682期【圓錐】細(xì)說高考卷里圓錐同構(gòu)式的妙用圓錐曲線中，同構(gòu)式結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)一定等價(jià)于圖形中兩要素的地位等價(jià)，比如同一定點(diǎn)引出的兩條直線分別與圓錐曲線相交，那么這兩條割線的地位就是等價(jià)的，自然，它們與圓錐曲線的方程聯(lián)立后，就會(huì)呈現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu)，即“同構(gòu)式”特征，這樣的同構(gòu)式特征，往往是利于我們簡化運(yùn)算，同時(shí)也可以巧妙解決一些問題，比如定點(diǎn)、定值、定直線等問題！這一期，我們就來介紹一下圓錐中一些常見的同構(gòu)式結(jié)構(gòu)，并利用具體的高考題細(xì)說一下同構(gòu)式結(jié)構(gòu)在高考中的應(yīng)用?！局R(shí)與典例精講】一．雙切線同構(gòu)從已知曲線外一點(diǎn),向二次曲線引兩條切線，記切點(diǎn)為，那么這兩條切線的地位是相同的,這樣，我們就可按照下列方式來構(gòu)造同構(gòu)方程：第1步：分別寫出切線的方程（注意斜率）；第2步：聯(lián)立與曲線的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關(guān)系①，②式從而以的或坐標(biāo)為參數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造點(diǎn)橫或縱坐標(biāo)滿足的同構(gòu)方程方程③；第3步：利用方程③根與系數(shù)的關(guān)系判斷與曲線的位置關(guān)系，或完成其他問題.其中，圓的雙切線可以用幾何方法解決，而圓錐曲線的雙切線則只能使用韋達(dá)定理判別式來解決.【【例1】如圖，圓，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P引圓M的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）求直線AB的方程，并寫出直線AB所經(jīng)過的定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若兩條切線PA，PB與y軸分別交于S?T兩點(diǎn)，求的最小值.【解析】（1）所以直線AB過定點(diǎn).設(shè)切線方程為，即，故到直線的距離，即（*），設(shè)PA，PB的斜率分別為，，則它們?yōu)椋?）式的解，即，，把代入，得，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派），當(dāng)時(shí)，取得最小值.【【例2】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)到橢圓的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)的軌跡方程．【解析】若兩條互相垂直的切線中有一條斜率不存在時(shí)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)是，或滿足要求．當(dāng)兩條互相垂直的切線中的斜率均存在且均不為0時(shí)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（，且），因此設(shè)過點(diǎn)的切線方程為（），由得．因?yàn)橹本€與橢圓相切，所以其判別式的值為0，得．因?yàn)槭沁@個(gè)關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)根，所以，因此．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）進(jìn)而可得．【點(diǎn)睛】橢圓的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是蒙日?qǐng)A：．關(guān)于蒙日?qǐng)A的概念、結(jié)論證明、幾何性質(zhì)及其推廣等，可以參見小π之前的文章《476期【圓錐】蒙日?qǐng)A的定義、證明、幾何性質(zhì)及其推廣》鏈接：/s/X5GomnOpBhB8tXdjjvjq9w二．割線同構(gòu)比如同一定點(diǎn)引出的兩條直線分別與圓錐曲線相交，那么這兩條割線的地位就是等價(jià)的，自然，它們與圓錐曲線的方程聯(lián)立后，就會(huì)呈現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu)，這樣的同構(gòu)方程可能是關(guān)于直線的某個(gè)關(guān)鍵參數(shù)的同解方程.【【例3】如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．設(shè)AB中點(diǎn)M，證明：PM垂直于y軸.【分析】顯然，均是等價(jià)的，那么它們的中點(diǎn)也是等價(jià)的，將其中點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程后，就可以得到關(guān)于參數(shù)的同構(gòu)方程，進(jìn)而求解.【解析】設(shè)，，．因?yàn)?，的中點(diǎn)在拋物線上，即滿足：所以，為方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．所以．因此，垂直于軸．【【例4】（2022新高考1卷）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線交于，兩點(diǎn)，直線，的斜率之和為0．（1）求的斜率；（2）若，求的面積．【解析】設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，直線的方程為，聯(lián)立解得，代入雙曲線的方程中，整理得，這是關(guān)于的一元二次方程，方程的兩根分別為直線的斜率.因?yàn)橹本€的斜率之和為，即，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以，整理后分解得.因?yàn)橹本€不經(jīng)過點(diǎn)，所以，從而，即的斜率為.【點(diǎn)睛】的等價(jià)地位就意味著等價(jià)，則的坐標(biāo)一定是曲線方程的同構(gòu)解，此時(shí)若我們用的參數(shù)來表示的坐標(biāo)，再利用同構(gòu)解來求得的斜率，這就是整個(gè)問題的基本思路.三．同構(gòu)方程過定點(diǎn)【【例5】（2019年全國三卷）已知曲線C：y=，D為直線y=上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.（1）證明：直線AB過定點(diǎn)【解析】(1)證明：設(shè),,則．又因?yàn)椋?故，整理得.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)，同理得.,都滿足直線方程.于是直線過點(diǎn)，而兩個(gè)不同的點(diǎn)確定一條直線，所以直線方程為.即，當(dāng)時(shí)等式恒成立，所以直線恒過定點(diǎn).【【例6】已知雙曲線，過點(diǎn)作C的兩條切線，其中A，B為切點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn)．【解析】設(shè)，則直線方程為，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）代入，消去y得．由，得，則直線方程為，即，將點(diǎn)，代入得．同理可得，可見A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足同一二元一次方程，又因?yàn)閮牲c(diǎn)確定一條直線，所以直線的方程為，顯然過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】顯然，若兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足同一方程，則這兩個(gè)點(diǎn)在該方程的曲線上．本題中的A，B兩點(diǎn)均滿足同一方程，而二元一次方程是直線的方程，且兩點(diǎn)確定一條直線，故得到直線的方程為．四．同構(gòu)解決定值問題【【例7】已知橢圓，過點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l與x軸的交點(diǎn)．若，，求證：為定值．【解析】設(shè)，由，得，則，所以，代入C的方程得，整理得．同理可得，可見是方程的兩個(gè)根，故．【點(diǎn)評(píng)】觀察兩式，，發(fā)現(xiàn)它們．結(jié)構(gòu)相同，故考慮用同構(gòu)方程解題．五．同構(gòu)解決定直線問題【【例8】已知橢圓，過點(diǎn)的動(dòng)直線交C于P，Q兩點(diǎn)，若線段上的點(diǎn)N滿足，求證：點(diǎn)N在定直線上．【解析】設(shè)，，則，．設(shè)，則，代入C的方程，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）并整理得．同理可得．可見和是方程的根，由根與系數(shù)的關(guān)系知，故點(diǎn)N在直線上．【點(diǎn)睛】由M，N，P，Q四點(diǎn)共線，知可將線段長度比值轉(zhuǎn)換為向量數(shù)乘關(guān)系，進(jìn)而用坐標(biāo)表示，得到后，可利用同構(gòu)解題．“同構(gòu)”法構(gòu)造函數(shù)是高中數(shù)學(xué)解題的一種常見方法，在解題中若能通過觀察、分析、整理，使等式（或不等式）兩側(cè)同構(gòu)，則可輕松構(gòu)造函數(shù)，巧妙利用函數(shù)性質(zhì)解題．六．更多高考題中同構(gòu)的妙用【【例9】（2021全國甲卷）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．（1）求C，的方程；（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．【解析】（1）的方程為；（2）設(shè)若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)則過與圓相切的直線為，又，，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）與圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.【【例10】（2018年浙江21）如圖，已知點(diǎn)P是y軸左側(cè)(不含y軸)一點(diǎn)，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點(diǎn)A，B滿足PA，PB的中點(diǎn)均在C上．（Ⅰ）設(shè)AB中點(diǎn)為M，證明：PM垂直于y軸；（Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1(x<0)上的動(dòng)點(diǎn)，求△PAB面積的取值范圍．【解析】（Ⅰ）設(shè)，，，則中點(diǎn)為，由中點(diǎn)在拋物線上，可得，化簡得，顯然，且對(duì)也有，所以是二次方程的兩不等實(shí)根，所以，，即垂直于軸.（Ⅱ），由（1）可得，，，此時(shí)在半橢圓上，∴，∵，∴，∴，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以，，所以，即的面積的取值范圍是.【【例11】（2011年浙江理21）已知拋物線，圓的圓心為點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（Ⅱ）已知點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)作圓的兩條切線，交拋物線于兩點(diǎn)，若過兩點(diǎn)的直線垂足于，求直線的方程.【解析】（I）由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：所以圓心到準(zhǔn)線的距離是（II）設(shè)，則題意得，設(shè)過點(diǎn)的圓的切線方程為，即 ①則即，設(shè)，的斜率為，則是上述方程的兩根，所以（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）將①代入,得由于是此方程的根，故，所以由，得，解得即點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以直線的方程為【提升訓(xùn)練】如下圖所示，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若過點(diǎn)A作圓（圓M在橢圓C內(nèi)）的兩條切線分別與橢圓C相交于B、D兩點(diǎn)（B、D不同于點(diǎn)A），當(dāng)r變化時(shí)，試問直線BD是否過某個(gè)定點(diǎn)?若是，求出該定點(diǎn)；若不是，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由題意，，離心率，所以，故橢圓C的方程為（2）因?yàn)閳AM在橢圓C內(nèi)部，不難得出，所以直線AB、AD的斜率均存在，設(shè)過點(diǎn)A與圓M相切的直線為，設(shè)直線AB、AD的斜率分別為、，則圓心到直線的距離，化簡得：①，所以、是方程①的兩根，從而，故，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）聯(lián)立消去y整理得：，解得：或?qū)⒋肟傻?，所以，，結(jié)合可得，記，則所以，從而與共線，故直線BD過定點(diǎn).設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，其離心率，且點(diǎn)到直線的距離為.（1）求橢圓E的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓E上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的兩條切線，切線與y軸交于A、B兩點(diǎn)，求的取值范圍.【解析】（1）由題意，橢圓E的離心率，整理得：，所以，從而，直線可化為，由題意，到直線的距離，解得：，所以，從而橢圓E的方程為.（2）顯然直線PA、PB的斜率都存在，設(shè)過點(diǎn)P與圓相切的直線的方程為，則到切線的距離，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）整理得：①，判別式，將代入整理得：，設(shè)直線PA、PB的斜率分別為、，則、為方程①的兩根，在方程中令得：，故，所以，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?3.已知圓和拋物線.（1）若直線l與圓O相切，與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，且滿足，求直線l的方程；（2）過拋物線E上一點(diǎn)作兩條直線PQ、PR與圓O相切，且分別交拋物線E于Q、R兩點(diǎn)，若直線OR的斜率為，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解析】（1）由題意，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為，設(shè)，，因?yàn)橹本€l與圓O相切，所以，即①，聯(lián)立消去y整理得：，由韋達(dá)定理，，，所以，因?yàn)?，所以②，由①②解得，，即直線l的方程為.（2）設(shè)，，則設(shè)過點(diǎn)P與圓O相切的直線的方程為，則，整理得：③（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)直線、PR的斜率分別為、，則、為方程③的兩個(gè)解，所以，直線PQ的方程為，代入得：故，從而，同理，，所以由解得：或，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為或.4.已知拋物線，點(diǎn)F為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線C內(nèi)部一點(diǎn)，拋物線C上任意一點(diǎn)P滿足的最小值為2，直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，的內(nèi)切圓圓心恰好為點(diǎn)E.（1）求拋物線C的方程；（2）求直線l的方程；【解析】（1）如圖，作拋物線C的準(zhǔn)線于M，作于N，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，所以當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P為線段EN與拋物線交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為，由題意，，解得：，所以拋物線C的方程為.（2）設(shè)，，由題意，，，則直線OA的方程為，即，因?yàn)镋為的內(nèi)切圓圓心，所以點(diǎn)E到直線OA與到直線AB的距離相等，從而，兩端同時(shí)平方化簡得：，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）同理，，所以、是方程的兩個(gè)解，判別式①，由韋達(dá)定理，，另一方面，聯(lián)立消去x整理得：，判別式，所以，由韋達(dá)定理，，所以，解得：，滿足和①，故直線l的方程為.5.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)且斜率為k的直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B，記PA、PB的斜率分別為、.（i）求的值；（ii）設(shè)點(diǎn)，若點(diǎn)M到直線PA、PB的距離相等，求m的值.【解析】（1）由題意，，所以，又橢圓過點(diǎn)，所以，故，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（i）設(shè)，，由題意，直線l的方程為，代入消去y整理得：，易得判別式，由韋達(dá)定理，，，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以，，（ii）解法1：由題意，直線PA的方程為，設(shè)點(diǎn)M到直線PA的距離為d，則，整理得：，同理可得，所以、是方程的兩根，由（i）可得，所以，解得：.解法2：由題意，直線PA、PB的方程分別為，，因?yàn)辄c(diǎn)M到直線PA、PB的距離相等，所以，故①由（i）可得，所以，代入①得：所以，整理得：，顯然，否則結(jié)合可得，從而PA、PB重合，不合題意，所以，解得：.6.如圖，已知拋物線：，直線過點(diǎn)與拋物線交于第一象限內(nèi)兩點(diǎn)，設(shè)的斜率分別為.(Ⅰ)求的取值范圍；(Ⅱ)若直線恰好與圓:相切，求的值.【解析】(Ⅰ)設(shè)：，代入，得，，得.設(shè)，則，，所以的取值范圍是.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，設(shè)過原點(diǎn)且與圓相切的直線為，則，整理得，，得，所以.7.已知橢圓：，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)到直線的距離均等于.直線的斜率分別為.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)證明：.【解析】(Ⅰ)設(shè)，因?yàn)橹本€：，：，所以，化簡得同理所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，即，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）所以(Ⅱ)設(shè)，，即，即因?yàn)樵跈E圓上，所以，即，整理得，所以，所以.8.（2019屆9+1聯(lián)盟期中考試）已知拋物線：上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在射線上，滿足的中點(diǎn)在拋物線上．(Ⅰ)若直線的斜率為1，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(Ⅱ)若射線上存在不同于的另一點(diǎn)，使得的中點(diǎn)也在拋物線上，求的最大值．【解析】(Ⅰ)設(shè)直線的方程為，則，設(shè)，由得，所以，，又解得經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的解，所以或