2025年高級算法設計考試試卷及答案一、單項選擇題（每題3分，共30分）1.已知遞歸關系式T(n)=2T(n/3)+n2，其時間復雜度為（）A.O(n2)B.O(n^log?2)C.O(n2logn)D.O(n^log?3)2.以下關于NP問題的描述中，錯誤的是（）A.所有P問題都是NP問題B.若存在一個NP完全問題的多項式時間算法，則P=NPC.旅行商問題（TSP）屬于NP難問題D.圖著色問題的判定版本是P問題3.動態(tài)規(guī)劃算法求解最長公共子序列（LCS）時，若序列X長度為m，Y長度為n，則狀態(tài)表C的大小為（）A.m×nB.(m+1)×(n+1)C.m+nD.max(m,n)4.Dijkstra算法求解單源最短路徑時，若使用優(yōu)先隊列（堆）優(yōu)化，且圖有V個頂點和E條邊，其時間復雜度為（）A.O(ElogV)B.O(V2)C.O(VlogE)D.O(E+VlogV)5.貪心算法能夠保證最優(yōu)解的關鍵性質是（）A.重疊子問題B.最優(yōu)子結構C.貪心選擇性質D.無后效性6.快速排序在平均情況下的時間復雜度為（）A.O(n2)B.O(nlogn)C.O(n2logn)D.O(n^1.5)7.對于n個元素的數(shù)組，歸并排序的空間復雜度為（）A.O(1)B.O(logn)C.O(n)D.O(nlogn)8.以下算法中，不能用于求解最大流問題的是（）A.Ford-Fulkerson算法B.Dijkstra算法C.Edmonds-Karp算法D.Dinic算法9.矩陣鏈乘法問題中，若有n個矩陣相乘，動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)表m[i][j]表示（）A.第i個矩陣到第j個矩陣相乘的最小乘法次數(shù)B.第i個矩陣到第j個矩陣相乘的最大乘法次數(shù)C.第i個矩陣的行數(shù)D.第j個矩陣的列數(shù)10.KMP算法中，模式串“ABABAC”的部分匹配值（next數(shù)組，從0開始索引）為（）A.[0,0,1,2,3,0]B.[0,0,1,2,3,4]C.[0,1,2,3,4,5]D.[0,0,0,1,2,3]二、填空題（每題3分，共30分）1.對于遞推式T(n)=T(n-1)+n，T(1)=1，其時間復雜度為__________。2.若一個問題既是NP問題又是NP難問題，則它是__________問題。3.0-1背包問題中，若物品重量為w?,w?,…,w?，價值為v?,v?,…,v?，背包容量為C，動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)定義為dp[i][j]表示前i個物品放入容量為j的背包的最大價值，則狀態(tài)轉移方程為__________。4.最小生成樹的Kruskal算法基于__________（填“貪心”“動態(tài)規(guī)劃”或“分治”）策略，其關鍵數(shù)據(jù)結構是__________。5.拓撲排序適用于__________（填“有向無環(huán)圖”或“無向圖”），若圖中存在環(huán)，則拓撲排序__________（填“存在”或“不存在”）。6.快速排序的樞軸（pivot）選擇會影響性能，若每次選擇中間元素作為樞軸，最壞情況下時間復雜度為__________。7.字符串匹配中，Boyer-Moore算法利用__________規(guī)則和__________規(guī)則提高匹配效率。8.計算兩個序列的編輯距離（允許插入、刪除、替換）時，動態(tài)規(guī)劃狀態(tài)dp[i][j]表示__________，狀態(tài)轉移方程中替換操作的代價為__________（假設插入和刪除代價為1，替換代價為2）。9.圖的最短路徑問題中，F(xiàn)loyd-Warshall算法可以處理__________（填“正權”“負權”或“負環(huán)”）邊，但無法處理__________的情況。10.回溯算法求解N皇后問題時，每一行放置皇后的位置需要滿足__________條件，其時間復雜度的上界為__________。三、算法設計題（每題15分，共45分）1.動態(tài)規(guī)劃設計：給定一個整數(shù)數(shù)組nums（可能包含負數(shù)）和一個正整數(shù)k，要求將數(shù)組分割成k個非空連續(xù)子數(shù)組，使得各子數(shù)組的和的最大值最小。例如，nums=[7,2,5,10,8]，k=2時，最優(yōu)分割為[7,2,5]和[10,8]，最大和為18。請設計動態(tài)規(guī)劃算法，要求：（1）定義狀態(tài)變量；（2）寫出狀態(tài)轉移方程及初始條件；（3）分析時間復雜度。2.分治算法設計：在二維平面上有n個點（n≥2），設計一個分治算法求解最近點對問題，要求：（1）描述分治策略的步驟；（2）給出合并階段的關鍵處理邏輯（即如何處理跨左右子區(qū)域的點對）；（3）分析算法的時間復雜度。3.貪心算法設計：某任務調度系統(tǒng)有m臺相同的機器，需要處理n個任務，每個任務的處理時間為t?（t?>0）。要求將任務分配給機器，使得所有機器的總處理時間的最大值最?。醋钚』痬akespan）。請設計貪心算法，要求：（1）說明貪心策略的具體選擇規(guī)則；（2）證明該策略的近似比（假設為LPT算法，即最長處理時間優(yōu)先）；（3）舉例說明當任務時間為[5,5,5,4,4,3]，m=3時的分配結果。四、綜合分析題（15分）社交網(wǎng)絡影響力最大化問題：給定有向圖G=(V,E)，邊u→v的權重p(u,v)∈(0,1]表示u激活v的概率。初始激活集合S，激活過程遵循獨立級聯(lián)模型：每個激活節(jié)點u在其被激活的下一個時間步嘗試激活未激活的鄰居v，成功概率為p(u,v)，每條邊僅嘗試一次。目標是選擇大小為k的S，使得最終被激活的節(jié)點數(shù)期望最大。（1）證明該問題是NP難的（提示：歸約到集合覆蓋問題）；（2）設計一個基于貪心的近似算法，說明其近似比（要求達到(1-1/e)近似）；（3）討論實際應用中，當n（節(jié)點數(shù)）很大時，如何優(yōu)化該算法的計算效率（至少提出兩種優(yōu)化策略）。答案及解析一、單項選擇題1.A解析：根據(jù)主定理，遞歸式T(n)=aT(n/b)+f(n)，其中a=2，b=3，f(n)=n2。計算n^log_ba=n^log?2≈n^0.63，f(n)=n2的階高于n^log?2，因此T(n)=O(f(n))=O(n2)。2.D解析：圖著色問題的判定版本（給定圖和k種顏色，是否可著色）是NP完全問題，因此D錯誤。3.B解析：LCS的狀態(tài)表通常定義為(m+1)×(n+1)，其中C[i][j]表示X前i個字符和Y前j個字符的LCS長度，i和j從0到m/n。4.A解析：Dijkstra算法使用優(yōu)先隊列（最小堆）優(yōu)化時，每次提取最小距離節(jié)點的時間為O(logV)，每條邊被松弛一次，總時間為O(ElogV)。5.C解析：貪心算法的關鍵是貪心選擇性質（局部最優(yōu)導致全局最優(yōu)）和最優(yōu)子結構，其中前者是保證貪心正確性的核心。6.B解析：快速排序平均時間復雜度為O(nlogn)，最壞情況（已排序數(shù)組）為O(n2)。7.C解析：歸并排序需要額外O(n)的輔助空間用于合并操作。8.B解析：Dijkstra算法用于最短路徑，最大流問題需要Ford-Fulkerson、Edmonds-Karp（BFS優(yōu)化）或Dinic（分層圖）等算法。9.A解析：矩陣鏈乘法中，m[i][j]表示計算矩陣鏈A_i到A_j的最小乘法次數(shù)。10.A解析：模式串“ABABAC”的next數(shù)組計算如下：-next[0]=0（首字符無真前綴）；-next[1]：前綴“A”，后綴“B”無匹配，0；-next[2]：前綴“AB”，后綴“AB”（前兩位）匹配長度1；-next[3]：前綴“ABA”，后綴“AB”（前兩位）匹配長度2；-next[4]：前綴“ABAB”，后綴“ABAB”（前四位）匹配長度3；-next[5]：前綴“ABABA”，后綴“ABAC”無匹配，0。二、填空題1.O(n2)解析：遞推式展開為T(n)=1+2+…+n=n(n+1)/2，故時間復雜度O(n2)。2.NP完全（NPC）3.dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w_i]+v_i)（當j≥w_i時）；否則dp[i][j]=dp[i-1][j]4.貪心；并查集（用于檢測環(huán)）5.有向無環(huán)圖；不存在6.O(n2)（最壞情況仍可能退化為有序數(shù)組，如每次分割不平衡）7.壞字符；好后綴8.序列X前i個字符和序列Y前j個字符的編輯距離；若X[i]≠Y[j]則為2，否則為0（或直接寫2）9.負權；存在負環(huán)（負權環(huán)會導致最短路徑不存在）10.同一列、同一對角線無其他皇后；O(n!)（實際為O(n^n)，但通常上界記為O(n!)）三、算法設計題1.動態(tài)規(guī)劃解法（1）狀態(tài)定義：dp[i][j]表示將前i個元素分割成j個子數(shù)組的最大子數(shù)組和的最小值。（2）狀態(tài)轉移：-初始條件：dp[i][1]=sum(nums[0..i-1])（前i個元素分割為1個子數(shù)組，和為總和）；-對于j>1，dp[i][j]=min{max(dp[k][j-1],sum(nums[k..i-1]))}，其中k∈[j-1,i-1]（前k個元素分割為j-1個子數(shù)組，剩余i-k個元素為第j個子數(shù)組）。（3）時間復雜度：狀態(tài)數(shù)為n×k（n為數(shù)組長度），每個狀態(tài)轉移需遍歷k到i-1，總時間復雜度O(n2k)。2.最近點對分治算法（1）分治步驟：-預處理：將點按x坐標排序；-分割：將點集分為左右兩部分，分別遞歸求解左右子集的最近點對，得到d?和d?，取d=min(d?,d?)；-合并：檢查中間區(qū)域（x坐標在mid_x-d到mid_x+d之間的點），按y坐標排序后，僅需檢查每個點之后最多6個點，找到跨左右區(qū)域的最近點對，最終最近距離為min(d,跨區(qū)域最小距離)。（2）合并關鍵邏輯：中間區(qū)域的點按y排序后，對于每個點p，只需比較其后續(xù)最多6個點（因d為當前最小距離，y方向間隔超過d的點不可能更近），計算這些點與p的距離，更新最小距離。（3）時間復雜度：排序預處理O(nlogn)，遞歸式T(n)=2T(n/2)+O(n)，總時間復雜度O(nlogn)。3.LPT貪心算法（1）策略：將任務按處理時間從大到小排序，依次將每個任務分配給當前總處理時間最小的機器。（2）近似比證明：設最優(yōu)解為OPT，LPT解為LPT。對于任意任務t_i，若t_i>OPT，則無法分配（因每臺機器最多處理OPT），故所有t_i≤OPT。假設LPT>OPT，則至少有兩臺機器的負載≥OPT（否則總負載≤m×OPT，而LPT≤OPT）。設機器A和B的負載為L?≥L?≥OPT，L?=LPT。當分配t_i到A時，A的當前負載（分配前）≤L?（因選擇最小負載機器），故L?=之前負載A+t_i≤L?+t_i。由于L?≥OPT-t_i（否則之前負載A+t_i≤OPT-t_i+t_i=OPT），故LPT=L?≤(OPT-t_i)+t_i=OPT，矛盾。實際LPT≤(4/3)OPT（嚴格證明需更詳細分析）。（3）示例：任務排序[5,5,5,4,4,3]，m=3。分配過程：-第一個5→機器1（負載5）；-第二個5→機器2（負載5）；-第三個5→機器3（負載5）；-4→選擇負載最小的機器1-3（均5），分配給機器1→負載9；-4→分配給機器2→負載9；-3→分配給機器3→負載8。最終負載為9,9,8，最大為9。四、綜合分析題（1）NP難證明：歸約到集合覆蓋問題。集合覆蓋中，每個集合S_i對應社交網(wǎng)絡中的節(jié)點u_i，元素對應節(jié)點v，邊u_i→v存在當且僅當