660期【導(dǎo)數(shù)】盤點(diǎn)高考卷中三角導(dǎo)數(shù)結(jié)合的10大處理策略2019年全國卷Ⅰ理科和文科第20題均考查與三角函數(shù)交會(huì)的導(dǎo)數(shù)問題，讓人眼前一亮．這類試題可謂別出心裁，由于三角函數(shù)的獨(dú)特性，當(dāng)表達(dá)式中含有三角函數(shù)時(shí)，無論怎么求導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)仍含有三角函數(shù)，這就是解題的難點(diǎn)．這一期，通過高考卷里的三角導(dǎo)數(shù)題目，歸納總結(jié)處理三角導(dǎo)數(shù)結(jié)合的10大策略（一）單調(diào)性,奇偶性,對(duì)稱性分析（二）三角函數(shù)的最值分析（三）以三角函數(shù)零點(diǎn)作為解題突破口（四）逐段討論分析（五）無窮零點(diǎn)分析（六）震蕩上行函數(shù)的拐點(diǎn)分析（七）三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式分析（八）三角不等式與放縮分析（九）極值點(diǎn)第三充分條件（十）由泰勒展開公式作分析【知識(shí)典例精講】單調(diào)性,奇偶性,對(duì)稱性分析(1)單調(diào)性問題(1)單調(diào)性問題題目涉及到三角函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上單調(diào),求參數(shù)的取值范圍.可以利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系進(jìn)行求解.若在上單調(diào)遞增,則;若在上單調(diào)遞減,則.(2)奇偶性問題可導(dǎo)奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù),可導(dǎo)偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).(3)對(duì)稱性問題三角函數(shù)的重要特征之一為,當(dāng)為對(duì)稱軸時(shí),函數(shù)值取到最大值或者最小值.結(jié)合圖象不難發(fā)現(xiàn)此時(shí)函數(shù)在最高點(diǎn)或最低點(diǎn)處的切線斜率為,則.【【例1】2018年全國II卷第10題若在是減函數(shù),則的最大值是【解析】.則在上恒成立.即在上恒成立.結(jié)合的圖像可知,的最大值是.【【例2】2014年大綱卷第16題若函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù),則的取值范圍是【解析】,由已知有在上恒成立.即在上恒成立,故.經(jīng)檢驗(yàn),符合題意.三角函數(shù)的最值分析【【例3】2018年全國I卷第16題已知,求的最小值【解析】.令,得,即,.令,得,即或,.因此當(dāng),時(shí)取到最小值.此時(shí).【點(diǎn)睛】借助導(dǎo)數(shù)研究該三角函數(shù)的單調(diào)性,極值,進(jìn)一步求出最小值.事實(shí)上可以把限制在范圍內(nèi).令,得,,.根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理,只需計(jì)算出,,,,,然后取最小者.故的最小值為.【【例4】2013年全國卷選擇第12題已知函數(shù),下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是A.的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 C.的最大值為.D.既是奇函數(shù)又是周期函數(shù).【解析】.令,.則.令,得,.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),,在單調(diào)遞減.又,,所以的最大值為.故C答案錯(cuò)誤.【【例5】2018年江蘇卷第17題某農(nóng)場有一塊農(nóng)田,如圖(1)所示,它的邊界由圓的一段圓弧(為此圓弧的中點(diǎn))和線段構(gòu)成.已知圓的半徑為米,點(diǎn)到的距離為米.現(xiàn)規(guī)劃在此農(nóng)田上修建兩個(gè)溫室大棚,大棚內(nèi)的地塊形狀為矩形,大棚內(nèi)的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設(shè)與所成的角為.用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍.(略)若大棚內(nèi)種植甲種蔬菜,大棚內(nèi)種植乙種蔬菜,且甲,乙兩種蔬菜的單位面積年產(chǎn)值之比為.求當(dāng)為何值時(shí),能使甲,乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.圖(1)【解析】由題意不難求出第一步,矩形的面積為,的面積為為,.設(shè)甲種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為,乙種蔬菜單位面積年產(chǎn)值為,則甲,乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值為,化簡得.記,則,令,令.易知當(dāng)時(shí)有最大值,此時(shí)甲,乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大.【點(diǎn)睛】本題以現(xiàn)實(shí)生活中的農(nóng)田地塊設(shè)計(jì)為背景,考查三角函數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用,是數(shù)學(xué)建模思想的一個(gè)重要體現(xiàn).對(duì)于第二步求總產(chǎn)值的最大值問題,必須先將總產(chǎn)值表示成關(guān)于的一元函數(shù)模型,然后借助函數(shù)求最值的方法求出最大值,實(shí)際上是求的最大值,借助導(dǎo)數(shù),十分簡捷,計(jì)算量小,大道至簡.以三角函數(shù)零點(diǎn)作為解題突破口近幾年的高考數(shù)學(xué)試題中頻頻出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)零點(diǎn)問題的內(nèi)容，主要包括函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的確定，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，隱零點(diǎn)問題及零點(diǎn)存在性賦值理論，其形式逐漸多樣化、綜合化．我們知道，很多函數(shù)的解析式含有超越式，通過解方程的方式無法求解出其零點(diǎn)，但是通過觀察可以發(fā)現(xiàn)其零點(diǎn)，此時(shí)往往可以把零點(diǎn)作為解決問題的突破口，使問題迎刃而解．【【例6】2013年福建卷第20題已知函數(shù),,周期為,圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為.將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍,(縱坐標(biāo)不變),再將所得到的圖象向右平移個(gè)單位長度后得到函數(shù)的圖象.(1)求函數(shù)和的解析式.(2)是否存在,使得,,按照某種順序成等差數(shù)列?若存在請(qǐng)確定的個(gè)數(shù);若不存在,說明理由.【解析】(1),.(過程略)(2)當(dāng)時(shí),,,所以.問題轉(zhuǎn)化為方程在內(nèi)是否有解.令,.則.顯然.故在上單調(diào)遞增.又,,的圖象連續(xù).所以在內(nèi)存在唯一零點(diǎn).因此,存在唯一的符合題意.【【例7】已知函數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解析】由題目已知條件結(jié)合特殊值賦值法，可令，則恒成立，設(shè)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以．反之若，則：（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）．．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題中發(fā)現(xiàn)函數(shù)的零，點(diǎn)為1是一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，從而可得到不等式成立的一個(gè)必要條件為；當(dāng)然，在證明過程中還用到了切線不等式：，合理利用這兩個(gè)不等式進(jìn)行放縮．逐段討論分析【【逐段討論】三角與導(dǎo)數(shù)綜合的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的處理的關(guān)鍵就是零點(diǎn)存在唯一性定理，即弄清楚單調(diào)性和端點(diǎn)值.前者通過導(dǎo)數(shù)完成，這一塊要注意往往可能需要高階導(dǎo)數(shù)，這是由三角函數(shù)求導(dǎo)的特征所決定的！后者要注意三角函數(shù)的有界性，往往過了某個(gè)范圍后，函數(shù)恒正或者恒負(fù)，不再出現(xiàn)零點(diǎn)，這就決定了分段討論，而分段的依據(jù)主要是由三角函數(shù)的取值象限來進(jìn)行，等.除此之外，有的區(qū)間上找點(diǎn)時(shí)注意不等式放縮，從而減少找點(diǎn)的難度！總結(jié)起來，有關(guān)三角函數(shù)的零點(diǎn)問題處理主要手段有：分段處理；（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）討論好單調(diào)性與端點(diǎn)（特殊點(diǎn)），注意高階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，直到能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；關(guān)注有關(guān)三角的不等式放縮，有時(shí)候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點(diǎn)過程??；；.【例【例8】（2019全國1卷）已知函數(shù).若為的導(dǎo)函數(shù)，證明：在上存在唯一的極大值點(diǎn)；證明：有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).【解析】（1）由題意知：定義域?yàn)椋呵?，令，，，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.下面考慮端點(diǎn)值：因?yàn)椋?，使?當(dāng)時(shí)，；時(shí)，即在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，則為唯一的極大值點(diǎn).即：在區(qū)間上存在唯一的極大值點(diǎn).（2）由（1）知：，.下面分區(qū)間逐次討論：①．當(dāng)時(shí)，由（1）可知在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞減，又，為在上的唯一零點(diǎn).②．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，在上單調(diào)遞增，此時(shí)，不存在零點(diǎn).又，使得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）考慮端點(diǎn)值：由于.在上恒成立，此時(shí)不存在零點(diǎn).③．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞減又，.即，又在上單調(diào)遞減.在上存在唯一零點(diǎn).④.當(dāng)時(shí)，，，，即在上不存在零點(diǎn).綜上所述：有且僅有個(gè)零點(diǎn).無窮零點(diǎn)分析【【無窮零點(diǎn)】無窮零點(diǎn)：用一個(gè)正余弦函數(shù)去乘指對(duì)函數(shù)，就會(huì)導(dǎo)致有無窮多個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)，這是其他指對(duì)函數(shù)沒有的特性，我們甚至可進(jìn)一步討論這無窮個(gè)零點(diǎn)直接的關(guān)系.【例【例9】（2019天津）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù).求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，試證明：.【解析】（1）（2）略（3）首先我們需要把區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)搬到熟悉的區(qū)間上來，這一點(diǎn)可通過變換實(shí)現(xiàn)，令，故，且.這樣我們就把題干轉(zhuǎn)化到第（2）問的條件下了.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）下面我們來利用改寫題干條件，即證：.由于，故只需證①即可.由于，故證明①成立，只需等價(jià)于證明：②，結(jié)合的表達(dá)式可知，不等式②成立等價(jià)于③即可，看到這里，是不是發(fā)現(xiàn)跟第（2）問的神似之處！另一方面，注意到以及第（2）問的結(jié)論，可得：④.故欲使得③成立，只需使得.所以，只要能說明，整個(gè)題目就解決了！而這個(gè)步驟，就需要第（1）問，由于且滿足對(duì)于，，且在上減，故，證畢！震蕩上行函數(shù)的拐點(diǎn)分析【【震蕩上行函數(shù)的拐點(diǎn)分析】震蕩上行：以為例，由于的有界性，若出現(xiàn)三角函數(shù)+增函數(shù)結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)出現(xiàn)震蕩上行，會(huì)出現(xiàn)存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有能成立，這樣的命題形式，此時(shí)，必要性分析是一個(gè)很重要的手段.【例【例10】（2021武漢高三畢業(yè)班二診）．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在實(shí)數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有能成立，求的值．【解析】（1）時(shí)，．．∴切線方程為：．整理得：．（2）．令，得．．（?。┊?dāng)時(shí)，為上的減函數(shù)，．∴時(shí)，，遞增．又此時(shí)，故時(shí)，，遞減．時(shí)，，遞增．∴時(shí)，，遞增．由．故時(shí)，．時(shí)，．此時(shí)，存在使時(shí)，，滿足條件．（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，遞增．此時(shí)，．故存在使得．當(dāng)時(shí)，遞增．∴時(shí)，，遞減．即時(shí)，，不存在，使時(shí)，．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，令，得．∴時(shí)，遞減，遞減．即時(shí)，，不存在，使時(shí)，．（ⅳ）當(dāng)時(shí)，在遞減．遞減．故時(shí)，，不存在，使時(shí)，．綜上所述：．三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式分析【【三角導(dǎo)數(shù)與三角恒等式】配合三角恒等式：配合三角恒等式就可以做到更強(qiáng)的綜合性，需要考生有很強(qiáng)的觀察能力.【例【例11】定義在上的函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積；(2)將的所有極值點(diǎn)按照從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，若，求的值.【解析】（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（1）當(dāng)時(shí)，，故.曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，令.所以切線與軸的交點(diǎn).此時(shí)所求三角形的面積為.（2），當(dāng)時(shí)，.由函數(shù)在區(qū)間上遞增，且值域?yàn)?，故存在唯一，使?此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，因此.同理，存在唯一，使得.此時(shí)當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此.由.同理：.由，整理得：.又，故，則有，由，故或.又，當(dāng)時(shí)，不滿足，舍去.所以，即，則.綜上所述，.三角不等式與放縮分析【【三角不等式與放縮】三角不等式與放縮：一些重要的三角不等式，例如，，以及均值不等式等等，在一些三角恒成立或者極值點(diǎn)偏移問題中會(huì)用到.【例【例12】設(shè)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（

）A． B．C． D．【解析】由于，故.另一方面，由于，故.再對(duì)也用帕德逼近故，故.【例【例13】（1）求證時(shí)，；（2）當(dāng)時(shí)，，證明不等式恒成立.【解析】（1）證明：令，，顯然對(duì)恒成立，故在上單調(diào)遞增，從而，故在上單調(diào)遞增，從而即時(shí)，恒有成立.（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）（2）對(duì)于由（1）得①②，故對(duì)，，要證，只要證即證（*），當(dāng)時(shí)，（*）顯然成立；當(dāng)時(shí)，即證.令，則，時(shí)有，故在上單調(diào)遞增，所以從而在上單調(diào)遞增，所以，即(*)成立.終上所述:當(dāng)時(shí)，，不等式恒成立.極值點(diǎn)第三充分條件高中數(shù)學(xué)中，關(guān)于極值點(diǎn)的定義不是很清晰，這是因?yàn)閲?yán)格的極值的定義需要用到高等數(shù)學(xué)領(lǐng)域中極限等概念·眾所周知，可導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)值為零僅僅是極值點(diǎn)的一個(gè)必要而非充分條件．為了避開極限等概念，高中數(shù)學(xué)判定極值點(diǎn)往往是先判斷出函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的單調(diào)性，再來確定極值．而當(dāng)函數(shù)比較復(fù)雜或者含有參數(shù)時(shí)，這種方法就很煩瑣．下面給出高等數(shù)學(xué)中的極值點(diǎn)第三充分條件，由于其證明需要用到高等數(shù)學(xué)知識(shí)，因而一般學(xué)生不必掌握，但對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以嘗試?yán)斫獠⒂涀〗Y(jié)論加以應(yīng)用．【極值點(diǎn)第三充分條件】【極值點(diǎn)第三充分條件】若函數(shù)在處有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，且滿足，但，則有：ⅰ）若n為奇數(shù)，不是函數(shù)的極值點(diǎn)；ⅱ）若n為偶數(shù)，是函數(shù)的極值點(diǎn)．【【例14】已知函數(shù)，若存在，使得當(dāng)時(shí)，有恒成立，求a的值．【解析】已知條件有，，，故有．因?yàn)榇嬖冢沟卯?dāng)時(shí)，有恒成立，且，顯然不是的極值點(diǎn)，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）由極值點(diǎn)第三充分條件，必有．【點(diǎn)睛】這個(gè)定理給出了在前階導(dǎo)數(shù)值均為0，第n階導(dǎo)數(shù)不為0的情況下，判斷極值點(diǎn)的方法．由泰勒展開公式作分析泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)非常重要的內(nèi)容，它將一些復(fù)雜的函數(shù)逼近，近似地表示為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，泰勒公式這種化繁為簡的功能，使得它成為分析和研究許多數(shù)學(xué)問題的有力工具．泰勒公式集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計(jì)算上有獨(dú)特的優(yōu)勢．利用泰勒公式可以將非線性問題化為線性問題，且具有很高的精確度，因此其在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用．泰勒公式可以應(yīng)用于求極限，判斷函數(shù)極值，求高階導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)的數(shù)值，判斷廣義積分收斂性，近似計(jì)算，不等式證明等方面．【泰勒公式】【泰勒公式】設(shè)在含有的區(qū)間內(nèi)有直到階的連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則可以按的方冪展開為此式稱為按的冪展開的n階泰勒公式．常見函數(shù)的泰勒展開式1．2．3．4．【【例15】已知函數(shù)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】．【分析】先求導(dǎo)得，借助進(jìn)行放縮得到，從而得到時(shí)符合題意；時(shí)，取，說明不合題意；時(shí)，把導(dǎo)數(shù)構(gòu)造成新的函數(shù)，先求得導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，再說明在上單減，，不合題意，即可求解.【詳解】，令，，令，則，所以在上單增，，所以在上單增，，即，（關(guān)注微信公眾號(hào)：Hi數(shù)學(xué)派）故，當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上單增，