PAGE1專題10函數(shù)值域求法技巧全歸納目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u典例詳解 2類型一、直接法 2類型二、配方法 3類型三、換元法 4類型四、分離常數(shù)法 7類型五、基本不等式法 9類型六、單調(diào)性法 11類型七、判別式法 16壓軸專練 18一、定義域優(yōu)先函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用什么方法求函數(shù)的值域，都要考慮定義域，函數(shù)的問題必須遵循“定義域優(yōu)先”的原則。二、常見函數(shù)的值域(1)一次函數(shù)的值域為R.(2)二次函數(shù)，當(dāng)時的值域為，當(dāng)時的值域為.，(3)反比例函數(shù)的值域為.(4)對勾函數(shù)：對勾函數(shù)：值域：類型一、直接法直接法：對于簡單函數(shù)的值域問題，可通過基本初等函數(shù)的圖象、性質(zhì)直接求解；一、單選題1．（24-25高一上·四川·期中）函數(shù)，的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由反比例函數(shù)的單調(diào)性求值域即可.【詳解】因為函數(shù)是反比例函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，所以值域為．故選：D2．（24-25高一上·江蘇鎮(zhèn)江·期中）已知函數(shù)的定義域為，則其值域為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可求值域.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以值域為.故選：B.二、填空題3．函數(shù)，的值域是．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可得最值.【詳解】由函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，故答案為：.4．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】由得出答案.【詳解】因為，所以，所以函數(shù)的值域為.故答案為：類型二、配方法配方法：配方法是二次型函數(shù)值域的基本方法即形如“”或“”的函數(shù)均可用配方法求值域；一、單選題1．如果函數(shù)，那么函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可得到結(jié)果.【詳解】，開口向上，對稱軸為直線，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，時，的值域是.故選：C2．（23-24高一上·廣東廣州·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，由二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的對稱軸為，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，即.故選：B3．（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）函數(shù)，的值域為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得，再代入運(yùn)算即可.【詳解】由，得，所以．故選：C.類型三、換元法換元法：利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求值域的函數(shù)，常用的換元有（1）或的結(jié)構(gòu)，可用“”換元；（2）（均為常數(shù)，），可用“”換元；一、單選題1．（24-25高一上·遼寧朝陽·期末）函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】換元法，令，得到，從而得到函數(shù)值域.【詳解】令，則，則，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以的值域為.故選：D2．（24-25高一上·黑龍江鶴崗·期中）函數(shù)的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】復(fù)合函數(shù)求值域，先令根號內(nèi)的函數(shù)為新函數(shù)，利用配方法得到函數(shù)值域，再由外函數(shù)的單調(diào)性得到最值，從而求出值域.【詳解】令，∵在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，，∴.故選：A.3．（24-25高一上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）若函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，通過換元法將表示為，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解出的值域.【詳解】令，得，，則，所以，對稱軸，開口向上且，所以，所以函數(shù)的值域為.故選：C.4．（24-25高一上·廣東汕頭·期中）已知是單調(diào)遞增的一次函數(shù)，滿足，則函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用待定系數(shù)法求得，換元令，結(jié)合二次函數(shù)求值域.【詳解】設(shè)，則，可得，解得，即，令，則，可得，因為的圖象開口向上，對稱軸為，可得在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，可得，即函數(shù)的值域為.故選：B.二、填空題5．函數(shù)的值域為．【答案】【分析】先求出函數(shù)的定義域，將函數(shù)式兩邊取平方得，利用換元成，，利用函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最值即得函數(shù)值域.【詳解】由題意可得，解得，即函數(shù)定義域為，則，設(shè)，則，顯然在上為減函數(shù)，故當(dāng)時，即時，取到最大值4，則函數(shù)的最大值為2；當(dāng)時，即時，取得最小值2，則函數(shù)的最小值為.故函數(shù)的值域為.故答案為：.類型四、分離常數(shù)法分離常數(shù)法：形如的函數(shù)，應(yīng)用分離常數(shù)法求值域，即，然后求值域；一、填空題1．（25-26高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】分離常數(shù)后，即可求解.【詳解】因為，所以，故所求值域為．故答案為：.2．（24-25高一上·浙江臺州·期中）函數(shù)在的值域是.【答案】【分析】化簡函數(shù)解析式，得到函數(shù)在的單調(diào)性，然后求出值域.【詳解】，∵當(dāng)時，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，∴，即.故答案為：.3．（24-25高一上·山東日照·階段練習(xí)）若，則的最小值為.【答案】【分析】利用分離常數(shù)法可得，利用換元法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求最值即可.【詳解】，，，令，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.即的最小值為.故答案為：.4．函數(shù)的值域是.【答案】且【分析】求出給定函數(shù)的定義域，再利用分離常數(shù)法求出函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)中，，則且，于是，由，得；由，得，所以原函數(shù)的值域為且.故答案為：且5．（2025高一·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的值域為．【答案】且.【分析】由題意得，其中且，由此即可得解.【詳解】，其中且，所以，所以且，所以函數(shù)的值域為且.故答案為：且..類型五、基本不等式法基本不等式法：形如的函數(shù)，可用基本不等式法求值域，利用基本不等式法求函數(shù)的值域時，要注意條件“一正、二定、三相等”，即利用求函數(shù)的值域（或最值）時，應(yīng)滿足三個條件：=1\*GB3①；=2\*GB3②（或）為定值；=3\*GB3③取等號的條件為，三個條件缺一不可；一、填空題1．函數(shù)的值域為.【答案】【分析】根據(jù)基本不等式即可解出．【詳解】因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故答案為：．2．當(dāng)時，函數(shù)的值域為.【答案】【分析】根據(jù)題意可得，結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】因為，則，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以函數(shù)的值域為.故答案為：.3．函數(shù)的值域為．【答案】【分析】，分別討論和時，由基本不等式求得的范圍即可求解.【詳解】定義域為，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，所以，所以函數(shù)的值域為，故答案為：.4．已知函數(shù)，當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，值域為.【答案】【分析】空1，分，兩種情況，運(yùn)用基本不等式解決即可；空2，根據(jù)對勾函數(shù)特點，運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解決即可.【詳解】由題知，函數(shù)，，當(dāng)時，，此時，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，當(dāng)時，，此時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以當(dāng)時，值域為；當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，.故答案為：；.類型六、單調(diào)性法函數(shù)單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)值域（或最值）（1）形如的函數(shù)可用函數(shù)單調(diào)性求值域；（2）形如的函數(shù)，當(dāng)時，若利用基本不等式等號不能成立時，可考慮利用對勾函數(shù)求解；當(dāng)時，在和上為單調(diào)函數(shù)，可直接利用單調(diào)性求解一、單選題1．（25-26高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上的最小值是（

）A．0 B．1 C． D．4【答案】A【分析】分段去掉絕對值符號，利用單調(diào)性求解可得.【詳解】，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．故選：A2．（2025高一·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的最值為（

）．A．最大值為8，最小值為0 B．不存在最小值，最大值為8C．最小值為0，不存在最大值 D．不存在最小值，也不存在最大值【答案】B【分析】先根據(jù)二次函數(shù)求出的最小值，無最大值，再根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，即可得解.【詳解】令，則．又,故在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時，函數(shù)有最大值8，無最小值.故選：B．3．（25-26高一上·全國·單元測試）函數(shù)在上的最小值是（

）A．4 B． C． D．5【答案】B【分析】由對勾函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】由對勾函數(shù)的單調(diào)性知,函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以．故選：B4．（25-26高一上·全國·單元測試）已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時，，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，進(jìn)而求在上的值域，最后結(jié)合進(jìn)而得解.【詳解】由，定義域為，且，當(dāng)時，.令，，由對勾函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，即，所以當(dāng)時，，又，所以當(dāng)時，函數(shù)的值域為.故選：C.5．（25-26高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】A【分析】求解函數(shù)的定義域，并對進(jìn)行平方，進(jìn)而判斷其單調(diào)性，得到最值．【詳解】由題意得函數(shù)的定義域滿足，且，解得，則函數(shù)的定義域為．由得，則在區(qū)間內(nèi)的最大值為，最小值為．易知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則函數(shù)在處取得最大值，即，又，所以函數(shù)的最小值為6，即．所以．故選：A二、解答題6．（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)的最大值和最小值.【答案】(1)在上是增函數(shù)，證明見解析(2)最小值為，最大值為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，利用作差法，即可證明；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.【詳解】（1）在上是增函數(shù)，證明如下：任取且，.，，，，即，在上為增函數(shù).（2）由（1）知，在上為增函數(shù)，則，.7．（24-25高一上·貴州貴陽·期末）已知函數(shù)(1)判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；(2)求在區(qū)間上的值域.【答案】(1)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見解析(2)【分析】（1）任取，然后利用作差法比較與的大小即可判斷；（2）結(jié)合函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性即可求解．【詳解】（1）在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：任取，，則，因為，所以，所以，所以，即，所以，即在區(qū)間上的單調(diào)遞增；（2）因為，即為奇函數(shù)，由可得在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的對稱性可知，在上單調(diào)遞增，因為，，故函數(shù)的值域為.類型七、判別式法判別式法：形如或的函數(shù)求值域，可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，利用二次項系數(shù)不為0，判別式或二次項系數(shù)為0，一次方程有解得出函數(shù)的值域一、單選題1．已知正實數(shù)滿足則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，代入已知等式，化為關(guān)于x的方程，由判別式非負(fù)，解得t的最大值.【詳解】設(shè)，則，因為，所以，即：，所以，解得：，又因為，為正實數(shù)，所以，所以的最大值為.故選：C.2．若函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A．4 B．6C．7 D．8【答案】B【分析】直接用判別式法求函數(shù)的最大值和最小值．【詳解】設(shè)，，，時，，時，因為，所以，解得，即且，綜上，最大值是，最小值是，和為6．故選：B．二、填空題3．函數(shù)的最大值為．【答案】/0.25【分析】利用判別式法求函數(shù)值域即可.【詳解】原函數(shù)可以化簡為在時有解，當(dāng)時，，當(dāng)不等于0時，，解得且不等于0，故所求最大值為.故答案為：.三、解答題4．求函數(shù)的值域．【答案】【分析】根據(jù)分式函數(shù)的特點，因定義域為，可將其化成關(guān)于的一元二次方程恒有實根的情況，通過根的判別式即可求得函數(shù)的值域.【詳解】因為恒成立，故，則由可得，，當(dāng)時，，適合題意；當(dāng)時，由于，故恒有實數(shù)根，故，解得且，綜上可得，的值域為.一、單選題1．（23-24高一上·河南鄭州·階段練習(xí)）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)值域.【詳解】在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)處取得最大值，最大值為，又時，，當(dāng)時，，故值域為.故選：B2．（24-25高一上·江蘇·期中）函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用配方法可求得該函數(shù)的值域.【詳解】因為，所以，.因此，函數(shù)的值域為.故選：C.3．（24-25高一上·廣東深圳·期中）已知函數(shù)的值域為，則函數(shù)的值域為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)，則，，進(jìn)而將原問題等價于求函數(shù)，的值域，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得解．【詳解】設(shè)，則，又，則，則原問題等價于求函數(shù)的值域，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，的對稱軸為，且開口向下，當(dāng)時，，所求值域為．故選：C．4．（24-25高一上·浙江·期中）已知函數(shù)，則該函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出函數(shù)的定義域，令，將兩邊平方，求出取值范圍，再由，即可求出的取值范圍.【詳解】令，則，解得，所以函數(shù)的定義域為，則，因為，所以，所以，則，所以，顯然，所以，即該函數(shù)的值域為.故選：D5．已知函數(shù)，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】D【分析】由函數(shù)解析式得到，再通過換元結(jié)合基本不等式求解即可；【詳解】，，所以，設(shè)，由，可得：，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時等號成立．故選：D．二、填空題6．（24-25高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，分離常數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的值域即可得解.【詳解】函數(shù)的定義域為，，而，則，所以函數(shù)的值域是.故答案為：7．函數(shù)的值域是.【答案】【分析】利用二次函數(shù)以及反比例函數(shù)性質(zhì)計算可得結(jié)果.【詳解】易知函數(shù)的值域為，再根據(jù)反比例函數(shù)性質(zhì)可得的值域即為.故答案為：8．（23-24高一上·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的值域求解，即可得答案.【詳解】令，，則，則，即為，其圖象對稱軸為，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，故函數(shù)的值域為，故答案為：9．函數(shù)的值域為．【答案】【分析】令，換元得，再求二次函數(shù)的值域即可.【詳解】，令，則，得，當(dāng)時，取得最小值為，則函數(shù)的值域為故答案為：10．函數(shù)的值域是．【答案】【分析】根據(jù)基本不等式，分和兩種情況討論即可得解.【詳解】易知，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上可得函數(shù)的值域為，故答案為：.11．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，化簡函數(shù)解析式為，利用基本不等式可求得函數(shù)的值域.【詳解】對于函數(shù)，有，可得，所以函數(shù)的定義域為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時等號成立，故函數(shù)的值域為.故答案為：.12．若實數(shù)x，y滿足，則x的最大值是.【答案】/【分析】把已知條件整理為的形式，利用，求得的取值范圍，從而得出最大值.【詳解】將條件變形為，，解得，故.故答案為：13．（24-25高一上·四川成都·期中）函數(shù)的值域為．【答案】【分析】將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為方程，即該方程在上有解，討論和，結(jié)合判別式法即可求值域.【詳解】由解析式知：函數(shù)的定義域為R，且，整理可得，即該方程在上有解，當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，有，整理得，即，綜上，原函數(shù)值域為.故答案為：.14．（23-24高一上·江蘇南京·期中）函數(shù)的最大值為．【答案】/【分析】將采用分離常數(shù)法得到，然后當(dāng)取到最小值時，函數(shù)有最大值，即得到答案.【詳解】，因為，所以，當(dāng)時等號成立，所以．故答案為：.15．若，，則當(dāng)時，取得最大值，該最大值為.【答案】//【分析】令，則，代入整理得到，利用求出最值及此時的值.【詳解】令，則，則，即，由，解得：，故，故，解得：，，所以當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，故答案為：，三、解答題16．求函數(shù)的值域．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）由基本不等式求出函數(shù)值域；（2）由對勾函數(shù)單調(diào)性求出值域.【詳解】（1），由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故值域為；（2），由對勾函數(shù)性質(zhì)得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，其中當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故值域為17．求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)．【分析】（1）可由觀察法求解；（2）函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像求解；（3）函數(shù)是一個分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個常數(shù)加一個分式，或用表示出，由求解；（4）利用變量的代換，即換元法求值域；（5）通過變形，利用基本不等式求最值；（6）通過變形，利用基本不等式求最值；（7）通過變形利用判別式法求解．【詳解】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為．（2）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域為．

（3）（分離常數(shù)法）

，因為，所以，所以故函數(shù)的值域為．（4）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域為．

（5）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故函數(shù)的值域為．（6）因為，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，，故函數(shù)的值域為．（7）由知，整理得．當(dāng)時，方程無解；當(dāng)時，，即．故所求