+i,z2=-12+32(1)求|z1|及|z2|;(2)設(shè)z∈C,則滿足條件|z2|≤|z|≤|z1|的復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z組成的集合是什么圖形?變式(1)已知復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系式2|z|2-7|z|+3=0,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是()A.兩條直線 B.一條直線和一個圓C.兩個圓 D.一個圓(2)[2024·福建廈門雙十中學(xué)高一月考]設(shè)z為復(fù)數(shù),若|z+2i|≤1,則|z|的最大值為.

[素養(yǎng)小結(jié)]解決復(fù)數(shù)模的幾何意義的問題,應(yīng)根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義|z|=|OZ|(O為坐標(biāo)原點),依據(jù)|z|滿足的條件,判斷點Z的集合表示的圖形,把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.拓展在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1=1+22i,z2=22-i,z3=-3+6i,z4=-2-7i對應(yīng)的點分別為Z1,Z2,Z3,Z4.判斷這4個點是否在同一個圓上,并證明你的結(jié)論.1.若復(fù)數(shù)z=(a2-2a)+(a2-a-2)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在虛軸上,則 ()A.a≠2或a≠1 B.a≠2且a≠1C.a=0 D.a=2或a=02.若|x-i|=|1-2i|,則x= ()A.1 B.2 C.3 D.43.[2024·廣東江門一中高一月考]已知a,b∈R,若a+i與-1+bi互為共軛復(fù)數(shù),則 ()A.a=-1,b=1 B.a=-1,b=-1C.a=1,b=1 D.a=1,b=