665期【解析幾何】高考卷中的米勒圓最大角問題【知識精講】【米勒最大角問題】【米勒最大角問題】已知點是的邊上的兩個定點，點是邊上的動點，則當在何處時，使得最大？對米勒最大角問題有如下重要結(jié)論稱之為米勒定理.【米勒定理】【米勒定理】已知點是的邊上的兩個定點，點是邊上的動點，則當且僅當?shù)耐饨訄A與邊相切于點時，最大.【典例精講】【【2022全國甲卷T20】設(shè)拋物線的焦點為，點，過的直線交于兩點，當直線軸時，．（1）求的方程；（2）設(shè)直線、與的另一個交點分別為，記直線、的傾斜角分別為，當取得最大值時，求直線的方程.【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；（2）法一：設(shè)點的坐標及直線，由韋達定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達定理可解.【詳解】（1）拋物線的準線為，當與x軸垂直時，點M的橫坐標為p，此時，所以，所以拋物線C的方程為；（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式設(shè)，直線，由可得，，由斜率公式可得，，直線，代入拋物線方程可得，，所以，同理可得，所以又因為直線MN、AB的傾斜角分別為，所以，若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法二]：直線方程點斜式由題可知，直線MN的斜率存在.設(shè),直線由得：，,同理，.直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，由斜率公式可得：（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，設(shè)直線，代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.[方法三]：三點共線設(shè)，設(shè),若P、M、N三點共線，由所以，化簡得，反之，若,可得MN過定點因此，由M、N、F三點共線，得，

由M、D、A三點共線，得，

由N、D、B三點共線，得，則，AB過定點（4,0）（下同方法一）若要使最大，則，設(shè)，則，當且僅當即時，等號成立，所以當最大時，，所以直線.【點睛】（2）法一：利用直線方程橫截式，簡化了聯(lián)立方程的運算，通過尋找直線的斜率關(guān)系，由基本不等式即可求出直線AB的斜率，再根據(jù)韋達定理求出直線方程，是該題的最優(yōu)解，也是通性通法；法二：常規(guī)設(shè)直線方程點斜式，解題過程同解法一；法三：通過設(shè)點由三點共線尋找縱坐標關(guān)系，快速找到直線過定點，省去聯(lián)立過程，也不失為一種簡化運算的好方法．【【2007浙江卷】如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在x軸上，長軸的長為4，左準線l與x軸的交點為M，．（1）求橢圓的方程；（2）若直線，P為上的動點，使最大的點P記為Q，求點Q的坐標．(用m表示)【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則，．由題意得，解得，，．故橢圓方程為．（2）【解法1】設(shè)，，當時，；當時，，要使最大，只需求最大即可．設(shè)直線的斜率，直線的斜率，∴若tan，tan；若tan，tan，，當且僅當時，取到等號，此時最大，，．【解法2】由米勒定理知：當且僅當過三點的圓與直線相切時，最大，切點即為所求點.因為軸，所以此時圓心坐標為.由同圓的半徑相等，可得，所以.故當時，最大，所求最大值點的坐標為.【【23屆深圳二?！孔闱蚴且豁椇苁軞g迎的體育運動.如圖，某標準足球場的底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置.在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點，使得最大，這時候點就是最佳射門位置.當攻方球員甲位于邊線上的點處（，）時，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇.若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路，則甲帶球_________碼時，到達最佳射門位置.【解析】方法1.米勒圓選擇線路，以為弦的圓與相切于，連最大.所以甲帶球至時，到達最佳射門位置.由切割線定理，得，即，，所以甲帶球碼時，到達最佳射門位置.選擇線路，以為弦的圓與相切于，連最大.所以甲帶球至時，到達最佳射門位置，由切割線定理，得，即，所以甲帶球碼時，到達最佳射門位置.方法2.代數(shù)方法若選擇線路，設(shè)，其中，，，則，，所以，，當且僅當時，即當時，等號成立，此時，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置；若選擇線路，以線段的中點為坐標原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，直線的方程為，設(shè)點，其中，，，所以，，令，則，所以，，當且僅當時，即當，即當時，等號成立，當且僅當時，等號成立，此時，，所以，若選擇線路，則甲帶球碼時，到達最佳射門位置.故答案為：；.【【2022南昌一?！恳阎c.點為圓上一個動點，則的最大值為__________.【解析】如圖，設(shè)D是圓上不同于點P的任意一點，連結(jié)DA與圓交于點E，連接EC，由三角形外角的性質(zhì)，可知，由圓周角定理：，因此，當且僅當?shù)耐饨訄A與圓相切于點時，最大.此時，可設(shè)的外接圓圓心，由于此時三點共線且，而，則，解得：，于是，由正弦定理，則的最大值為.【【23屆廣東省一?！恳阎獎訄A經(jīng)過點及原點,點