專題14.3乘法公式【十大題型】

【人教版】

?題型梳理

【題型1判斷運(yùn)用乘法公式計(jì)算的正誤】..........................................................1

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】.............................................................3

【題型3乘法公式的計(jì)算】......................................................................5

【題型4利用乘法公式求值】....................................................................8

【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】............................................................10

【題型6乘法公式的應(yīng)用】.....................................................................13

【題型7平方差公式的幾何背景】...............................................................17

【題型8完全平方公式的幾何背景】............................................................22

【題型9乘法公式中的新定義何題】............................................................28

【題型10乘法公式的規(guī)律探究】................................................................31

，舉一反三

【知識(shí)點(diǎn)乘法公式】

平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2o兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。這個(gè)公式叫做平

方差公式。

完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2,(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或

減去沱們積的2倍。這兩個(gè)公式叫做完全平方公式。

【題型1判斷運(yùn)用乘法公式計(jì)算的正誤】

【例1】(2023春?貴州畢節(jié)?八年級(jí)統(tǒng)考期末)計(jì)算。—y+3)Q+y—3)時(shí)，下列變形正確的是()

A.[(x-y)+3][(x+y)-3]B.[(%+3)-y][(x-3)+y]

C.[x-(y+3)][x+(y-3)]D.[x-(y-3)][x+(y-3)]

【答案】D

【分析】將(y-3)看做一個(gè)整體，則x是相同項(xiàng)，互為相反項(xiàng)的是(y-3),對(duì)照平方差公式變形即可求解.

【詳解】解:(x-y+3)(x+y-3)=[x-(y-3)][x+(y-3)],

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是找出相同項(xiàng)和相反項(xiàng).

【變式1-1](2023春?浙江杭州?八年級(jí)校考期中)下列運(yùn)算正確的是()

A.(x4-y)(-y+%)=x2-y2B.(-%+y)2=-x2+2xy+y2

C.(-x-y)2=-x2-2xy-y2D.(x+y)(y-x)=x2-y2

【答案】A

【分析】根據(jù)平方差公式和完全平方公式，逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、(x+y)(-y+x)=x2-y2,故A正確，符合題意；

B、(-X+y)2=x2-2xy+y2,故B不正確，不符合題意；

C^(-%-y)2=x24-2xy+y2,故C不正確，不符合題意；

D、(%+y)(y-X)=y2-X2,故D不正確，不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)平方差公式和完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式(a+b)(a-b)=a2-

和完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2.

【變式1-2](2023春?天津?yàn)I海新?八年級(jí)統(tǒng)考期末)在下列多項(xiàng)式的乘法中，不?可以用平?方?差?公式計(jì)算的是

()

A.(x+y)(x-y)B.(-x+y)(x+y)

C.(-x-y)(-x+y)D.(x-y)(-x+y)

【答案】D

【分析】根據(jù)平方差公式是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘等于這兩個(gè)數(shù)的平方差，由此進(jìn)行判斷即可.

【詳解】A、B、C選項(xiàng)都是兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差相乘，可以使用平方差公式，

D選項(xiàng)變形后為-Q-y)2,不能使用平方差公式；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2023春?廣東茂名?八年級(jí)統(tǒng)考期中)下列多項(xiàng)式不是完全平方式的是().

222

A.X-4X-4B.+血C.a4-2ab+D.t+4t+4

【答案】A

【分析】根據(jù)a2±2ab+墳的形式判斷即可；

【詳解】32-4%-4不是完全平方公式，故A符合題意；

]+m2+m=G+m)2,故B不符合題意；

a2+2ab+b2=(a+Z?)2,故C不符合題意;

t2+4t+4=(t+2)2,故D不符合題意；

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的判斷，準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵.

【題型2利用完全平方式確定系數(shù)】

[例2](2023春?江蘇揚(yáng)州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)若將多項(xiàng)式4a2一2a+1加上一個(gè)單項(xiàng)式成為一個(gè)完全平方式,

則這個(gè)單項(xiàng)式可以是.(只要寫出符合條件的一個(gè))

【答案】—2a,6a,——3a2.

4

【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)分情況討論：若把4a2和I看成兩個(gè)平方項(xiàng)，則該完全平方式可以；是

(2。-1)2或(2a+1)2：②若把4a2看成一個(gè)平方項(xiàng)，把一2a看成二倍兩項(xiàng)積，則該完全平方式可以是

③若把1看成一個(gè)平方項(xiàng)，把一2a看成二倍兩項(xiàng)積，則該完全平方式可以是(。-1產(chǎn).分別算出

所需添加的單項(xiàng)式即可.

【詳解】①若把4a2和1看成兩個(gè)立方項(xiàng)，則該完全平方式可以是(2a-或(2Q+I)2,

v(2a—l)2=4a2—4a+1=4a2—2Q+1+(-2a),

???這個(gè)單項(xiàng)式可以是-2Q；

v(2a+l)2=4Q2+4Q+1=4a2-2Q+1+6Q,

???這個(gè)單項(xiàng)式可以是6Q；

②若把4a2成一個(gè)平方項(xiàng)，把-2a看成二倍兩項(xiàng)積，則該完全平方式可以是(2a-2產(chǎn)，

v(2a—1)2=4a2—2a4-=4a2-2a+1+(一令，

???這個(gè)單項(xiàng)式可以是-3

4

③若把1成一個(gè)平方項(xiàng)，把-2a看成二倍兩項(xiàng)積，則該完全平方式可以是伍-1打，

(a-I)2=a2—2a+1=4a2-2cz+1+(—3a2),

?.?這個(gè)單項(xiàng)式可以是一3Q2.

綜上，添加的這個(gè)單項(xiàng)式可以是-2a,6a,-p-3a2.

故答案為：—2a,6a,-p—3a2.

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的特點(diǎn)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1](2023春?四川達(dá)州?八年級(jí)?？计谥?若爐+2(，-3)%+1是完全平方式,%+n與％+2的乘

積中不含工的一次項(xiàng)，貝心血的值為.

【答案】4或16

【分析】利用完全平方公式，以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則確定出機(jī)與〃的值，代入原式計(jì)算即可求出值.

【詳解】解：???/+2(7n-3)%+1是完全平方式，

/.771-3=±1,

Am=4或m=2,

,:x+n與％+2的乘積中不含k的一次項(xiàng)，(%+n)(x+2)=/+⑴+2)x+2n,

/.n+2=0,

An=—2,

當(dāng)m=4,n=-2時(shí),nm=(-2)4=16：

當(dāng)m=2,九二一2時(shí)，nm=(-2)2=4,

則荏巾=4或16,

故答案為：4或16.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)犍.

【變式2-2](2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))若9/-(A—l)xy+25y2是關(guān)于％的完全平方式，則攵=.

【答案】31或-29/-29或31

(分析】由9?一(k-l)xy+25y2是關(guān)于％的完全平方式,得出9/-(k-l)xy+25y2=(3x±5y)2,進(jìn)而

得出一(k—l)=±30,即可求出〃的值.

【詳解】解：???9/一(4-1)孫+25y2是關(guān)于％的完全平方式，

A9x2-(k-l)xy+25y2=(3x±5y)2,

1)=±30,

解得:k=31或一29,

故答案為：31或-29

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，掌握完全平方式的特點(diǎn)，考慮兩種情況是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-31(2023春?福建泉州?八年級(jí)晉江市季延中學(xué)校考期中)已知B是含字母x的單項(xiàng)式,要使/+B+；

是完全平方式，那么3=.

【答案】土'或

【分析】分類討論：①當(dāng)％2+8+：是完全平方式時(shí)和當(dāng)3+/+；是完全平方式時(shí)，再根據(jù)完全平方式的特

44

點(diǎn)即可得出答案.

【詳解】解：分類討論：①當(dāng)％2+8+：是完全平方式時(shí).

4

??”2+B+[=/+8+G)2，

=±2x%x；±x；

②當(dāng)8+/+；是完全平方式時(shí).

4

VF+X24--=5+2xx2X-+,

42X2J

B=X4.

綜上可知，8=±%或％4.

故答案為：±*或/.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方式.掌握完全平方式的結(jié)構(gòu)特征和利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.

【題型3乘法公式的計(jì)算】

【例3】(2023春?云南昭通?八年級(jí)?？计谀?計(jì)算：

(1)(2m-n+3p)(2m+3p+九)；

(2)化簡(jiǎn)求值：(x-3)(%+3)-(/-2x+1),其中％=5

【答案】(l)4m2+12?np+9p2-n2

(2)2%-10,-9

【分析】(1)先把原式化為[(2m+3p)-出[(2m+3P)+74，再利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算即可:

(2)先利用平方差公式和去括號(hào)法則展開，再合并同類項(xiàng)，最后求值即可.

【詳解】(1)解：原式=[(2m+3p)-n][(2m+3p)+n]

=(2m+3P尸-n2

=4m2+12mp+9p2-n2；

(2)原式=%2—9—x2+2x-1

=2x-10,

當(dāng)x時(shí),

原式=1-10

=-9.

【點(diǎn)睛】本題考查r整式的混合運(yùn)算以及平方差公式，熟練掌握整式的混合運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2023春?山東東營?六年級(jí)統(tǒng)考期末)利用整式乘法公式計(jì)算.

(1)1002-98x102：

(2)(a+Z?+3)(a+b—3)；

(3)(-2m+3)(—2m—3)；

(4)(1x-2y)2.

【答案】(1)4

(2)(i2+2ab+/-9

(3)4m2-9

(4)\2-2xy+4y2

【分析】(1)首先把98x102轉(zhuǎn)化為(100-2)x(100+2),然后再根據(jù)平方差公式計(jì)算即可;

(2)利用平方差公式變形，然后再根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可；

(3)根據(jù)平方差公式計(jì)算即可；

(4)根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可.

【詳解】(1)解：1002-98X102

=1002-(100-2)x(1004-2)

=1002-(1002-22)

=1002-1002+22

=4；

(2)解：(Q+b+3)(Q+b-3)

=[(a+b)+3][(a+b)—3]

=(a+b)2—32

=a2+Zab+d2-9：

(3)解：(—2m+3)(—27n—3)

=(-2m)2-32

=4m2—9；

(4)解：Qx-2y)

=-x2—2xy+4y2.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握整式的乘法公式進(jìn)行計(jì)算.

【變式3-2】(2023春?湖南永州?八年級(jí)校聯(lián)考期中)(1一￡)(1一卷)(1一制…(1一★)=—.

【答案】葛

【分析】根據(jù)平方差公式得,-a(1-a)…(1-擊)=(1-3(1+9(1-3(1+3(1

+1-1+

14)-(M)(M)=齊"那x|x1.X"X協(xié)然后計(jì)算求解即可.

【詳解】解：(1一3(1-*)(1一專)…(1一+)

=(1-。(1+3(1-飄1+9(1-》(1+》“(1-a(1+焉)

1324351315

二三乂二乂二乂二乂二X二?..X--X--

2233441414

115

=2X14

_15

-28’

故答案為:盤

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用.

【變式3-3](2023春?江西撫州?八年級(jí)校聯(lián)考期中)運(yùn)用乘法公式計(jì)算：

(l)(2m-3n)(-2m-3n)-(2m-3n)2

(2)1002-992+982-9724--+22-l2.

【答案】⑴-8m2+12mn

(2)5050

【分析】(1)原式第一項(xiàng)利用平方差是化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用完全平方公式展開，去括號(hào)合并即可得到結(jié)果;

(2)原式結(jié)合后，利用平方差公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)原式二9九2一4m2-4加2+12zmi—9九2

=-8m2+12mn；

(2)原式=(100+99)X(100-99)+(98+97)X(98-97)+-+(2+1)x(2-1)

=100+99+98+97+96+……+1

=5050.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式和完全平方公式的應(yīng)用，熟練學(xué)喔運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.

【題型4利用乘法公式求值】

【例41(2023春?山東濟(jì)南?八年級(jí)統(tǒng)考期末)設(shè)a=x-2022,b=x-2024,c=x-2023.若出+b2=16,

則c?的值是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】根據(jù)完全平方公式得出ah=6,a-b=2,進(jìn)而根據(jù)已知條件得出c?=(a-1)(8+1),進(jìn)而即可

求解.

【詳解】「a二》一2022,=x-2024,c=x-2023,

a-1=x-2023=c=b4-1?a—b=

???a2+b2=16,

???(a—b)?+2ab=16,

???ab=6,

???c2=(a—l)(b+1)

=ab+a-b-l

=6+2-1

=7,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式變形求值，根據(jù)題意得出c2=(a-l)(b+l)是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1](2023春?廣西貴港?八年級(jí)?？计谀?若X-y-7=0,則代數(shù)式/一一此丫的值為.

【答案】49

【分析】先計(jì)算x-y的值，再將所求代數(shù)式利用平方差公式分解前兩項(xiàng)后，將x-y的值代入化簡(jiǎn)計(jì)算，然

后再代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：?.“一、一7=0,

x—y=7,

：,x2-y2-Uy

=(x+y)(x-y)-14y

=7(x+y)-14y

=7x+7y—14y

=7(x-y)

=49.

故答案為：49.

【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，通過平方差公式分解因式后整體代入是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023春?湖南永州?八年級(jí)?？计谥?(1)已知Q+：=3,求小+2的值；

(2)已知(a—b)2=9,ab=18,求1+產(chǎn)的值.

【答案】(1)7；(2)45

【分析】(I)根據(jù)完全平方和公式恒等變形后，代值求解即可得到答案；

(2)根據(jù)完全平方差公式，代值求解即可得到答案.

【詳解】解：(1)a2+=(a+-)-2,a+-=3,

\a/a

???原式=32—2

=9-2

=7；

(2)v(a-b)2=a2-2ab+b2,(a-b)2=9,ab=18,

9=a2-2x18+b2,解得a?4-/)2=9+2x18=45.

【點(diǎn)睛】本題考杳代數(shù)式求值，涉及完全平方公式，熟記完全平方和與完全平方差公式是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-3](2023春.陜西西安.八年級(jí)校考期中)己知小滿足(3m-2015)2+(2014-3m)2=5.

(1)求(2015-3m)(2014-3m)的值.

(2)求6m-4029的值.

【答案】⑴-2

(2)±3

【分析】(1)原式利用完全平方公式化簡(jiǎn)，計(jì)算即可確定出原式的值；

(2)原式利用完全平方公式變形，計(jì)算即可得到結(jié)果.

【詳解】(1)解：設(shè)a=3m-2015,h=2014-3m,

可得Q+b=—1,a2+b2=5,

2

(a+b)=a2+b2+2ab,

???1=5+2ab,即ab=-2,

則(2015-3m)(2014-3m)=(3m-2015)(2014-3m)=-ab=2；

(2)解：設(shè)a=3771-2015,b=2014-3m,可得6m-4029=(3m-2015)-(2014-3m)=a-b,

,:(a—b)2=a2+b2—2ab,

???(6m—4029)2=(a—b)2=a2+b2-2ab=5+4=9,

貝I」6m—4029=±3.

【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握公式及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.

【題型5利用面積法驗(yàn)證乘法公式】

【例5】(2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))如圖，陰影部分是在邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為〃的小正方

形后所得到的圖形，將陰影部分通過割、拼，形成新的圖形.給出下列2種割拼方法，其中能夠驗(yàn)證平方

差公式的是()

圖①圖②

A.①B.②C.①②D.①②都不能

【答案】C

【分析】分別在兩個(gè)圖形中表示出陰影部分的面積，繼而可得出驗(yàn)證公式，即可得到答案.

【詳解】解：在圖①中，

左邊的圖形中陰影部分的面積為：。2—2,

右邊圖形中的陰影部分的面積為：(a+b)(a-b),

故可得：a2-b2=(a+b)(a-b),可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；

在圖②中，

左邊的圖形中陰影部分的面積為：a2-b2,

右邊圖形中的陰影部分的面積為：(a+d)(a-d),

故可得：a2-b2=(a-Pb)(a-b),可驗(yàn)證平方差公式，符合題意；

故能夠驗(yàn)證平方差公式的是：①②，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，運(yùn)用不同方法表示陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵.

【變式5-11(2023春?山東煙臺(tái)?六年級(jí)統(tǒng)考期末)在下面的正方形分割方案中，可以驗(yàn)證(a+b)2=(a-b)2+

4a匕的圖形是（）

【答案】C

【分析】用面積公式和作差法求小正方形、長(zhǎng)方形的面積，令其與大正方形相等.

【詳解】A、不能驗(yàn)證公式，該選項(xiàng)不符合題意；

B、可以驗(yàn)證（a+b）2=小+2出）+/,該選項(xiàng)不符合題意；

C、可以驗(yàn)證（a+b）2=（Q—b）2+4ab,該選項(xiàng)符合題意；

D、可以驗(yàn)證小=（Q一/））2+2泌一爐，g[J（a-/））2=a2-2ab+b2＞該選項(xiàng)不符合題意.

故選:C.

【點(diǎn)睛】本題考杳了完全平方公式的幾何驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與昆活運(yùn)用.

【變式5-2]（2023春?福建宇德?八年級(jí)校聯(lián)考期中）下列等式不能用如圖所示的方形網(wǎng)格驗(yàn)證的是（

A.(Q十d)2=a2+Zab+b2

B.(Q+b)(b+c')=ab+ac-b2+be

C.(Q+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

D.(a+b)(a—b)=a2—b2

【答案】D

【分析】利用圖形面積直接得出等式，從而可選擇.

【詳解】解：等式(a+匕)2=a2+2ab+爐是由邊長(zhǎng)為(a+b)的正方形推導(dǎo)而出，故A可驗(yàn)證，不符合題意;

等式(。+切3+(:)=。6+川+力2+兒是由長(zhǎng)為(6+(:),寬為(a+8)的長(zhǎng)方形推導(dǎo)而出，故B可驗(yàn)證，不

符合題意：

等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc是由邊長(zhǎng)為(a+b+c)的正方形推導(dǎo)而出，故C可驗(yàn)證,

不符合題意；

等式(。+匕)(。一匕)=(12一匕2,圖中找不到有關(guān)于Q—匕的面積，故D不可驗(yàn)證，符合題意.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考杳多項(xiàng)式的乘法與圖形面枳.利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵.

【變式5-3](2023春?江西撫州?八年級(jí)統(tǒng)考期末)(1)課本再現(xiàn)：如圖1,2是“數(shù)形結(jié)合”的典型實(shí)例，應(yīng)

用“等積法''驗(yàn)證乘法公式.圖1驗(yàn)證的是，圖2驗(yàn)證的是:

(2)應(yīng)用公式計(jì)算：

①已知x+y=5,jcy=-1,求小十f的值；

②求20222-2021x2023的值.

aba

圖1圖2

【答案】(1)(a+b)2=小+匕2+2Q/J,a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)①27；②1

【分析】(1)根據(jù)圖1中大正方形的面積為兩個(gè)小正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和得到完全平方公

式，根據(jù)圖2中左右兩邊陰影部分的面積相等得到平方差公式；

(2)①利用/+y2=a+y)2一2秒進(jìn)行計(jì)算即可；②利用平方差公式將2021x2023=(2022-

1)(2022+1)=20222-1化簡(jiǎn)即可.

【詳解】解：(1)圖1中，

邊長(zhǎng)為a的正方形的面積為。2,

邊長(zhǎng)為b的正方形的面枳為匕2,

長(zhǎng)為a寬為b的長(zhǎng)方形的面枳為ab,

大正方形的邊長(zhǎng)為(a+b),面積為(a+b)2,

???大正方形的面積為兩個(gè)小正方形的面積與兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積之和，

(Q+b)2=Q2+爐+2ab

圖2中，

左邊陰影部分的面積為：a2-b2,

右邊陰影部分的面積為：(Q+b)(Q—b),

?.?左右兩邊的陰影部分面積相等，

a2—d2=(a+b)(a—b),

故答案為：(Q+b)2=a?+M+Zab,a2—b2=(a+b)(a—b)：

(2)①???x+y=5,xy=-1,

二x2+y2=(x+y)2-2xy=52-2x(-1)=27：

②20222-2021x2023

=20222-(2022-1)(2022+1)

-20222-(2022?_1)

【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式和平方差公式，熟練掌握3+匕）2=。2+匕2+2劭，a2-b2=

（a+b）（a-b）是解題的關(guān)鍵.

【題型6乘法公式的應(yīng)用】

【例6】（2023春?浙江宇波?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，為了美化校園，某校要在面積為30平方米長(zhǎng)方形空地

A8C。中戈IJ出長(zhǎng)方形E8KR和長(zhǎng)方形Q尸S。，若兩者的重合部分GFHR恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為3米的正方形，現(xiàn)將

圖中陰影部分區(qū)域作為花圃，若長(zhǎng)方形空地A8C。的長(zhǎng)和寬分別為m和幾，m>n,花圃區(qū)域力￡GQ和HKCS總

)

C.5米D.3.5米

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)及面枳計(jì)算公式，可找出關(guān)于〃?，〃的方程組，變形后可得出（小-72）2=49,解

之取其正值即可得出結(jié)論.

2(m-3)+2(n-3)=14①

【詳解】解：依題意得:

mn=30@

由①可得：7九+九=13,

V(7n-n)2=(m+n)2-4mn,

A(m-n)2=49,

.,.m—n=7或m—n=-7(不合題意，舍去).

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，牢記(?！續(xù)2=Q2±2必+62是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1】(2023春?陜西西安?八年級(jí)校考期中)我們知道，將完全平方公式(?！?2=a2±2。匕+62適當(dāng)

的變形，可以解決很多數(shù)學(xué)問題.請(qǐng)你觀察、思考，并解決以下問題：

HG

BCE

(1)若？n+n=9,mn=10,求7/^+M的值；

⑵如圖，一農(nóng)家樂準(zhǔn)備在原有長(zhǎng)方形用地(即長(zhǎng)方形ABCO)上進(jìn)行裝修和擴(kuò)建，先用長(zhǎng)為120m的裝飾性

籬笆圍起該長(zhǎng)方形院子，再以4。、C。為邊分別向外擴(kuò)建正方形KDGH、正方形QCEF的空地，并在兩塊正方

形空地上建造功能性花園，該功能性花園面積和為2000m2,求原有長(zhǎng)方形用地48。。的面積.

【答案】⑴61

⑵800m2

【分析】⑴利用完全平方公式代入計(jì)算即可；

(2)設(shè)CD=xm,AD=ym,由周長(zhǎng)可得x+y=60,由兩塊正方形的面積和為2000平方米，x24-y2=2000,

求肛即可.

【詳解】(1)V(m+n)2=m2+n2+2mn,m+n=9,mn=W,

Am2+n2=(m+n)2-2mn=92-2x10=61,

(2)設(shè)CO=xm,AD=ym,

???長(zhǎng)方形ABC。的周長(zhǎng)是120米，

???2(%+y)=120,

即x+y=60,

又：兩塊正方形的面枳和為2000平方米,

Ax2+y2=2000,

(x+y)2-(x2+yZ)_6022000_

???xy=

2

答:長(zhǎng)方形/BCD的面積為800平方米.

【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式H勺結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，適當(dāng)?shù)牡仁?/p>

變形是解決問題的的關(guān)鍵.

【變式6-2](2023春?湖南邵陽?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，某校一決邊長(zhǎng)為2am的正方形空地是八年級(jí)四個(gè)班

的清潔區(qū)，其中分給八年級(jí)(I)班的清潔區(qū)是一塊邊長(zhǎng)為(Q-2b)m的正方形.(0<2b<a)

七⑴七⑵

2am

七⑶七(4)

⑴分別求出八年級(jí)(2)班、八年級(jí)(3)班的清潔區(qū)的面積.

(2)八年級(jí)(4)班的清潔區(qū)的面積比八年級(jí)(I)班的清潔區(qū)的面積多多少？

【答案】(1)八年級(jí)(2)班、八年級(jí)(3)班的清潔區(qū)的面積均為(a+2b)(a-2b)=(a2-4M)(m2)

(2)宏8abm2

【分析X1)糧據(jù)圖形可知：八年級(jí)(2)班、八年級(jí)(3)班的清潔區(qū)為長(zhǎng)方形，通過2a-(a-2b)=(a+2b)(m),

可求出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)，(a+2b)(a-2b)=(a2-4d2)(m2),即可解答此題.

(2)由正方形的面積公式可得到:(a+2b/-(a-2b)2=a2+4ab+4b2—(a2—4ab+4b2)=8ab(m2)?

從而解答此題.

【詳解】(1)解：(1)因?yàn)?Q-(a-2匕)=(a十2匕)(m),

所以八年級(jí)(2)班、八年級(jí)(3)班的清潔區(qū)的面積均為(a+2b)(a-2b)=(a2-4b2)(m2).

(2)因?yàn)?Q+2b)—(a-2b)2=a2+4ab+4b2—(a2—4ab4-4b2)=8ab(m2),

所以八年級(jí)(4)班的清潔區(qū)的面積比八年級(jí)(1)班的清潔區(qū)的面積多8abm2.

【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法，熟練掌握完全平方公式、平方差公式是解本題的關(guān)鍵.

【變式6-3】(2023春?浙江溫州?八年級(jí)期中)學(xué)校為迎接藝術(shù)節(jié)，準(zhǔn)備在一個(gè)正方形空地A8CD上搭建一個(gè)

表演舞臺(tái)，如圖所示，正中間是“紅五月’'三個(gè)正方形平臺(tái).其中“五'’字正方形和“月'’字正方形邊長(zhǎng)均為〃米,

“紅”字正方形邊長(zhǎng)為b米.I號(hào)區(qū)域布置造型背景，n號(hào)區(qū)域設(shè)置為樂隊(duì)演奏席.

BC

(1)用含小》的代數(shù)式表示陰影部分的面積(即I和【I面積之和)并化簡(jiǎn)；

⑵若陰影部分的面積(即I和II面積之和)為288平方米，且Q+匕=20米，求“紅”字正方形邊長(zhǎng)〃的值.

【答案】⑴2a?+4帥

⑵16

【分析】(1)根據(jù)題意，分別表示出正方形空地4BCD的面積和“紅五月”三個(gè)正方形平臺(tái)的面積，相減即為

陰影部分的面積；

2

(2)根據(jù)陰影部分的面積求出a?+2ab=144,再根據(jù)Q+b=20,得到a?+2ab+b=400,進(jìn)而求得非=

256,即可求出正方形邊長(zhǎng)力的值.

【詳解】(1)解：由題意可知，正方形空地A8C。的邊長(zhǎng)為2a+b,

???正方形空地ABC。的面積為(2a+b)2,

???“紅五月”三個(gè)正方形平臺(tái)的面積為a?+〃+M=2a2+b2f

???陰影部分的面積為(2a+b)2-(2a2+b2)=4a2+4ab+b2-2a2-b2=2a2+4ab；

(2)解：陰影部分的面積為288平方米，

：,2a2+4ab=288,

:.a24-2ab=144,

???Q+b=20,

(a+b)2=a2+2ab+b2=400,

b2=400-144=256,

vb>0,

???b=16.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的面枳公式，列代數(shù)式，完全平方公式，平方根知識(shí)，根據(jù)題意正確得出陰影部

分的面積是解題關(guān)鍵.

【題型7平方差公式的幾何背景】

【例7】(2023春?安徽安慶?八年級(jí)統(tǒng)考期中)將邊長(zhǎng)為a的正方形的左上角剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形(如圖

1)，將剩下部分按照虛線分割成①和②兩部分，將①和②兩部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖2),解答下列問題：

(1)設(shè)圖1中陰影部分的面積為S1，圖2中陰影部分的面積為S2,請(qǐng)用含a,b的式子表示：工=,S2=

;(不必化簡(jiǎn))

⑵由(1)中的結(jié)果可以驗(yàn)證的乘法公式是；

(3)利用(2)中得到的公式，計(jì)算：20232-2022x2024.

【答案】(l)a2-b2,(Q+b)(Q—b)

(2)(Q+b)(Q-b)=a2-b2

(3)1

【分析】(1)根據(jù)圖形的和差關(guān)系表示出工，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式表示出S2；

(2)由(1)中的結(jié)果可驗(yàn)證的乘法公式是(a+b)(a-b)=a?一/；

(3)由(2)中所得公式，可得2022x2024=(2023+1)(2023—1)=20232—1,從而簡(jiǎn)便計(jì)算出該題結(jié)

果.

【詳解】(1)解：由題意得，SI=Q2—〃，

Sz=(a+b)(a—b).

故答案為：a2-b2,(a+b)(a-b)：

(2)解：由⑴中的結(jié)果可驗(yàn)證的乘法公式為(a+b)(a-b)=a2-b2.

故答案為：(a+b)(a-b)=十一爐：

(3)解：由(2)中所得乘法公式(a+6)(a—b)=02一〃可得，

20232-2021X2023

=20232-(2023+1)x(2023-1)

=20232_(20232_1)

=20232-20232+1

=1.

【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式幾何背景的應(yīng)用能力，掌握?qǐng)D形準(zhǔn)確列式驗(yàn)證平方差公式，并能利用所驗(yàn)證

公式解決相關(guān)問題是關(guān)鍵.

【變式7-1](2023春?全國?八年級(jí)期末)如圖1的兩個(gè)長(zhǎng)方形可以按不同的形式拼成圖2和圖3兩個(gè)圖形.

(1)在圖2中的陰影部分的面積5/可表示為」(寫成多項(xiàng)式乘法的形式)；在圖3中的陰影部分的面積S2

可表示為」(寫成兩數(shù)平方差的形式)；

(2)比較圖2與圖3的陰影部分面積，可以得到的等式是「

A.(a+b)2=a2+2ah+b2

B.(r/4-Z>)(.a-b)=ci2-h2

C.(a-b)2=a2-2ab~\~b2

(3)請(qǐng)利用所得等式解決下面的問題：

①已知4m2-zr=12,2〃?+〃=4,貝ij-〃=_；

②計(jì)算(2+1)(2?+1)(24+1)(2*+1)x…x(232+1)+1的值，并直接寫出該值的個(gè)位數(shù)字是多少.

【答案】(I)(a+b)(a-b)?cr-b2x

(2)B

⑶①3,②2叱6

【分析】(1)根據(jù)長(zhǎng)方形和正方形的面積公式即可求解即可；

(2)根據(jù)兩個(gè)陰影部分的面積相等由(1)的結(jié)果即可解答.

(3)①利用(2)得到的等式求解即可；②可以先把原式乘上一個(gè)(2-1),這樣可以和(2+1)湊成平方

差公式，以此逐步解答即可.

【詳解】(1)解：圖2中長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為(a+b),寬為(a-b),因此面積為(a+萬)(a-b),

圖3中陰影部分的面積為兩個(gè)正方形的面積差，即/?b2

故答案為：(。+力)(a-b),a2-b2.

(2)解：由(1)得(。+方)Ca-b)=/-〃；

故選B.

(3)解:①因?yàn)?濘-/=12,所以(2m+n)(2m-w)=12,

又因?yàn)?〃?+〃=4,

所以2m-八=12+4=3.

故答案為：3；

②(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)x...x(232+1)+1

=(2-1)(2+1)(22+1)(24-1)(28+1)+…+(232+1)+1

=(22-1)Si)(24+1)(28+1)+…+(232+1)+1

448

=(2-1)(2+1)(2+1)+…+(232+1)+1

=2M-1+1

=2%

而21=2,2?=4,23=8,24=16,25=32,26=64,27=128,2*=256...其個(gè)位數(shù)字2,4,8,6,重復(fù)

出現(xiàn)，而64:4=16,于是“2、4、8、6”經(jīng)過16次循環(huán)，

因此2'的個(gè)位數(shù)字為6.

答：其結(jié)果的個(gè)位數(shù)字為6.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用和數(shù)字類規(guī)律，靈活應(yīng)用平方差公式成為解答本題的關(guān)鍵.

【變式7-2](2023春?陜西咸陽?八年級(jí)咸陽市秦都中學(xué)?？茧A段練習(xí))【知識(shí)生成】

(I)我們已經(jīng)知道，通過計(jì)算幾何圖形的面積可以表示一些代數(shù)恒等式，例如：從邊長(zhǎng)為Q的正方形中剪掉

一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形如圖1,然后將剩余部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形如圖2.圖1中剩余部分的面積為,圖2

的面積為,請(qǐng)寫出這個(gè)代數(shù)恒等式；

[知識(shí)應(yīng)用】

(2)應(yīng)用(1)中的公式，完成下面任務(wù)：若m是不為0的有理數(shù)，已知P=(a+2m)(a-2m),Q=

(a4-m)(a-m),比較P、Q大??；

【知識(shí)遷移】

(3)事實(shí)上，通過計(jì)算幾何圖形的體枳也可以表示?些代數(shù)恒等式，圖3表示的是?個(gè)邊長(zhǎng)為工的正方體挖

去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖3中圖形的變化關(guān)系，通過計(jì)算寫出一個(gè)代數(shù)恒等式.

【分析】(1)分別用代數(shù)式表示圖1,圖2的面積即可；

(2)利用(1)中得到的等式計(jì)算P-Q的值即可；

(3)分別用代數(shù)式表示圖3中左圖和右圖的體積即可.

【詳解】解：(1)圖1中剩余部分的面積為。2一非，

圖2的面積為(a+b)(a—b),

所以代數(shù)恒等式為(a+bXa-b)=a2-b2；

(2)vP=(a+2m)(a-2m),Q=(Q+m)(a-m),

???P—Q=(Q+2m)(a—2m)—(a+m)(a—m)=a2—4m2—(a2—m2)=-3m2

因?yàn)橄嗍遣粸?的有理數(shù).

所以一3m2vo,即P-QvO,所以PvQ；

(3)圖3中左圖的體積為％?%%-1x1x無=/一無，

圖3中右圖是長(zhǎng)為x+1,寬為％,高為％-1的長(zhǎng)方體，

因此體積為0+1)?x?(x-1),所以有x(x+l)(x-1)=x3-x.

【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的幾何背景，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，利用代數(shù)式表示

圖形的面積和體積是正確解答的關(guān)鍵.

【變式7-3](2023春?山西大同?八年級(jí)統(tǒng)考期中)【實(shí)踐操作】

(1)如圖①，在邊長(zhǎng)為。的大正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為〃的小正方形(a>b),把圖①中L形的紙片按圖②

剪拼，改造成了一個(gè)大長(zhǎng)方形如圖③，請(qǐng)求出圖③中大長(zhǎng)方形的面積；

ah

b

.2

圖①圖②圖③

(2)請(qǐng)寫出圖①、圖②、圖③驗(yàn)證的乘法公式為：

【應(yīng)用探究】

(3)利用(2)中驗(yàn)證的公式簡(jiǎn)便計(jì)算:499x501+1；

(4)計(jì)算：(1一會(huì))x(1-*)x(l-*)x...x(l-嬴)x(l-痣).

【知識(shí)遷移】

(5)類似地，我們還可以通過對(duì)立體圖形進(jìn)行變換得到代數(shù)恒等式如圖④，將一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正方體中去

掉一個(gè)棱長(zhǎng)為。的正方體，再把剩余立體圖形切割分成三部分如圖⑤，利用立體圖形的體積，可得恒等式

為：(結(jié)果不需要化簡(jiǎn))

［答案］(l)a2-b2x(2)(a-b)(a4-d)=a2-b2；(3)250000；(4嚼;(5)(a-b)a2+(a-b)b2+(a-b)ab

或(a—b)(a2+b2+ab)

【分析】(1)利用長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘以寬即可.

(2)圖③中大長(zhǎng)方形的面積等于圖①的陰影部分面積，分別計(jì)算即可得出：(a-h)(a+b)=a2-b2

(3)觀察(2)的的乘法公式的特點(diǎn)是兩數(shù)之和乘以兩數(shù)之差，故將499拆成500-1,將501拆成500+1即

可.

(4)利用/一＞2=g+b)(a_b)將各個(gè)因其進(jìn)行因式分解后，再將各因式通分相加，發(fā)現(xiàn)每相鄰兩個(gè)的乘

積為0,故答案為第一個(gè)因式乘以最后一個(gè)因式.

(5)將立體圖形分割成三部分，分別為：a2(a-b).b2(a-b),ah(a-b),其和為出①一b)+爐3-b)+

ab(a—b),恰等于標(biāo)一定.

【詳解】解?：(1)長(zhǎng)方形的面積為：

a-b

2(a-b)(—+b)

乙

=(a-b)(a-b+2b)

=(a-b)(a+b)

=a2—b2；

(2)圖③整個(gè)大長(zhǎng)方形的面積等于圖①陰影部分的面積：

/.(a-b)(a4-b)=a2—b2；

(3)原式=(500-1)x(500+1)+1

=S002-l2+l

=250000；

(4)原式=(1―目(1+g(i_y(i+3...(1-嘉)(i+表)(i-短)(i+募)

132434o2O2O22212O23

20

-XXXXX-XX--XX-X

25O212O222O22

22120

----

12O23334

X

2-2O22

2023

=---；

4044

(5)將立體圖形分割成三部分，分別為：。2(。一力)、—ab(Q-b),其和為Q2(Q—/))+b2(Q—b)+

ab(a—b)=a3—b3,

故答案為：Q2(Q-b)+-b).

【點(diǎn)睛】本題考查了“數(shù)形結(jié)合”中的乘法公式及其靈活運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律并總結(jié)規(guī)律.

【題型8完全平方公式的幾何背景】

【例8】(2023春?浙江溫州?八年級(jí)校聯(lián)考期中)圖I,是一個(gè)長(zhǎng)為2血，寬為2九的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪

刀平均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后按圖2的形狀拼成一個(gè)正方形.

圖1圖2

(1)圖2中的陰影部分的面積為

(2)觀察圖2,三個(gè)代數(shù)式(m+九＞，(m-n)2,nm之間的等量關(guān)系是_；

(3)若x+y=-6,xy=則(直接寫出答案)

【答案】⑴(m-九產(chǎn)

⑵()71+71)2-477171=(7H-H)2

⑶±5

【分析】(1)根據(jù)陰影部分的面積等于右邊大正方形的面積減去左邊矩形的面積進(jìn)而得出答案;

(2)由(I)中計(jì)算過程可得答案；

(3)根據(jù)(2)中的等式可得答案.

【詳解】(1)解：圖2中的陰影部分為正方形，邊長(zhǎng)為(加一九)，則面積為(m-幾)2.

故答案為：(771—71)2；

(2)解：左邊圖形的面積=2znx2〃=4m72,

右邊的大正方形面積=(m+n)2,

則陰影部分的面積=(m+九)2—4mn,

因此三個(gè)代數(shù)式(m+n)2,(m-n)2,nm之間的等量關(guān)系為：

(m+n)2-4mn=(m-n)2；

故答案為：(m十九)2—4nm=(m一九)2；

(3)解：由(2)得(x+y)2—4盯=(x—y)2,

??.(％-y)2=(-6)2-4x卜25,

*.x-y=±x^25=±5?

故答案為：±5.

【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的背景知識(shí)以及完全平方公式的變形，解題的關(guān)鍵是認(rèn)真觀察圖形，用不

同的形式表示圖形的面枳.

【變式8-1](2023春?八年級(jí)課時(shí)練習(xí))完全平方公式：(。±力)2=小±2尤+爐適當(dāng)?shù)淖冃?，可以解決很

多的數(shù)學(xué)問題.

例如：若Q+8=3,ab=1,求/+尼的值.

解：因?yàn)椤?匕=3,所以(a+8)2=9,即：a2+2ab+h2=9,

乂因ab=1,所以a?+b2=7

根據(jù)上面的解題思路與方法，解決下列問題：

GH

B

(1)若不+y=8,/+y2=40,則的值為；

(2)拓展：若(4一x)x=3,則(4-x)2+X2=.

(3)應(yīng)用：如圖，在長(zhǎng)方形4BCO中，AB=20,8C=12,點(diǎn)E、F是BC、CO上的點(diǎn)，且BE=0/二%,分

別以FC、CE為邊在長(zhǎng)方形/18C0外側(cè)作正方形CrGH和正方形CEMN,若長(zhǎng)方形CEP產(chǎn)的面積為160,求圖中

陰影部分的面積和.

【答案】(1)12

⑵10

(3)384

【分析】(1)利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(2)設(shè)4—X=Q,x=b,則Q+力=4,ab=3,然后完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答；

(3)根據(jù)題意可得FC=20—x,CE=12-%,然后設(shè)FC=20—x=Q,CE=12-x=b,則Q-8=8,

ab=160,最后利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算，即可解答.

【詳解】(1)解：vx+y=8,x2+y2=40,

：?2xy=(x+y)2-(x2+y2)

=82-40

=64-40

=24,

???xy=12.

(2)解：設(shè)4-x=a,x=b,

--a+b=4-x+x=4,

???(4-x)x=3,

???ab=3,

???(4-%)2+x2=a2+b2

=(a+b)2—2ab

=42-2x3

=16-6

=10.

(3)解：???四邊形43CD是長(zhǎng)方形，

AB=CD=20,AD=BC=12,

vBE=DF=x,

AFC=DC-DF=20-x,CE=BC-BE=12-x,

設(shè)FC=20—x=a,CE=12—x=b,

***Q-b=20-x—(12—x')=8?

???長(zhǎng)方形CEPF的面枳為160,

:.FC-CE=(20-x)(12-x)=ab=160,

正方形CFGH的面積+正方形CEMN的面積

=CF2+CE2

=(20-x)2+(12-x)2

=a2+b2

=(a-b)2+2ab

=824-2x160

=64+320

=384,

???圖中陰影部分的面積和為384.

【點(diǎn)睛】本題考查/整式的混合運(yùn)算-化簡(jiǎn)求值，完全平方公式的幾何背景，熟練掌握完全平方公式變形的

計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

【變式8-2](2023春.江蘇.八年級(jí)期中)【知識(shí)生成】通常情況下，通過用兩種不同的方法計(jì)算同?個(gè)圖形

的面積，可以得到一個(gè)恒等式.如圖1,在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為力的小正方形(。＞匕).把余

下的部分沿虛線剪開拼成一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖2).圖1中陰影部分面積可表示為：a2~b2,圖2中陰影部分

面積可表示為3+。)(?！?,因?yàn)閮蓚€(gè)圖中的陰影部分面積是相同的，所以可得到等式：合一店二(武力3—8)；

圖4

【拓展探究】圖3