專題強化八衛(wèi)星運動的三類問題

學習目標1.會分析衛(wèi)星的變軌過程及各物理量的變化。2.掌握雙星或多星模型

的特點。3.會分析衛(wèi)星的追及與相遇問題。

考點一衛(wèi)星的變軌和對接問題

1.變軌原理

(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道Ⅰ上，衛(wèi)星在軌

2

道Ⅰ上做勻速圓周運動，有Mm＝v，如圖所示。

G2m1

r1r1

圖1

2

在點近地點點火加速，由于速度變大，所需向心力變大，MmvA，即萬

(2)A()G2<m

r1r1

有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道Ⅰ上做圓周運動的向心力，衛(wèi)星做離心運動進入橢

圓軌道Ⅱ。

(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道Ⅲ。

2.對接

航天飛船與宇宙空間站的“對接”實際上就是兩個做勻速圓周運動的物體追趕問

題，本質(zhì)仍然是衛(wèi)星的變軌運行問題。

3.變軌過程各物理量比較

在A點加速：vⅡA＞vⅠ，在B點加速：vⅢ＞

速度關系

vⅡB，即vⅡA＞vⅠ＞vⅢ＞vⅡB

(向心)加速度aⅢ＝aⅡB

關系aⅡA＝aⅠ

周期關系TⅠ＜TⅡ＜TⅢ

機械能EⅠ＜EⅡ＜EⅢ

例1(2024·河南周口高三聯(lián)考)2023年5月10日21時22分，天舟六號貨運飛船

發(fā)射成功，并于次日5時16分成功與中國天宮空間站對接，為航天員送去所需的

服裝、食物、水、實驗設備等物資?，F(xiàn)將其發(fā)射對接過程簡化如圖2所示，圓軌

道1為中國天宮空間站的運行軌道，天舟六號在運載火箭的托舉下沿軌道PA運

動至A點“船箭分離”，飛船進入與圓軌道1相切于B點的橢圓軌道2運行，最

后擇機與空間站對接。下列相關說法中正確的是()

圖2

A.天舟六號飛船由P點運動至B點的過程中機械能持續(xù)增大

B.天舟六號飛船沿橢圓軌道2的運行周期要小于空間站的運行周期

C.天舟六號飛船由P點運動至B點的過程中，飛船內(nèi)的物資始終處于超重狀態(tài)

D.天舟六號飛船沿橢圓軌道2的運行速度始終小于與空間站對接后在軌道1上的

運行速度

答案B

解析飛船由P點到B點過程中的AB段，飛船只受萬有引力，只有引力做功，

a3

機械能守恒，故A錯誤；由開普勒第三定律＝k，可知軌道半長軸越小，周期

T2

越小，飛船在軌道2的半長軸比軌道1的小，所以飛船在軌道2運動的周期比空

間站的運動周期小，故B正確；飛船由P點到A點，飛船獲得外界提供的動力，

加速上升，處于超重狀態(tài)，飛船從A點到B點，只受地球?qū)ζ涞娜f有引力，處于

完全失重狀態(tài)，故C錯誤；飛船在軌道2運動到B點要經(jīng)歷點火加速才能進入軌

道1運動，所以飛船在軌道2的B點運動速度比與空間站對接后在軌道1上的運

行速度要大，故D錯誤。

1.(多選)(2024·廣東茂名模擬)2022年5月5日，我國在太原衛(wèi)星發(fā)射中心使用長

征二號丁運載火箭，成功將吉林一號寬幅01C衛(wèi)星送入預定軌道。已知該衛(wèi)星發(fā)

射后在圓軌道做圓周運動，穩(wěn)定后再變軌為如圖3所示的橢圓軌道，兩軌道相切

于P點、P、Q分別為橢圓軌道的近地點和遠地點，忽略空氣阻力和衛(wèi)星質(zhì)量的

變化，則()

圖3

A.寬幅01C衛(wèi)星在橢圓軌道上運動的周期大于在圓軌道上運動的周期

B.寬幅01C衛(wèi)星在橢圓軌道上運動時，在P點的線速度小于在Q點的線速度

C.寬幅01C衛(wèi)星在P點由圓軌道變?yōu)闄E圓軌道時需要在P處點火加速

D.寬幅01C衛(wèi)星在橢圓軌道從P點運動到Q點的過程中，衛(wèi)星的機械能增大

答案AC

解析根據(jù)開普勒第三定律知，衛(wèi)星的軌道半長軸越大，周期越大，故A正確；

由開普勒第二定律知，衛(wèi)星在近地點P的速度大于在遠地點Q的速度，故B錯誤；

衛(wèi)星在P點由圓軌道變?yōu)闄E圓軌道是離心運動，需要加速，故C正確；衛(wèi)星從P

點運動到Q點的過程中，只有萬有引力做功，衛(wèi)星的機械能守恒，故D錯誤。

2.空間站的運行軌道可近似看作圓形軌道Ⅰ，橢圓軌道Ⅱ為神舟十六號載人飛船

與空間站對接前的運行軌道，已知地球半徑為R，兩軌道相切于P點，地球表面

重力加速度大小為g，下列說法正確的是()

圖4

A.空間站在軌道Ⅰ上的運行速度小于gR

B.神舟十六號載人飛船在P點的加速度小于空間站在P點的加速度

C.神舟十六號載人飛船在P點經(jīng)點火減速才能從軌道Ⅱ進入軌道Ⅰ

D.軌道Ⅰ上的神舟十六號載人飛船想與前方的空間站對接，只需要沿運動方向加

速即可

答案A

GMmv2

解析根據(jù)萬有引力提供向心力，有＝m，根據(jù)地球表面萬有引力等于重

r2r

GMm

力，有＝mg，可知空間站在軌道Ⅰ上的速度小于gR，故A正確；由牛頓第

R2

GMm

二定律＝ma可知，飛船和空間站在P點的加速度相等，故B錯誤；神舟十

r2

六號載人飛船若要從軌道Ⅱ進入軌道Ⅰ，做離心運動，需要在P點點火加速，故

C錯誤；軌道Ⅰ上的神舟十六號飛船加速后軌道半徑會變大，無法與空間站對接，

故D錯誤。

考點二雙星或多星模型

1.雙星模型

(1)定義：繞公共圓心轉(zhuǎn)動的兩個星體組成的系統(tǒng)，我們稱之為雙星系統(tǒng)。如圖5

所示。

圖5

(2)特點

①各自所需的向心力由彼此間的萬有引力提供，即

Gm1m22Gm1m22

＝m1ω1r1，＝m2ω2r2。

L2L2

②兩顆星的周期、角速度相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

③兩顆星的軌道半徑與它們之間的距離關系為r1＋r2＝L。

m1r2

④兩顆星到圓心的距離r1、r2與星體質(zhì)量成反比，即＝。

m2r1

L3

⑤雙星的運動周期T＝2π。

G（m1＋m2）

4π2L3

⑥雙星的總質(zhì)量m1＋m2＝。

T2G

2.多星模型

所研究星體所受萬有引力的合力提供做圓周運動的向心力，除中央星體外，各星

體的角速度或周期相同。常見的多星及規(guī)律：

2

常見GmGMm

①＋＝ma向

（2R）2R2

的三

星模

Gm2

型②×cos30°×2＝ma向

L2

常見Gm2Gm2

①×cos45°×2＋＝ma向

的四L2（2L）2

星模GmM

Gm2

②×cos30°×2＋L＝ma向

型L22

3

例2如圖6所示，“食雙星”是兩顆相距為d的恒星A、B，只在相互引力作用

下繞連線上O點做勻速圓周運動，彼此掩食(像月亮擋住太陽)而造成亮度發(fā)生周

期性變化的兩顆恒星。觀察者在地球上通過望遠鏡觀察“食雙星”，視線與雙星

軌道共面。觀測發(fā)現(xiàn)每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，已知引力常量為G，

則()

圖6

A.恒星A、B運動的周期為TB.恒星A的質(zhì)量小于B的質(zhì)量

π2d3

C.恒星A、B的總質(zhì)量為D.恒星A線速度大于B的線速度

GT2

答案C

解析每隔時間T兩顆恒星與望遠鏡共線一次，則兩恒星的運動周期為T′＝2T，

22

mAmB4π4π

故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力，有G＝mArA＝mBrB，

d2（2T）2（2T）2

π2d3

又rA<rB，則mA>mB，故B錯誤；由B選項得，兩恒星總質(zhì)量為m＝mA＋mB＝，

GT2

故C正確；根據(jù)v＝ωr，兩恒星角速度相等，則vA<vB，故D錯誤。

3.(2024·江蘇連云港高三月考)如圖7所示，某雙星系統(tǒng)中質(zhì)量較大的B星球正在

“吸食”質(zhì)量較小的A星球的表面物質(zhì)，從而實現(xiàn)質(zhì)量轉(zhuǎn)移。若“吸食”過程中

A、B球心間距離不變，運動軌道均視為圓周，則在“吸食”的最初階段，下列說

法正確的是()

圖7

A.A、B運動的周期變大

B.A、B之間的萬有引力保持不變

C.B星球做圓周運動的軌道半徑變大

D.A星球做圓周運動的線速度變大

答案D

解析設A、B星球的質(zhì)量分別為mA、mB，穩(wěn)定的雙星系統(tǒng)兩星球角速度大小相

mAmB2

等，根據(jù)萬有引力提供向心力，對A星球有G＝mAωrA，同理對B星球有

r2

mAmB2mA＋mB2G（mA＋mB）

G＝mBωrB，r＝rA＋rB，聯(lián)立可得G＝ωr，則ω＝，

r2r2r3

2π

由于質(zhì)量在兩星球間轉(zhuǎn)移，總質(zhì)量不變，則角速度大小不變，由T＝知A、B

ω

mAmB

星球運動的周期不變，故A錯誤；由萬有引力定律F＝G知，若mB增大，

r2

則mA減小，mAmB乘積變化，可知萬有引力變化，故B錯誤；由于兩星球的向心

22rAmB

力大小始終保持相等，有mAωrA＝mBωrB，則＝，B星球質(zhì)量較大，吸

rBmA

rA

食后質(zhì)量變大，質(zhì)量較小的A星球質(zhì)量變小，則變大，又r＝rA＋rB不變，則rA

rB

變大，rB變小，由于角速度大小不變，由v＝ωr知B星球線速度變小，A星球線

速度變大，故C錯誤，D正確。

4.(多選)如圖8所示是宇宙中存在的某三星系統(tǒng)，忽略其他星體的萬有引力，三個

星體A、B、C在邊長為d的等邊三角形的三個頂點上繞同一圓心O做勻速圓周

運動。已知A、B、C的質(zhì)量分別為2m、3m、3m，引力常量為G，則下列說法正

確的是()

圖8

A.三個星體組成的系統(tǒng)動量守恒

B.A的周期小于B、C的周期

33Gm2

C.A所受萬有引力的大小為

d2

33Gm

D.若B的角速度為ω，則A與圓心O的距離為

d2ω2

答案AD

解析該系統(tǒng)屬于穩(wěn)定的三星系統(tǒng)，三個星體的角速度、周期相同，動量大小不

變，運動過程中總動量不變，A正確，B錯誤；A所受萬有引力的大小為F＝

3m·2m63Gm2

3G＝，C錯誤；若B的角速度為ω，則A的角速度也為ω，根據(jù)

d2d2

63Gm233Gm

＝2mω2r，則A與圓心O的距離為r＝，D正確。

d2d2ω2

考點三天體中的追及相遇問題

1.相距最近：

天體“相遇”指兩天體相距最近，以地球和行星“相遇”為例(“行星沖日”)，

行星、地球與太陽三者共線且行星和地球的運轉(zhuǎn)方向相同(如圖9甲)，此時刻行

星與地球相距最近。

從初始時刻到之后再次“相遇”，地球與行星距離最小，三者再次共線，有以下

兩種解決方法。

甲

(1)角度關系

ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3，…)

(2)圈數(shù)關系

tt

－＝n(n＝1，2，3，…)

T1T2

nT1T2

解得t＝(n＝1，2，3，…)

T2－T1

2.相距最遠：行星處在地球和太陽連線的延長線上(如圖9乙)，三者共線，運轉(zhuǎn)方

tt2n－1

向相同，有關系式ω1t－ω2t＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)或－＝(n＝1，2，

T1T22

3，…)。

乙

圖9

例3(2023·湖北卷，2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三

者幾乎排成一條直線，此現(xiàn)象被稱為“火星沖日”?；鹦呛偷厍驇缀踉谕黄矫?/p>

內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為3∶2，如

圖10所示。根據(jù)以上信息可以得出()

圖10

A.火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8

B.當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大

C.火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4

D.下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年12月8日之前

答案B

解析火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根

323

r火T火T火r火33

據(jù)開普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A錯誤；當火星與地球

323

r地T地T地r地22

相距最遠時，兩者的速度方向相反，此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球

Mm

表面，根據(jù)萬有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的質(zhì)量比和半徑

R2

比，所以無法得出火星和地球表面的自由落體加速度之比，故C錯誤；火星和地

2π2π

球繞太陽做勻速圓周運動，有ω火＝，ω地＝，要發(fā)生下一次火星沖日則有

T火T地

2π－2π

T火T地

T地T火t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星沖日”將出現(xiàn)在2023年

T火－T地

12月8日之后，故D錯誤。

例4(多選)當?shù)厍蛭挥谔柡湍拘侵g且三者幾乎排成一條直線時，稱之為“木

星沖日”，若2023年11月3日出現(xiàn)一次“木星沖日”。已知木星與地球幾乎在

同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動，木星到太陽的距離大約是地

球到太陽距離的5倍。則下列說法正確的是()

A.下一次的“木星沖日”時間在2024年

B.下一次的“木星沖日”時間在2026年

C.木星運行的加速度比地球的大

D.木星運行的周期比地球的大

答案AD

33

解析地球公轉(zhuǎn)周期＝年，由r1＝r2可知，木星公轉(zhuǎn)周期＝≈

T1122T2125T111.2

T1T2

2π

年，設經(jīng)時間t，再次出現(xiàn)“木星沖日”，則有ω1t－ω2t＝2π，其中ω1＝，ω2

T1

2π

＝，解得t≈1.1年，因此下一次“木星沖日”發(fā)生在2024年底，故A正確，B

T2

錯誤；設太陽質(zhì)量為M，行星質(zhì)量為m，軌道半徑為r，周期為T，加速度為a，

Mm4π2GMr3

由牛頓第二定律可得G＝ma＝mr，解得a＝，T＝2π，由于木星

r2T2r2GM

到太陽的距離大約是地球到太陽距離的5倍，因此，木星運行的加速度比地球的

小，木星運行的周期比地球的大，故C錯誤，D正確。

5.(多選)(2024·河南鄭州聯(lián)考)我國的北斗三號衛(wèi)星導航系統(tǒng)由24顆中圓地球軌道

衛(wèi)星、3顆地球靜止軌道衛(wèi)星和3顆傾斜地球同步軌道衛(wèi)星共30顆衛(wèi)星組成。如

圖11所示，A、C為地球靜止軌道衛(wèi)星，B為在赤道平面的中圓地球軌道衛(wèi)星，

繞行方向均與地球自轉(zhuǎn)方向一致。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T1，衛(wèi)星B的運行周期為

T2，圖示時刻，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B相距最近。下列說法正確的是()

圖11

A.衛(wèi)星A、B、C的向心加速度的大小關系為aA＝aC<aB

B.衛(wèi)星C向后噴氣加速可沿圓軌道追上衛(wèi)星A

T1T2

C.經(jīng)過時間，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近

T1－T2

D.衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度小于第一宇宙速度

答案AC

MmM

解析根據(jù)G＝ma，得a＝G，由題圖可知rA＝rC>rB，則aA＝aC<aB，A正

r2r2

確；衛(wèi)星C向后噴氣加速做離心運動，不能追上同軌道的衛(wèi)星A，B錯誤；根據(jù)

2π2π

－T1T2

T2T1t＝2π，衛(wèi)星A與衛(wèi)星B又一次相距最近的時間間隔為t＝，C正確；

T1－T2

第一宇宙速度是最小發(fā)射速度，則衛(wèi)星A、C的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，D

錯誤。

A級基礎對點練

對點練1衛(wèi)星的變軌和對接問題

1.(多選)(2023·海南卷，9)如圖1所示，1、2軌道分別是天宮二號飛船在變軌前、

后的軌道，下列說法正確的是()

圖1

A.飛船從1軌道變到2軌道要點火加速

B.飛船在1軌道的周期大于在2軌道的周期

C.飛船在1軌道的速度大于在2軌道的速度

D.飛船在1軌道的加速度大于在2軌道的加速度

答案ACD

解析飛船從低軌道向高軌道變軌時，需要點火加速，A正確；由“高軌低速大

周期”的運動規(guī)律可知，飛船在1軌道上的線速度、角速度、向心加速度均大于

在2軌道上的，周期小于在2軌道上的，B錯誤，C、D正確。

2.在地球周圍有許多人造地球衛(wèi)星繞著它運轉(zhuǎn)，其中一些衛(wèi)星的軌道近似為圓，

且軌道半徑逐漸變小。若衛(wèi)星在軌道半徑逐漸變小的過程中，只受到地球引力和

稀薄氣體阻力的作用，則下列判斷正確的是()

A.衛(wèi)星的動能逐漸減小

B.由于地球引力做正功，引力勢能一定減小

C.由于稀薄氣體阻力做負功，地球引力做正功，機械能保持不變

D.衛(wèi)星克服稀薄氣體阻力做的功等于引力勢能的減小量

答案B

解析在衛(wèi)星軌道半徑變小的過程中，地球引力做正功，引力勢能一定減小，衛(wèi)

星軌道半徑變小，動能增大，由于稀薄氣體阻力做負功，機械能減小，選項A、

C錯誤，B正確；根據(jù)動能定理，衛(wèi)星動能增大，衛(wèi)星克服稀薄氣體阻力做的功

小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力勢能的減小量，所以衛(wèi)星

克服稀薄氣體阻力做的功小于引力勢能的減小量，選項D錯誤。

3.(2024·江蘇鎮(zhèn)江模擬)如圖2所示，神舟十四號載人飛船與天和核心艙對接前飛

船經(jīng)B點由橢圓軌道Ⅰ變軌至圓形軌道Ⅱ，A、B兩點分別為軌道Ⅰ的近地點和

遠地點，已知引力常量G，地球質(zhì)量M，B點到地心的距離為rB。下列說法正確

的是()

圖2

A.飛船在軌道Ⅰ上從A點運行到B點的過程中速率變大

GM

B.飛船在軌道Ⅰ上經(jīng)過B點時的速率vB>

rB

C.飛船在軌道Ⅰ上經(jīng)過B點時需點火減速才能實現(xiàn)變軌

D.飛船在軌道Ⅱ上運行時的機械能大于在軌道Ⅰ上運行時的機械能

答案D

解析根據(jù)開普勒第二定律可知，飛船在軌道Ⅰ上從A點運行到B點的過程中速

率變小，故A錯誤；若在軌道Ⅱ上做圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，有

2

MmvBGM

＝，解得B＝，飛船在軌道Ⅰ上經(jīng)過點需加速才能進入軌道Ⅱ，

G2mvB

rBrBrB

GM

所以飛船在軌道Ⅰ上經(jīng)過B點時的速率vB<，故B錯誤；飛船在軌道Ⅱ上

rB

的半徑大于軌道Ⅰ的半長軸，從軌道Ⅰ變軌到軌道Ⅱ，在B點應點火加速，火箭

對飛船做正功，機械能增加，故C錯誤，D正確。

4.(多選)(2024·湖南長沙模擬)2023年2月24日下午，“逐夢寰宇問蒼穹——中國

載人航天工程三十年成就展”開幕式在中國國家博物館西大廳舉行，載人航天進

行宇宙探索過程中，經(jīng)常要對航天器進行變軌。某次發(fā)射Z衛(wèi)星時，先將Z衛(wèi)星

發(fā)射至近地圓軌道Ⅰ，Z衛(wèi)星到達軌道Ⅰ的A點時實施變軌進入橢圓軌道Ⅱ，到

達軌道Ⅱ的遠地點B時，再次實施變軌進入軌道半徑為4R(R為地球半徑)的圓軌

道Ⅲ繞地球做圓周運動。下列判斷正確的是()

圖3

A.Z衛(wèi)星可能是一顆地球同步衛(wèi)星

B.Z衛(wèi)星在軌道Ⅱ上運行的周期大于在軌道Ⅲ上運行的周期

C.Z衛(wèi)星在軌道Ⅲ上經(jīng)過B點時的速度大于在軌道Ⅱ上經(jīng)過B點時的速度

D.Z衛(wèi)星在圓軌道Ⅲ上運行時的加速度小于它在圓軌道Ⅰ上運行時的加速度

答案CD

解析地球半徑為R＝6400km，該衛(wèi)星的離地高度為3R＝19200km，而地球同

步衛(wèi)星的離地高度約為36000km，故Z衛(wèi)星不是地球同步衛(wèi)星，故A錯誤；根

r3

據(jù)開普勒第三定律＝k知，軌道Ⅱ半長軸小于軌道Ⅲ的半徑，則Z衛(wèi)星在軌道

T2

Ⅱ上運行的周期小于在軌道Ⅲ上運行的周期，故B錯誤；Z衛(wèi)星從軌道Ⅱ上B點

GMm

進入圓軌道Ⅲ，需加速，故C正確；Z衛(wèi)星繞地球運動時，根據(jù)F＝＝ma，

r2

GM

得a＝，可見離地越遠(r越大)，加速度越小，故Z衛(wèi)星在圓軌道Ⅲ上運行時

r2

的加速度小于它在圓軌道Ⅰ上運行時的加速度，故D正確。

5.(多選)(2024·福建福州模擬)2021年2月，天問一號火星探測器被火星捕獲，經(jīng)

過系列變軌后從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”，為著陸火星做準備。如圖4所示，

陰影部分為探測器在不同軌道上繞火星運行時與火星的連線每秒掃過的面積，下

列說法正確的是()

圖4

A.圖中兩陰影部分的面積不相等

B.從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”探測器周期變大

C.從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”探測器機械能變大

D.探測器在P點的加速度大于在N點的加速度

答案AD

解析根據(jù)開普勒第二定律可知探測器在同一軌道上相等時間內(nèi)與火星的連線掃

過的面積相等，但是圖中兩陰影部分不在同一軌道，不相等，故A正確；根據(jù)開

普勒第三定律可知，從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”，探測器的軌道半長軸變

小，周期變小，故B錯誤；從“調(diào)相軌道”進入“停泊軌道”，探測器做向心運

GMm

動，需要減速，探測器機械能變小，故C錯誤；根據(jù)公式＝ma可知探測器

r2

在P點的加速度大于在N點的加速度，故D正確。

對點練2雙星和多星模型

6.(多選)(2024·安徽合肥模擬)如圖5甲所示，河外星系中兩黑洞A、B的質(zhì)量分別

為M1和M2，它們以兩者連線上的某一點O為圓心做勻速圓周運動。為研究方便，

簡化為如圖乙所示的示意圖，黑洞A、B均可看成球體，OA>OB。下列說法正確

的是()

圖5

A.黑洞A的運行線速度大小小于黑洞B的運行線速度大小

B.若兩黑洞間的距離一定，把黑洞B上的物質(zhì)移到黑洞A上，他們之間的引力變

大

C.若兩黑洞間的距離一定，把黑洞A上的物質(zhì)移到黑洞B上，他們運行的周期變

大

D.人類要把航天器發(fā)射到距黑洞A較近的區(qū)域進行探索，發(fā)射速度一定大于第三

宇宙速度

答案BD

解析黑洞A、B運行的角速度相同，A的半徑較大，則A的線速度較大，A錯

GM1M22GM1M22

誤；設它們相距為L，角速度為ω，根據(jù)＝M1ωLOA，＝M2ωLOB，

L2L2

可得M1<M2，則當B的質(zhì)量減小，A的質(zhì)量增加時，兩個質(zhì)量的乘積變大，故它

G(M1＋M2)

們之間的引力變大，B正確；根據(jù)LOA＋LOB＝L，整理得ω＝，根據(jù)

L3

2π

T＝可知角速度不變，周期不變，C錯誤；人類要把航天器發(fā)射到距黑洞A較

ω

近的區(qū)域進行探索，必須沖出太陽系，所以發(fā)射速度一定大于第三宇宙速度，D

正確。

7.(多選)宇宙中存在一些離其他恒星較遠的三星系統(tǒng)，其中一種三星系統(tǒng)如圖6

所示。三顆質(zhì)量均為m的星體位于等邊三角形的三個頂點，三角形邊長為R。忽

略其他星體對它們的引力作用，三星在同一平面內(nèi)繞三角形中心O做勻速圓周運

動，引力常量為G，則()

圖6

Gm

A.每顆星做圓周運動的線速度大小為

R

3Gm

B.每顆星做圓周運動的角速度為

R3

R3

C.每顆星做圓周運動的周期為2π

3Gm

D.每顆星做圓周運動的加速度與三星的質(zhì)量無關

答案ABC

m2m23

解析每顆星受到的合力為F＝2Gsin60°＝3G，軌道半徑為r＝R，由向

R2R23

v24π23GmGm3Gm

心力公式得F＝ma＝m＝mω2r＝mr，解得a＝，v＝，ω＝，

rT2R2RR3

R3

T＝2π，顯然加速度a與m有關，故A、B、C正確，D錯誤。

3Gm

對點練3天體中的追及相遇問題

8.(2024·湖南師大附中模擬)沖日是指某一外行星(火星、木星、土星、天王星、海

王星、冥王星)于繞日公轉(zhuǎn)過程中運行到與地球、太陽成一直線的狀態(tài)，已知火星

的公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)周期的1.9倍，半徑約為地球的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)

量的1，現(xiàn)認為地球和火星在同一平面上、沿同一方向繞太陽做勻速圓周運動，下

9

列說法中正確的是()

A.火星沖日時間間隔約為兩年零一個月

B.火星與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約為6∶1

C.火星與地球表面重力加速度之比約為2∶9

D.火星與地球密度之比約為4∶9

答案A

2πT地T火

解析由(ω地－ω火)t＝2π和T＝，可得火星沖日時間間隔t＝＝2.1年，

ωT火－T地

23

T火r火

選項A正確；由開普勒第三定律可得＝，則火星與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比約

23

T地r地

GM

為3∶2，選項B錯誤；由g＝，可得火星與地球表面重力加速度之比約為4∶9，

R2

3M

選項C錯誤；由ρ＝，可得火星與地球密度之比約為8∶9，選項D錯誤。

4πR3

9.(多選)(2024·河北衡水模擬)“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的

冬季。假設火星和地球的冬季時間是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時

長約為地球的1.88倍?；鹦呛偷厍蚶@太陽的公轉(zhuǎn)均可視為在同一平面上的勻速圓

周運動，且繞行方向相同。下列說法正確的是()

A.火星與地球距離最近時火星相對于地球的速度最小

B.火星的運行軌道半徑約為地球的1.88倍

C.火星與地球相鄰兩次距離最近的時間間隔約為2.14年

D.地球公轉(zhuǎn)的線速度為火星公轉(zhuǎn)線速度的1.88倍

答案AC

解析由于火星和地球運動的線速度大小不變，在距離最近處火星和地球速度方

向相同，相對速度最小，故A正確；由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期約為地球公轉(zhuǎn)

Mm4π2r3

周期的1.88倍，根據(jù)G＝mr，可得T＝2π，可知火星的運行軌道半

r2T2GM

2π－2π

徑不是地球的1.88倍，故B錯誤；設兩次距離最近的時間間隔為t，則T地T火t

Mmv2GM

＝2π，解得t＝2.14年，故C正確；根據(jù)G＝m，可得v＝，結合B

r2rr

選項，可知火星的公轉(zhuǎn)線速度小于地球的公轉(zhuǎn)線速度，但不是1.88倍的關系，故

D錯誤。

B級綜合提升練

10.一近地衛(wèi)星的運行周期為T0，地球的自轉(zhuǎn)周期為T，則地球的平均密度與地球

不因自轉(zhuǎn)而瓦解的最小密度之比為()

T0T

A.B.

TT0

22

T0T

C.2D.2

TT0

答案D

2π2

Mm43

解析對近地衛(wèi)星，有G＝mT0R，地球的質(zhì)量M＝ρ1·πR，聯(lián)立解得ρ1

R23

＝3π，以地球赤道處一質(zhì)量為的物體為研究對象，只有當它受到的萬有引力

2m0

GT0

大于等于它隨地球一起旋轉(zhuǎn)所需的向心力時，地球才不會瓦解，設地球不因自轉(zhuǎn)

2π2

Mm0433π

而瓦解的最小密度為ρ2，則有G＝m0TR，M＝ρ2·πR，聯(lián)立解得ρ2＝，

R23GT2

2

所以ρ1＝T，故正確。

2D

ρ2T0

11.“天問一號”探測器需要通過霍曼轉(zhuǎn)移軌道從地球發(fā)送到火星，地球軌道和火

星軌道看成圓形軌道，此時霍曼轉(zhuǎn)移軌道是一個近日點M和遠日點P分別與地球

軌道、火星軌道相切的橢圓軌道(如圖7所示)，在近日點短暫點火后“天問一號”

進入霍曼轉(zhuǎn)移軌道，接著“天問一號”沿著這個軌道運行直至抵達遠日點，然后

再次點火進入火星軌道。已知引力常量為G，地球軌道和火星軌道半徑分別為r

和R，地球、火星、“天問一號”運行方向都為逆時針方向。若只考慮太陽對“天

問一號”的作用力，下列