600期【立體幾何】二輪復(fù)習(xí)立體幾何18專題高考對該部分的考查，對于小題主要體現(xiàn)在兩個方面：一是有關(guān)空間線面位置關(guān)系的命題的真假判斷；二是常見一些經(jīng)典?？級狠S小題，難度中等或偏上．對于解答題，空間向量是將空間幾何問題坐標(biāo)化的工具，是常考的重點，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結(jié)合，以某個空間幾何體為依托，分步設(shè)問，逐層加深．解決這類題目的原則是建系求點、坐標(biāo)運算、幾何結(jié)論．作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進(jìn)行考查，屬于中等難度．【知識精講】對于?？夹☆}1、幾類空間幾何體表面積的求法（1）多面體：其表面積是各個面的面積之和．（2）旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．（3）簡單組合體：應(yīng)弄清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的刪、補．2、幾類空間幾何體體積的求法（1）對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算．（2）對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．（3）錐體體積公式為，在求解錐體體積時，不能漏掉3、求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形．4、球的截面問題球的截面的性質(zhì)：①球的任何截面是圓面；②球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為．注意：解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系；選準(zhǔn)最佳角度作出截面（要使這個截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的．5、立體幾何中的最值問題有三類：一是空間幾何體中相關(guān)的點、線和面在運動，求線段長度、截面的面積和體積的最值；二是空間幾何體中相關(guān)點和線段在運動，求有關(guān)角度和距離的最值；三是在空間幾何體中，已知某些量的最值，確定點、線和面之間的位置關(guān)系．6、解決立體幾何問題的思路方法：一是幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值；通過降維的思想，將空間某些量的最值問題轉(zhuǎn)化為平面三角形、四邊形或圓中的最值問題；涉及某些角的三角函數(shù)的最值，借助模型求解，如正四面體模型、長方體模型和三余弦角模（為平面的斜線與平面內(nèi)任意一條直線所成的角，為該斜線與該平面所成的角，為該斜線在平面上的射影與直線所成的角）．7、立體幾何中的軌跡問題，這是一類立體幾何與解析幾何的交匯題型，既考查學(xué)生的空間想象能力，即點、線、面位置關(guān)系，又考查用代數(shù)方法研究軌跡的基本思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算、直觀想象等素養(yǎng)．8、解決立體幾何中的軌跡問題有兩種方法：一是幾何法．對于軌跡為幾何體的問題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺、球）的定義；對于軌跡為平面上的問題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．9、以立體幾何為載體的情境題大致有三類：（1）以數(shù)學(xué)名著為背景設(shè)置問題，涉及中外名著中的數(shù)學(xué)名題名人等；（2）以數(shù)學(xué)文化為背景設(shè)置問題，包括中國傳統(tǒng)文化，中外古建筑等；（3）以生活實際為背景設(shè)置問題，涵蓋生產(chǎn)生活、勞動實踐、文化精神等．10、以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實現(xiàn)“圖形→文字→符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運動觀點，要“動手”去操作，動態(tài)地去閱讀圖形．對于解答題1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．簡稱：一作、二證、三算．2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上．3、求直線與平面所成角的常見方法（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來求垂線段的長．（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90°．4、作二面角的平面角常有三種方法（1）棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．（3）空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．【解題技巧精講】小題篇【專題【專題1球與截面面積問題】【規(guī)律方法】球的截面問題球的截面的性質(zhì)：①球的任何截面是圓面；②球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為．【專題2體積、面積、周長、角度、距離定值問題】【規(guī)律方法】幾類空間幾何體體積的求法（1）對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算．（2）對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（3）錐體體積公式為，在求解錐體體積時，不能漏掉【【專題3體積、面積、周長、距離最值與范圍問題】【規(guī)律方法】幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值【【專題4立體幾何中的交線問題】【規(guī)律方法】利用幾何法【【專題5空間線段以及線段之和最值問題】【規(guī)律方法】幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值【【專題6空間角問題】【規(guī)律方法】1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．簡稱：一作、二證、三算．2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上．3、求直線與平面所成角的常見方法（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來求垂線段的長．（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90°．4、作二面角的平面角常有三種方法（1）棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．（3）空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．【【專題7軌跡問題】【規(guī)律方法】解決立體幾何中的軌跡問題有兩種方法：一是幾何法．對于軌跡為幾何體的問題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺、球）的定義；對于軌跡為平面上的問題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．【【專題8以立體幾何為載體的情境題】【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀？一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實現(xiàn)“圖形→文字→符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運動觀點，要“動手”去操作，動態(tài)地去閱讀圖形．大題篇【【專題9翻折問題】【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握圖形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【【專題10非常規(guī)空間幾何體為載體】【規(guī)律方法】關(guān)鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．【【專題11立體幾何探索性問題】【規(guī)律方法】與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．【【專題12立體幾何折疊問題】【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握圖形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【【專題13立體幾何作圖問題】【規(guī)律方法】（1）利用公理和定理作截面圖（2）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線（3）利用平面與平面垂直作平面的垂線【【專題14立體幾何建系繁瑣問題】【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法解決【【專題15兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題】【規(guī)律方法】構(gòu)造垂直的全等關(guān)系【【專題16利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系】【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法證明關(guān)系，然后通過幾何關(guān)系建坐標(biāo)系．【【專題17空間中的點不好求】【規(guī)律方法】方程組思想【【專題18創(chuàng)新定義問題】【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀?一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實現(xiàn)“圖形→文字→符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運動觀點，要“動手”去操作，動態(tài)地去閱讀圖形．專題目錄TOC\o"1-1"\h\u9110【專題1】球與截面面積問題 1031634【專題2】體積、面積、周長、角度、距離定值問題 1630052【專題3】體積、面積、周長、距離最值與范圍問題 2015501【專題4】立體幾何中的交線問題 2423399【專題5】空間線段以及線段之和最值問題 2711085【專題6】空間角問題 3123019【專題7】軌跡問題 3918447【專題8】以立體幾何為載體的情境題 4620697【專題9】翻折問題 5014668【專題10】非常規(guī)空間幾何體為載體 5516940【專題11】立體幾何探索性問題 6116597【專題12】立體幾何折疊問題 686443【專題13】立體幾何作圖問題 7629352【專題14】立體幾何建系繁瑣問題 8324683【專題15】兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題 87867【專題16】利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系 901252【專題17】空間中的點不好求 9629589【專題18】創(chuàng)新定義問題 10230362【真題回歸】 10717968【提升訓(xùn)練】 125【專題1】球與截面面積問題【專題【專題1球與截面面積問題】【規(guī)律方法】球的截面問題球的截面的性質(zhì)：①球的任何截面是圓面；②球心和截面（不過球心）圓心的連線垂直于截面；③球心到截面的距離與球的半徑及截面的半徑的關(guān)系為．例1．（2022·全國·高三階段練習(xí)）已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是矩形，且該四棱錐的所有頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABCD,，點E在棱PB上，且，過E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是____________.【答案】【解析】如圖，將四棱錐P-ABCD補為長方體，則此長方體與四棱錐的外接球均為球O，則球O半徑.O位于PC中點處.因底面ABCD是矩形，則.因PA⊥平面ABCD，平面ABCD，則，又平面PAB，AB平面PAB，，則平面PAB.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因PB平面PAB，則.取PB的中點為F，則，..因，則，得.則在直角三角形OEF中，.當(dāng)EO與截面垂直時，截面面積最小，則截面半徑為.故截面面積為.故答案為：例2．（2022·湖北省紅安縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)）球體在工業(yè)領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，某零件由兩個球體構(gòu)成，球的半徑為為球表面上兩動點，為線段的中點.半徑為2的球在球的內(nèi)壁滾動，點在球表面上，點在截面上的投影恰為的中點，若，則三棱錐體積的最大值是___________.【答案】15【解析】如圖一所示：在圓中，因為點在截面上的投影恰為的中點，且，所以為直角三角形，且，又因為，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以可得，設(shè)，則有，所以，所以，當(dāng)時，等號成立，所以；如圖二所示：因為球的半徑為，為線段的中點，所以，當(dāng)三點共線且為如圖所示的位置時，點為到平面的距離最大，即此時三棱錐的高最大，此時,所以此時,（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）即三棱錐體積的最大值是15.故答案為：15.例3．（2022·江西·高三階段練習(xí)（理））如圖，正方體的棱長為6，，點是的中點，則過，，三點的平面截該正方體所得截面的面積為_________．【答案】【解析】如圖，過點作，連接，由面面平行的性質(zhì)可得：四邊形為平行四邊形，又因為正方體的棱長為6，，點是的中點，所以點，所以，因為平行四邊形的高為，所以，故答案為：.例4．（2022·北京市十一學(xué)校高三階段練習(xí)）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點，點在線段上運動，給出下列四個結(jié)論：①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；②直線到平面的距離是；③存在點，使得；④面積的最小值是．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．【答案】①③④【解析】對于①，如圖直線與的延長線分別交于,連接分別交于,連接，則五邊形即為所求的截面圖形，故①正確；對于②，由題知，平面，平面，所以平面，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以點到平面的距離即為直線到平面的距離，設(shè)點到平面的距離為，由正方體的棱長為2可得，，，所以，，所以由，可得，所以直線到平面的距離是，故②錯誤；對于③，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，又因為，所以，所以，假設(shè)存在點使得，所以，整理得，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以（舍去），或，所以存在點使得，故③正確；對于④，由③知，所以點在的射影為，所以點到的距離為，當(dāng)時，，所以面積的最小值是，故④正確；故答案為：①③④【專題2】體積、面積、周長、角度、距離定值問題【【專題2體積、面積、周長、角度、距離定值問題】【規(guī)律方法】幾類空間幾何體體積的求法（1）對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算．（2）對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解．（3）錐體體積公式為，在求解錐體體積時，不能漏掉【典型例題】例5．（2022·河南省實驗中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點，，分別為棱，上的動點，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點，可得，，所以當(dāng)在棱移動時，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動時，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．故選：C．例6．（2022·山西運城·模擬預(yù)測（文））如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點E，F(xiàn)，且，點P，Q分別為的中點，G在側(cè)面上運動，且滿足G∥平面，以下命題錯誤的是（）A．B．多面體的體積為定值C．側(cè)面上存在點G，使得D．直線與直線BC所成的角可能為【解析】對A：連接，作圖如下：因為為正方體，故可得//，又，與是同一條直線，故可得，則，故A正確；對B：根據(jù)題意，，且線段在上運動，且點到直線的距離不變，故△的面積為定值，又點到平面的距離也為定值，故三棱錐的體積為定值，故B正確；對C：取的中點分別為，連接，作圖如下：容易知在△中，//，又//，，面面，故面//面，又G在側(cè)面上運動，且滿足G∥平面，故的軌跡即為線段；又因為為正方體，故面面，故，則當(dāng)與重合時，，故C正確；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）對D：因為//，故直線與所成角即為直線與所成角，即，在中，，故，而當(dāng)直線與直線BC所成的角為時，，故直線與直線BC所成的角不可能為，故D錯誤．故選：D．例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在正方體中，過對角線的一個平面交于E，交于F，給出下面幾個命題：①四邊形一定是平行四邊形；②四邊形有可能是正方形；③平面有可能垂直于平面；④設(shè)與DC的延長線交于M，與DA的延長線交于N，則M?N?B三點共線；⑤四棱錐的體積為定值．以上命題中真命題的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因為平面與平面平行，截面與它們交于，BF，可得，同樣可得，所以四邊形是一個平行四邊形，故①正確；如果四邊形是正方形，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因為，所以平面，又平面，E與A重合，此時不是正方形，故②錯誤；當(dāng)兩條棱上的交點是中點時，四邊形為菱形，平面，此時四邊形垂直于平面，故③正確；由與DC的延長線交于M，可得，且，又因為平面，平面ABCD，所以平面，平面ABCD，又因為平面，平面ABCD，所以平面平面，同理平面平面，所以BM，BN都是平面與平面ABCD的交線，所以B，M，N三點共線，故④正確；由于，平面，則E，F(xiàn)到平面的距離相等，且為正方體的棱長，三角形的面積為定值，所以四棱錐的體積為定值，故⑤正確．故選：C．【專題3】體積、面積、周長、距離最值與范圍問題【【專題3體積、面積、周長、距離最值與范圍問題】【規(guī)律方法】幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值【典型例題】例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方形的中心為正方形的中心，，截去如圖所示的陰影部分后，翻折得到正四棱錐（，，，四點重合于點），則此四棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則所得的棱錐側(cè)面的高為，棱錐的高為其體積為：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即體積的最大值為，故選：B.例9．（2022·江西南昌·三模（理））已知長方體中，，，，為矩形內(nèi)一動點，設(shè)二面角為，直線與平面所成的角為，若，則三棱錐體積的最小值是（

）A． B． C． D．【解析】如圖，作平面，垂足為，再作，垂足為，連接，由題意可知，，所以，由拋物線定義可知，的軌跡為拋物線一部分，所以的軌跡為拋物線一部分，當(dāng)點到線段距離最短時，三角形面積最小，三棱錐體積最小，建立如圖所示直角坐標(biāo)系，則直線的方程為，拋物線的方程為，，由題意，，得，代入，得，所以點的坐標(biāo)為，所以到直線的最短距離為，因為，所以，所以三棱錐體積的最小值為．故選：C例10．（2022·浙江·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，為的中點．過作截面將此四棱錐分成上?下兩部分，記上?下兩部分的體積分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】過作平面的垂線，垂足為，連，設(shè)的交點為，在中過作直線交于兩點，由相交直線確定平面，則四邊形為過的截面．由計算可得，得為正三角形，，所以為的重心，設(shè)，由向量運算可得，又，可得，所以，由三點共線，得，即，易得到平面的距離為，到平面的距離為1，因為，所以，，得，，由，，得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，所以，即的最小值為．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故選：A．例11．（2022·河南省實驗中學(xué)高一期中）如圖，在正方體中，，，分別為，的中點，，分別為棱，上的動點，則三棱錐的體積（

）A．存在最大值，最大值為 B．存在最小值，最小值為C．為定值 D．不確定，與，的位置有關(guān)【解析】如下圖，連接，在正方體中，，分別為，的中點，可得，，所以當(dāng)在棱移動時，到平面的距離為定值，當(dāng)在棱移動時，到的距離為定值，所以為定值，則三棱錐的體積為定值．平面即平面，作，由于，可得平面MABN，由，可得，而，．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故選：C．【專題4】立體幾何中的交線問題【【專題4立體幾何中的交線問題】【規(guī)律方法】利用幾何法【典型例題】例12．（2022·浙江寧波·一模）在棱長均相等的四面體ABCD中，P為棱AD（不含端點）上的動點，過點A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，則m，n所成角的正弦值的最大值為__________．【答案】【解析】過點A的平面α與平面PBC平行．若平面α與平面ABD，平面ACD的交線分別為m，n，由于平面平面，平面平面,，平面平面所以,所以或其補角即為m，n所成的平面角，設(shè)正四棱錐ABCD的棱長為1，，則，在中，由余弦定理得：，同理,故在中，，由于，則，進(jìn)而，當(dāng)時取等號，故的最小值為，進(jìn)而，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以的最大值為，故答案為：例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知一個正四面體的棱長為2，則其外接球與以其一個頂點為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長度為___________.【答案】【解析】設(shè)外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，則，所以，兩球相交形成形成的圖形為圓，如圖，在中，，，在中，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以交線所在圓的半徑為，所以交線長度為.故答案為：例14．（2022·福建福州·三模）已知正方體的棱長為，以為球心，半徑為2的球面與底面的交線的長度為___________.【答案】【解析】正方體中，平面，所以平面與球的截面是以為圓心的圓，且半徑為，所以球面與底面的交線為以為圓心，1為半徑的弧，該交線為.故答案為：.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）例15．（2022·陜西·武功縣普集高級中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，，以為球心，為半徑作球，則該球的球面與四面體各面交線的長度和為___．【答案】【解析】因為，所以是邊長為的等邊三角形，所以邊長為的等邊三角形的高為：，所以，設(shè)到平面的距離為，，所以，所以，解得，則，所以以為球心，為半徑的球與平面，平面，平面的交線為個半徑為的圓的弧線，與面的交線為一個圓，且圓的半徑為，所以交線總長度為：.故答案為：.【專題5】空間線段以及線段之和最值問題【【專題5空間線段以及線段之和最值問題】【規(guī)律方法】幾何法，利用幾何體的性質(zhì)，探求圖形中點、線、面的位置關(guān)系；二是代數(shù)法，通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用點的坐標(biāo)表示所求量的目標(biāo)函數(shù)，借助函數(shù)思想方法求最值【典型例題】例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的底面邊長為，外接球表面積為，，點M，N分別是線段AB，AC的中點，點P，Q分別是線段SN和平面SCM上的動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】依題意，，解得，由是正三角形可知：其外接圓半徑為，設(shè)點S到平面ABC的距離為h，故，解得或，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）則或（舍去），故，則，而，故為等腰直角三角形，，故為等腰直角三角形，，則，又，故平面SCM，取CB中點F，連接NF交CM于點O，則，則平面SCM，故平面SCM，則，要求最小，首先需PQ最小，此時可得平面SCM，則；再把平面SON繞SN旋轉(zhuǎn)，與平面SNA共面，即圖中位置，當(dāng)共線且時，的最小值即為的長，由為等腰直角三角形，故，，∴，即，∴，可得，，故選：B．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在棱長為3的正方體中，點滿足，點在平面內(nèi)，則的最小值為（

）A． B． C． D．【解析】以點為坐標(biāo)原點，分別為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，因為，且，則平面，所以，同理得平面，所以，而，所以平面，記與平面交于點，連接，且，則，易得，從而得點關(guān)于平面對稱的點為，所以的最小值為．故選：B．例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．3【解析】連接，得，以所在直線為軸，將所在平面旋轉(zhuǎn)到平面，設(shè)點的新位置為，連接，則有．當(dāng)三點共線時，則即為的最小值．在三角形ABC中，，，由余弦定理得：，所以，即在三角形中，，，由勾股定理可得：，且．同理可求：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因為，所以為等邊三角形，所以，所以在三角形中，，，由余弦定理得：．故選B．【專題6】空間角問題【【專題6空間角問題】【規(guī)律方法】1、用綜合法求空間角的基本數(shù)學(xué)思想主要是轉(zhuǎn)化與化歸，即把空間角轉(zhuǎn)化為平面角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角，然后通過解三角形求得．求解的一般步驟為：（1）作圖：作出空間角的平面角．（2）證明：證明所給圖形是符合題設(shè)要求的．（3）計算：在證明的基礎(chǔ)上計算得出結(jié)果．簡稱：一作、二證、三算．2、用定義作異面直線所成角的方法是“平移轉(zhuǎn)化法”，可固定一條，平移另一條；或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選在特殊的位置上．3、求直線與平面所成角的常見方法（1）作角法：作出斜線、垂線、斜線在平面上的射影組成的直角三角形，根據(jù)條件求出斜線與射影所成的角即為所求．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）等積法：公式，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，是斜線段的長，其中求出垂線段的長（即斜線上的點到面的距離）既是關(guān)鍵又是難點，為此可構(gòu)造三棱錐，利用等體積法來求垂線段的長．（3）證垂法：通過證明線面垂直得到線面角為90°．4、作二面角的平面角常有三種方法（1）棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點分別在兩個面內(nèi)作垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角．（3）空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角．【典型例題】例19．（2022·浙江金華·高三期末）已知正方體中，為內(nèi)一點，且，設(shè)直線與所成的角為，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖1，設(shè)與平面相交于點，連接交于點，連接，∵平面，平面，則，，，平面∴平面，由平面，則，同理可證：，，平面，∴平面，∵，由正三棱錐的性質(zhì)可得：為的中心，連接，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）∵為的中點，∴交于點，連接，由平面，平面，則，即是的高，設(shè)，，則，且的內(nèi)切圓半徑，則，，∵，即，則，∴點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.∵平面，平面，則，∴，故為底面半徑為，高為的圓錐的母線，如圖2所示，設(shè)圓錐的母線與底面所成的角，則，所以，即直線與平面所成的角為.直線在平面內(nèi)，所以直線與直線所成角的取值范圍為，因為，所以直線與直線所成角的取值范圍為，即，所以.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故選：C.例20．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）在等腰梯形中，，，AC交BD于O點，沿著直線BD翻折成，所成二面角的大小為，則下列選項中錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】等腰梯形中，，,可知：取中點,中點連接,則，,所以為二面角的平面角，即設(shè)，則,,因為在上余弦函數(shù)單調(diào)遞減，又，故A對.當(dāng)時,與重合,此時,故C不對.在翻折的過程中，角度從減少到在翻折的過程中，角度從減少到BD選項根據(jù)圖形特征及空間關(guān)系，可知正確..故選:C例21．（2022·浙江·湖州中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，中，，，，D為AB邊上的中點，點M在線段BD（不含端點）上，將沿CM向上折起至，設(shè)平面與平面ACM所成銳二面角為，直線與平面AMC所成角為，直線MC與平面所成角為，則在翻折過程中，下列三個命題中正確的是（

）①，②，③.A．① B．①② C．②③ D．①③【答案】B【解析】如圖，設(shè)直線與直線垂直相交于點，在折疊圖里，線段與平面垂直相交于點，，由圖象知：，，，，，，①，，所以；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）②，設(shè)，則，，由，得，，則，由得；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）③，則，即，所以，則.故選：B例22．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知等邊，點分別是邊上的動點，且滿足，將沿著翻折至點處，如圖所示，記二面角的平面角為，二面角的平面角為，直線與平面所成角為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】在等邊中，取BC邊中點D，連接AD，交EF于O，連接PO，則，，平面，平面故平面，又平面，則平面平面在中，過P做PM垂直于OD于M，則平面，連接MF，在等邊中，過M做MN垂直于AC于N，連接PN.由，則為二面角的平面角即，由平面，，則為二面角的平面角即由平面，則直線與平面所成角，即，設(shè)，則，，，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），則有，由可得，則有，則又故，又故故選：A例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)三棱錐的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱上的點（不含端點），記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角是則三個角，，中最小的角是（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】如圖，取BC的中點D，作VO⊥平面ABC于點O，由題意知點O在AD上，且AO=2OD.作PE//AC，PE交VC于點E，作PF⊥AD于點F，連接BF，則PF⊥平面ABC取AC的中點M，連接BM，VM，VM交PE于點H，連接BH，易知BH⊥PE，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）作于點G，連接FG，由PG⊥AC，PF⊥AC，PGPF=P，由線面垂直判定定理可得AC⊥平面PGF，又平面PGF∴

FG⊥AC,作FN⊥BM于點N.∵

PG∥VM，PF∥VN∴

平面PGF∥平面VMB，又PH∥FN,四邊形PFNH為平行四邊形，所以PH=FN（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因此，直線PB與直線AC所成的角，直線PB與平面ABC所成的角，二面角P-AC-B的平面角，又又，∴

因為∴

綜上所述，中最小角為，故選B.【專題7】軌跡問題【【專題7軌跡問題】【規(guī)律方法】解決立體幾何中的軌跡問題有兩種方法：一是幾何法．對于軌跡為幾何體的問題，要抓住幾何體中的不變量，借助空間幾何體（柱、錐、臺、球）的定義；對于軌跡為平面上的問題，要利用降維的思想，熟悉平面圖形（直線、圓、圓錐曲線）的定義．二是代數(shù)法（解析法）．在圖形中，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系或平面直角坐標(biāo)系．【典型例題】例24．（2022·北京·昌平一中高三階段練習(xí)）設(shè)正方體的棱長為1，，分別為，的中點，點在正方體的表面上運動，且滿足，則下列命題：①點可以是棱的中點；②點的軌跡是菱形；③點軌跡的長度為；④點的軌跡所圍成圖形的面積為.其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】連接，交于，則為中點，因為為的中點，所以，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以平面，因為平面，所以，過點作，分別交于，過點分別作，分別交于點，連接，所以，四點共面，且，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，四邊形為平行四邊形，因為平面，所以平面，平面，所以所以，四邊形為矩形，因為，平面，所以平面，因為點在正方體的表面上運動，且滿足所以，當(dāng)面時，始終有，所以，點的軌跡是矩形，如下圖，因為，所以，，所以，，因為，所以∽，所以，即，即所以，，所以，點不可能是棱的中點，點的軌跡是矩形，軌跡長度為矩形的周長，軌跡所圍成圖形的面積為故正確的命題為③④.個數(shù)為2個.故選：B例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知正方體的邊長為2，點E，F(xiàn)分別為棱CD，的中點，點P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，且滿足平面BEF，則點P的軌跡長為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】畫出示意圖如下：取中點N，取中點M，連接,則,則四邊形為平行四邊形，所以BE，連接,則,故MNEF，又，平面平面BEF,所以平面BEF平面B1MN，平面∩平面=MN，所以P點軌跡即為MN，長度為；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）證明：因為平面BEF平面，P點是MN上的動點，故平面，所以平面BEF，滿足題意.故選：A．例26．（2022·全國·模擬預(yù)測（理））如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PA⊥平面ABCD，且，點E，F(xiàn)，G分別為棱AB，AD，PC的中點，下列說法錯誤的是（

）A．AG⊥平面PBDB．直線FG和直線AC所成的角為C．過點E，F(xiàn)，G的平面截四棱錐所得的截面為五邊形D．當(dāng)點T在平面ABCD內(nèi)運動，且滿足的面積為時，動點T的軌跡是圓【答案】D【解析】可將四棱錐補形成正方體，如圖①，直線AG即體對角線，易證平面PDB，A選項正確；如圖②，取CD的中點H，連接FH，可知，所以（或其補角）與直線FG和直線AC所成的角相同，在中，，所以，B選項正確；如圖③，延長EF交直線CD于點H，交直線BC于點I，連接GI交PB于點M，連接GH交PD于點N，則五邊形EFNGM即為平面EFG截四棱錐所得的截面，C選項正確；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)時，因為，所以點T到AG的距離為，點T在以AC為軸，底面半徑的圓柱上，又點T在平面ABCD上，所以點T的軌跡是橢圓．D選項錯誤．故選：D例27．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）如圖，正方體，P為平面內(nèi)一動點，設(shè)二面角的大小為，直線與平面所成角的大小為.若，則點P的軌跡是（

）A．圓 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線【答案】D【解析】連接AC交BD于O，取中點,連接以O(shè)為原點,分別以O(shè)A、OB、所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：令正方體邊長為2，則，面的一個法向量為，面的一個法向量為則，故二面角的大小為又二面角的大小，則或由，，可得又（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）整理得即，是雙曲線.故選：D例28．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，正方體中，M為BC邊的中點，點P在底面和側(cè)面上運動并且使，那么點P的軌跡是（

）A．兩段圓弧 B．兩段橢圓弧C．兩段雙曲線弧 D．兩段拋物線弧【答案】C【解析】由P點的軌跡實際是一個正圓錐面和兩個平面的交線，其中這個正圓錐面的中心軸即為，頂點為A，頂角的一半即為，以A點為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）則，可得，，設(shè)與底面所成的角為，則，所以，所以該正圓錐面和底面的交線是雙曲線弧，同理可知，P點在平面的交線是雙曲線弧，故選：C．【專題8】以立體幾何為載體的情境題【【專題8以立體幾何為載體的情境題】【規(guī)律方法】以立體幾何為載體的情境題都跟圖形有關(guān)，涉及在具體情境下的圖形閱讀，需要通過數(shù)形結(jié)合來解決問題．圖形怎么閱讀？一是要讀特征，即從圖形中讀出圖形的基本特征；二是要讀本質(zhì)，即要善于將所讀出的信息進(jìn)行提升，實現(xiàn)“圖形→文字→符號”的轉(zhuǎn)化；三是要有問題意識，帶著問題閱讀圖形，將研究圖形的本身特征和關(guān)注題目要解決的問題有機(jī)地融合在一起；四是要有運動觀點，要“動手”去操作，動態(tài)地去閱讀圖形．【典型例題】例29．（2022·寧夏·平羅中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在P處的離散曲率為為多面體M的所有與點P相鄰的頂點，且平面，，……，遍及多面體M的所有以P為公共點的面如圖是正四面體、正八面體、正十二面體和正二十面體，若它們在各頂點處的離散曲率分別是a，b，c，d，則a，b，c，d的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于正四面體，其離散曲率為，對于正八面體，其離散曲率為，對于正十二面體，其離散曲率為，對于正二十面體，其離散曲率為，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以.故選：B.例30．（2022·廣東·廣州市從化區(qū)第三中學(xué)高三階段練習(xí)）北京大興國際機(jī)場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：①正方體在每個頂點的曲率均為；②任意四棱錐的總曲率均為；③若某類多面體的頂點數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點數(shù)各面內(nèi)角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.例31．（2022·遼寧·沈陽二十中三模）我國南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，則當(dāng)截面與頂點距離為時，小圓錐底面半徑為，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派），故截面面積為：，把代入，即，解得：，橄欖球形幾何體的截面面積為，由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：圓柱圓錐.故選：D.例32．（2022·全國·高三專題練習(xí)）將地球近似看作球體.設(shè)地球表面某地正午太陽高度角為，為此時太陽直射緯度（當(dāng)?shù)叵陌肽耆≌?，冬半年取?fù)值），為該地的緯度值，如圖．已知太陽每年直射范圍在南北回歸線之間，即．北京天安門廣場的漢白玉華表高為9.57米，北京天安門廣場的緯度為北緯，若某天的正午時刻，測得華表的影長恰好為9.57米，則該天的太陽直射緯度為（

）A．北緯 B．南緯C．北緯 D．南緯【答案】D【解析】由題可知，天安門廣場的太陽高度角，由華表的高和影長相等可知，所以.所以該天太陽直射緯度為南緯，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故選：D.【專題9】翻折問題【【專題9翻折問題】【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握圖形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【典型例題】例33．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四邊形，是以為斜邊的等腰直角三角形，為等邊三角形，，將沿對角線翻折到在翻折的過程中，下列結(jié)論中不正確的是（

）A． B．與可能垂直C．直線與平面所成角的最大值是 D．四面體的體積的最大是【答案】C【解析】如圖所示，取的中點，連接是以為斜邊的等腰直角三角形,為等邊三角形,面,,故A正確對于B，假設(shè)，又面，，又,，故與可能垂直，故B正確當(dāng)面面時，此時面，即為直線與平面所成角此時，故C錯誤（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)面面時，此時四面體的體積最大，此時的體積為：，故D正確故選：C例34．（2022·浙江·杭州高級中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，已知矩形的對角線交于點，將沿翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】如圖示,設(shè)處為沿翻折后的位置，以D為坐標(biāo)原點，DA,DC分別為x,y軸，過點D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，由于,故，而，由于,故，則，即；又由在翻折過程中存在某個位置，便得，不妨假設(shè),則，即，即，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）當(dāng)將翻折到如圖位置時，位于平面ABCD內(nèi)，不妨假設(shè)此時，設(shè)垂足為G,作AD的延長線，垂足為F,此時在x軸負(fù)半軸上方向上，DF的長最大，a取最小值，由于，故,所以,而,故，又,故為正三角形，則,而,故,則，故，，則，故的取值范圍是，故選：A例35．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖1，在正方形中，點為線段上的動點（不含端點），將沿翻折，使得二面角為直二面角，得到圖2所示的四棱錐，點為線段上的動點（不含端點），則在四棱錐中，下列說法正確的是（

）A．???四點一定共面B．存在點，使得平面C．側(cè)面與側(cè)面的交線與直線相交D．三棱錐的體積為定值【答案】B【解析】A.假設(shè)???四點共面，則直線EC與BF共面，若EC與BF平行，又EC與AD平行，則AD與BF平行，這與AD與BF相交矛盾；若EC與BF相交，設(shè)交點為Q，則Q即在平面BAD內(nèi)，又在平面AECD內(nèi)，則點Q在交線AD上，這與EC與AD平行矛盾，所以假設(shè)不成立，所以B、E、C、F不共面，故錯誤；B.如圖所示：在AD上取點G，使得AG=EC，當(dāng)時，，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，所以平面平面，則平面，故存在點，使得平面，故正確；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）C.設(shè)側(cè)面與側(cè)面的交線為l，因為，且面，面，所以面，則，所以，故錯誤；D.因為二面角為直二面角，當(dāng)點E移動時，點B到AE的距離即三棱錐的高變化，而是定值，故三棱錐的體積不是定值，故錯誤；故選：B例36．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直角梯形ABCD滿足：AD∥BC，CD⊥DA，且△ABC為正三角形．將△ADC沿著直線AC翻折至△AD'C如圖，且，二面角、、的平面角大小分別為α，β，γ，直線，，與平面ABC所成角分別是θ1，θ2，θ3，則（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意可知，不妨設(shè)，則.如圖所示，取點E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，連結(jié)AF，DE，設(shè)G為DE與AF的交點，DE與AC的交于點H.所以，則，則旋轉(zhuǎn)過程中，點在平面ABC上的投影在DE上.當(dāng)點的投影為點G時，則；當(dāng)點的投影在DG上時，則；當(dāng)點的投影在GE上時，則；當(dāng)點投影為點E時，則.故要使，則點的投影在點G，E兩點之間，此時投影點到AB，BC，CD的距離為（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以二面角最大，其次為二面角，而二面角最小，故；設(shè)三棱錐的高為h.則.因為，所以.因為，所以故選：A.【專題10】非常規(guī)空間幾何體為載體【【專題10非常規(guī)空間幾何體為載體】【規(guī)律方法】關(guān)鍵找出三條兩兩互相垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系．【典型例題】例1．（2022·陜西安康·統(tǒng)考一模）如圖，已知為圓錐底面的直徑，點C在圓錐底面的圓周上，，，平分，D是上一點，且平面平面.(1)求證：；(2)求二面角的正弦值.【解析】（1）證明：因為，且平分，所以，又因為平面平面，且平面平面，平面，所以平面，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又因為平面，所以.（2）取的中點M，連接，則兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點，為x軸，為y軸，為z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)系則，，，，，由（1）知平面，所以是平面的一個法向量.設(shè)平面的法向量，因為，，則取，則，因此，所以二面角的正弦值為.例2．（2022·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，將長方形（及其內(nèi)部）繞旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，其中，劣弧的長為為圓的直徑.(1)在弧上是否存在點（在平面的同側(cè)），使，若存在，確定其位置，若不存在，說明理由；(2)求平面與平面夾角的余弦值.【解析】（1）存在，當(dāng)為圓柱的母線，.連接，因為為圓柱的母線，所以平面，又因為平面，所以.因為為圓的直徑，所以.，所以平面，因為平面，所以.（2）以為原點，分別為軸，垂直于軸直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.，因為的長為，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)平面的法向量，令，解得，所以.因為軸垂直平面，所以設(shè)平面的法向量.所以.所以平面與平面夾角的余弦值為.例3．（2022·山東東營·勝利一中?？寄M預(yù)測）如圖，分別是圓臺上?下底面的直徑，且，點是下底面圓周上一點，，圓臺的高為.(1)證明：不存在點使平面平面；(2)若，求二面角的余泫值.【解析】(1)假設(shè)存在這樣的點使平面平面，是底面直徑，故，作，垂足為，由于平面平面，平面平面，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，平面，又平面，故，又，平面，故平面，故，同理可證，又平面于是平面，又圓臺上下底面圓心連線垂直于底面，但顯然上下底的圓心連線不和平行，于是假設(shè)矛盾，故不存在點使平面平面.(2)過作，垂足為，下以為原點，為軸，過垂直于且落在底面的射線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點坐標(biāo)，，設(shè)平面的法向量，可得，不妨??；，，設(shè)平面的法向量，可得，不妨取.于是法向量的夾角為.由圖所示二面角的大小是鈍角，故二面角大小的余弦值是.例4．（2022·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在圓臺中，上底面圓的半徑為2，下底面圓O的半徑為4，過的平面截圓臺得截面為，M是弧的中點，為母線，.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.【解析】(1)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)OO1的長度為t，則，，，，，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）由題知，解得∴，，，∴，∴又∵，OM，OA1在平面內(nèi)所以平面；(2)設(shè)平面MBN的法向量為，平面ABN的法向量為，則，∴，∴設(shè)二面角為銳二面角，∴，∴（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）故二面角的正弦值為.【專題11】立體幾何探索性問題【【專題11立體幾何探索性問題】【規(guī)律方法】與空間向量有關(guān)的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關(guān)系；另一類是探究線面角或二面角滿足特定要求時的存在性問題．處理原則：先建立空間直角坐標(biāo)系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設(shè)出關(guān)鍵點的坐標(biāo)，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．【典型例題】例5．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）如圖，在三棱柱中，底面ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，側(cè)面為菱形，點在底面上的投影為AC的中點，且．(1)求證：；(2)求點到側(cè)面的距離；(3)在線段上是否存在點，使得直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．【解析】（1）證明：由點在底面ABC上的投影為AC的中點，知平面ABC，又平面ABC，故，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因是以AC為斜邊的等腰直角三角形，故，而，平面，，故平面，由平面，得．（2）由點，為AC的中點，側(cè)面為菱形，知，由是以AC為斜邊的等腰直角三角形，，可得，，由（1）知直線，，兩兩垂直，故以點為坐標(biāo)原點，直線，，分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，得，又，故點到平面的距離為：（3）假設(shè)存在滿足條件的點E，并，則，于是，由直線DE與側(cè)面所成角的正弦值為，可得，即，解得．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又，故．因此存在滿足條件的點，且．例6．（2022春·山東·高三山東省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，為等邊三角形，四邊形為菱形，，，.(1)求證：；(2)線段上是否存在一點，使得平面與平面的夾角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由.【解析】（1）連接與相交于點，連接，如圖所示：四邊形為菱形，∴為的中點，有，為等邊三角形，有，平面，，∴平面，平面，∴，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）四邊形為菱形，∴，平面，，平面，平面，∴（2）分別為的中點，連接，由（1）可知，又，平面，，平面，，平面，為等邊三角形，，以為原點，，，的方向分別為軸、軸、軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，由，，∴，，設(shè)，則，有,∴，，，設(shè)平面的一個法向量，則有，令，則，，即，平面的一個法向量為的方向上的單位向量，若平面與平面的夾角的余弦值為，則有，，由，∴，解得.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，點存在，.例7．（2022春·黑龍江綏化·高三海倫市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E是DC的中點，將沿AE折起，使得點D到達(dá)點P的位置，且PB＝PC，如圖2所示．F是棱PB上的一點．(1)若F是棱PB的中點，求證：平面PAE；(2)是否存在點F，使得二面角的余弦值為？若存在，則求出的值；若不存在，請說明理由．【解析】（1）如下圖，在上取中點，鏈接、.由題意知，，所以四邊形為平行四邊形，所以.又因為分別為中點，所以，且，在平面內(nèi)，則平面平行于平面，而,則（2）如下圖，以為原點，為軸正向，為軸正方向，垂直平面于的為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.由圖可知，，設(shè)，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令解得，即，平面的法向量設(shè)為，則，令，得，即.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）①，根據(jù)題意，，則，又，即，得,代入上式，解得,將、代入①式，解得.，故存在點.例8．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）已知矩形中，，，是的中點，如圖所示，沿將翻折至，使得平面平面.(1)證明：；(2)若是否存在，使得與平面所成的角的正弦值是？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意矩形，，，是中點，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又，所以，，，因為平面平面，平面平面，所以平面，又平面，所以.（2）以為原點，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.則，，，，設(shè)是的中點，因為，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，，假設(shè)存在滿足題意的，則由.可得，.設(shè)平面的一個法向量為，則，令，可得，，即，設(shè)與平面所成的角為，所以（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）解得（舍去），綜上，存在，使得與平面所成的角的正弦值為.【專題12】立體幾何折疊問題【【專題12立體幾何折疊問題】【規(guī)律方法】1、處理圖形翻折問題的關(guān)鍵是理清翻折前后長度和角度哪些發(fā)生改變，哪些保持不變．2、把空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，把握圖形之間的關(guān)系，感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)．【典型例題】例9．（2022春·江蘇南通·高三期中）已知梯形中，，，，，分別是，上的點，，，是的中點，沿將梯形翻折，使平面平面．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）(1)當(dāng)時①求證：；②求二面角的余弦值；(2)三棱錐的體積是否可能等于幾何體體積的一半？并說明理由．【解析】（1）證明：過點作的垂線交于，連接．如圖．且，，．四邊形是正方形.，四邊形是正方形.所以（正方形對角線互相垂直）.因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以平面，又因為平面，所以.又平面，所以平面，又平面，所以.②以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，3，，，2，，，4，，，3，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，取，得，2，，又平面的法向量，0，，．鈍二面角的余弦值為．（2），平面平面，平面平面，平面．平面．結(jié)合平面，得，四邊形是矩形，得，故以、、、為頂點的三棱錐的高，又．三棱錐的體積為，，令，解得或，不合題意；棱錐的體積不可能等于幾何體體積的一半．例10．（2022春·遼寧·高三遼寧實驗中學(xué)?？计谥校┤鐖D1，在平面四邊形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中點．將△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如圖2所示．(1)證明：；(2)求直線DE與平面PAD所成角的正弦值．【解析】（1）如圖取CE的中點F，連接PF，DF，由題易知△PCE，△DCE都是等邊三角形，?DF⊥CE，PF⊥CE，?，平面DPF，平面DPF?CE⊥平面DPF．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）?平面DPF?DP⊥CE．（2）解法一：由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，又平面PAD，所以平面PAD，所以點E與點F到平面PAD的距離相等．由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．又平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF．過F作FH⊥PD交PD于H，則FH⊥平面PAD．，，故點F到平面PAD的距離．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，所以直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．解法二：（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）由題易知四邊形AECD是平行四邊形，所以AD∥CE，由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．如圖，以D為坐標(biāo)原點，DA，DF所在直線分別為x，y軸，過D且垂直于平面AECD的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，，．易知，，故，，所以，，，設(shè)平面PAD的法向量為，則，得，令，得，所以．設(shè)直線DE與平面PAD所成的角為，則，故直線DE與平面PAD所成角的正弦值為．例11．（2022春·湖南長沙·高三寧鄉(xiāng)一中?？计谥校┤鐖D，平面五邊形PABCD中，是邊長為2的等邊三角形，，AB＝2BC＝2，，將沿AD翻折成四棱錐P－ABCD，E是棱PD上的動點（端點除外），F(xiàn)，M分別是AB，CE的中點，且．(1)證明：；(2)當(dāng)直線EF與平面PAD所成的角最大時，求平面ACE與平面PAD夾角的余弦值．【解析】（1）設(shè)是的中點，連接，三角形是等邊三角形，所以，.四邊形是直角梯形，，所以四邊形是平行四邊形，也即是矩形，所以，.折疊后，，所以，所以，由于平面，所以平面，則兩兩相互垂直，由此建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，，所以，則，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以.（2）由于平面，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以是直線與平面所成角，在直角三角形中，，由于，所以當(dāng)最小時，最大，也即最大，由于三角形是等邊三角形，所以當(dāng)為的中點時，，取得最小值.由于，，故此時，平面的法向量為，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)平面與平面的夾角為，則.例12．（2022·四川雅安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖①，為邊長為6的等邊三角形，E，F(xiàn)分別為AB，AC上靠近A的三等分點，現(xiàn)將沿EF折起，使點A翻折至點P的位置，且二面角的大小為120°（如圖②）．(1)在PC上是否存在點H，使得直線平面PBE？若存在，確定點H的位置；若不存在，說明理由．(2)求直線PC與平面PBE所成角的正弦值．【解析】（1）滿足條件的點H存在，且為PC上靠近P的三等分點．在PC上取靠近P的三等分點H，連接AP，F(xiàn)H，如圖，則AP是平面PAB與平面PAC的交線，依題意，，則有，又平面PBE，平面PBE，因此直線平面PBE，所以在PC上是存在點H，為PC上靠近P的三等分點，使得直線平面PBE.（2）取BC中點G，連接AG，交EF于點D，連接PD，因，依題意，，，則為二面角的平面角，即，且平面，而平面，則平面平面，在平面內(nèi)過P作于O，又平面平面，因此平面，在平面內(nèi)過O作，顯然Ox，AD，OP兩兩垂直，分別以向量，，的方向為x，y，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）則，，，，所以，，，，設(shè)平面PBE的一個法向量為，由，令，得，設(shè)直線PC與平面PBE所成角為，則，所以直線PC與平面PBE所成角的正弦值為．【專題13】立體幾何作圖問題【【專題13立體幾何作圖問題】【規(guī)律方法】（1）利用公理和定理作截面圖（2）利用直線與平面平行的性質(zhì)定理作平行線（3）利用平面與平面垂直作平面的垂線【典型例題】例13．（2022·貴州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，已知平行六面體的底面是菱形，，且.(1)試在平面內(nèi)過點作直線，使得直線平面，說明作圖方法，并證明：直線；(2)求點到平面的距離.【解析】（1）在平面內(nèi)過點作的平行線，則直線l即為所作.連接，如圖，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）因平面，平面，平面平面，則，平行六面體的對角面是平行四邊形，即，所以.（2）連，連接，如圖，菱形中，，則，，，在中，，同理，在中，，即為等腰三角形，有，且，在中，，則，而平面，于是得平面，對角面為平行四邊形，即，又平面，平面，則平面，因此點到平面的距離等于點到平面的距離，因，在中，，同理，等腰底邊上的高，，，設(shè)點到平面的距離為，由得，，則，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以點到平面的距離.例14．（2022秋·河北石家莊·高一石家莊市第十五中學(xué)校考期中）如圖為一塊直四棱柱木料，其底面滿足：，．(1)要經(jīng)過平面內(nèi)的一點和棱將木料鋸開，在木料表面應(yīng)該怎樣畫線？（借助尺規(guī)作圖，并寫出作圖說明，無需證明）(2)若，，當(dāng)點是矩形的中心時，求點到平面的距離．【解析】(1)過點作直線分別交于連接(2)連接，由是矩形的中心可知，所以點到平面的距離即為點到平面的距離，平面，平面，平面，所以點到平面的距離即為點到平面的距離，過點作于，，在直四棱柱中且平面，又平面，所以，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又且，所以平面所以長即為點到平面的距離，在直角中，，，所以，所以點到平面的距離為.例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖多面體中，面面，為等邊三角形，四邊形為正方形，，且，，分別為，的中點.（1）求二面角的余弦值；（2）作平面FHG與平面ABCD的交線，記該交線與直線AB交點為P，寫出的值（不需要說明理由，保留作圖痕跡）.【解析】（1）因為面面，為等邊三角形，設(shè)中點為，所以又因為面面面FAB，則平面，以為坐標(biāo)原點，分別以方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，則則，，，，所以，設(shè)平面的一個法向量為則取得，所以設(shè)平面的一個法向量為（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）則取得，所以所以則二面角的余弦值為；（2），如圖所示：例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，.,且平面，，點分別是線段上的中點，在上.且.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面的成角的正弦值；（Ⅲ）請畫出平面與四棱錐的表面的交線，并寫出作圖的步驟.【解析】分析：（Ⅰ）推導(dǎo)出，由此能證明平面；（Ⅱ）推導(dǎo)出，，，軸建立空間直角坐標(biāo)系息，利用向量法能求出直線AB與平面EFG的所成角的正弦值；（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（Ⅲ）法1：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.法2：記平面與直線的交點為，設(shè)，，利用向量法求出，從而即為點.連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.解析：解:（Ⅰ）在中，因為點分別是線段上的中點，所以因為平面，平面.所以平面.（Ⅱ）因為底面是邊長為2的菱形，所以，因為平面，所以，，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則依題意可得，，，，，，，所以，，設(shè)平面的法向量為，則由可得，令，可得因為.所以直線與平面的成角的正弦值為（Ⅲ）法Ⅰ：延長分別交延長線于，連接，發(fā)現(xiàn)剛好過點，,連接，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.法2：記平面與直線的交點為，設(shè)，則由，可得.所以即為點.（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以連接，，則四邊形為平面與四棱錐的表面的交線.【專題14】立體幾何建系繁瑣問題【【專題14立體幾何建系繁瑣問題】【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法解決【典型例題】例17．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：，分別為，的中點，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）直線與平面所成角的正弦值為．例18．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，連接，，在中，根據(jù)余弦定理可以算出，發(fā)現(xiàn)，可以得出，又，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值為．例19．（2022春·福建南平·高三?？计谥校┰谌庵校?，平面，、分別是棱、的中點.(1)設(shè)為的中點，求證：平面；(2)若，直線與平面所成角的正切值為，求多面體的體積.【解析】（1）連接，，因為點，，分別為，，的中點，所以且，，，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面（2）因為平面，所以，，又因為，所以平面，所以即是直線與平面所成的角，所以，因為，所以，因為，，所以，因為，平面，所以平面，所以，因為，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）所以，，所以，由（1）知多面體為四棱錐，且四邊形是平行四邊形，所以.【專題15】兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題【【專題15兩角相等（構(gòu)造全等）的立體幾何問題】【規(guī)律方法】構(gòu)造垂直的全等關(guān)系【典型例題】例20．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，，分別為，的中點，為上一點．過和的平面交于，交于．（1）證明：，且平面平面；（2）設(shè)為△的中心．若平面，且，求直線與平面所成角的正弦值．【解析】（1）證明：，分別為，的中點，底面為正三角形，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）平面，平面平面，綜上，，且平面平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）直線與平面所成角的正弦值為．例21．如圖，在錐體中，是邊長為1的菱形，且，，，，分別是，的中點（1）證明：平面（2）求二面角的余弦值．【解析】（1）取的中點，連接，，在中，根據(jù)余弦定理可以算出，發(fā)現(xiàn)，可以得出，又，又，可以得出，而，平面，而平面，，又，．又，平面．（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）（2）由（1）知，平面，所以為二面角的平面角，在中，，，，由余弦定理得，因此二面角的余弦值為．【專題16】利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系【【專題16利用傳統(tǒng)方法找?guī)缀侮P(guān)系建系】【規(guī)律方法】利用傳統(tǒng)方法證明關(guān)系，然后通過幾何關(guān)系建坐標(biāo)系．【典型例題】例22．如圖：長為3的線段與邊長為2的正方形垂直相交于其中心．（1）若二面角的正切值為，試確定在線段的位置；（2）在（1）的前提下，以，，，，，為頂點的幾何體是否存在內(nèi)切球？若存在，試確定其內(nèi)切球心的具體位置；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1）取線段的中點為點，連接，，．由于四邊形是正方形，為其中心，所以，又面面，所以，而，所以面，面，所以，同理可以證出，為二面角的平面角，．設(shè)，，，則．且在中，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）同理在中，由，得：故在線段上的靠近點的三分點位置；（2）幾何體存在內(nèi)切球，令球心為，若設(shè)線段的中點為點，內(nèi)切球的半徑為，由對稱性可知：平面四邊形的內(nèi)切圓的圓心為，半徑即為，故，而，．所以，得．由三角形相似有：所以．故其內(nèi)切球心在點距離為的位置上．（注：也可用分割體積法求例23．在四棱錐中，為棱的中點，平面，，，，，為棱的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若二面角為，求直線與平面所成角的正切值．【解析】解：（Ⅰ）證明：連接交于點，連接，，且，，又，線段是的中位線，，面，面，面；（Ⅱ），，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是矩形，；又平面，，；以為坐標(biāo)原點，，，為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）設(shè)，則，0，，，0，，，0，，，2，，，1，，，0，，，1，；設(shè)平面的一個法向量為，，，由，得；令，得，，，取平面的一個法向量為，0，；，，由二面角為，得，解得；平面，就是直線與平面所成角，在中，，直線與平面所成角的正切值為．例24．三棱柱中，，，側(cè)面為矩形，，二面角的正切值為．（Ⅰ）求側(cè)棱的長；（Ⅱ）側(cè)棱上是否存在點，使得直線與平面所成角的正切值為，若存在，判斷點的位置并證明；若不存在，說明理由．【解析】解：（Ⅰ）取的中點，的中點，則四邊形為平行四邊形，，，（關(guān)注微信公眾號：Hi數(shù)學(xué)派）側(cè)面為矩形，，，平面，則，則是二面角的平面角，則，則，，設(shè)，