第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁高考數(shù)學第一輪復習試卷：計數(shù)原理與概率統(tǒng)計解答題專項練一、計數(shù)原理（本大題共4小題）1．已知的展開式中，第4項和第9項的二項式系數(shù)相等．（1）求展開式中的系數(shù)；（2）設展開式的所有項的系數(shù)和為，展開式的所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為，求．2．某班共有團員14人，其中男團員8人，女團員6人，并且男、女團員各有一名組長，現(xiàn)從中選6人參加學校的團員座談會．（用數(shù)字做答）（1）若至少有1名組長當選，求不同的選法總數(shù)；（2）若至多有3名女團員當選，求不同的選法總數(shù)；（3）若既要有組長當選，又要有女團員當選，求不同的選法總數(shù)．3．有名男生和甲、乙名女生排成一排，求下列情況各有多少種不同的排法？（1）女生甲排在正中間；（2）名女生不相鄰；（3）女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）；（4）名女生中間恰有名男生．4．已知的展開式中第三項的系數(shù)是第二項系數(shù)的2倍．（1）求的值；（2）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（3）求的展開式中含項的系數(shù)（結果用數(shù)值表示）．二、概率（本大題共40小題）5．某校參加夏令營的同學有3名男同學和3名女同學，其所屬年級情況如下表：高一年級高二年級高三三年級男同學女同學現(xiàn)從這6名同學中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）（1）用表中字母寫出這個試驗的樣本空間；（2）設為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學”，寫出事件的樣本點，并求事件發(fā)生的概率.6．某班組織同學開展古詩詞背誦活動，老師要從10篇古詩詞中隨機抽3篇讓學生背誦，規(guī)定至少要背出其中2篇才能過關．某同學只能背誦其中的6篇，試求：（1）抽到他能背誦的古詩詞的數(shù)量的概率分布；（2）他能過關的概率．7．航天員安全返回，中國航天再創(chuàng)輝煌1去年6月4日，當?shù)貢r間6時20分許，神舟十五號載人飛船成功著陸，費俊龍、鄧清明、張陸等航天員安全順利地出艙，身體狀況良好．這標志著神舟十五號載人飛行任務取得了圓滿成功．某學校高一年級利用高考放假期間開展組織1200名學生參加線上航天知識競賽活動，現(xiàn)從中抽取200名學生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）若從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取10人成績，求10人中成績不高于50分的人數(shù)；（2）求的值，并以樣本估計總體，估計該校學生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；（3）由首輪競賽成績確定甲、乙、丙三位同學參加第二輪的復賽，已知甲復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，乙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，丙復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，甲、乙、丙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求三人中至少有兩位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率．8．某公司為了慶祝公司成立二十周年，設計了一個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個套圈，向A，B兩個目標投擲，先向目標A擲一次，套中得40元，沒有套中得0元，再向目標B連續(xù)擲兩次，每套中一次得80元，沒套中得0元，根據(jù)累計金額發(fā)放紅包.已知小胡每投擲一次，套中目標A的概率為，套中目標B的概率為，假設小胡每次投擲的結果相互獨立.（1）求小胡至少套中1次的概率；（2）記小胡的累計金額為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望.9．某高中在一次高一數(shù)學測試后，為了解本次測試的成績情況，在整個年級中隨機抽取了200名學生的數(shù)學成績，成績均在內(nèi)，將成績分為，，，，，共5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求m的值，并估計這200名學生數(shù)學成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（2）從成績在和的學生中，用分層隨機抽樣方法抽取5名學生，再從這5名學生中隨機抽取2名，求這2名學生數(shù)學成績在和內(nèi)各1人的概率．10．隨著現(xiàn)代社會物質生活水平的提高，中學生的零花錢越來越多，消費水平也越來越高，因此滋生了一些不良的攀比現(xiàn)象.某學校為幫助學生培養(yǎng)正確的消費觀念，對該校學生每周零花錢的數(shù)額進行了隨機調查，現(xiàn)將統(tǒng)計數(shù)據(jù)按[0,20),[20,40)，（1）求頻率分布直方圖中a，b的值；（2）估計該校學生每周零花錢的第55百分位數(shù)；（3）若按照各組頻率的比例采用分層隨機抽樣的方法從每周零花錢在[60,120)內(nèi)的人中抽取11人，11．在x2+2xnn?3,n∈N?的展開式中，第1求n；2求展開式中二項式系數(shù)最大的項；3將展開式中所有項重新排列，求有理項不相鄰的概率．12．為弘揚“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化”，某中學在校內(nèi)對全體學生進行了一次檢測，規(guī)定分數(shù)分為優(yōu)秀，為了解學生的測試情況，現(xiàn)從2000名學生中隨機抽取100名學生進行分析，按成績分組，得到如下頻數(shù)分布表．分數(shù)頻數(shù)535302010（1）在圖中作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖；（2）估計這次測試的平均分和中位數(shù)；（3）若利用分層抽樣的方法從樣本中成績不低于70分的學生中抽取6人，再從這6人中任意抽取3人參加這次考試的質量分析會，試求成績在的學生至多有2人被抽到的概率.．13．某寵物醫(yī)院為了解客戶對寵物醫(yī)院服務的滿意程度，醫(yī)院對1000位客戶進行了服務評價調查，滿分為100分.根據(jù)客戶的評分數(shù)據(jù)（評分都在[40，100]之間），將其按照[40，50),[50，60),[60，70),[70，80),[80，90),[90，100]劃分為6組，其頻率分布直方圖如圖所示.（1）求圖中的值，并估算本次服務評價調查的平均得分；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）（2）若寵物醫(yī)院準備對給出高評價（將評分從高到低排序，排在前的視為高評價）的客戶贈送寵物護理禮包，那么獲得寵物護理禮包的客戶評分至少要達到多少分？（3）若通過分層隨機抽樣的方式從“評分最低組”[40，50)和“評分最高組”[90，100]中抽取6人，再從這6人中隨機抽取2位客戶進行回訪，求進行回訪的2人都來自“評分最高組”的概率.14．“你好！我是DeepSeek，很高興見到你！我可以幫你寫代碼，讀文件，寫作各種創(chuàng)意內(nèi)容，請把你的任務交給我吧”，DeepSeek從橫空出世到與我們?nèi)粘Ｏ喟椋蔀槲覀兘鉀Q問題的“好參謀，好助手”，AI大模型正在改變著我們的工作和生活的方式．為了了解不同學歷人群對DeepSeek的使用情況，隨機調查了200人，得到如下數(shù)據(jù)：單位：人學歷使用情況合計經(jīng)常使用不經(jīng)常使用本科及以上6535100本科以下5050100合計11585200（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為DeepSeek的使用情況與學歷有關？（2）某校組織“AI模型”知識競賽，甲、乙兩名選手在決賽階段相遇，決賽階段共有3道題目，甲、乙同時依次作答，3道試題作答完畢后比賽結束.規(guī)定：若對同一道題目，兩人同時答對或答錯，每人得0分；若一人答對另一人答錯，答對的得10分，答錯的得分，比賽結束累加得分為正數(shù)者獲勝，兩人分別獨立答題互不影響，每人每次的答題結果也互不影響，若甲，乙兩名選手正確回答每道題的概率分別為，．（?。┣蟊荣惤Y束后甲獲勝的概率；（ⅱ）求比賽結束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對1道題的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82815．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）（2）若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；（3）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．16．甲、乙投籃比賽，據(jù)以往比賽情況，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，每次投中與否互不影響.（1）若甲、乙各投籃一次，求甲、乙都投中的概率；（2）若甲投籃兩次，乙投籃一次，求甲投中次數(shù)與乙投中次數(shù)相等的概率.17．小林、小張、小陳、小王4位同學參加校園文化知識競賽活動，每位同學只回答一個問題，且小林、小張、小陳、小王答對的概率分別為，，，，每位同學答對與否相互獨立.（1）在小林答對的情況下，求恰有3位同學答對題目的概率；（2）若答對題目得2分，答錯題目得0分，X表示4位同學得分之和，求X的數(shù)學期望.18．某滑雪場開業(yè)當天共有600人滑雪，滑雪服務中心根據(jù)他們的年齡分成，，，，，六個組，現(xiàn)按照分層抽樣的方法選取20人參加有獎活動，這些人的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下圖所示，從左往右分別為一組、二組、三組、四組、五組、六組．（1）求并估計開業(yè)當天所有滑雪的人年齡在有多少人？（2）由頻率分布直方圖估計樣本平均數(shù)和中位數(shù)；（求得數(shù)據(jù)四舍五入保留兩位小數(shù)，同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點數(shù)值代替）（3）在選取的這20人樣本中，從年齡不低于35歲的人中任選兩人參加抽獎活動，求這兩個人來自同一組的概率．19．甲、乙、丙三位同學進行乒乓球比賽，約定賽制如下：比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空，每局比賽的勝者與輪空者進行下一局比賽，負者下一局輪空，直至一人累計勝兩局，此人最終獲勝，比賽結束.已知每局比賽甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為，每局比賽沒有平局，且比賽結果相互獨立.（1）若甲、乙首先比賽，求甲最終獲勝的概率；（2）求乙最終獲勝的概率.20．在春節(jié)聯(lián)歡晚會上進行了機器人團體舞蹈表演，某機構隨機抽取了100名觀眾進行問卷調查，得到了如下數(shù)據(jù)：喜歡不喜歡男性4010女性2525（1）依據(jù)的獨立性檢驗，試分析對機器人表演節(jié)目的喜歡是否與性別有關聯(lián)？（2）從這100名樣本觀眾中任選1名，設事件“選到的觀眾是男性”，事件“選到的觀眾喜歡機器人團體舞蹈表演節(jié)目”，比較和的大小，并解釋其意義.，21．《齊魯文化大會》是山東衛(wèi)視推出的一檔以“齊魯文化”為主題，全民參與的大型文化綜藝節(jié)目，深受人們的喜愛，其中有一個“杏壇論道”的答題環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)規(guī)定：主持人每公布一題，甲乙兩人就立刻搶答，先搶答者，若答對，可得1分；若答錯，則對手得1分，誰先得3分，誰就能在“杏壇論道”環(huán)節(jié)勝出.假設兩人每一次搶到題的概率均為，答對每道題的概率分別為，且兩人答題正確與否互不影響.（1）求“杏壇論道”比賽開始后，甲先得1分的概率；（2）“杏壇論道”比賽進行中，甲乙暫時各得1分，兩人繼續(xù)搶答了X題后“杏壇論道”環(huán)節(jié)結束，求X的分布列及數(shù)學期望；（3）“杏壇論道”比賽開始后，若乙先得2分，則乙獲勝的概率比甲大嗎?請說明理由.22．某品牌女裝專賣店設計摸球抽獎促銷活動，每位顧客只用一個會員號登陸，每次消費都有一次隨機摸球的機會．已知顧客第一次摸球抽中獎品的概率為；從第二次摸球開始，若前一次沒抽中獎品，則這次抽中的概率為，若前一次抽中獎品，則這次抽中的概率為．記該顧客第n次摸球抽中獎品的概率為．（1）求的值，并探究數(shù)列的通項公式；（2）求該顧客第幾次摸球抽中獎品的概率最大，請給出證明過程．23．已知一批產(chǎn)品是由甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的，三人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的30%，40%，30%．已知三人生產(chǎn)產(chǎn)品的次品率分別為5%，4%，3%．1現(xiàn)從這批產(chǎn)品中按等比例分層抽樣抽出10件產(chǎn)品，再從這10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進行檢測，記事件M=“第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的”，N=“第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的產(chǎn)品”，分別求PN,M，P2現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件產(chǎn)品，已知它是次品，求這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率．24．某學校為全面提高學生的語文素養(yǎng)和閱讀水平，構建“書香校園”，特舉辦“課外閱讀知識競賽”，為了調查學生對這次活動的滿意程度，在所有參加“課外閱讀知識競賽”的同學中抽取容量為300的樣本進行調查，并得到如下列聯(lián)表：單位：人滿意程度性別合計男生女生滿意120不滿意150合計200（1）請補全上面的列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為滿意程度與性別有關系；（2）若競賽成績在前20的同學進入決賽環(huán)節(jié)，該環(huán)節(jié)共設置3道試題，且每一道試題必須依次作答，至少答對2道才能進入總決賽，且每人答對這3道試題的概率分別為，，，3道試題答對與否互不影響.（i）用X表示能進入總決賽的人數(shù)，求X的數(shù)學期望；（ii）記有n人進入總決賽的概率為，求取最大值時的值.附：，其中.0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82825．中國是茶的故鄉(xiāng)，茶文化源遠流長，博大精深.某興趣小組，為了了解當?shù)鼐用駥炔璧膽B(tài)度，隨機調查了100人，并將結果整理如下：單位：人年齡段態(tài)度合計不喜歡喝茶喜歡喝茶35歲以上（含35歲）30306035歲以下251540合計5545100（1）依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡有關？（2）以樣本估計總體，用頻率代替概率.該興趣小組在當?shù)叵矚g喝茶的人群中，隨機選出2人參加茶文化藝術節(jié).抽取的2人中，35歲以下的人數(shù)記為，求的分布列與期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82826．隨機數(shù)廣泛應用于數(shù)據(jù)加密、安全通信、金融等領域.計算機中的隨機數(shù)是由算法產(chǎn)生的，其“隨機性”的優(yōu)劣取決于所采用的算法.某工廠計劃生產(chǎn)一種隨機數(shù)發(fā)生器，這種發(fā)生器的顯示屏能顯示1，2，3，4中的一個數(shù)字，每按一次數(shù)字更新按鈕后，顯示屏上的數(shù)字將等可能地更新為另三個數(shù)字中的一個.在試生產(chǎn)階段，采用兩種不同算法，生產(chǎn)出相應算法的甲、乙兩種隨機數(shù)發(fā)生器.為評估兩種算法的優(yōu)劣，從這兩種隨機數(shù)發(fā)生器中隨機抽取150件進行檢驗，得到數(shù)據(jù)餅圖如下：（1）已知這150件發(fā)生器中，乙種發(fā)生器的三級品為2件.在答題卡中填寫列聯(lián)表；依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為甲、乙兩種發(fā)生器的一級品率存在差異?一級品非一級品合計甲乙合計（2）若發(fā)生器顯示屏的初始顯示數(shù)字為1，記按次數(shù)字更新按鈕后得到的數(shù)字為，.（i）求，；（ii）檢測一個發(fā)生器是否為一級品的方案為：每件被測發(fā)生器需進行100輪測試，每輪測試共按10次數(shù)字更新按鈕；表示100輪測試得到“”的頻率，規(guī)定滿足的被測發(fā)生器為一級品.若某件發(fā)生器經(jīng)100輪測試后得到，能否判斷該發(fā)生器為一級品?附：，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82827．在某詩詞大會的“個人追逐賽”環(huán)節(jié)中，參賽選手應從8個不同的題目中隨機抽取3個題目進行作答．已知這8個題目中，選手甲只能正確作答其中的6個，而選手乙正確作答每個題目的概率均為0.8，且甲、乙兩位選手對每個題目作答都是相互獨立的．（1）求選手甲恰好正確作答2個題目的概率；（2）記選手乙正確作答的題目個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學期望；（3）如果在抽取的3個題目中答對2個題目就可以晉級，你認為甲、乙兩位選手誰晉級的可能性更大？請說明理由．28．我們把魚在水中聚集的比較密的地方叫做魚窩.某人在一湖中用粘網(wǎng)（也叫掛網(wǎng)）捕魚，如果找到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為；如果找不到魚窩下網(wǎng)，則捕到魚的概率為.若這個人能夠找到魚窩的概率為.（1）求此人能捕到魚的概率；（2）此人連續(xù)下網(wǎng)次，每次下網(wǎng)捕魚之間相互獨立，若能捕到魚的次數(shù)為，則為何值時，次捕到魚的概率的值最大?29．一般地，任何一個復數(shù)a+bi(a,b∈R)都可以寫成r(cosθ+isinθ)，其中r是復數(shù)的模，θ是以x軸非負半軸為始邊，射線OZ為終邊的角，稱為復數(shù)的輻角.我們規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角稱為輻角主值，通常記作argz，如arg1=0，argi=π2，arg(1+3i)=π3.發(fā)現(xiàn)z（1）寫出一次操作后所有可能的復數(shù)；（2）當n=2，記|zn|的取值為X（3）求zn2為實數(shù)的概率30．甲、乙兩人進行一場網(wǎng)球比賽，比賽采用三局兩勝制，每局都沒有平局，且甲第一局獲勝的概率為.從第二局開始，若上一局甲獲勝，則下一局甲獲勝的概率為，若上一局甲未獲勝，則下一局甲獲勝的概率為.（1）當時，求甲第二局獲勝的概率.（2）設甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為.①求；②記這場比賽需要進行的局數(shù)為，求的分布列與期望.31．小華、小明、小紅三人為某比賽制定了如下規(guī)則：先確定挑戰(zhàn)權，挑戰(zhàn)權屬于某人時，該人可挑戰(zhàn)另外兩人.經(jīng)商定，小華首先獲得挑戰(zhàn)權，他挑戰(zhàn)小明、小紅的概率均為.若他挑戰(zhàn)小明，下一次的挑戰(zhàn)權即屬于小明，且小明再挑戰(zhàn)小華、小紅的概率分別為；若他挑戰(zhàn)小紅，下一次的挑戰(zhàn)權即屬于小紅，且小紅再挑戰(zhàn)小華、小明的概率分別為.（1）經(jīng)過3次挑戰(zhàn)后，小華已使用的挑戰(zhàn)權次數(shù)記為，求的分布列及數(shù)學期望；（2）若經(jīng)過次挑戰(zhàn)后，挑戰(zhàn)權屬于小華、小明、小紅分別記為事件.（ⅰ）證明：；（ⅱ）求事件發(fā)生的概率.32．某同學參加趣味答題比賽，規(guī)則如下：第1次答題時，若答對則得2分，否則得1分；從第2次答題開始，若答對則獲得上一次答題得分的2倍，否則得1分，該同學每次答對的概率都為，答錯的概率都為，且每次答對與否相互獨立.記第次答題得分為.（1）求；（2）求（）的分布列和期望；（3）在游戲開始前，該同學有兩個選擇，①從第2次開始，若第次得分剛好為時，則該同學獲得勝利，游戲結束.②從第1次開始，若第次得分剛好為時，則該同學獲得勝利，游戲結束.已知共有4次答題環(huán)節(jié)，求該同學選擇哪個方案獲得勝利的概率更大.33．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列，由所有項數(shù)列組成集合.（1）若是12項0數(shù)列，當且僅當時，，求數(shù)列的所有項的和；（2）從集合中任意取出兩個數(shù)列，記.①求隨機變量的分布列，并證明：；②若用某軟件產(chǎn)生項數(shù)列，記事件“第一次產(chǎn)生數(shù)字1”，“第二次產(chǎn)生數(shù)字1”，且.若，比較與的大小.34．某學校舉行知識競賽，第一輪選拔共設有A，B，C，D四個問題，規(guī)則如下：①每位參加者計分器的初始分均為10分，答對問題A，B，C，D分別加1分，2分，3分，6分，答錯任一題減2分；②每回答一題，計分器顯示累計分數(shù)，當累計分數(shù)小于8分時，答題結束，淘汰出局；當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；當答完四題，累計分數(shù)仍不足14分時，答題結束，淘汰出局，當累計分數(shù)大于或等于14分時，答題結束，進入下一輪；③每位參加者按問題A，B，C，D順序作答，直至答題結束．假設甲同學對問題A，B，C，D回答正確的概率依次為，，，，且各題回答正確與否相互之間沒有影響．（1）求甲同學能進入下一輪的概率；（2）用ξ表示甲同學本輪答題結束時答題的個數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)．35．袋中裝有質地均勻、大小相同的紅球和白球共10個．現(xiàn)進行摸球游戲．（1）若采取有放回的方式從袋中每次摸出1個球，共摸球兩次，至少有一次摸出白球的概率是．求袋中紅球的個數(shù)；（2）已知袋中有紅球5個，從袋中每次摸出1個球，若是紅球則放回袋中，若是白球則不放回袋中，求摸球三次共取出兩個白球的概率；（3）若采取不放回的方式從袋中每次摸出1個球，若連續(xù)兩次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直至第六次摸球后結束．若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中紅球個數(shù)的所有可能取值．36．飛行棋是大家熟悉的棋類游戲，玩家通過投擲骰子來決定飛機起飛與飛行的步數(shù).當且僅當玩家投擲出點時，飛機才能起飛.并且擲得點的游戲者可以連續(xù)投擲骰子，直至顯示點數(shù)不是點.飛機起飛后，飛行步數(shù)即骰子向上的點數(shù).（1）求甲玩家第一輪投擲中，投鄭次數(shù)的均值）（2）對于兩個離散型隨機變量、，我們將其可能出現(xiàn)的結果作為一個有序數(shù)對，類似于離散型隨機變量的分布列，我們可以用如下表格來表示這個有序數(shù)對的概率分布：（記，）若已知，則事件的條件概率為.可以發(fā)現(xiàn)依然是一個隨機變量，可以對其求期望.（?。┥鲜銎谕琅f是一個隨機變量（取值不同時，期望也不同），不妨記為，求；（ⅱ）若修改游戲規(guī)則，需連續(xù)擲出兩次點飛機才能起飛，記表示“甲第一次未能擲出6點”，表示“甲第一次擲出點且第二次未能擲出點”，表示“甲第一次第二次均擲出點”，為甲首次使得飛機起飛時拋擲骰子的次數(shù)，求.37．乒乓球臺面被球網(wǎng)分成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在上記3分，在上記1分，其它情況記0分.對落點在上的來球，隊員小明回球的落點在上的概率為，在上的概率為；對落點在上的來球，小明回球的落點在上的概率為，在上的概率為.假設共有兩次來球且落在上各一次，小明的兩次回球互不影響.求：（Ⅰ）小明的兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；（Ⅱ）兩次回球結束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學期望.38．某學校有甲、乙兩家餐廳，對于學生的午餐就餐情況根據(jù)以往的統(tǒng)計調研分析可以得出如下結論：前一天選擇甲餐廳就餐的同學第二天選擇甲餐廳就餐的概率是，選擇乙餐廳就餐的概率為﹔前一天選擇乙餐廳就餐的同學第二天選擇甲餐廳就餐的概率是，選擇乙餐廳就餐的概率為，如此往復．假設所有同學開學第一天中午等可能隨機選擇一家餐廳就餐．（1）第一天中午某班3位同學去餐廳就餐，求這3位同學中至少有1位同學去甲餐廳就餐的概率；（2）求w同學與s同學第二天中午在同一餐廳就餐的概率；（3）假設該學校有2000名學生，試估計一星期后中午在甲餐廳就餐的學生人數(shù)．39．某商店舉行促銷抽獎活動，在一個不透明袋子中放有6個大小質地完全相同的球，其中（）個為紅球，其余均為白球，現(xiàn)從中不放回地依次隨機摸出2個球，若取到的兩個球同色，則稱為中獎，可以領取一張優(yōu)惠券；若取到的兩個球不同色，則稱為不中獎．一次抽獎結束后，取出的球放回袋子中，供下一位顧客抽獎（每位顧客只有一次抽獎機會）．（1）若，求一次抽獎中獎的概率；（2）若要求一次抽獎中獎的概率最小．（?。┣螅唬áⅲ┣髢晌活櫩统楠勚辽儆幸晃活櫩椭歇劦母怕剩?0．某人工智能芯片需經(jīng)過兩道獨立的性能測試.首次測試（測試I）通過率為，末通過測試I的芯片進入第二次測試（測試II），通過率為.通過任意一次測試即為合格芯片，否則報廢.（1）若某批次生產(chǎn)了n枚芯片，合格數(shù)為隨機變量X.當，時，求X的期望與方差；（2）已知一枚芯片合格，求其是通過測試I的概率；（3）為估計（2）中的，工廠隨機抽取m枚合格芯片，其中k枚為通過測試I.記.若要使得總能不超過0.1，試根據(jù)參考內(nèi)容估計最小樣本量.參考內(nèi)容：設隨機變量X的期望為，方差為，則對任意，均有.41．體育是培養(yǎng)學生高尚人格的重要途徑之一．足球作為一項團隊運動項目，深受學生喜愛，為了解學生喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了100名學生作為樣本，統(tǒng)計得到如下的列聯(lián)表：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男生40女生25合計100已知從這100名學生樣本中隨機抽取1個，抽到喜愛足球運動的學生的概率為．（1）求；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，判斷學生喜愛足球運動是否與性別有關？（3）用樣本分布的頻率估計總體分布的概率，現(xiàn)在從喜愛足球運動的學生中隨機抽取30名，記其中男生的人數(shù)為，求使事件“”概率最大的的值．附：，42．在數(shù)字通信中，信號是由0和1組成的序列．由于隨機因素的干擾，發(fā)送的信號0或1有可能被錯誤地接收為1或0．已知發(fā)送信號0時，接收為0和1的概率分別為和（）；發(fā)送信號1時，接收為1和0的概率分別為和（）．假設發(fā)送信號0和1是等可能的．（1）若，現(xiàn)發(fā)送信號3次，記其中接收為正確信號的次數(shù)為，求的數(shù)學期望和方差；（2）隨機變量的分布列為，記事件（）發(fā)生后給我們的信息量為，則稱（）為的信息熵．設發(fā)送信號1次，接收為正確信號的次數(shù)為，求的信息熵的最大值；（3）若，發(fā)送信號次，設為出現(xiàn)0的總次數(shù)，為第次出現(xiàn)1的次數(shù)（0或1次），記表示發(fā)送信號次，0恰好出現(xiàn)次且第次出現(xiàn)1的次數(shù)為的概率，如時，．對于隨機變量，記其合并熵為，且．證明：當時，．43．甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.設從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，經(jīng)過次這樣的操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為.（1）寫出的分布列并計算；（2）某人重復進行了100次操作，記，，求該數(shù)列的前100項和的最大值；（3）定性分析當交換次數(shù)趨向于無窮時，趨向的值.44．2025年5月下旬，為全面掌握學生學業(yè)水平，科學制定備考策略，某科研組織精心組織了一次針對高二年級的全市聯(lián)合考試，研究發(fā)現(xiàn)，本次檢測的數(shù)學成績近似服從正態(tài)分布.（1）按以往的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，數(shù)學成績能達到特殊招生分數(shù)線要求的同學約占46%，據(jù)此估計本次檢測成績達到特殊招生分數(shù)線的數(shù)學成績大約是多少分?（精確到個位）（說明：表示的概率，用來將非標準正態(tài)分布化為標準正態(tài)分布，即，從而利用標準正態(tài)分布表，求時的概率，這里.相應于值是指總體取值小于概率，即.參考數(shù)據(jù)：，）.（2）在統(tǒng)計調查中，問卷的設計是一門很大的學問，特別是對一些敏感性問題.例如學生在考試中有無作弊現(xiàn)象，社會上的偷稅漏稅等，更要精心設計問卷，設法消除被調查者的顧慮，使他們能夠如實回答問題，否則被調查者往往會拒絕回答，或不提供真實情況，為了調查早戀現(xiàn)象對數(shù)學測試成績的影響，隨機抽出300名學生，調查中使用了兩個問題.①你的學籍號的最后一位數(shù)是奇數(shù)（學籍號的后四位是序號）；②你是否有早戀現(xiàn)象，讓被調查者從裝有4個紅球，6個黑球（除顏色外完全相同）的袋子中隨機摸取兩個球，摸到兩球同色的學生如實回答第一個問題，摸到兩球異色的學生如實回答第二個問題，回答“是”的人往一個盒子中放一個小石子，回答“否”的人什么都不放，后來在盒子中收到了78個小石子.你能否估算出中學生早戀人數(shù)的百分比?（3）有一天，柏拉圖問蘇格拉底：“什么是愛情？”蘇格拉底微笑著讓他去麥田里摘一株最大最好的麥穗回來，并且規(guī)定只能摘一次，而且只能往前走，不能回頭.柏拉圖充滿信心地走進麥田，可過了很久他卻垂頭喪氣地空手而歸.他對蘇格拉底說：“很難得看見一株不錯的，卻不知道是不是最好的，因為只可以摘一株，無奈只好放棄；于是，再往前走，看看有沒有更好的，可是我越往前走，越發(fā)覺不如以前見到的好，所以我沒有摘；當已經(jīng)走到盡頭時，才發(fā)覺原來最大的最飽滿的麥穗早已錯過了，只好空手而歸.”這時，蘇格拉底意味深長地說：“這就是‘愛情’.”為了擺脫“麥穗困境”，找到最優(yōu)伴侶，龍龍同學準備采用“前半觀察，后半選擇”的策略，即：前次心動不行動，自第次心動開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過所有的都優(yōu)秀，就大膽行動，否則就在第20次心動再行動.為了使龍龍選擇到最優(yōu)伴侶的概率最大，求的取值.（以下可能會用到：，）三、統(tǒng)計（本大題共13小題）45．黃山雄踞風景秀麗的安徽南部，是我國最著名的山岳風景區(qū)之一．為更好地提升旅游品質，黃山風景區(qū)的工作人員隨機選擇100名游客對景區(qū)進行滿意度評分（滿分100分），根據(jù)這100名游客的評分，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值；并估計這100名游客對景區(qū)滿意度評分的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值做代表）；（2）景區(qū)的工作人員采用按比例分層抽樣的方法從評分在、的兩組中共抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行個別交流，求選取的2人評分分別在和內(nèi)各1人的概率．46．某校2021年高一年級共有1000名學生，現(xiàn)對高一年級上學期期中考試數(shù)學成績（單位：分）進行分析，隨機抽取100名學生，將分數(shù)按照，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：（1）求a的值，并估計該校2021年高一上學期期中考試數(shù)學成績在的人數(shù)；（2）估計該校高一上學期期中考試數(shù)學成績的第80百分位數(shù).47．黔西一中為了提高學生對“黔西一中校史”的了解，舉辦了“知史愛校守初心”的知識競賽活動，現(xiàn)從所有競答試卷的卷面成績中隨機抽取100份作為樣本數(shù)據(jù)，將樣本答卷中分數(shù)x（）的整數(shù)分成六段：，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求樣本數(shù)據(jù)的第59百分位數(shù)；（3）已知樣本數(shù)據(jù)落在的平均數(shù)是52，方差是6；落在的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和總方差.48．為研究某疾病與超聲波檢查結果的關系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000（1）記超聲波檢查結果不正常者患該疾病的概率為p，求p的估計值；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結果是否與患該疾病有關.附，0.0500.0100.0013.8416.63510.82849．在五一假期中，某校組織全校學生開展了社會實踐活動，抽樣調查了其中的100名學生，統(tǒng)計他們參加社會實踐活動的時間（單位：小時），并將統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制成如圖的頻率分布直方圖.另外，根據(jù)參加社會實踐活動的時間從長到短按的比例分別被評為優(yōu)秀、良好、合格.

（1）求的值并估計該學校學生在這個五一假期中參加社會實踐活動的時間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作為代表）；（2）試估計至少參加多少小時的社會實踐活動，方可被評為優(yōu)秀.（結果保留兩位小數(shù)）.（3）根據(jù)社會實踐活動的成績，按分層抽樣的方式抽取5名學生.從這5名學生中，任選3人，求這3名學生成績各不相同的概率.50．某學校為提高學生對《紅樓夢》的了解，舉辦了“我知紅樓”知識競賽，現(xiàn)從所有答卷卷面成績中隨機抽取100份作為樣本，將樣本數(shù)據(jù)（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，，…，，并作出如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值.（2）求樣本數(shù)據(jù)的第62百分位數(shù).（3）已知樣本數(shù)據(jù)落在的平均數(shù)是52，方差是6；落在的平均數(shù)是64，方差是3.求這兩組數(shù)據(jù)的總平均數(shù)和總方差.51．自2022年動工至今，我市的“靚淮河”工程已初具規(guī)模．該工程以“一川清?兩灘靚?三脈通?十景紅”為總體布局，以生態(tài)修復與保護為核心理念，最終將促進城市防洪?交通?航運?生態(tài)?觀光?商業(yè)等多種業(yè)態(tài)協(xié)同融合發(fā)展．為調查我市居民對“靚淮河”工程的滿意程度，隨機抽取了200位市民，現(xiàn)擬統(tǒng)計參與調查的市民年齡層次，將這200人按年齡（歲）分為5組，依次為，并得到頻率分布直方圖如下．

（1）求實數(shù)的值；（2）估計這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；（3）估計這200人年齡的中位數(shù)（精確到小數(shù)點后1位）．52．某學校為了解入學新生的身高情況，隨機抽取了50名新生，測得他們的身高（單位：），并分成以下5組：，，，，，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）補全頻率分布直方圖，并求出樣本中學生身高的中位數(shù)；（保留小數(shù)點后兩位）（2）該學校體育教研室為了解身高是否在一定的范圍內(nèi)與參加彈跳運動時長有關，調研得到以下5組數(shù)據(jù)：參加彈跳運動時長（單位：年）12345身高（單位：）158162166170184表中的數(shù)據(jù)顯示，與之間存在線性相關關系，試求出關于的回歸方程.附：回歸直線中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.53．（13分）為研究某疾病與超聲波檢查結果的關系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000（1）記超聲波檢查結果不正常者患該疾病的概率為p，求p的估計值；（2）根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗，附：χ2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.828.54．某市疾控中心為研究青少年每日使用電子產(chǎn)品的時長與近視的關系，隨機抽取了400名學生進行調查，將數(shù)據(jù)整理后得到如下列聯(lián)表：近視學生非近視學生合計每天使用時長不低于2小時105250每天使用時長低于2小時合計175400（1）完善列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為“學生近視”與“每天使用電子產(chǎn)品的時長是否低于2小時”有關聯(lián)？（2）按每天使用電子產(chǎn)品的時長是否低于2小時，利用分層隨機抽樣的方法從非近視的學生中抽取15人進一步調查其用眼衛(wèi)生情況，再從這15人中隨機抽取5人，記為所抽5人中每天使用電子產(chǎn)品不低于2小時的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．參考公式：，其中，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82855．根據(jù)統(tǒng)計，某蔬菜基地西紅柿畝產(chǎn)量的增加量y（百千克）與某種液體肥料每畝的使用量x（千克）之間的對應數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示.（1）從散點圖可以看出，可用直線擬合y與x的關系，請計算樣本相關系數(shù)并加以說明（若，則線性相關程度很高，可用直線擬合）；（2）求y關于x的線性回歸方程，并預測液體肥料每畝的使用量為12千克時西紅柿畝產(chǎn)量的增加量.56．（13分）為考察某種藥物A對預防疾病B的效果,進行了動物（單位:只）試驗,得到如下列聯(lián)表:藥物疾病合計未患病患病未服用10080s服用15070220合計250t400（1）求s,t；（2）記未服用藥物A的動物患疾病B的概率為p,給出p的估計值；（3）根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,能否認為藥物A對預防疾病B附:χ2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.82857．某公司為了解員工對食堂的滿意程度，隨機抽取了200名員工做了一次問卷調查，要求員工對食堂的滿意程度進行打分，所得分數(shù)均在[40，100]內(nèi)，將所得數(shù)據(jù)分成6組：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求a的值，并估計這200名員工所得分數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）和中位數(shù)（精確到0.1）；（2）現(xiàn)從[70，80），[80，90），[90，100]這三組中用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取24人，求[70，80）這組中抽取的人數(shù)．

參考答案1．【答案】（1）－1320；（2）1023.【詳解】（1）∵第4項和第9項的二項式系數(shù)相等，∴，則，展開式通項公式是，，令，解得，∴x的系數(shù)為；（2）在中令得，即為所有項的系數(shù)和，展開式的所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)和為，∴．【易錯警示】解答此類問題應掌握(a＋b)n的展開式中各項的二項式系數(shù)的和為2n，且奇數(shù)項二項式系數(shù)和與偶數(shù)項二項式系數(shù)和都等于2n-1.2．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）方法一：至少有一名組長含有兩種情況：有一名組長和兩名組長，故共有種．方法二：至少有一名組長可以采用排除法，有種．（2）至多有3名女團員含有四種情況：有3名女團員，有2名女團員，有1名女團員，沒有女團員，故共有種．（3）既要有組長當選，又要有女團員當選含兩類情況：第一類：女組長當選，有種；第二類：女組長不當選，男組長當選，從剩余7名男團員，5名女團員中選5人，其中至少選擇1名女團員，有種．故共有種．3．【答案】（1）種；（2）種；（3）種；（4）種【詳解】（1）女生甲排在正中間，其余人有種排法，因此不同的排法有（種）.（2）將名男生排成一排，有種排法，2名女生可以在相鄰兩個男生之間和兩端共6個位置中選出2個位置排，有種排法，因此不同的排法有（種）.（3）對7名學生全排列有種排法，因此不同的排法有（種）.（4）選1名男生排在2名女生中間，有種排法，將3人看成1個元素與4名男生共5個元素排成一排，有種排法，又因為2名女生有種排法，所以不同的排法有（種）.4．【答案】（1）；（2）和；（3）219.【詳解】（1）的展開式的通項為，因為第三項的系數(shù)是第二項系數(shù)的2倍，，解得，因為，所以；（2）由知展開式共有10項，二項式系數(shù)最大的項為第5項和第6項，由（1）知第5項為，第6項為，所以二項式系數(shù)最大的項為和；（3）由（1）知展開式中的系數(shù)為，所以展開式中含項的系數(shù)為219.5．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；.【詳解】（1）這個試驗的樣本空間為：.（2）選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學和1名女同學的所有可能結果為；，，，，，共6種，因此事件發(fā)生的概率.6．【答案】（1）見詳解；（2）．【詳解】（1）解：記抽到他會背誦的古詩詞的數(shù)量為X，則X的所有可能取值為0，1，2，3，且X服從超幾何分布，所以，．所以，，，，.X的概率分布列為X0123p（2）解：他能過關的概率為．7．【答案】（1）4（2）平均數(shù)為，中位數(shù)為（3）【詳解】（1）因為抽取的200名學生中,不高于50分的人數(shù)為（人），50分到60分的人數(shù)為（人），所以從成績不高于60分的同學中按分層抽樣方法抽取10人的成績，不高于50分的人數(shù)為（人）.（2）由，解得，平均數(shù)，因為成績不高于70分的頻率為，成績不高于80分的頻率為，所以中位數(shù)位于內(nèi)，則中位數(shù)為.（3）三人中至少有兩位同學復賽獲優(yōu)秀等級的概率為，.8．【答案】（1）；（2）分布列見詳解，.【詳解】（1）記“小胡至少套中1次”為事件，所以，即小胡至少套中1次的概率為.（2）由題意可知X的所有可能取值為0，40，80，120，160，200，所以，，，，，，所以X的分布列為：X04080120160200P所以.9．【答案】（1），79.5（2）【詳解】（1）由題意知，解得．估計這200名學生成績的平均數(shù)．（2）由，得這5人中成績在的人數(shù)為2，分別記為a，b；在的人數(shù)為3人，分別記為c，d，e．在這5人中抽取2人，共ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，10個基本事件，這2名學生成績在和內(nèi)各1人，共ac，ad，ae，bc，bd，be，6個基本事件，故這2名學生數(shù)學成績在和內(nèi)各1人的概率為．10．【答案】見詳解【詳解】（1）【解】a+0.0125又a=3b，所以a=（2）【解】前3組的頻率和為0.002前4組的頻率和為(0.002∴第55百分位數(shù)位于第4組[60,∴估計第55百分位數(shù)為60+（3）【解】[60,80),[80,100)，比例為6:則從[100,12011．【答案】解：1x2+2xnn?3,n∈N?的展開式中，第2，3，根據(jù)題意得：2C即2×n化簡，得n2解得：n=2(舍去)，n=72由n=7可知，二項式系數(shù)最大的項為中間兩項，即第4項和第5項，x2+Tr+1當r=3時，T4當r=4時，T5即展開式中二項式系數(shù)最大的項為280x1323由通項公式Tr+1=當r=0，2，4，6時，x的指數(shù)為整數(shù)，即展開式的第1，3，5，7項為有理項，共4項;展開式共有8項，先排無理項，有A44種排法，無理項排好后形成5從5個空中選4個排有理項，有A54種排法，而8項全排列有A8所以有理項不相鄰的概率P=A12．【答案】（1）見詳解；（2）74.5；（3）.【詳解】（1）如圖所示（2）55×0.005×10+65×0.035×10+75×0.030×10+85×0.020×10+95×0.010×10＝2.75+22.75+22.5+17+9.5＝74.5，估計這次測試的平均分為74.5分，由直方圖可知，中位數(shù)左邊和右邊的面積相等，均為，設中位數(shù)在70—80之間的寬度為，則有0.005×10+0.035×10+0.030＝0.5，整理得0.4+0.03＝0.5，所以＝，，估計這次測試的中位數(shù)為．（3）根據(jù)題意從[70，80）抽取3人，[80，90）抽取2人，[90，100]抽取1人，從中任意抽取3人：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20種，其中的學生3人都被抽到的有共1種，所以成績在的學生至多有2人被抽到的概率.13．【答案】（1），71分；（2）88分；（3）.【詳解】（1）由，解得；，所以本次服務評價調查的平均得分為71分；（2）設獲得寵物護理禮包的客戶評分至少要達到分，因為，對應的頻率分別為，所以排在前的高評價客戶應在區(qū)間內(nèi)，所以，解得，故獲得寵物護理禮包的客戶評分至少要達到88分；（3）設在“評分最高組”和“評分最低組”抽取的人數(shù)分別為，所以.所以由分層隨機抽樣在“評分最高組”中抽取4人，在“評分最低組”中抽取2人.設“評分最高組”中的4人分別用表示；“評分最低組”中的2人分別為表示.從中抽取兩人進行回訪的所有結果為共15種.進行回訪的兩人均來自“評分最高組”的所有結果為共6種，故進行回訪的兩人都來自“評分最高組”的概率為.14．【答案】（1）認為DeepSeek的使用情況與學歷無關（2）（?。?；（ⅱ）【詳解】（1）零假設為：DeepSeek的使用情況與學歷無關，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，即認為DeepSeek的使用情況與學歷無關；（2）（?。┊敿?，乙同時回答第道題時，甲得分為，，，，比賽結束甲獲勝時的得分可能的取值為10，20，30，則，，，所以比賽結束后甲獲勝的概率；（ⅱ）設“比賽結束后甲獲勝”，“比賽結束時乙恰好答對一道題”，，則，所以比賽結束后甲獲勝的條件下，乙恰好回答對1道題的概率為．15．【答案】（1）（2）（3）分布列見詳解；期望為【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：．（2）由題意知，即，所以．（3）由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.16．【答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意可得，甲乙投籃為獨立事件，所以甲、乙各投籃一次，求甲、乙都投中的概率.（2）分中零次和一次，即.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）小張、小陳、小王答對題目分別記為事件，小張、小陳、小王三人中恰有兩人答對題目記為事件，，故在小林答對的情況下，求恰有3位同學答對題目的概率為，（2）設表示第位同學的得分，分別對應小林，小張，小陳，小王），則，由數(shù)學期望的性質可知，對于，答對得2分，答錯得0分，服從兩點分布，；；則.18．【答案】（1），（2），（3）【詳解】（1）由題意可得：，則，所以估計開業(yè)當天滑雪的人年齡在內(nèi)有人.（2）由題意可得：，又因為，可知，則解得：.（3）中的人數(shù)：，分別記為；中的人數(shù)：，分別記為中的人數(shù)：，記為則任選兩人的情況有，共種，其中來自同一組有，共種，所以兩個人來自同一組的概率為.19．【答案】（1）（2）【詳解】（1）甲最終獲勝包含以下情況：第一種情況是甲第一局和第二局比賽都獲勝，其概率為；第二種情況是甲第一局和第四局比賽獲勝，其概率為；第三種情況是甲第三局和第四局比賽獲勝，其概率是.故甲、乙首先比賽，甲最終獲勝的概率；（2）①若甲、乙首先比賽，則乙最終獲勝有三種情況：甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽乙勝，概率為；甲、乙比賽甲勝，甲、丙比賽丙勝，乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽乙勝，概率為；甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽丙勝，甲、丙比賽甲勝，甲、乙比賽乙勝，概率為.故甲、乙首先比賽，乙最終獲勝的概率.②若甲、丙首先比賽，則乙最終獲勝有兩種情況：甲、丙比賽甲勝，甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽乙勝，概率為；甲、丙比賽丙勝，乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽乙勝，概率為.故甲、丙首先比賽，乙最終獲勝的概率.③若乙、丙首先比賽，則乙最終獲勝有三種情況：乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽乙勝，概率為；乙、丙比賽乙勝，甲、乙比賽甲勝，甲、丙比賽丙勝，乙、丙比賽乙勝，概率為；乙、丙比賽丙勝，甲、丙比賽甲勝，甲、乙比賽乙勝，乙、丙比賽乙勝，概率為.故乙、丙首先比賽，乙最終獲勝的概率.故乙最終獲勝的概率.20．【答案】（1）有關聯(lián)（2），意義見詳解【詳解】（1）補全列聯(lián)表如下：喜歡不喜歡合計男性401050女性252550合計6535100零假設：對機器人表演節(jié)目的喜歡與性別無關聯(lián)，則，依據(jù)的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為對機器人表演節(jié)目的喜歡與性別有關聯(lián)；（2）由題意可知，，，所以，其意義為該樣本中男性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡的概率比女性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡概率大；或者男性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡的人數(shù)比女性對機器人團體舞蹈表演節(jié)目喜歡多等等21．【答案】（1）；（2）分布列見詳解，；（3）乙獲勝的概率比甲大，理由見詳解【詳解】（1）設事件“甲搶到題”，“甲答對題目”，“甲答錯題目”，“乙搶到題”，“乙答對題目”，“乙答錯題目”，“甲得1分”，則.（2）繼續(xù)進行的比賽為獨立重復試驗，且由（1）知甲得1分的概率為，乙得1分的概率為.隨機變量的所有可能取值為，，.故的分布列為23數(shù)學期望為.（3）乙獲勝的概率比甲大，理由如下.乙先得2分的情況下，若甲獲勝，則甲連得三分，其概率是，從而乙獲勝的概率是.因為，所以乙獲勝的概率比甲大.22．【答案】（1），（2）第二次，見詳解【詳解】（1）記該顧客第次摸球抽中獎品為事件A，依題意，，．因為，，，所以，所以，所以，又因為，則，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故．（2）證明：當n為奇數(shù)時，，當n為偶數(shù)時，，則隨著n的增大而減小，所以，．綜上，該顧客第二次摸球抽中獎品的概率最大．23．【答案】解：1因為甲、乙、丙三名工人生產(chǎn)的產(chǎn)品分別占總產(chǎn)量的30%、40%、30%，所以按等比例分層抽樣抽出10件產(chǎn)品，則從甲、乙、丙三人生產(chǎn)的產(chǎn)品中抽取的數(shù)量分別是：10×30％=3、10×40％=4、10×30％=3．因為從抽取的10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進行檢測，所有的取法有C10而第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的，第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有C4所以PMN因為從抽取的10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進行檢測，所有的取法有C10所以第一次取出的產(chǎn)品是乙生產(chǎn)的所有的取法有C4因此PM=4×910×9因為從抽取的10件產(chǎn)品中不放回地任取兩件進行檢測，所有的取法有C10而第一次、第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有C3第一次取出的產(chǎn)品不是甲生產(chǎn)的，第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有C7所以第二次抽出的產(chǎn)品是甲生產(chǎn)的所有的取法有3×2+7×3，因此PN=3×2+7×310×92設A1、A2、A3分別表示產(chǎn)品是由甲、乙、丙生產(chǎn)的，B因此PA1=0.3、PPB|A1=0.05、所以PB=0.3×0.05+0.4×0.04+0.3×0.03=0.04，因此PA即這件產(chǎn)品是由丙生產(chǎn)的概率為94024．【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，推斷犯錯誤的概率不大于0.001（2）（i）；（ii）12【詳解】（1）列聯(lián)表如下：單位：人滿意程度性別合計男生女生滿意12030150不滿意8070150合計200100300零假設為：滿意程度與性別無關，，所以依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即能認為滿意程度與性別有關系，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.（2）（i）依題意，設“答對第道題”；“某同學進入總決賽”，則，，，所以，依題意，，所以；（ii）依題意，，，若最大，則，解得，因為，所以，所以取最大值時的值為12.25．【答案】（1）不能（2）分布列見詳解，【詳解】（1）零假設為：該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得.根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，沒有充分證據(jù)推斷不成立，因此可以認為成立，據(jù)此推斷該地居民喜歡喝茶與年齡沒有關系.（2）由題意可知，的取值可能為.則.所以的分布列為012所以的期望為.26．【答案】（1）列聯(lián)表見詳解，存在差異（2）（i），；（ii）該發(fā)生器為一級品【詳解】（1）根據(jù)題意可得列聯(lián)表：一級品非一級品合計甲262450乙7030100合計9654150零假設為：甲、乙兩批發(fā)生器的一級品率沒有差異.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，所以可以認為甲、乙兩批發(fā)生器的一級品率存在差異，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.（2）（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，由全概率公式，得.（ii）由全概率公式，得，所以，即，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即.所以.因為，所以該發(fā)生器為一級品.解法二：（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為2”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為3”，“按次按鈕后顯示的數(shù)字為4”，則，且，，，兩兩互斥.依據(jù)題意得，，.由全概率公式，得.（ii）所以，即，且，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列.所以，即.所以.因為，所以該發(fā)生器為一級品.解法三：（i）依題意可得.記“按次按鈕后顯示的數(shù)字為1”，由全概率公式，得..因為，所以該發(fā)生器為一級品.27．【答案】（1）（2）分布列見詳解，（3）選手乙，理由見詳解【詳解】（1）設事件A為“選手甲正確作答2個題目”，則．故選手甲恰好正確作答2個題目的概率為．（2）由題意得，，X的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，，，∴X的分布列為X0123P0.0080.0960.3840.512∴．（3）設選手甲正確作答的題目個數(shù)為Y，則Y的所有可能取值為0，1，2，3，∴，，∴．∵，∴，∴可以認為選手乙晉級的可能性更大．28．【答案】（1）（2）或【詳解】（1）記事件為“此人能補到魚”，事件為“此人能找到魚窩”，則，，，.（2）由（1）知：，，假設當時，次補到魚的概率最大，則，解得：，若的值最大，則，解得：，又且，或，即當或時，次補到魚的概率的值最大.29．【答案】（1）一次操作后可能的復數(shù)為1，i，3，3i，1+3（2）一次操作后復數(shù)的模所有可能的取值為1，3，2，由|z1?z2|=|z1|?|z2|，故X的所有可能取值為1，3，2，3，23所以X的分布列為X1323234P192929192919（3）若zn2為實數(shù)，則arg(z而1，i，3，3i，1+3i，3+i的輻角主值分別是0，π2，0，設在n次操作中，得到i，3i的次數(shù)為an，得到1+3i的次數(shù)為bn于是arg(zn2)=an?π+從而an+2b因此所求的概率Qn即為2bn+cn是3的整數(shù)倍的概率.（?。?bn+cn是3的整數(shù)倍，且第n+1次操作得到的復數(shù)是1，i（ⅱ）2bn+cn被3除余1，且第n（ⅲ）2bn+cn被3除余2，且第n因此由全概率公式可以得到Qn+1=23Qn+130．【答案】（1）（2）①；②分布列見詳解，期望為.【詳解】（1）設“甲第局獲勝”，其中，依題意得，當時，由全概率公式得.，所以甲第二局獲勝的概率為.（2）①甲第一局未獲勝且第二局獲勝的概率為，依題意得，解得.②的可能取值為2，3.，所以的分布列為23.31．【答案】（1）分布列見詳解，（2）（?。┮娫斀?；（ⅱ）【詳解】（1）的可能取值為1和2，且；，則的分布列如下：12則的期望為.（2）（?。佗冖?②得：.又，則，即.（ⅱ）③，①+②得：.由③知又；則有，其中；則是以為首項，為公比的等比數(shù)列.可得：；所以32．【答案】（1）（2）分別列見詳解，（3）方案②【詳解】（1）由題意可知表示事件“第1次答錯，第2，3次均答對”，（2）可取且表示事件“第次答錯”，所以，當時，，表示事件“第次答錯，第次均答對”，所以，，表示事件“第次都答對”，所以所以的分布列為：124（3）若選擇方案①，只可能為2，4，即:，表示事件“第1次答錯，第2次答對”，表示事件“第2次答錯，第3、4次均答對"，因為、互斥，所以若選擇方案②，只可能為1，2，4，即:，表示事件“第1次答對”；表示事件“第1、2次均答對”，而第1次答對的話，游戲已結束，故不需要考慮這種情況；表示事件“第1次答錯，第2，3，4次均答對”；因為與互斥，所以，所以應該選擇方案②.33．【答案】（1）0.（2）①分布列見詳解，見詳解；②【詳解】（1）因為是12項數(shù)列，當且僅當時，，所以當和時，.設數(shù)列的所有項的和為S，則，所以數(shù)列的所有項的和為0.（2）①因為數(shù)列是從集合中任意取出兩個數(shù)列，所以，數(shù)列為項數(shù)列所以，的可能取值為：當時，數(shù)列中有項取值不同，有項取值相同，又因為集合中元素的個數(shù)共有個，所以，，所以，的分布列為：12因為，所以，②由題知，所以，，所以，，所以，即，所以，，即34．【答案】（1）；（2）分布列見詳解，.【詳解】設A，B，C，D分別為第一，二，三，四個問題．用Mi(i＝1，2，3，4)表示甲同學第i個問題回答正確，用Ni(i＝1，2，3，4)表示甲同學第i個問題回答錯誤，則Mi與Ni是對立事件(i＝1，2，3，4)．由題意得，P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝，所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝.（1）記“甲同學能進入下一輪”為事件Q，Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4，P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4)＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4)＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝.（2）由題意，隨機變量ξ的可能取值為2，3，4.由于每題答題結果相互獨立，所以P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝××＋××＝，P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝.隨機變量ξ的分布列為ξ234P所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.【命題意圖】本題考查了相互獨立事件同時發(fā)生的概率、考查了離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望的知識，考查了同學們利用所學知識解決實際問題的能力．35．【答案】（1）4個；（2）；（3）4，5，6，7，8個.【詳解】（1）設袋中有紅球m個．設“采取有放回的方式從袋中每次摸出1個球為紅球”，則．設“摸球兩次，至少得到一次白球”．“摸球兩次，兩次均為紅球”．則，解得，即袋中紅球有4個．（2）設“摸球三次共取出兩個白球”，則三次摸球可能情況為：“白白紅”，“白紅白”，“紅白白”，則．所以摸球三次共取出兩個白球的概率為．（3）設“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”．由題意知：．若，則不可能連續(xù)兩次摸到紅球，不合題意．若，則事件E三次摸球依次為“白紅紅”，，事件F五次摸球依次為“白白白紅紅”，，，不合題意．若，則最多第四次就停止摸球，不符合題意．若，則事件E三次摸球依次為“白紅紅”，，事件F五次摸球依次為“白紅白紅紅”或“紅白白紅紅”，，，符合題意．若，則事件E：三次摸球依次為“白紅紅”，，事件F：五次摸球依次為“白白白紅紅”或“白紅白紅紅”或“紅白白紅紅”，，由，得，即，解得或．即，5，6，7，綜上所述，紅球個數(shù)的所有可能取值為4，5，6，7，8個．36．【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【詳解】（1），，所以，，記，則.作差得：，所以，.故.（2）（?。┧锌赡艿娜≈禐椋?，、、、，且對應的概率，、、、，所以，又，所以.

（ⅱ），；，；，，，故.37．【答案】（I）小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.（II）機變量的分布列為：數(shù)學期望【詳解】試題分析：（I）記為事件“小明對落點在A上的來球的得分為分”（）則，記為事件“小明對落點在B上的來球的得分為分”（）則，記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”，由題意，，由事件的獨立性和互斥性，即可得到小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率.（II）由題意，隨機變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨立性和互斥性，得可得隨機變量的分布列為：利用數(shù)學期望的計算公式得到試題解析：（I）記為事件“小明對落點在A上的來球的得分為分”（）則，記為事件“小明對落點在B上的來球的得分為分”（）則，記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”，由題意，，由事件的獨立性和互斥性，,所以小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上的概率為.（II）由題意，隨機變量可能的取值為0,1,2,3,4,6，由事件的獨立性和互斥性，得,,,,,,可得隨機變量的分布列為：所以數(shù)學期望考點：隨機變量的分布列與數(shù)學期望，互斥事件、獨立事件的概率.38．【答案】（1）（2）（3）人【詳解】（1）記事件A為“這3位同學中至少有1位同學去甲餐廳就餐”，則﹔（2）記事件為“某同學第i天在甲餐廳就餐”，則，記事件C為“w同學與s同學第二天在同一餐廳就餐”，則．（3）記事件為“某同學第i天在甲餐廳就餐”，則，所以，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，記學校2000名學生第n天在甲餐廳就餐的學生人數(shù)為X，則，當時，所以一星期后在甲餐廳就餐的學生人數(shù)大約為人．39．【答案】（1）（2）（ⅰ）（ⅱ）【詳解】（1）設“一次抽獎中獎”（1）記這2個紅球的編號為個白球的編號為，所以樣本空間，共有30個樣本點，又因為所以，所以；（2）（?。┊敃r，，所以時，；當時，綜上所述，所以時，一次抽獎中獎的概率最?。áⅲ┯洝皟晌活櫩统楠勚辽儆幸晃活櫩椭歇劇?，“第位顧客中獎”，由題意知，，所以．40．【答案】（1），（2）（3）1000【詳解】（1）每個芯片通過測試的合格率為，，則，；（2）解法一：記事件A：通過測試I，事件B：通過測試II，事件C：芯片合格，，則；解法二：記事件：經(jīng)過測試I，事件：經(jīng)過測試II，事件B：芯片合格，，，，，，則；（3）因為，所以，，解法一：，，，，又，當且僅當時等號成立，，均有，取，則，根據(jù)題意要使得總能不超過0.1，當，即時滿足條件，最小樣本量大約為1000.解法二：由已知得對，，，記，，，又，當且僅當時等號成立，，均有，取，則，根據(jù)題意要使得總能不超過0.1，當，即時滿足條件，最小樣本量大約為1000.41．【答案】（1）（2）沒有的把握認為喜愛足球運動與性別有關（3）20【詳解】（1）因為從這100名學生樣本中隨機抽取1個，抽到喜愛足球運動的學生的概率為，所以；（2）零假設：喜愛足球運動與性別無關．作出列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男生401555女生202545合計6040100由題，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷成立，也就是說沒有的把握認為喜愛足球運動與性別有關．（3）現(xiàn)在從喜愛足球運動的學生中隨機抽取1名學生，該學生是男生的概率是，從而從喜愛足球運動的學生中隨機抽取30名時，記其中男生的人數(shù)為，則，所以，令，解得，故使事件“”概率最大的的值為20．42．【答案】（1），；（2）；（3）證明見詳解.【詳解】（1）當發(fā)送信號1次時，記發(fā)送信號為事件（），接收為正確信號為事件，則，，，，所以．因為，所以．由題意知，所以．（2）發(fā)送信號1次，接收為正確信號的次數(shù)的分布列為01所以，令，記，，所以，由，解得，所以當時，，在區(qū)間上單調遞減；當時，，在區(qū)間上單調遞增.所以當時，取得最小值，又，所以此時取得最大值，且最大值為．（3）當時，第次出現(xiàn)0，前次中有次出現(xiàn)0，所以，所以．當時，第次出現(xiàn)1，前次中有次出現(xiàn)0，所以，所以，所以．因為，所以，所以．43．【答案】（1）分布列見詳解，（2）50（3），理由見詳解【詳解】（1）甲口袋中裝有2個黑球和1個白球，乙口袋中裝有1個黑球和2個白球.從甲、乙兩個口袋中各任取一個球交換放入另一個口袋為一次操作，記甲口袋中黑球個數(shù)為，則的可能取值有1，2，3，則，，，所以的分布列為：123即；（2）根據(jù)題設可得不可能同時為1，故，由于，要使得取到最大值，則使得多出現(xiàn)0個，即甲口袋中的黑球要最快被換成白球，即第一次甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，再第二次還是要從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，這樣經(jīng)歷次可以得到甲口袋中黑球個數(shù)為0，此時，之后甲口袋中只能摸出白球而且乙口袋中只能摸出黑球交換，此時，則，我們可以再次從甲口袋摸出黑球而且乙口袋摸出白球交換，得到，則，這樣總可以是間隔一次出現(xiàn)甲口袋中沒有黑球，所以的最大值為50；（3）設表示第次交換后甲口袋中黑球有個的概率，則，，，，所以，由上可得期望的遞推關系：，變形構造為：，由（1）得，所以，即數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，即，所以當交換次數(shù)趨向于無窮時，趨向的值為.44．【答案】（1）（2）（3）【詳解】（1）由，根據(jù)公式,其中.解得，由參考數(shù)據(jù)，可得，解得.因此，特殊招生分數(shù)線的數(shù)學成績約為87分;（2）兩球同色的概率為，則兩球異色的概率為，回答問題①且回答“是”的概率，摸到同色時