五年（2021-2025）高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題01集合與常用邏輯用語考點五年考情（2021-2025）命題趨勢考點1集合（5年5考）2025年補集的概念及運算、集合新定義2024年補集的概念及運算2023年根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)2022年交集的概念及運算2021年判斷兩個集合的包含關系、交并補混合運算1.集合的交、并、補運算及元素與集合的關系是歷年必考內(nèi)容，常以填空題或選擇題形式出現(xiàn)，難度較低但需注意細節(jié)。2.充要條件的判定常與函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識結合，考查邏輯推理能力。3.近年來，上海卷在集合與邏輯部分嘗試設置新定義問題，要求考生理解并應用陌生概念。考點2常用邏輯用語（5年3考）2024年判斷命題的充分不必要條件2022年判斷命題的真假、寫出原命題的逆命題及真假判斷2021年判斷命題的充分不必要條件考點01元素與集合的關系1．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知全集，集合，則．【答案】/【知識點】補集的概念及運算、區(qū)間的定義與表示〖祥解〗根據(jù)補集的含義即可得到答案.【詳析】根據(jù)補集的含義知.故答案為：.2．（2024·上?！じ呖颊骖}）設全集，集合，則．【答案】【知識點】補集的概念及運算〖祥解〗根據(jù)補集的定義可求.【詳析】由題設有，故答案為：3．（2023·上?！じ呖颊骖}）已知，，若且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據(jù)元素與集合的關系求參數(shù)〖祥解〗根據(jù)給定條件，直接求出集合中的元素作答.【詳析】因為，由，得或，又，且，即有且，因此，所以.故選：A4．（2022·上?！じ呖颊骖}）若集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】交集的概念及運算〖祥解〗由于是整數(shù)集，結合交集的概念即可求出結果.【詳析】因為，所以，故選：B.5．（2021·上海·高考真題）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x﹣1}，則（

）A．A?B B． C．A∩B＝ D．A∪B＝R【答案】D【知識點】判斷兩個集合的包含關系、交并補混合運算、解不含參數(shù)的一元二次不等式〖祥解〗先求解集合中不等式，計算，依次判斷即可【詳析】由題意，或由和不存在包含關系，故選：D6．（2025·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域為．對于正實數(shù)a，定義集合．(1)若，判斷是否是中的元素，請說明理由；(2)若，求a的取值范圍；(3)若是偶函數(shù)，當時，，且對任意，均有．寫出，解析式，并證明：對任意實數(shù)c，函數(shù)在上至多有9個零點．【答案】(1)不是；(2)；(3)證明見解析.【知識點】由奇偶性求函數(shù)解析式、函數(shù)奇偶性的應用、求函數(shù)零點或方程根的個數(shù)、集合新定義〖祥解〗（1）直接代入計算和即可；（2）法一：轉(zhuǎn)化為在實數(shù)使得，分析得，再計算得，最后根據(jù)的范圍即可得到答案；法二：畫出函數(shù)圖象，轉(zhuǎn)化為直線與該函數(shù)有兩個交點，將用表示，最后利用二次函數(shù)函數(shù)性質(zhì)即可得到答案；（3）利用函數(shù)奇偶性和集合新定義即可求出時解析式，再分析出，最后對的范圍進行分類討論即可.【詳析】（1）（1），，則不是中的元素.（2）法一：因為，則存在實數(shù)使得，且，當時，，其在上嚴格單調(diào)遞增，當時，，其在上也嚴格單調(diào)遞增，則，則，令，解得，則，則.法二：作出該函數(shù)圖象，則由題意知直線與該函數(shù)有兩個交點，由圖知，假設交點分別為，，聯(lián)立方程組得（3）（3）對任意，因為其是偶函數(shù)，則，而，所以，所以，因為，則，所以，所以，所以當時，，，則，，則，而，，則，則，所以當時，，而為偶函數(shù)，畫出函數(shù)圖象如下：其中，但其對應的值均未知.首先說明，若，則，易知此時，則，所以，而時，，所以，與矛盾，所以，即，令，則，當時，即使讓，此時最多7個零點，當時，若，此時有5個零點，故此時最多5個零點；當時，若，此時有5個零點，故此時最多5個零點；當時，若，此時有3個零點，若，則，易知此時，則，所以，而時，，所以，與矛盾，所以，則最多在之間取得6個零點，以及在處成為零點，故不超過9個零點.綜上，零點不超過9個.考點02常用邏輯用語7．（2024·上?！じ呖颊骖}）定義一個集合，集合中的元素是空間內(nèi)的點集，任取，存在不全為0的實數(shù)，使得．已知，則的充分條件是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】判斷命題的充分不必要條件、空間向量的坐標運算〖祥解〗首先分析出三個向量共面，顯然當時，三個向量構成空間的一個基底，則即可分析出正確答案.【詳析】由題意知這三個向量共面，即這三個向量不能構成空間的一個基底，對A，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故A錯誤；對B，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故B錯誤；對C，由空間直角坐標系易知三個向量不共面，可構成空間的一個基底，則由能推出，對D，由空間直角坐標系易知三個向量共面，則當無法推出，故D錯誤.故選：C．8．（2021·上?！じ呖颊骖}）已知函數(shù)的定義域為，下列是無最大值的充分條件是（

）A．為偶函數(shù)且關于直線對稱 B．為偶函數(shù)且關于點對稱C．為奇函數(shù)且關于直線對稱 D．為奇函數(shù)且關于點對稱【答案】D【知識點】判斷命題的充分不必要條件、函數(shù)對稱性的應用〖祥解〗根據(jù)對稱性可判斷函數(shù)的周期，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)對稱性可得，據(jù)此可判斷D的正誤.【詳析】對于A，因為為偶函數(shù)，故，而的圖像關于直線對稱，故，故，故為周期函數(shù)且周期為2，而在必有最大值，故必有最大值，故A錯誤.對于B，而的圖像關于點對稱，故，故，故，故故為周期函數(shù)且周期為4，而在必有最大值，故必有最大值，故B錯誤.對于C，因為為奇函數(shù)，故，而的圖像關于直線對稱，故，故，所以故為周期函數(shù)且周期為4，而在必有最大值，故必有最大值，故C錯誤.對于D，因為為奇函數(shù)，故，而的圖像關于點對稱，故，故，設，則，故無最大值，故選：D9．（2022·上海·高考真題）數(shù)列對任意，且，均存在正整數(shù)，滿足.(1)求可能值；(2)命題p：若成等差數(shù)列，則，證明p為真，同時寫出p逆命題q，并判斷命題q是真是假，說明理由：(3)若成立，求數(shù)列的通項公式.【答案】(1)7或9；(2)答案見解析；(3).【知識點】判斷命題的真假、寫出原命題的逆命題及真假判斷、根據(jù)數(shù)列遞推公式寫出數(shù)列的項、數(shù)學歸納法證明數(shù)列問題〖祥解〗（1）利用遞推公式可得，進而可求出；（2）由題意可得，則，從而命題為真命題，給出反例即可得出命題為假命題；（3）由題意可得，，然后利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，最后分類討論即可確定數(shù)列的通項公式.【詳析】（1）因為，所以或，所以可能值為7或9；（2）因為成等差數(shù)列，所以，,所以，逆命題：若，則為等差數(shù)列是假命題，舉例：故命題為假命題，（3）因為，所以，所以，因此，以下用數(shù)學歸納法證明數(shù)列單調(diào)遞增，即證明恒成立：當時，明顯成立；假設當時命題成立，即，則，即，即命題得證；回到原題，分類討論求數(shù)列的通項公式：1.若，則矛盾；2.若，則，所以，所以，此時，所以，3.若，則，所以，所以，所以（由（2）知對任意成立），所以，與事實上矛盾，綜上.【『點石成金』】1．數(shù)學歸納法是一種重要的數(shù)學思想方法，主要用于解決與正整數(shù)有關的數(shù)學問題．證明時步驟(1)和(2)缺一不可，步驟(1)是步驟(2)的基礎，步驟(2)是遞推的依據(jù)．2．在用數(shù)學歸納法證明時，第(1)步驗算n＝n0的n0不一定為1，而是根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．第(2)步，證明n＝k＋1時命題也成立的過程，一定要用到歸納假設，否則就不是數(shù)學歸納法.一、單選題1．（2025·上海浦東新·二模）已知集合，集合，全集為，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗由絕對值不等式確定結合，再由集合得交集、補集運算即可求解.【詳析】，可得可得：，所以，故選：D2．（2025·上海楊浦·模擬預測）設實數(shù)，則不等式的等號成立的一個充分不必要條件為（

）.A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗先計算出等號成立的充要條件，根據(jù)充要條件寫出充分不必要條件.【詳析】當?shù)忍柍闪r，可知，兩邊同時平方得，化簡得，可得時等號成立，則一個充分不必要條件可以是.故選：A.3．（2025·上?！と＃┰O為實數(shù)，直線，直線，則“”是“平行”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分又不必要【答案】A〖祥解〗利用兩者之間推出的關系可得條件關系.【詳析】若，則直線，直線，此時平行，若平行，則即，當時，平行，當時，直線，直線，此時也平行，故平行時推不出，故“”是“平行”的充分不必要條件，故選：A.4．（2025·上海楊浦·模擬預測）已知是一個公差不為的等差數(shù)列，其前項和為.若存在正整數(shù)(其中)使得，則稱具有性質(zhì)，稱有序數(shù)對是的一組“數(shù)對”，記由的全體“數(shù)對”所組成的集合為.關于命題①“若具有性質(zhì)且，則”與命題②存在具有性質(zhì)的及互不相同的正整數(shù)(其中且，使得且，下列說法正確的是（

）.A．①是真命題，②是真命題 B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題 D．①是假命題，②是假命題【答案】A〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，依據(jù)題目所給定義，判斷命題真假.【詳析】解析：，，帶入，得，解得，，當，得，化簡得，又若，則，，所以或（舍去），若，則，，所以（舍去）或（舍去），若，則，，所以（舍去）或（舍去），若，則，因為，，所以，故無整數(shù)解，所以①是真命題；設，，所以②是真命題；故選：A.5．（2025·上海黃浦·三模）已知數(shù)列各項為正，滿足，m、n是正整數(shù)，是等比數(shù)列，則P是Q的（

）A．充分必要條件 B．充分非必要條件C．必要非充分條件 D．既非充分也非必要條件．【答案】B〖祥解〗設，令得，充分性成立，舉出反例得到必要性不成立，得到結論.【詳析】設，中，令得，即，所以是等比數(shù)列，充分性成立；但必要性不成立，理由如下：不妨設的首項為1，公比為2，取得，但，不滿足，從而必要性不成立，綜上，P是Q的充分非必要條件.故選：B6．（2025·上海·三模）已知集合是由平面向量組成的集合，若對任意，均有，則稱集合是“凸”的，則下列集合中不是“凸”的是（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗作出各個選項表示的平面區(qū)域，根據(jù)給定集合E是“凸”的意義判斷作答.【詳析】設，，，則C為線段AB上一點，因此一個集合E是“凸”的就是E表示的平面區(qū)域上任意兩點的連線上的點仍在該區(qū)域內(nèi)，四個選項所表示的平面區(qū)域如圖中陰影所示：

A

B

C

D觀察選項A，B，C，D所對圖形知，B對應集合不是“凸”的，ACD對應集合是“凸”的.故選：B7．（2025·上?！と＃┮阎€，為曲線上任一點，命題：曲線與直線恰有四個公共點；命題：曲線與直線相切；下列說法正確的是（

）A．命題和命題都為真 B．命題為真，命題為假C．命題為假，命題為真 D．命題和命題都為真.【答案】C〖祥解〗命題，構造，利用導數(shù)討論其在上的零點個數(shù)為3后可判斷其正誤，命題，利用導數(shù)可判斷其正誤.【詳析】命題：由消元法可得，所以，當或時，或，故此時無解，下面考慮上方程的解的個數(shù)，設，所以，設且，則，則，所以，又因為，所以的解為，，而，故當或時，，當時，，故在，上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，而，且，，而，故，故，，故在有3個不同的實數(shù)根，故命題錯誤；命題：由，可得，故，對兩邊求關于的導數(shù)，又隨的變化而變化，則，故當時，有，當，，而直線的斜率為2，故曲線與直線相切，命題正確.故選：C.二、填空題8．（2025·上海金山·三模）已知集合，，則．【答案】〖祥解〗直接利用集合并集的運算求解即可.【詳析】因為集合，，所以,故答案為：9．（2025·上海徐匯·二模）已知全集，，則.【答案】〖祥解〗先求解絕對值不等式解得集合，再根據(jù)補運算求解即可.【詳析】，又，故.故答案為：.10．（2025·上海楊浦·模擬預測）已知集合，集合，則.【答案】〖祥解〗根據(jù)集合交集的運算方法求交集【詳析】如圖所示，根據(jù)交集概率可知.故答案為：.11．（2025·上海黃浦·三模）已知全集，集合，則．【答案】〖祥解〗化簡集合，結合交集的概念即可求解.【詳析】因為全集，集合，所以.故答案為：.12．（2025·上海靜安·模擬預測）已知集合，則．【答案】〖祥解〗分別求解集合與集合，再根據(jù)并集的定義求出.【詳析】，，所以.故答案為：13．（2025·上海黃浦·三模）已知集合，，則【答案】〖祥解〗由分式不等式和交集的運算可得.【詳析】由可得，，由可得，所以.故答案為：.14．（2025·上海普陀·二模）設為正整數(shù)，集合，若集合滿足，且對中任意的兩個元素，皆有成立，記滿足條件的集合的個數(shù)為，則.【答案】19〖祥解〗利用分類思想，列舉思想即可得到答案.【詳析】當時，若為二元集：如，共有15種，若為三元集：如共有4種，所以總共有：種；故答案為：19.15．（2025·上海普陀·二模）設，函數(shù)的表達式為，則對任意的實數(shù)，皆有成立的一個充分條件是.【答案】〖祥解〗由題意分析出區(qū)間至少包含一個完整的周期，才能保證能取到時的所有函數(shù)值，再利用周期的公式求出的取值范圍，結合充分條件的定義即可得到結果.【詳析】因為函數(shù)，要使，則周期，即，因為，所以一個充分條件是，故答案為：16．（2025·上海崇明·二模）已知集合M中的任一個元素都是整數(shù)，當存在整數(shù)且時，稱M為“間斷整數(shù)集”．集合的所有子集中，是“間斷整數(shù)集”的個數(shù)為．【答案】968〖祥解〗根據(jù)子集中元素的個數(shù)分類，每一類都利用組合數(shù)計數(shù)，再剔除不滿足定義的子集，最后根據(jù)分類加法計數(shù)原理求值即可.【詳析】由題意，滿足“間斷整數(shù)集”定義的子集至少有2個元素，至多有9個元素，按子集中元素的個數(shù)分類，①當元素個數(shù)為2時，不滿足定義的子集有：，共9個；此時滿足定義的子集有個，②當元素個數(shù)為3時，不滿足定義的子集有：，共8個；此時滿足定義的子集有個，③當元素個數(shù)為4時，不滿足定義的子集有：，共7個；此時滿足定義的子集有個，④當元素個數(shù)為5時，不滿足定義的子集有：，共6個；此時滿足定義的子集有個，⑤當元素個數(shù)為6時，不滿足定義的子集有：，共5個；此時滿足定義的子集有個，⑥當元素個數(shù)為7時，不滿足定義的子集有：，共4個；此時滿足定義的子集有個，⑦當元素個數(shù)為8時，不滿足定義的子集有：，共3個；此時滿足定義的子集有個，⑧當元素個數(shù)為9時，不滿足定義的子集有：，共2個；此時滿足定義的子集有個，綜上所述，滿足題意的子集共有個.故答案為：968.三、解答題17．（2025·上?！つM預測）已知函數(shù)的定義域是．對于，定義集合．(1)，求；(2)對于集合，若對任意都有，則稱是對稱集．若是對稱集，證明：“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件是“對任意，是對稱集”；(3)若，．求的取值范圍，使得對于任意，都有．【答案】(1)(2)證明見詳析(3)〖祥解〗（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）根據(jù)偶函數(shù)的定義和對稱集的定義即可證明必要性和充分性；（3）根據(jù)定義判斷出函數(shù)單調(diào)不減，得到導函數(shù)大于等于0恒成立即可求解.【詳析】（1）由定義得，.（2）證明：必要性：因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以對任意，，對任意，若，即，則，所以，所以對任意，是對稱集.充分性：若對任意，是對稱集，因為對任意，，所以，即①，又，所以，即②.由①②得，對任意，，所以函數(shù)是偶函數(shù).綜上，“函數(shù)是偶函數(shù)”的充要條件是“對任意，是對稱集”，得證.（3）因為對于任意，都有，所以若，則，即若，則，所以，所以在上單調(diào)不減，所以對任意，恒成立.當時，顯然成立，；當時，恒成立，令，，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以；當時，恒成立，此時因為在上單調(diào)遞減，當時，，時，，所以；綜上，.【『點石成金』】關鍵點『點石成金』：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)不減等價于導函數(shù)在區(qū)間上大于等于0恒成立.18．（2025·上海·三模）設函數(shù)的定義域為，給定閉區(qū)間，若存在，使得對于任意，①均有，則記；②均有，則記．(1)設，求；(2)設．若對于任意，均有，求的取值范圍；(3)已知對于任意與均存在，證明：＂為上的嚴格增函數(shù)或嚴格減函數(shù)＂的充要條件為＂對于任意兩個不同的與中至少一個成立＂．【答案】(1)；(2)(3)證明見解析〖祥解〗（1）通過導數(shù)求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性即可；（2）通過導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性及極值，以及是在處的切線，再分類討論和即可；（3）根據(jù)充要條件證明步驟，必要性、充分性分開證明即可.【詳析】（1）因為，求導得，所以在上為單調(diào)遞增函數(shù)，因此；（2）因為，所以，而，因為，表示過點，斜率為的直線，故是在處的切線，而存在極值點，又因為，所以，當或時，，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，當時，此時與在上均為單調(diào)遞增函數(shù)，因此當時，恒成立，即，當時，則有，顯然成立，當時，則有，因為，所以；當時，此時此時，不符題意舍去；綜上，實數(shù)的取值范圍為；（3）證明：先證明必要性（）：若為上的單調(diào)遞增函數(shù)，則任取，由題意可得，因為，所以或或或，因為為上的單調(diào)遞增函數(shù)，所以或或或，所以，所以或成立．同時對為上的單調(diào)遞減函數(shù)，同理可證．下面證明充分性（）：當與其中一式成立時，不可能為常值函數(shù)，先任取，總有或假設存在，使得，記，則，因為存在，則或，不妨設，則，否則當，此時，矛盾；進而可得，則，，因此①．最后證明為上的單調(diào)遞減函數(shù)，任取，且，需考慮如下情況：情況一：若，同上述可得，，所以．情況二：若，則，否則，，由此矛盾，因為，同情況一可得矛盾，所以．情況三：若，則，否則，記，否則，記，則，，同理若，所以，由①可得：．情況四：若，同上述可得，．綜上，恒成立．（當為上的單調(diào)遞增函數(shù)時，同理可證）19．（2025·上海浦東新·二模）定義域為的可導函數(shù)滿足，在曲線上存在三個不同的點，使得直線與曲線在點處的切線平行（或重合）．若成等差數(shù)