函數(shù)極限測試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.當\(x\to0\)時，\(x^2\)是比\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階無窮小D.等價無窮小2.\(\lim_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}\)的值為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(\frac{1}{2}\)D.不存在3.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，則（）A.\(f(a)=A\)B.\(f(x)\)在\(x=a\)處有定義C.\(A\)是唯一確定的D.\(f(x)\)在\(x=a\)附近無界4.當\(x\to\infty\)時，\(\frac{\sinx}{x}\)的極限是（）A.\(1\)B.\(0\)C.\(\infty\)D.不存在5.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的間斷點是（）A.\(x=0\)B.\(x=1\)C.\(x=-1\)D.無間斷點6.\(\lim_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}\)等于（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(1\)D.\(2\)7.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，則\(\lim_{x\tox_0}(f(x)-g(x))\)等于（）A.\(A+B\)B.\(A-B\)C.\(AB\)D.\(\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）8.當\(x\to0\)時，與\(x\)等價無窮小的是（）A.\(\sin2x\)B.\(\tanx\)C.\(2x\)D.\(x^2\)9.\(\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}\)的值為（）A.\(e\)B.\(e^2\)C.\(1\)D.\(e+1\)10.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處極限存在是\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列極限存在的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)2.以下哪些是無窮小量（）A.當\(x\to0\)時，\(x^3\)B.當\(x\to\infty\)時，\(\frac{1}{x^2}\)C.當\(x\to1\)時，\(x-1\)D.當\(x\to0\)時，\(\sinx\)3.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，\(\lim_{x\tox_0}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))=A+B\)B.\(\lim_{x\tox_0}(f(x)g(x))=AB\)C.\(\lim_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.\(\lim_{x\tox_0}(kf(x))=kA\)（\(k\)為常數(shù)）4.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)的條件是（）A.\(\lim_{x\tox_0^-}f(x)=\lim_{x\tox_0^+}f(x)\)B.\(f(x_0)\)有定義C.\(\lim_{x\tox_0}f(x)=f(x_0)\)D.\(f(x)\)在\(x_0\)鄰域內(nèi)有界5.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處間斷的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sin\frac{1}{x}\)C.\(y=\begin{cases}x+1,x\geq0\\x-1,x\lt0\end{cases}\)D.\(y=e^x\)6.當\(x\to0\)時，與\(x\)同階無窮小的有（）A.\(2x\)B.\(x+x^2\)C.\(\sqrt{x}\)D.\(\sinx\)7.極限\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在的充要條件是（）A.\(\lim_{x\toa^-}f(x)\)存在B.\(\lim_{x\toa^+}f(x)\)存在C.\(\lim_{x\toa^-}f(x)=\lim_{x\toa^+}f(x)\)D.\(f(a)\)有定義8.下列說法正確的是（）A.無窮小量與有界量的乘積是無窮小量B.兩個無窮小量的和是無窮小量C.兩個無窮大量的和是無窮大量D.無窮大量與有界量的乘積是無窮大量9.函數(shù)\(y=\frac{x^2-1}{x-1}\)在\(x=1\)處（）A.無定義B.極限存在C.間斷D.連續(xù)10.當\(x\to\infty\)時，下列函數(shù)極限為\(0\)的有（）A.\(y=\frac{1}{x^3}\)B.\(y=\frac{\sinx}{x}\)C.\(y=e^{-x}\)D.\(y=\frac{x}{x^2+1}\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.無窮小量就是很小很小的數(shù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\tox_0}(f(x)+g(x))\)不存在。（）3.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處有定義，則\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)一定存在。（）4.當\(x\to0\)時，\(x\)與\(x+\sinx\)是等價無窮小。（）5.極限\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x^2}\)的值為\(e\)。（）6.函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2}\)在\(x=0\)處是無窮大量。（）7.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)，則\(f(x)\)在\(x_0\)附近有界。（）8.兩個無窮小量之比的極限一定是\(1\)。（）9.函數(shù)\(f(x)\)在\(x_0\)處連續(xù)，則\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在。（）10.當\(x\to\infty\)時，\(\cosx\)是有界量。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.簡述函數(shù)極限的\(\epsilon-\delta\)定義。答案：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)\(\epsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當\(x\)滿足\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時，對應的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足\(|f(x)-A|\lt\epsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當\(x\tox_0\)時的極限，記作\(\lim_{x\tox_0}f(x)=A\)。2.如何判斷函數(shù)在某點是否連續(xù)？答案：需滿足三個條件，一是函數(shù)在該點有定義，二是函數(shù)在該點的左極限等于右極限，即極限存在，三是函數(shù)在該點的極限值等于該點的函數(shù)值。3.無窮小量有哪些性質(zhì)？答案：無窮小量與有界量的乘積是無窮小量；有限個無窮小量的和、差、積仍是無窮小量。4.求極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}\)的方法及結(jié)果。答案：利用重要極限\(\lim_{u\to0}\frac{\sinu}{u}=1\)，令\(u=3x\)，當\(x\to0\)時，\(u\to0\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\lim_{x\to0}3\times\frac{\sin3x}{3x}=3\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\lt0\\0,x=0\\x-1,x\gt0\end{cases}\)在\(x=0\)處的極限與連續(xù)性。答案：\(\lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1\)，左右極限不相等，極限不存在，且\(f(0)=0\)與極限值不等，所以函數(shù)在\(x=0\)處不連續(xù)。2.分析無窮大量與無界函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：無窮大量是在某個變化過程中，函數(shù)絕對值無限增大；無界函數(shù)是在定義域內(nèi)，不存在一個正數(shù)\(M\)使函數(shù)絕對值總小于\(M\)。聯(lián)系：無窮大量一定是無界函數(shù)，但無界函數(shù)不一定是無窮大量，如\(y=x\sinx\)在\(x\to\infty\)時無界但不是無窮大量。3.舉例說明極限運算法則在求極限中的應用。答案：例如求\(\lim_{x\to1}(2x^2+3x-1)\)，根據(jù)極限運算法則，\(\lim_{x\to1}(2x^2+3x-1)=2\lim_{x\to1}x^2+3\lim_{x\to1}x-\lim_{x\to1}1\)，又\(\lim_{x\to1}x=1\)，\(\lim_{x\to1}x^2=1\)，所以結(jié)果為\(2\times1+3\times1-1=4\)。4.闡述等價無窮小在求極限中的作用及使用時的注意事項。答案：作用：在求極限時，等價無窮小替換可簡化計算。注意事項：只能在乘除運算中使用等價無窮小替換，加減運算中一般不能隨意替換，否則可能得出錯誤結(jié)果，如求\(\lim_{x\to0}\frac{x-\sinx}{x^3}\)，不能直接將\