PAGE1PAGE2專題10解直角三角形（解析版）1．（2025·安徽·中考真題）某公司為慶祝新產(chǎn)品上市，在甲樓與乙樓的樓頂之間懸掛彩帶營(yíng)造喜慶氣氛．如圖所示，甲樓和乙樓分別用與水平地面垂直的線段和表示，彩帶用線段表示．工作人員在點(diǎn)A處測(cè)得點(diǎn)C的俯角為，測(cè)得點(diǎn)D的仰角為．已知，求的長(zhǎng)（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，，，，．【答案】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)E，則四邊形為矩形，可得，解求出的長(zhǎng)，再解求出的長(zhǎng)即可得到答案．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)E．∵線段和都與地面垂直，∴四邊形為矩形，∴．在中，，∴．在中，，．答：的長(zhǎng)為．2．（2024·安徽·中考真題）科技社團(tuán)選擇學(xué)校游泳池進(jìn)行一次光的折射實(shí)驗(yàn)，如圖，光線自點(diǎn)處發(fā)出，經(jīng)水面點(diǎn)折射到池底點(diǎn)處．已知與水平線的夾角，點(diǎn)到水面的距離m，點(diǎn)處水深為，到池壁的水平距離，點(diǎn)在同一條豎直線上，所有點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)．記入射角為，折射角為，求的值（精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）．【答案】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，三角函數(shù)，過(guò)點(diǎn)E作于，則，，由題意可得，，，，解求出、，可求出，再由勾股定理可得，進(jìn)而得到，即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作于，則，，由題意可得，，，，在中，，，∴，，∴，∴在，，∴，∴．3．（2023·安徽·中考真題）如圖，是同一水平線上的兩點(diǎn)，無(wú)人機(jī)從點(diǎn)豎直上升到點(diǎn)時(shí)，測(cè)得到點(diǎn)的距離為點(diǎn)的俯角為，無(wú)人機(jī)繼續(xù)豎直上升到點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)的俯角為．求無(wú)人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】無(wú)人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度約為米【分析】解，求得，，在中，求得，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：依題意，，，，在中，，∴，，在中，，∴（米）答：無(wú)人機(jī)從點(diǎn)到點(diǎn)的上升高度約為米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2022·安徽·中考真題）如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸A，B兩點(diǎn)間的距離，數(shù)學(xué)興趣小組在河岸南側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)C，測(cè)得A，B均在C的北偏東37°方向上，沿正東方向行走90米至觀測(cè)點(diǎn)D，測(cè)得A在D的正北方向，B在D的北偏西53°方向上．求A，B兩點(diǎn)間的距離．參考數(shù)據(jù)：，，．【答案】96米【分析】根據(jù)題意可得是直角三角形，解可求出AC的長(zhǎng)，再證明是直角三角形，求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AC-BC可得結(jié)論．【詳解】解：∵A，B均在C的北偏東37°方向上，A在D的正北方向，且點(diǎn)D在點(diǎn)C的正東方，∴是直角三角形，∴，∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，在Rt△ACD中，，CD=90米，∴米，∵，∴∴，∴即是直角三角形，∴，∴米，∴米，答：A，B兩點(diǎn)間的距離為96米．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形-方向角問(wèn)題的應(yīng)用，解一般三角形，求三角形的邊或高的問(wèn)題一般可以轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問(wèn)題．5．（2021·安徽·中考真題）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，學(xué)習(xí)制作機(jī)械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點(diǎn)B、C分別在EF、DF上，，，，．求零件的截面面積．參考數(shù)據(jù)：，．【答案】53.76cm2【分析】首先證明，通過(guò)解和，求出AE，BE，CF，BF，再根據(jù)計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，四邊形AEFD為矩形，，∴EF//AB，∵，∴，∵∴在中，．又同理可得，答：零件的截面面積為53.76cm2【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形，通過(guò)解和，求出AE，BE，CF，BF的長(zhǎng)是解答此題的關(guān)鍵．1．（2025·安徽合肥·一模）馬鞍山長(zhǎng)江公鐵大橋是巢馬城際鐵路控制性工程，主橋采用主跨三塔鋼桁梁斜拉橋，總長(zhǎng)3248米，為世界上首座雙主跨超千米的三塔斜拉橋，圖1是正在建設(shè)中的邊塔．如圖2，為了測(cè)量邊塔上的點(diǎn)到的高度，數(shù)學(xué)測(cè)繪社團(tuán)在與塔底同一平面上選取兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)，，使得點(diǎn)，，在同一條直線上，測(cè)得點(diǎn)的仰角，，用米尺測(cè)得，之間的距離為160米，求的高．（參考數(shù)據(jù)：，，．，，．）【答案】的高為210米．【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．設(shè)的高度為x米，在中可得出，在求得，根據(jù)米，列式可求出x的值．【詳解】解：設(shè)建筑物的高度為x米，在中，，，，∴，在中，，，，∴，∵米，∴，即，解得，答：的高為210米．2．（2025·安徽合肥·一模）如圖1為世界上早期的潛望鏡，記載于公元前2世紀(jì)西漢《淮南萬(wàn)畢術(shù)》：中國(guó)古代潛望鏡的制法：“取大鏡高懸，懸水盆于其下，則見(jiàn)四鄰也”，實(shí)現(xiàn)了在院墻內(nèi)監(jiān)測(cè)到墻外人員的實(shí)時(shí)工作狀態(tài)，其工作原理為物理學(xué)中光的反射原理，如圖2為其抽象的數(shù)學(xué)示意圖，點(diǎn)為水盆，點(diǎn)為被觀測(cè)者，現(xiàn)測(cè)得入射角，，與為法線，．若長(zhǎng)為，求長(zhǎng)度（精確到）．參考數(shù)據(jù)：，，，．【答案】【分析】此題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，求出，然后求出，勾股定理求出，然后求出，然后解直角三角形求解即可．【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)E，∵入射角，∴∴∵∴∴∴∵，∴∴∴∴．3．（2025·安徽合肥·一模）如圖1所示，在水平桌面上放置著一盞臺(tái)燈．如圖2，水平桌面記為，臺(tái)燈的底座高度為，支撐架長(zhǎng)度為，連接桿長(zhǎng)度為，且點(diǎn)、、在一條直線上，燈盤(pán)與連接桿垂直，其長(zhǎng)度為．如圖2，當(dāng)連接桿繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，且燈盤(pán)始終與連接桿垂直，求此時(shí)點(diǎn)離桌面的高度．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過(guò)作于，過(guò)作交于，過(guò)作交于，過(guò)作交于，由三角函數(shù)得，，由線段和差得，即可求解；掌握解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過(guò)作于，過(guò)作交于，過(guò)作交于，過(guò)作交于，，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，，在中，，在中，，（），答：此時(shí)點(diǎn)離桌面的高度．4．（2025·安徽合肥·一模）明代徐光啟創(chuàng)作的《農(nóng)政全書(shū)》成書(shū)于萬(wàn)歷年間，基本囊括了中國(guó)明代農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民生活的各個(gè)方面．書(shū)中插圖繪制了古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種采桑工具——桑梯，如圖1，其模型如圖2所示，已知米，，梯子的踏腳點(diǎn)為D，梯腳為點(diǎn)C，且．請(qǐng)求出踏腳點(diǎn)D距地面的高度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：）【答案】踏腳點(diǎn)與地面的高度約為米【分析】本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)，求出，，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，米，，米，∵，，∴，在中，，（米），答：踏腳點(diǎn)與地面的高度約為米．5．（2025·安徽合肥·一模）如圖1是小區(qū)常見(jiàn)的漫步機(jī)，當(dāng)人踩在踏板上，握住扶手，像走路一樣抬腿，就會(huì)帶動(dòng)踏板連桿繞軸旋轉(zhuǎn)，如圖2，從側(cè)面看立柱高，踏板靜止時(shí)踏板連桿與上的線段重合，長(zhǎng)為，當(dāng)踏板連桿繞著點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到處時(shí)，測(cè)得，此時(shí)點(diǎn)C離地面的距離是，求和的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】的長(zhǎng)約為，的長(zhǎng)約為【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，熟練應(yīng)用銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)作于，則四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，設(shè),則．根據(jù)列方程求解即可．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)C作與G，設(shè)．則．在中，即解得答：的長(zhǎng)約為，的長(zhǎng)約為．6．（2025·安徽合肥·一模）在如圖的直角三角形中，我們知道，，，∴．即一個(gè)角的正弦和余弦的平方和為1．(1)請(qǐng)你根據(jù)上面的探索過(guò)程，探究，與之間的關(guān)系；(2)請(qǐng)你利用上面探究的結(jié)論解答下面問(wèn)題：已知為銳角，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用，，，即可得出；（2）利用（1）中結(jié)論，將的分子，分母同時(shí)除以，得，進(jìn)而代入求值即可．本題考查了三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)之間的關(guān)系，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴．（2）解：∵，且，∴．7．（2025·安徽安慶·一模）2025年亞冬會(huì)在哈爾濱舉行．亞布力滑雪場(chǎng)初級(jí)賽道截面圖，如圖所示，平臺(tái)長(zhǎng)10米，滑道長(zhǎng)400米，滑道的坡角，雪場(chǎng)電梯坡角，點(diǎn)、、在同一條直線上．已知，，運(yùn)動(dòng)員滑下后從點(diǎn)走到點(diǎn)的速度為50米/分，坐電梯從到點(diǎn)的速度為100米/分．(1)求雪場(chǎng)電梯的長(zhǎng)度．(2)計(jì)算運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)走到點(diǎn)，再坐電梯從到點(diǎn)，所需的時(shí)間．（，，，，，結(jié)果保留整數(shù)）【答案】(1)224米(2)運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)走到點(diǎn)，再坐電梯從點(diǎn)到點(diǎn)所需時(shí)間大約需要6分鐘【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，解直角三角形得米，由矩形性質(zhì)得，在中，利用直角三角形的性質(zhì)即可得解；（2）在中，解直角三角形得米，由矩形性質(zhì)得，米，在中，解直角三角形得米，米，從而即可得解．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．在中，，，（米）∵四邊形是矩形，∴在中，，，∴（米）（2）解：在中，，，（米）∵四邊形是矩形，∴∴（米）在中∵，∴（米）∴（米）∴所需總時(shí)間為：（分鐘）答：運(yùn)動(dòng)員從點(diǎn)走到點(diǎn)，再坐電梯從點(diǎn)到點(diǎn)所需時(shí)間大約需要6分鐘．8．（19-20九年級(jí)上·北京平谷·期末）某無(wú)人機(jī)興趣小組在操場(chǎng)上開(kāi)展活動(dòng)（如圖），此時(shí)無(wú)人機(jī)在離地面30米的D處，無(wú)人機(jī)測(cè)得操控者A的俯角為，測(cè)得點(diǎn)C處的俯角為．又經(jīng)過(guò)人工測(cè)量操控者A和教學(xué)樓BC距離為57米，求教學(xué)樓BC的高度．（注：點(diǎn)A，B，C，D都在同一平面上．參考數(shù)據(jù)：）【答案】教學(xué)樓BC高約13米【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，由求得米，由米知米，再根據(jù)四邊形是矩形知米．由知米，從而得的長(zhǎng)．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F．∵，∴四邊形是矩形．由題意得，米，米，．在中，，∴．∴米，∵米，∴米，∵四邊形是矩形，∴米．在中，，∴．∴米，∴（米）．答：教學(xué)樓高約13米．9．（2025·安徽宣城·三模）九年級(jí)光學(xué)探究社團(tuán)進(jìn)行一次光的反射實(shí)驗(yàn)，如圖，一束光線先后經(jīng)平面鏡，反射后，反射光線與平行，已知．求的長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：．）【答案】【分析】題目主要考查平行線的性質(zhì)，解三角形的應(yīng)用，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．根據(jù)題意得出，再由各角之間的關(guān)系得出．利用三角形內(nèi)角和定理得出，然后利用正切函數(shù)求解即可．【詳解】解：由題意得，∴．∵，∴．∵，∴．∴．在中，，∵，10．（2025·安徽合肥·二模）小明周末去公園測(cè)量一棵銀杏樹(shù)的高度，從處測(cè)得銀杏樹(shù)頂處的仰角為，接著小明向銀杏樹(shù)方向前進(jìn)了米后到達(dá)點(diǎn)，處有一高為米的高臺(tái)，小明在高臺(tái)處測(cè)得樹(shù)頂?shù)难鼋菫椋阎c(diǎn)在同一水平直線上，且，均垂直于，求這棵銀杏樹(shù)的高．（精確到米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】約為米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得四邊形為矩形，即得米，，設(shè)米，則米，由可得米，即得米，進(jìn)而得米，再解求出即可求解，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形為矩形，米，，設(shè)米，則米，在中，，米，米，米，米，在中，，，，，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，符合題意，米，答：這棵樹(shù)的高約為米．11．（2025·安徽合肥·二模）某古村落的斜坡上有一棵古樹(shù)，斜坡的坡度i為，古樹(shù)底端Q到坡底A點(diǎn)的距離為2.6米．為了保護(hù)這棵古樹(shù)，在距離斜坡底A點(diǎn)4.4米的水平地面上立了一塊古樹(shù)信息牌，古樹(shù)和古樹(shù)信息牌均與地面垂直．某校數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)得當(dāng)太陽(yáng)光線與水平線成角時(shí)，古樹(shù)落在信息牌上的影子長(zhǎng)為3米，請(qǐng)幫助他們計(jì)算出古樹(shù)的高度．（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】古樹(shù)的高度為米【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，解直角三角形，求出的長(zhǎng)，根據(jù)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，由題意，得：，則四邊形為矩形，∴，，在中，∵斜坡的坡度i為，，∴，設(shè)，則：，∴，∴，∴，，∴，在中，由題意，得：，∴，∴；答：古樹(shù)的高度為米．12．（2025·安徽合肥·二模）校車安全一直是社會(huì)關(guān)注的重大問(wèn)題，安全隱患主要是超速和超載，相關(guān)部門(mén)為了檢測(cè)車速，在某路段的紅綠燈處安裝了測(cè)速探頭．如圖，一輛校車在一條筆直的公路上從A處行駛到B處，所用的時(shí)間為，測(cè)速探頭C、E到地面的距離，兩測(cè)速探頭之間的距離．若，，該路段限速．(1)求A、B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：）；(2)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明該校車從從A處行駛到B處是否超速？【答案】(1)(2)沒(méi)有超速【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）分別在和中，根據(jù)正切的定義求出、的長(zhǎng)度，即可求解；（2）根據(jù)速度=路程÷時(shí)間求出該車的速度，即可判斷．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，得四邊形是矩形，∴，在中，，∴，在中，，∴，∴，即A、B兩點(diǎn)之間的距離約為；（2）解：該車速度為，∴該車沒(méi)有超速．13．（2025·安徽合肥·二模）如圖，一船以20海里/時(shí)的速度向西航行，在A處測(cè)得燈塔B在北偏西的方向上，繼續(xù)航行1小時(shí)到達(dá)C處，再測(cè)得燈塔B在北偏西的方向上．已知燈塔B四周15海里內(nèi)有暗礁，問(wèn)該船繼續(xù)向西航行是否安全？【答案】該船繼續(xù)向西航行是安全的【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)B，在和中，利用正切函數(shù)分別求得，，根據(jù)，列式計(jì)算即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)B，設(shè)海里．在中，，在中，，由得，解方程，得．答：該船繼續(xù)向西航行是安全的．14．（2025·安徽合肥·二模）為了保護(hù)小吉的視力，媽媽為他購(gòu)買了可升降夾書(shū)閱讀架（如圖1），將其放置在水平桌面上的側(cè)面示意圖（如圖2），測(cè)得底座高為，，支架為，面板長(zhǎng)為，為．（厚度忽略不計(jì)）(1)求支點(diǎn)C離桌面l的高度；（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）(2)當(dāng)面板繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，面板與桌面的夾角α滿足，當(dāng)面板與桌面的夾角增大時(shí)，E離桌面l的高度也隨之增大，問(wèn)當(dāng)面板繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，E離桌面l最大高度與最小高度的差是多少？（精確到，參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)(2)【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用．把所求線段和所給角放在合適的直角三角形中是解決本題的關(guān)鍵．（1）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，則四邊形是矩形，可得，從而得到，再利用銳角三角函數(shù)，解答即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)E作于點(diǎn)H，則，分別求出所成的角為和時(shí)，的值，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)M，則，∴四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即支點(diǎn)C離桌面l的高度為；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作，過(guò)E作于點(diǎn)H，則，∵，∴，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴，∴當(dāng)面板繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，E離桌面l最大高度與最小高度的差是．15．（2025·安徽安慶·二模）2025年春節(jié)，《哪吒》系列電影上映，是傳統(tǒng)文化的傳承與創(chuàng)新，也加大了文化的輸出與交流，更讓我國(guó)影視業(yè)的綜合實(shí)力邁向一個(gè)更高臺(tái)階．根據(jù)相關(guān)協(xié)會(huì)公布的準(zhǔn)則，為了保證觀影效果，觀眾視線與銀幕水平線之間的仰角不宜超過(guò)．如圖，某電影院的觀眾席成階梯狀，每一級(jí)臺(tái)階的水平寬度都為，垂直高度都為．已知在點(diǎn)和點(diǎn)兩個(gè)位置看屏幕頂端的仰角分別和，請(qǐng)根據(jù)已有數(shù)據(jù)，計(jì)算大銀幕高度．（結(jié)果保留整數(shù)；參考數(shù)據(jù)：，【答案】大銀幕高度大約為6米【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)米，則米．分別求解，，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．設(shè)米，則米．在中，，，∴（米）在中，，（米）由題意得：，即，解得．所以（米）．答：大銀幕高度大約為6米．16．（2025·安徽阜陽(yáng)·二模）為倡導(dǎo)健康綠色出行，市道路運(yùn)輸管理局向市民提供一種公共自行車作為代步工具，如圖1是該自行車的實(shí)物圖，圖2是主體車架結(jié)構(gòu)示意圖，車架座管的長(zhǎng)為，上管與垂直，，后上叉，且，試求上管和后下叉的長(zhǎng)（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：；）．【答案】，【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理，理解題意，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)．算出，結(jié)合勾股定理得，則，代入數(shù)值得，在中，，結(jié)合，解得．則，即可作答．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)．在中，，．．，．在中，，，即．在中，，．，，即．，，解得．，．17．（2025·安徽合肥·三模）如圖，航航和朋友們計(jì)劃在商場(chǎng)A集合后，先去位于西南方向的咖啡廳B，然后沿南偏西方向步行到書(shū)店C，最后前往電影院D．已知電影院D位于書(shū)店C的正東方向，且電影院D在商場(chǎng)A的正南方向．若從咖啡廳B到書(shū)店C的距離為400米，從書(shū)店C到電影院D的距離為700米，求商場(chǎng)A到電影院D的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】商場(chǎng)A到電影院D距離約為780米【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，利用輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．過(guò)B點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，分別解和，求出的長(zhǎng)，再根據(jù)線段的和差關(guān)系求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：過(guò)B點(diǎn)作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，由題意得，，四邊形為矩形，，由題意得，米，米，在中，，（米），（米），（米），（米），在中，，（米），（米）答：商場(chǎng)A到電影院D距離約為780米．18．（2025·安徽合肥·二模）如圖，滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽(yáng)傘的立柱垂直于地面，為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為，為的中點(diǎn)，，，，．根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽(yáng)光線與垂直時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳．若太陽(yáng)光線與地面的夾角為時(shí)，要使遮陽(yáng)效果最佳，求的長(zhǎng)．（結(jié)果精確到；參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】米【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，并解直角三角形．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可得，當(dāng)太陽(yáng)光線與垂直時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳，即，再根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和銳角三角函數(shù)即可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而可得的長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)題意可知：當(dāng)太陽(yáng)光線與垂直時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴．所以的長(zhǎng)約為米．19．（2025·安徽淮北·三模）如圖，兩束光分別沿，方向，經(jīng)過(guò)平面鏡反射后，沿，方向射出，反射后的光線交于點(diǎn)，已知．求的度數(shù)及，兩