685期【解三角】高考解三角形都是送分題？還需謹慎對待！小π相信大家都已經(jīng)把近十年的高考題全部刷了一遍了！刷完高考卷，你是否有這樣的感覺：高考解三角形大題幾乎都很簡單?？梢哉f這是每個中等及偏上的同學的都會有的感受。這也是高考出題難度分布設置的結果——一般在解答題第一題、第二題的位置，出卷老師是不會故意難為大家的！可是同學們需注意，高考解三角大題雖簡單，但也不要產(chǎn)生解三角大題就是送分題的錯覺，還需謹慎對待！這一期，小π就來梳理一下高考解三角形常見考點，以及近些年高考真題以供大家在高考前快速過一遍！【知識精講】（一）解三角形中的基本結論1、正弦定理：在中，、1、正弦定理：在中，、、分別為角、、的對邊，，則有(為的外接圓的半徑).2、正弦定理的變形公式：=1\*GB3①，，；=2\*GB3②，，；=3\*GB3③；④.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）3、三角形面積公式：．4、余弦定理：在中，有，推論：；變形：.5、解三角形所涉及的其它知識（1）三角形內(nèi)角和定理（2）三角形邊角不等關系：.6、誘導公式在中的應用（1）；（2）對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關范圍.對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關范圍.1、結合余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實現(xiàn)周長或者面積的最值.2、結合正弦定理構建周長或者面積關于角的目標函數(shù)，利用三角函數(shù)處理最值或者范圍.3、注意到其在焦點三角形中的應用.（三）邊角轉化在正弦定理中：此時，我們并非一定需要對邊對角，實際上，只要知道任意一邊和一角，即可結合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關系在正弦定理中：此時，我們并非一定需要對邊對角，實際上，只要知道任意一邊和一角，即可結合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關系（四）齊次邊型分式結構我們經(jīng)常會看到諸如：我們經(jīng)常會看到諸如：等結構，這種類型當然還可利用正弦定理轉化為純角結構，所以，我們只需要做的就是消元，把三個角消成一個角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.齊二次結構與余弦定理余弦定理的最大特色就是齊次分式結構，同時，余弦定理的最大特色就是齊次分式結構，同時，在上的嚴格單調性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來找到角的最值.若，倘若再能找到這樣一個約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個均值結構，利用均值不等式即可求得最值（六）正余弦平方差公式【正余弦平方差公式】【正余弦平方差公式】，.【證明】由正余弦平方差公式還可以推導倍角三角形的一個重要結論：【倍角三角形定理】【倍角三角形定理】在中，是的充要條件.【證明】此處僅給出充分性證明，必要性同理可證。當時，由正弦定理，得，由正弦平方差公式，得，由，得，所以，又，所以或（舍去），故.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）（七）射影定理【射影定理】【射影定理】射影定理：在中，（八）爪型三角形中的范圍與技巧人教版教材中多次出現(xiàn)基于爪子構型的相關例題，比如教材必修二53頁到54頁中有很多這樣的例子。爪型三角形是解三角形中非常重要的一種構型，其中包含了很多關于解三角形的重要思想，比如找補角，或者等面積思想，角平分線定理，還有以及利用上述思想結合正余弦定理推出處理爪型三角形的一些重要結論：斯特瓦爾特定理，逆定理以及推論?！咀π腿切巍俊咀π腿切巍孔π腿切蔚幕編缀翁卣?，如圖。其中與互為補角，余弦值互為相反數(shù)。這個隱含條件是處理爪型三角形的一個重要技巧?！舅固赝郀柼囟ɡ怼俊舅固赝郀柼囟ɡ怼吭O為的邊上異于的任一點，則有 ①或． ②【證明】如圖，不失一般性，不妨設，則由余弦定理，有，．對上述兩式分別乘以，后相加整理，得①式或②式．注：可以看到，斯特瓦爾特定理的證明關鍵是利用爪型三角形中兩角互補，即：這個隱含條件是處理爪型三角形的一個重要技巧.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【斯特瓦爾特定理的逆定理】【斯特瓦爾特定理的逆定理】設，，依次分別為從點引出的三條射線，，上的點，若，或，則，，三點共線．【證明】令，，對和分別應用余弦定理，有，．將上述兩式分別乘以，后相加，再與已知條件式相比較得，由此推出，即證．【斯特瓦爾特定理推廣】【斯特瓦爾特定理推廣】（1）設為的邊延長線上任一點，則． ③（2）設為的邊反向延長線上任一點，則． ④【推論1】設為等腰的底邊上任一點，則．注此推論也可視為以為圓心，為半徑的圓中的圓冪定理．【推論2】設為的邊上的中線，則．【推論3】設為的的內(nèi)角平分線，則．注此推論即是爪型三角形常用的等面積思想.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）設為的平分線，則設，那么有等面積可得：，進一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉化關系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.【推論4】設為的的外角平分線，則．【推論5】在中，若分線段滿足，則．注若，則．最后，再從幾何角度來認識一類爪型三角形模型，通過初中知識，我們可以用相對簡單的幾何方法求得結論，從而起到了大題小做的最佳境界.（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）如圖，在三角形中，已知角的大小，為邊上一點.那么我們可利用初中的相似三角形來求解一些這種條件下的爪型三角形問題。如下圖，過點做的平行線交延長線于，則，且由平行的性質可知：，于是，已知角的大小即可得的大小，倘若我們進一步指導的長度，以及點為邊上的具體位置，那么在中可以解決很多問題，下面通過例題來分析.（九）三角形中的特殊點及軌跡解三角形中的特殊點與軌跡問題，特殊點主要指的是布洛卡點與費馬點，軌跡問題主要指的是阿波羅尼斯圓和焦點三角形軌跡，最后再介紹一種常用的三角形：萊洛三角形.這些問題都多次出現(xiàn)在高考和各地?？贾?，具有豐富的背景，值得我們深入研究.【布洛卡點】定義：已知P為△ABC內(nèi)一點,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α,則P為布洛卡點,∠α為布洛卡角.【費馬點】【布洛卡點】定義：已知P為△ABC內(nèi)一點,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=∠α,則P為布洛卡點,∠α為布洛卡角.【費馬點】若三角形內(nèi)有一點，滿足到三角形三頂點連線最短，則該點被稱為“費馬點”.三角形中費馬點分為兩類：1、三角形三個頂角均小于120°，則費馬點與各定點連線夾角均為120°；2、三角形有一角大于或等于120°，則費馬點為這個角頂點，一般情況下中學研究費馬點情況屬于第一種.【阿波羅尼斯圓】定義：已知平面上兩點，則所有滿足的動點的軌跡是一個以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為\t"/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/_blank"直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.【萊洛三角形】【萊洛三角形】將一條閉合曲線放在兩條平行線之間，無論這條閉合曲線如何運動，只要它與兩平行線中的一條直線只有一個交點，就必與另一條直線也只有一個交點，則稱此閉合曲線為等寬曲線，這兩條平行直線間的距離叫等寬曲線的寬比．如圓所示就是等寬曲線．其寬就是圓的直徑．如圖所示是分別以、、為圓心畫的三段圓弧組成的閉合曲線（又稱萊洛三角形）（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【真題精講】【例【例1】(2022年全國乙卷理科·第17題)記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【小問1詳解】證明：因為，所以，所以，即，所以；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【小問2詳解】因為，由(1)得，

由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為．【例【例2】(2022新高考全國II卷·第18題)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)解析：(1)由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，則；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）由正弦定理得：，則，則，．【例【例3】(2022新高考全國I卷·第18題)記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)因為，即，而，所以；（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）(2)由(1)知，，所以，而，所以，即有．所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．【例【例4】(2021年新高考全國Ⅱ卷·第18題)在中，角、、所對的邊長分別為、、，，．．(1)若，求的面積；(2)是否存在正整數(shù)，使得為鈍角三角形?若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【答案】解析:(1)因為，則，則，故，，，所以，銳角，則，因此，；（2）顯然，若為鈍角三角形，則為鈍角，由余弦定理可得，解得，則，由三角形三邊關系可得，可得，，故．【例【例5】(2021年新高考Ⅰ卷·第19題)記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，．已知，點在邊上，．(1)證明：；(2)若，求．【答案】解析：(1)由題設，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證．（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）(2)由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當時，不合題意；當時，；綜上，．【例【例6】(2020年新高考I卷(山東卷)·第17題)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中的三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】解法一：由可得：，不妨設，則：，即．選擇條件①的解析：據(jù)此可得：，，此時．選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：．選擇條件③的解析：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾．【例【例7】(2020新高考II卷(海南卷)·第17題)在①，②，③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，若問題中三角形存在，求的值；若問題中的三角形不存在，說明理由．問題：是否存在，它的內(nèi)角的對邊分別為，且，，________?注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】解析：解法一：由可得：，不妨設，則：，即．選擇條件①的解析：（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）據(jù)此可得：，，此時．選擇條件②的解析：據(jù)此可得：，則：，此時：，則：．選擇條件③的解析：可得，，與條件矛盾，則問題中的三角形不存在．解法二：∵,∴,，∴,∴,∴,∴,若選①，,∵,∴,∴c=1;若選②，,則,;若選③,與條件矛盾．【例【例8】(2020年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第17題)中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．(1)求A；(2)若BC=3，求周長的最大值．【答案】(1)；(2)．解析：(1)由正弦定理可得：，，，(2)由余弦定理得：，即．(當且僅當時取等號)，，解得：(當且僅當時取等號)，周長，周長的最大值為．【點睛】本題考查解三角形的相關知識，涉及到正弦定理角化邊的應用、余弦定理的應用、三角形周長最大值的求解問題；求解周長最大值的關鍵是能夠在余弦定理構造的等式中，結合基本不等式構造不等關系求得最值．【例【例9】(2019年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第18題)的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)求；(2)若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．【答案】(1);(2)．【官方解析】(1)由題設及正弦定理得，因為，所以．由，可得，故．因為，故，因此．（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）(2)由題設及(1)知的面積．由正弦定理得．由于為銳角三角形，故，．由(1)知，所以，故，從而．因此面積的取值范圍是．【點睛】這道題考查了三角函數(shù)的基礎知識，和正弦定理或者余弦定理的使用(此題也可以用余弦定理求解)，最后考查是銳角三角形這個條件的利用．考查的很全面，是一道很好的考題．【例【例10】(2019年高考數(shù)學課標全國Ⅰ卷理科·第17題)的內(nèi)角的對邊分別為．設．(1)求；(2)若，求．【答案】解析：(1)由已知得，故由正弦定理得．由余弦定理得．因為，所以．（2）由(1)知，由題設及正弦定理得，即，可得．由于，所以，故．【例【例11】(2018年高考數(shù)學課標卷Ⅰ(理)·第17題)(12分)在平面四邊形中，，，,．(1)求;(2)若,求．【答案】解析：(1)在中，由正弦定理得．由題設知，，所以．由題設知，，所以．(2)由題設及(1)知，．在中，由余弦定理得（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）．所以．【例【例12】(2017年高考數(shù)學新課標Ⅰ卷理科·第17題)的內(nèi)角的對邊分別為,已知的面積為．(1)求;(2)若,,求的周長．【答案】(1);(2)的周長為．【分析】(1)由三角形面積公式建立等式,再利用正弦定理將邊化成角,從而得出的值;(2)由和,計算出,從而求出角,根據(jù)題設和余弦定理可以求出和的值,從而可求出的周長．【解析】(1)由題設得,即．由正弦定理得．故．(2)由題設及(1)得,即．所以,故．由題設得,即．由余弦定理得,即,得．故的周長為．【點睛】在處理解三角形問題時,要注意抓住題目所給的條件,當題設中給定三角形的面積,可以使用面積公式建立等式,再將所有邊的關系轉化為角的關系,有時需將角的關系轉化為邊的關系;解三角形問題常見的一種考題是“已知一條邊的長度和它所對的角,求面積或周長的取值范圍”或者“已知一條邊的長度和它所對的角,再有另外一個條件,求面積或周長的值”,這類問題通法思路是:全部轉化為角的關系,建立函數(shù)關系式,如,從而求出范圍,或利用余弦定理以及基本不等式求范圍;求具體的值直接利用余弦定理和給定條件即可．【例【例13】(2017年高考數(shù)學課標Ⅲ卷理科·第17題)(12分)的內(nèi)角的對邊分別為．已知，，．(1)求；(2)設為邊上一點，且，求的面積．【答案】(1);(2)【解析】(1)由可得,因為,故．（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）由余弦定理可知:即整理可得,解得(舍去)或．（2）法一:設,則在中,由勾股定理可得在中,有由余弦定理可得即即所以,解得所以．法二:依題意易知又因為,所以所以．法三:∵,（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）由余弦定理．∵,即為直角三角形,則,得．由勾股定理．又,則,．【點睛】在解決三角形問題中,面積公式最常用,因為公式中既有邊又有角,容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來．正、余弦定理在應用時,應注意靈活性,已知兩角和一邊,該三角形是確定的,其解是唯一的;已知兩邊和一邊的對角,該三角形具有不唯一性,通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．【例【例14】(2017年高考數(shù)學課標Ⅱ卷理科·第17題)(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,已知．(1)求(2)若,面積為2,求【答案】(1)；(2)．【命題意圖】本題考查三角恒等變形，解三角形．【試題分析】在第(Ⅰ)中，利用三角形內(nèi)角和定理可知，將轉化為角的方程，思維方向有兩個：①利用降冪公式化簡，結合求出；②利用二倍角公式，化簡，兩邊約去，求得，進而求得．在第(Ⅱ)中，利用(Ⅰ)中結論，利用勾股定理和面積公式求出，從而求出．(Ⅰ)（關注微信公眾號：Hi數(shù)學派）【基本解法1】由題設及，故上式兩邊平方，整理得解得【基本解法2】由題設及，所以，又，所以，(Ⅱ)由，故又由余弦定理及得所以b=2【點睛】解三角形問題是高考高頻考點，命題大多放在解答題的第一題，主要利用三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理、三角形面積公式等知識解題，解題時要靈活利用三角形的邊角關系進行“邊轉角”“角轉邊”，另外要注意三者的關系，這樣的題目小而活，備受老師和學生的歡迎．【例【例15】(2016高考數(shù)學課標Ⅰ卷理科·第17題)(本題滿分為12分)的內(nèi)角的對邊分別為，已知(