第4講萬(wàn)有引力定律及應(yīng)用

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解開(kāi)普勒三定律內(nèi)容，會(huì)用開(kāi)普勒第三定律進(jìn)行相關(guān)計(jì)算。2.理

解萬(wàn)有引力定律的內(nèi)容，知道適用范圍。3.掌握計(jì)算天體質(zhì)量和密度的方法。

1.

2.

1.思考判斷

(1)圍繞同一天體運(yùn)動(dòng)的不同行星橢圓軌道不一樣，但都有一個(gè)共同的焦點(diǎn)。(√)

(2)行星在橢圓軌道上運(yùn)行速率是變化的，離太陽(yáng)越遠(yuǎn)，運(yùn)行速率越大。(×)

m1m2

(3)只要知道兩個(gè)物體的質(zhì)量和兩個(gè)物體之間的距離，就可以由F＝G計(jì)算物

r2

體間的萬(wàn)有引力。(×)

(4)地面上的物體所受地球的萬(wàn)有引力方向一定指向地心。(√)

2.2022年11月30日，天和核心艙與神舟十五號(hào)載人飛船成功對(duì)接。已知天和核

心艙繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道離地高度為地球半徑的1，不考慮地球自轉(zhuǎn)，則宇

16

航員在天和核心艙受到地球的引力是其在地球表面重力的()

1716

A.B.

1617

289256

C.D.

256289

答案D

考點(diǎn)一開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用

1.行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)通常按圓軌道處理。

2.開(kāi)普勒行星運(yùn)動(dòng)定律也適用于其他天體，例如月球、衛(wèi)星繞地球的運(yùn)動(dòng)。

11v1r2

3.由開(kāi)普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在兩個(gè)位置的

22v2r1

速度之比與到太陽(yáng)的距離成反比，近日點(diǎn)速度最大，遠(yuǎn)日點(diǎn)速度最小。

a3

4.開(kāi)普勒第三定律＝k中，k值只與中心天體的質(zhì)量有關(guān)，不同的中心天體k值

T2

不同。但該定律只能用在同一中心天體的星體之間。

例1(多選)如圖1所示，海王星繞太陽(yáng)沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，P為近日點(diǎn)，Q為遠(yuǎn)日

點(diǎn)，M、N為軌道短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，運(yùn)行的周期為T(mén)0，若只考慮海王星和太陽(yáng)之

間的相互作用，則海王星在從P經(jīng)過(guò)M、Q到N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中()

圖1

T0

A.從P到M所用的時(shí)間等于

4

B.從Q到N階段，機(jī)械能逐漸變大

C.從P到Q階段，速率逐漸變小

D.從M到N階段，萬(wàn)有引力對(duì)它先做負(fù)功后做正功

答案CD

1

解析由行星運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性可知，從P經(jīng)M到Q所用時(shí)間為T(mén)0，根據(jù)開(kāi)普勒第

2

二定律可知，從P到M運(yùn)動(dòng)的速率大于從M到Q運(yùn)動(dòng)的速率，可知從P到M所

1

用的時(shí)間小于T0，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；海王星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只受太陽(yáng)的引力作用，故

4

機(jī)械能守恒，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知，從P到Q階段，速率逐漸

變小，選項(xiàng)C正確；海王星受到的萬(wàn)有引力指向太陽(yáng)，從M到N階段，萬(wàn)有引

力對(duì)它先做負(fù)功后做正功，選項(xiàng)D正確。

例2(多選)如圖2所示，兩質(zhì)量相等的衛(wèi)星A、B繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，用R、

T、Ek、S分別表示衛(wèi)星的軌道半徑、周期、動(dòng)能、與地心連線(xiàn)在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)

的面積。下列關(guān)系式正確的有()

圖2

A.TA＞TBB.EkA＞EkB

33

＝RA＝RB

C.SASBD.22

TATB

答案AD

2

GMmmv12

解析根據(jù)開(kāi)普勒第三定律知，A、D正確；由＝和Ek＝mv可得Ek＝

R2R2

GMm

，因RA＞RB，mA＝mB，則EkA＜EkB，B錯(cuò)誤；根據(jù)開(kāi)普勒第二定律知，同

2R

一軌道上的衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，與地心連線(xiàn)在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積相

等，對(duì)于衛(wèi)星A、B，SA不等于SB，C錯(cuò)誤。

考點(diǎn)二萬(wàn)有引力定律的理解和應(yīng)用

角度萬(wàn)有引力定律的理解及簡(jiǎn)單計(jì)算

例3(2023·新課標(biāo)卷，17)2023年5月，世界現(xiàn)役運(yùn)輸能力最大的貨運(yùn)飛船天舟六

號(hào)，攜帶約5800kg的物資進(jìn)入距離地面約400km(小于地球同步衛(wèi)星與地面的

距離)的軌道，順利對(duì)接中國(guó)空間站后近似做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。對(duì)接后，這批物資

()

A.質(zhì)量比靜止在地面上時(shí)小

B.所受合力比靜止在地面上時(shí)小

C.所受地球引力比靜止在地面上時(shí)大

D.做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大小比地球自轉(zhuǎn)角速度大

答案D

解析物體的質(zhì)量由物體本身決定，與其所處位置、狀態(tài)均無(wú)關(guān)，A錯(cuò)誤；物資

m地m

所受地球引力的大小F＝G，故其所受地球引力比靜止在地面上時(shí)小，C錯(cuò)

r2

誤；空間站軌道半徑小于地球同步衛(wèi)星軌道半徑，由開(kāi)普勒第三定律可知，物資

做圓周運(yùn)動(dòng)的周期小于地球同步衛(wèi)星的周期，所以物資做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度大于

地球自轉(zhuǎn)角速度，D正確；物資所受合力即為其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，由向心力

2

公式Fn＝mωr可知，對(duì)接后物資所受合外力比靜止在地面上時(shí)的大，B錯(cuò)誤。

角度“挖補(bǔ)法”求解萬(wàn)有引力

例4有一質(zhì)量為M、半徑為R、密度均勻的球體，在距離球心O為2R的地方有

一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)?，F(xiàn)從球體中挖去半徑為0.5R的小球體，如圖3所示，引力

常量為G，則剩余部分對(duì)m的萬(wàn)有引力為()

圖3

7GMm14GMm

A.B.

36R263R2

343GMm343GMm

C.D.

2048R2048R2

答案A

MmGMm

解析挖去小球前球與質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引力F1＝G＝，挖去的球體的質(zhì)

（2R）24R2

R

431

π2GMm

3M8GMm

量M′＝M＝，被挖部分對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力為F2＝＝，則剩余部分

483R218R2

πR3

32

7GMm

對(duì)質(zhì)點(diǎn)m的萬(wàn)有引力F＝F1－F2＝，故A正確。

36R2

角度萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系

地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力F表現(xiàn)為兩個(gè)效果：一是物體的重力mg，二是提供物體

隨地球自轉(zhuǎn)的向心力Fn，如圖4所示(設(shè)地球質(zhì)量為M)。

圖4

Mm2

(1)在赤道上：G＝mg1＋mωR。

R2

Mm

(2)在兩極上：G＝mg2。

R2

Mm

(3)在一般位置：萬(wàn)有引力G等于重力mg與向心力Fn的矢量和。越靠近南北

R2

兩極g值越大。由于物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認(rèn)為萬(wàn)有引力近似等

GMm

于重力，即＝mg，即GM＝gR2(黃金代換)。

R2

例5(2024·廣東廣州高三期中)2020年9月，我國(guó)明確提出2030年“碳達(dá)峰”與

2060年“碳中和”目標(biāo)。人類(lèi)社會(huì)的快速進(jìn)步使得碳排放量不斷增加，這導(dǎo)致溫

室效應(yīng)加劇，地球南北兩極的生態(tài)環(huán)境遭到一定的破壞。一頭質(zhì)量為m的北極熊

在失去家園后，被運(yùn)送到了位于赤道上的北極熊館加以照料，它在北極和館內(nèi)的

重力差為ΔF。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T(mén)。根據(jù)以上信息，可求出地球的半徑為()

T2·ΔFT2·ΔF

A.B.

4π2m2π2m

mT2·ΔFmT2

C.D.

4π24π2·ΔF

答案A

解析設(shè)地球的質(zhì)量為m地，北極熊在赤道上時(shí)，萬(wàn)有引力的一部分提供向心力，

2π2

Gm地mGm地m

即－mg＝mTR，北極熊在北極時(shí)，有＝mg′，根據(jù)題意，有ΔF

R2R2

2π

2T2·ΔF

＝mTR，得R＝，A正確，B、C、D錯(cuò)誤。

4π2m

角度星體上空及星體內(nèi)部重力加速度的求解

1.星體表面及上空的重力加速度(以地球?yàn)槔?

MmGM

(1)在地球表面附近的重力加速度g(不考慮地球自轉(zhuǎn))：mg＝G，得g＝。

R2R2

GMm

(2)在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度g′：mg′＝，得g′＝

（R＋h）2

（＋）2

GM，所以g＝Rh。

（R＋h）2g′R2

2.萬(wàn)有引力的“兩個(gè)推論”

推論1：在勻質(zhì)球殼空腔內(nèi)的任意位置處，質(zhì)點(diǎn)受到球殼的萬(wàn)有引力的合力為零，

即∑F引＝0。

推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心r處的質(zhì)點(diǎn)(m)受到的萬(wàn)有引力等于球體內(nèi)半徑

M′m

為r的同心球體(M′)對(duì)其的萬(wàn)有引力，即F＝G。

r2

例6近幾年來(lái)，我國(guó)生產(chǎn)的“蛟龍?zhí)枴毕聺撏黄?000m大關(guān)，我國(guó)的北斗導(dǎo)航

系統(tǒng)也進(jìn)入緊密的組網(wǎng)階段。已知質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)任一質(zhì)點(diǎn)的萬(wàn)有引

力為零，將地球看成半徑為R、質(zhì)量分布均勻的球體，北斗導(dǎo)航系統(tǒng)中的一顆衛(wèi)

星的軌道距離地面的高度為h，“蛟龍?zhí)枴毕聺摰纳疃葹閐，則該衛(wèi)星所在處的重

力加速度與“蛟龍?zhí)枴彼谔幍闹亓铀俣鹊拇笮≈葹?)

R－d

R－d2

A.B.R＋h

R＋h

R3（R－d）（R＋h）

C.D.

（R＋h）2（R－d）R2

答案C

Mm

解析設(shè)地球的密度為ρ，在地球表面，重力和地球的萬(wàn)有引力大小相等，有G

R2

44

＝mg，由于地球的質(zhì)量M＝ρV＝ρ·πR3，聯(lián)立解得g＝πGρR，在深度為d的地

33

球內(nèi)部，“蛟龍?zhí)枴笔艿降厍虻娜f(wàn)有引力等于半徑為(R－d)的球體表面的重力，

4g1R－d

“蛟龍?zhí)枴痹诤＠锼幬恢玫闹亓铀俣葹間1＝πGρ(R－d)，聯(lián)立可得＝，

3gR

GMm

衛(wèi)星在高度h處受到的重力，即為該處受到的萬(wàn)有引力，即mg2＝，解

（R＋h）2

23

GMRg2R

得加速度g2＝＝g，所以＝，故C正確。

222

（R＋h）（R＋h）g1（R＋h）（R－d）

考點(diǎn)三天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

天體質(zhì)量和密度的計(jì)算方法

類(lèi)型方法已知量利用公式表達(dá)式備注

223

m中m4π4πr

r、TG＝mrm中＝

r2T2GT2

22只能得

m中mvrv

r、vG＝mm中＝

利用運(yùn)行r2rG到中心

天體2天體的

m中mv

質(zhì)量的G＝m，

r2r

v3T質(zhì)量

計(jì)算v、Tm中＝

22πG

m中m4π

G＝mr

r2T2

利用天體

2

Gm中mgR

表面重力g、Rmg＝m中＝—

R2G

加速度

利用近

3πr3

2ρ＝

m中m4π23地衛(wèi)星

利用運(yùn)行G＝mrGTR

r2T2

r、T、R當(dāng)r＝R時(shí)，只需測(cè)

天體

＝433π

密度m中ρ·πRρ＝出其運(yùn)

3GT2

的計(jì)算行周期

利用天體Gm中m

mg＝，m中

R23g

表面重力g、Rρ＝—

4πGR

4

加速度＝ρ·πR3

3

角度重力加速度法

例7我國(guó)是第三個(gè)對(duì)火星探測(cè)并將探測(cè)器著陸火星的國(guó)家，探測(cè)器在環(huán)繞火星表

面飛行時(shí)周期是T?；鹦潜砻鏆怏w非常稀薄可近似認(rèn)為真空，在火星表面附近以

初速度v0水平拋出一個(gè)物體，測(cè)得拋出點(diǎn)距火星表面高度為h，落到火星表面時(shí)

物體的水平位移為x，已知引力常量為G，下列說(shuō)法正確的是()

22

2hx2hTv0

A.火星表面重力加速度大小是B.火星的半徑是

222

v0πx

346

hTv03πx

C.火星的質(zhì)量是D.火星的密度是

2Gπ4x6GT2h

答案C

解析設(shè)物體在火星表面附近做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，水平方向x＝v0t，豎直方

2

12hv0

向h＝g′t2，聯(lián)立得g′＝，探測(cè)器在環(huán)繞火星表面飛行時(shí)周期是T，可得加速

2x2

222

4πhTv0Mm

度為g′＝ω2R＝R，聯(lián)立得R＝，A、B錯(cuò)誤；在火星表面有mg′＝G，

T22π2x2R2

346

hTv0M3π

解得M＝，C正確；火星的密度ρ＝＝，D錯(cuò)誤。

4642

2GπxπR3GT

3

角度環(huán)繞法

例8(2023·遼寧卷，7)在地球上觀察，月球和太陽(yáng)的角直徑(直徑對(duì)應(yīng)的張角)近似

相等，如圖5所示。若月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)1，地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期為T(mén)2，

地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽(yáng)的平均密度之比約為()

圖5

T12T22

33

A.kT2B.kT1

T1T2

1212

C.T2D.T1

k3k3

答案D

解析設(shè)太陽(yáng)、地球、月球的半徑分別為R太、R地、R月，月球繞地球轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑

R太R月

為r月，地球繞太陽(yáng)轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑為r地，根據(jù)題意，由幾何關(guān)系，有＝，根據(jù)

r地r月

22

GM地m月4πGM太M地4π

萬(wàn)有引力提供向心力，有＝m月r月，＝M地r地，星球的密

2222

r月T1r地T2

度

R月3T22T22

M地M太ρ地

＝，＝，可得＝＝1，故正確，、、錯(cuò)

ρ地ρ太R地T13T1DABC

4343太k

πR地πR太ρ

33

誤。

(多選)(2024·山東臨沂模擬)中國(guó)新聞網(wǎng)宣布：在摩洛哥墜落的隕石被證實(shí)來(lái)自火

星。某同學(xué)想根據(jù)平時(shí)收集的部分火星資料計(jì)算出火星的密度，再與這顆隕石的

密度進(jìn)行比較。下列計(jì)算火星密度的公式正確的是(引力常量G已知，忽略火星

自轉(zhuǎn)的影響)()

火星的小檔案

直徑d＝6794km

質(zhì)量M＝6.4219×1023kg

2

表面重力加速度g0＝3.7m/s近火衛(wèi)星周期T＝3.4h

2

3g0g0T

A.ρ＝B.ρ＝

2πGd3πd

3π6M

C.ρ＝D.ρ＝

GT2πd3

答案ACD

解析設(shè)近火衛(wèi)星的質(zhì)量為m，火星的質(zhì)量為M，對(duì)近火衛(wèi)星，火星的萬(wàn)有引力

GMm

m4π2dπ2d3

提供其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則有d＝·，可得M＝，可得火星

2T222GT2

2

M

6Mπ2d33π

的密度為ρ＝d＝，將M＝代入上式可得ρ＝，故C、D正確；又

43πd32GT2GT2

π2

3

Mm

火星對(duì)近火衛(wèi)星的萬(wàn)有引力近似等于近火衛(wèi)星的重力，則有＝，解得

mg0Gd2M

2

2

g0d

2M

g0d4G3g0

＝，因此火星的密度為ρ＝d＝＝，A正確，B錯(cuò)誤。

4G4312πGd

π2πd3

36

A級(jí)基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練

對(duì)點(diǎn)練1開(kāi)普勒三定律的理解和應(yīng)用

1.(2024·江蘇南京模擬)某行星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的軌道如圖1所示，則以下說(shuō)法正確的

是()

圖1

A.該行星在a點(diǎn)的向心加速度比在b、c兩點(diǎn)的都大

B.該行星在a點(diǎn)的速度比在b、c兩點(diǎn)的速度都更小

C.行星與太陽(yáng)的連線(xiàn)在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積是不相等的

D.行星繞太陽(yáng)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，太陽(yáng)在圓心上

答案A

v2

解析根據(jù)a＝知該行星在a點(diǎn)的向心加速度比在b、c兩點(diǎn)的都大，A正確；

r

根據(jù)開(kāi)普勒第二定律可知近日點(diǎn)速度最大，所以該行星在a點(diǎn)的速度比在b、c

兩點(diǎn)的速度都更大，B錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第二定律知相等時(shí)間內(nèi)，太陽(yáng)和運(yùn)動(dòng)著的

行星的連線(xiàn)所掃過(guò)的面積是相等的，C錯(cuò)誤；由開(kāi)普勒第一定律可知，太陽(yáng)一定

在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上，行星繞太陽(yáng)做橢圓運(yùn)動(dòng)，D錯(cuò)誤。

2.(2024·云南師大附中質(zhì)檢)如圖2所示，“天問(wèn)一號(hào)”從地球發(fā)射后，沿著地火

轉(zhuǎn)移橢圓軌道從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)。已知地球和火星繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)軌道半徑分別為

1.5×1011m和2.3×1011m，則“天問(wèn)一號(hào)”從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間約為()

圖2

A.0.2年B.0.7年

C.1.4年D.2.0年

答案B

1.5×1011＋2.3×1011

解析分析可知地火轉(zhuǎn)移軌道的半長(zhǎng)軸a＝m＝1.9×1011m，

2

33

ar地

根據(jù)開(kāi)普勒第三定律＝，代入數(shù)據(jù)可得T≈1.4年，則“天問(wèn)一號(hào)”從P點(diǎn)運(yùn)

22

TT地

T

動(dòng)到Q點(diǎn)的時(shí)間約為t＝＝0.7年，故B正確。

2

3.如圖3所示，1、2分別是A、B兩顆衛(wèi)星繞地球運(yùn)行的軌道，1為圓軌道，2為

橢圓軌道，橢圓軌道的長(zhǎng)軸(近地點(diǎn)和遠(yuǎn)地點(diǎn)間的距離)是圓軌道半徑的4倍。P

點(diǎn)為橢圓軌道的近地點(diǎn)，M點(diǎn)為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，TA是衛(wèi)星A的周期。則下列

說(shuō)法正確的是()

圖3

A.B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到地球引力將先增大后減小

B.地心與衛(wèi)星B的連線(xiàn)在2TA時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積為橢圓面積

C.衛(wèi)星B的周期是衛(wèi)星A的周期的8倍

D.1軌道圓心與2軌道的一個(gè)焦點(diǎn)重合

答案D

Mm

解析根據(jù)萬(wàn)有引力定律有F＝G，B衛(wèi)星在由近地點(diǎn)向遠(yuǎn)地點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受

r2

到地球引力逐漸減小，A錯(cuò)誤；由題意知B衛(wèi)星半長(zhǎng)軸為A衛(wèi)星圓軌道半徑的2

R3（2R）3

倍，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律得＝，解得TB＝22TA，所以地心與衛(wèi)星B的

22

TATB

連線(xiàn)在2TA時(shí)間內(nèi)掃過(guò)的面積小于橢圓面積，B、C錯(cuò)誤；1軌道圓心在地心，2

軌道的一個(gè)焦點(diǎn)也在地心，所以二者重合，D正確。

對(duì)點(diǎn)練2萬(wàn)有引力定律的理解和應(yīng)用

4.(2022·全國(guó)乙卷，14)2022年3月，中國(guó)航天員翟志剛、王亞平、葉光富在離地

球表面約400km的“天宮二號(hào)”空間站上通過(guò)天地連線(xiàn)，為同學(xué)們上了一堂精

彩的科學(xué)課。通過(guò)直播畫(huà)面可以看到，在近地圓軌道上飛行的“天宮二號(hào)”中，

航天員可以自由地漂浮，這表明他們()

A.所受地球引力的大小近似為零

B.所受地球引力與飛船對(duì)其作用力兩者的合力近似為零

C.所受地球引力的大小與其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小近似相等

D.在地球表面上所受引力的大小小于其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小

答案C

解析航天員所受地球引力大小不為零，在空間站中所受的地球引力完全提供做

圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，飛船對(duì)其作用力等于零，故A、B錯(cuò)誤，C正確；根據(jù)F＝

Mm

G可知，他們?cè)诘厍虮砻嫔纤芤Φ拇笮〈笥谠陲w船中所受的萬(wàn)有引力大

r2

小，因此在地球表面所受引力大小大于其隨飛船運(yùn)動(dòng)所需向心力的大小，故D錯(cuò)

誤。

5.某類(lèi)地天體可視為質(zhì)量分布均勻的球體，由于自轉(zhuǎn)的原因，其表面“赤道”處

的重力加速度為g1，“極點(diǎn)”處的重力加速度為g2，若已知自轉(zhuǎn)周期為T(mén)，則該

天體的半徑為()

4π24π2

A.2B.2

g1Tg2T

22

（g2－g1）T（g1＋g2）T

C.D.

4π24π2

答案C

2π

GMmGMm2

解析在“極點(diǎn)”處mg2＝；在其表面“赤道”處－mg1＝mTR，解

R2R2

2

（g2－g1）T

得R＝，故C正確。

4π2

6.(2023·山東卷，3)牛頓認(rèn)為物體落地是由于地球?qū)ξ矬w的吸引，這種吸引力可能

Mm

與天體間(如地球與月球)的引力具有相同的性質(zhì)，且都滿(mǎn)足F∝。已知地月之

r2

間的距離r大約是地球半徑的60倍，地球表面的重力加速度為g，根據(jù)牛頓的猜

想，月球繞地球公轉(zhuǎn)的周期為()

rg

A.30πB.30π

gr

rg

C.120πD.120π

gr

答案C

解析設(shè)地球半徑為R，由題意知，r＝60R，地球表面的重力加速度為g，則有

2

M地mM地m月4π

mg＝G，月球繞地球公轉(zhuǎn)，由萬(wàn)有引力提供向心力，有G＝m月r，

R2r2T2

r

聯(lián)立解得T＝120π，故C正確。

g

7.質(zhì)量為m的著陸器在著陸火星前，會(huì)在火星表面附近經(jīng)歷一個(gè)時(shí)長(zhǎng)為t0、速度

由v0減速到零的過(guò)程。已知火星的質(zhì)量約為地球的0.1倍，半徑約為地球的0.5

倍，地球表面的重力加速度大小為g，忽略火星大氣阻力。若該減速過(guò)程可視為

一個(gè)豎直向下的勻減速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，此過(guò)程中著陸器受到的制動(dòng)力大小約為()

v0v0

0.4g－0.4g＋

A.mt0B.mt0

v0v0

0.2g－0.2g＋

C.mt0D.mt0

答案B

Δvv0

解析著陸器向下做勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小a＝＝。在天體表面附近，

Δtt0

R地2

火M火

有＝mM，則g＝×，整理得＝，由牛頓第二定律知，－

mgG2R火g火0.4gF

RgM地

v0

0.4g＋

mg火＝ma，解得制動(dòng)力F＝mt0，B項(xiàng)正確。

對(duì)點(diǎn)練3天體質(zhì)量和密度的計(jì)算

8.2022年8月10日，我國(guó)在太原衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征六號(hào)運(yùn)載火箭成功將“吉林

一號(hào)”組網(wǎng)星中的16顆衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進(jìn)入預(yù)定的環(huán)繞地球運(yùn)動(dòng)軌道，

發(fā)射任務(wù)取得圓滿(mǎn)成功。這16顆衛(wèi)星的軌道平面各異，高度不同，通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，

它們的軌道半徑的三次方與運(yùn)動(dòng)周期的二次方成正比，且比例系數(shù)為p。已知引

力常量為G，由此可知地球的質(zhì)量為()

2πp4πp

A.B.

GG

4π2p2π2p

C.D.

GG

答案C

解析衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，

2π

Mm24π2p

有G＝mTr，由題意可知r3＝pT2，聯(lián)立解得M＝，故C正確。

r2G

9.(多選)宇航員在月球表面將一片羽毛和一個(gè)鐵錘從同一高度由靜止同時(shí)釋放，二

者幾乎同時(shí)落地。若羽毛和鐵錘是從高度為h處下落，經(jīng)時(shí)間t落到月球表面。

已知引力常量為G，月球的半徑為R。不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則下列表述正確

的是()

2h

A.月球表面的自由落體加速度g月＝

t2

2hR2

B.月球的質(zhì)量M＝

Gt2

3h

C.月球的密度ρ＝

2πRGt

3h

D.月球的密度ρ＝

2πRGt2

答案ABD

12

解析月球表面附近的物體做自由落體運(yùn)動(dòng)，有h＝g月t，則月球表面的自由落

2

2hMm

體加速度g月＝，故A正確；不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有G＝mg月，得月球

t2R2

2hR2

2hR2M23h

的質(zhì)量M＝，故B正確；月球的密度ρ＝＝Gt＝，故C錯(cuò)誤，D

Gt2V4π2πRGt2

R3

3

正確。

B級(jí)綜合提升練

10.(2024·天津南開(kāi)高三期末)2022年10月，太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長(zhǎng)征二號(hào)丙運(yùn)

載火箭，成功將S－SAR01星發(fā)射升空，這顆衛(wèi)星主要為應(yīng)急管理、生態(tài)環(huán)境主

體業(yè)務(wù)提供國(guó)產(chǎn)化數(shù)據(jù)保障，若S－SAR01星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道距地

面高度為h，地球的半徑為R，地球表面北極的重力加速度為g，引力常量為G。

下列說(shuō)法正確的是()

（R＋h）2g

A.地球的質(zhì)量為M＝

G

gR2

B.S－SAR01星軌道處的重力加速度為

（R＋h）2

3g

C.地球的平均密度為

4πG（R＋h）

D.S－SAR01星運(yùn)行的速度為gR

答案B

GMmgR2

解析根據(jù)地球表面兩極處萬(wàn)有引力等于重力有＝mg，可得M＝，則地

R2G

M3gGMmgR2

球的平均密度為ρ＝＝，故A、C錯(cuò)誤；根據(jù)＝mg′，結(jié)合M＝，

V4πGR（R＋h）2G

gR2GMm

可得S－SAR01星軌道處的重力加速度g′＝，故B正確；根據(jù)

（R＋h）2（R＋h）2

v2gR2gR2

＝m，結(jié)合M＝可得S－SAR01星運(yùn)行的速度v＝，故D錯(cuò)誤。

R＋hGR＋h

11.某行星周?chē)男l(wèi)星繞其做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r與運(yùn)行周期T的關(guān)系如圖4所

示。行星的半徑為R0，引力常量為G，圖中a、b為已知量。下列說(shuō)法正確的是

()

圖4

3

aR0

A.繞該行星表面運(yùn)行衛(wèi)星的周期為

b

4aπ2

B.該行星的質(zhì)量為

bG

該行星的密度為3bπ

C.3

aGR0

該行星表面的重力加速度為4b

D.3

aR0

答案C

33

R0baR0

解析根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有＝k，且k＝，可得T＝，A錯(cuò)誤；由萬(wàn)有

T2ab

Mm4π2r3GMGMb4π2b

引力提供向心力得G＝mr，得＝，可得＝，解得M＝，B錯(cuò)

r2T2T24π24π2aGa

4π2b

M

M43Ga3bπMm

誤；由ρ＝，且V＝πR0，可得ρ＝＝＝，C正確；由G＝mg

4332

V3πR043aGR0R0

πR0

33

4π2b

G2

得＝GM＝Ga＝4πb，錯(cuò)誤。

g22D

R02aR0

R0

12.(2023·6月浙江選考，9)木星的衛(wèi)星中，木衛(wèi)一、木衛(wèi)二、木衛(wèi)三做圓周運(yùn)動(dòng)的

周期之比為1∶2∶4。木衛(wèi)三周期為T(mén)，公轉(zhuǎn)軌道半徑是月球繞地球軌道半徑r

的n倍，月球繞地球公轉(zhuǎn)周期為T(mén)0，則()