專題23.3中位線與位似圖形1.三角形中位線定義(兩邊中點連線)及性質(zhì):平行于第三邊且等于第三邊一半;（重點）2.區(qū)分三角形中位線(兩邊中點連線)與中線(頂點到對邊中點連線)（重點）3.區(qū)分三角形中位線(兩邊中點連線)與中線(頂點到對邊中點連線)（難點）4.動態(tài)幾何中，需通過構(gòu)造中點(如連接對角線中點)創(chuàng)造中位線模型，轉(zhuǎn)化分散條件。（難點）5.混淆“位似”與“相似”:位似是特殊相似(必須共位似中心)，相似不一定位似;（難點）知識點1三角形的中位線1.三角形的中位線的定義連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖，∴DE是的中位線．2.三角形的中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖3.三角形的中位線的應(yīng)用(1)三角形的中位線定理反映了三角形的中位線與第三邊的雙重關(guān)系:一是位置關(guān)系，可以用來證兩直線平行;二是數(shù)量關(guān)系，可以用來證線段的倍分關(guān)系(2)中位線具有平移角、倍分轉(zhuǎn)化線段的功能，因此當(dāng)遇到中點或中線時，應(yīng)考慮構(gòu)造中位線，即我們常說的“遇到中點想中位線”;相應(yīng)地，若知道了三角形的中位線，則三角形兩邊的中點即可找到1.一個三角形有三條中位線；2.三條中位線將原三角形分割成四個全等的三角形；3.三角形的中位線與三角形的中線的區(qū)別:三角形的中線是連結(jié)一頂點和它的對邊中點的線段，而三角形的中位線則是連結(jié)兩邊中點的線段；4.三角形的一條中位線與第三邊上的中線互相平分.知識點2三角形的重心1，三角形的重心，三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心2.三角形重心的性質(zhì)三角形的重心與一邊中點的連線的長是對應(yīng)中線長的注意:經(jīng)過三角形頂點和重心的直線必然平分這個頂點的對邊三角形的重心到頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍.三角形的重心是三角形中每條中線的一個三等分點。知識點3位似圖形的定義1.定義，兩個圖形不僅相似，而且對應(yīng)點的連線所在直線相交于一點，像這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心2.位似與相似的關(guān)系(1)相似僅要求兩個圖形形狀完全相同，而位似是在相似的基礎(chǔ)上要求對應(yīng)點的連線所在直線相交于一點(2)如果兩個圖形是位似圖形，那么這兩個圖形必是相似圖形，但是相似的兩個圖形不一定是位似圖形，因此位似是相似的特殊情況兩個位似圖形的位似中心有且只有一個.位似中心可能位于兩個位似圖形的同側(cè)，也可能位于兩個位似圖形之間，還可能位于兩個位似圖形的內(nèi)部邊上或某一頂點處，常見位似圖形的構(gòu)成如圖知識點4位似圖形的性質(zhì)位似圖形具有的性質(zhì)(1)位似圖形每組對應(yīng)點的連線所在直線必過位似中心(2)位似圖形任意一組對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相似比.(3)位似圖形的對應(yīng)線段平行(或在一條直線上)(4)兩個圖形位似，則這兩個圖形必相似，其周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方利用位似圖形的性質(zhì)，可以把一個圖形放大或縮小，同時也可以確定位似中心利用位似圖形的性質(zhì)可以求兩個位似圖形的相似比知識點5位似圖形的畫法畫位似圖形的步驟(1)確定位似中心(位似中心可以在圖形外部，也可以在圖形內(nèi)部，還可以在圖形的邊上或某一個頂點處);(2)分別連結(jié)位似中心和能代表原圖的關(guān)鍵點;(3)根據(jù)相似比，確定所畫位似圖形的關(guān)鍵點的位置；(4)順次連結(jié)所作各點，可以得到位似圖形位似中心的選取一般考慮使畫圖方便且符合要求以一點為位似中心畫位似圖形時，符合要求的圖形往往不唯一，一般情況下，同一個位似中心的兩側(cè)各有一個符合要求的圖形題型一、與三角形中位線有關(guān)的求解問題例1（24-25九年級上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，矩形中，，交于點，，分別為，的中點，若，則的長為（

）A．16 B． C． D．【答案】A【分析】本題考查中位線的性質(zhì)，熟練掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；根據(jù)中位線的性質(zhì)求出長度，再依據(jù)矩形的性質(zhì)進行求解問題．【詳解】解：、分別為、的中點，．∵四邊形是矩形，．故選：A1-1（24-25九年級上·廣西桂林·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點A是反比例函數(shù)，過點A作軸于點B，點C是y軸負(fù)半軸上一點，連接交x軸于點D，若是的中位線，的面積為3，則k的值為（

）A． B． C．6 D．12【答案】A【分析】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，三角形中位線定理，設(shè)點A的坐標(biāo)為，則，，，先根據(jù)三角形的中位線定理可得，，再根據(jù)三角形的面積公式可得的值，由此即可得．【詳解】解：設(shè)點A的坐標(biāo)為，則，，，∵是的中位線，∴，，∵的面積為3，，∴，即，∴，故選：A．1-2（24-25九年級上·福建泉州·期中）如圖，點是的重心，連接交于，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的重心：重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為，也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，中位線的性質(zhì)．先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)得，為的中點，為的中點，根據(jù)中位線性質(zhì)得出，證明，得出，得出，設(shè)，則，，得出，求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵點G是的重心，，為的中點，為的中點，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，．故答案為：．1-3（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）如圖，在矩形中，，，R和P分別是，上的點，E和F分別是，的中點，當(dāng)點P在上從點B向點C移動，時，線段的長是．

【答案】/【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟練掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)勾股定理可求出，再根據(jù)中位線定理即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接，

在矩形中，，，，在中，，∵點分別是的中點，∴，故答案為：．1-4（24-25九年級上·北京通州·期中）如圖，點D、E分別是邊的中點，點F在上，且．連接并延長，與的延長線相交于點M．若，求線段的長．【答案】．【分析】本題考查三角形中位線定理及三角形相似的判定與性質(zhì)．根據(jù)D、E分別是邊的中點得到，，，從而得到，即可得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案．【詳解】解：∵點D、E分別是邊的中點，∴，．∴．∴．∵，，∴．∴．∴．題型二、與三角形中位線有關(guān)的證明例2（24-25九年級上·河南平頂山·期中）順次連接下面四邊形各邊的中點，所得的新四邊形不是矩形的是（

）A．矩形 B．正方形C．菱形 D．對角線互相垂直的四邊形【答案】A【分析】本題考查中位線，特殊四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，熟練掌握中點四邊形的特征是解題的關(guān)鍵．分別畫出圖形，利用中位線依次證明即可．【詳解】解：A中，∵如圖，四邊形是矩形，∴不一定垂直于，∵、、、分別為、、、的中點，∴，，，，∴，，∵不一定垂直于，∴不一定垂直于，∴四邊形不一定是矩形；故選項A符合題意；B中，∵如圖，四邊形是正方形，∴，∵、、、分別為、、、的中點，∴，，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是矩形；故選項B不符合題意；C中，如圖，四邊形是菱形，同選項B可得四邊形是矩形；故選項C不符合題意；D中，如圖，四邊形中，，同選項B可得四邊形是矩形；故選項D不符合題意；故選：A．2-1（24-25九年級上·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形邊的中點，要使四邊形為矩形，應(yīng)添加的條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了矩形的判定定理，平行四邊形的性質(zhì)與判定，三角形中位線定理，連接，由三角形中位線定理得到，，進而可證明四邊形是平行四邊形，要使四邊形是矩形，那么，則，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接，∵E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形邊的中點，∴分別是的中位線，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴要使四邊形是矩形，那么，則，故選：D．2-2（24-25九年級上·寧夏銀川·期中）若四邊形的兩條對角線和相等，則順次連接四邊形各邊的中點得到四邊形為．【答案】菱形【分析】本題考查了中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定定理、菱形的判定定理，掌握中位線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四邊形中，分別為各邊中點，根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖，四邊形中，分別為各邊中點，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴，∴四邊形是菱形，故答案為：菱形．2-3（23-24九年級上·河南鄭州·期中）如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形的邊，，，的中點，連接四邊形各邊中點，當(dāng)四邊形滿足條件，四邊形是矩形．【答案】【分析】本題主要考查對三角形的中位線定理，平行四邊形的判定，矩形的判定．根據(jù)三角形的中位線定理得到，，，，推出，，，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形得出四邊形是平行四邊形；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形的對角線滿足的條件時，四邊形是矩形．【詳解】解：、分別是、中點，，，同理，，，，四邊形是平行四邊形．、、、分別為四邊形四條邊上的中點，，，，，又四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形；故答案為：；題型三、三角形中位線的實際應(yīng)用例3（24-25九年級上·甘肅蘭州·期中）如圖，D、E、F分別是三邊中點．(1)求證：四邊形是平行四邊形；(2)若四邊形是矩形，，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）由三角形中位線定理得到，再由兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形是平行四邊形；（2）先由矩形的性質(zhì)得到，再由勾股定理得到，最后根據(jù)三角形中位線定理即可得到．【詳解】（1）證明：∵D、E、F分別是三邊中點，∴分別是的中位線，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）解：如圖所示，連接，∵若四邊形是矩形，∴，∵，，∴，∵E、F分別是的中點，∴是的中位線，∴．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，熟知三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊長的一半是解題的關(guān)鍵．3-1（24-25九年級上·福建泉州·期中）如圖是人字梯及其側(cè)面示意圖，，為支撐架，為拉桿，D，E分別是，的中點，若，則B，C兩點的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了三角形中位線的實際應(yīng)用，等式的性質(zhì)等知識點，熟練掌握三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．利用三角形的中位線定理即可直接得出答案．【詳解】解：∵D，分別是，的中點，，，故選：．3-2（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）如圖，為測量位于一水塘旁的兩點，間的距離，在地面上確定點，分別取，的中點，，量得，則，之間的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三角形中位線定理，根據(jù)三角形中位線定理解答即可，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，分別是，的中點，∴是的中位線，∴，∴，之間的距離是，故選：．3-3（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）為了倡導(dǎo)全民健身，某小區(qū)在公共活動區(qū)域安裝了健身器材，其中蹺蹺板很受歡迎．如圖，點O為蹺蹺板的中點，支柱垂直于地面，垂足為C，．當(dāng)蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記定理是解題的關(guān)鍵．過點B作垂直底面于點D，判斷出是的中位線，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得．【詳解】解：如圖，過點B作垂直底面于點D，，，點O為蹺蹺板的中點，是的中位線，，，故選：B．3-4（24-25九年級上·河南周口·期中）如圖，為了測量池塘邊A、B兩地之間的距離，在的同側(cè)取一點C，連接并延長至點D，連接并延長至點E，使得，．若測得，則A，B間的距離是．【答案】13【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，熟練掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形中位線定理解答即可．【詳解】解：∵，，∴A、B分別是、的中點，∴是的中位線，∴，故答案為：13．3-5（23-24九年級上·福建泉州·期中）要測池塘，兩地的距離，小明想出一個方法：如圖，在池塘外取點，得到線段，，并取，的中點，，連接，測得米，則．【答案】【分析】本題考查的是三角形中位線定理，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半求解即可．【詳解】∵，的中點，，∴是的中位線，∴（米），故答案為：．題型四、位似圖形的識別例4（24-25九年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在三角形外取一點O，連接并取它們的中點分別為D，E，F(xiàn)，得三角形，則下列說法正確的個數(shù)是（

）①與位似；②與周長比為；③與面積比為；④與是相似圖形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查位似圖形的判定與性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)中點定義得到，進而證明與位似，，可判斷①④正確；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可判斷②③，進而可得答案．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)是、、的中點，∴，又、、相交于O，∴與位似，故①正確；∴，故④正確，∴與的相似比為，∴與周長比為，與面積比為，故②正確，③錯誤；綜上，說法正確的有3個，故選：C．4-1（24-25九年級上·河南鄭州·期中）下列圖形中不是位似圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題主要考查了位似圖形，正確把握位似圖形的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形的定義，如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，那么這樣的兩個圖形叫作位似圖形，根據(jù)位似圖形的定義逐項判斷即可得出答案．【詳解】解：、是位似圖形，故本選項不符合題意；、是位似圖形，故本選項不符合題意；、是位似圖形，故本選項不符合題意；、不是位似圖形，故本選項符合題意；故選：．4-2（23-24九年級上·安徽阜陽·期中）如圖為用杭州亞運會吉祥物蓮蓮所作的圖形改變，這種圖形改變屬于（

）

A．平移 B．位似 C．旋轉(zhuǎn) D．軸對稱【答案】B【分析】本題考查了位似變換，理解圖形的形狀相同，大小不相同，屬于位似變換，是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：這種圖形改變屬于圖形的形狀相同，大小不相同，所以屬于位似變換．故選B．題型五、判斷位似中心例5（24-25九年級上·河南鄭州·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三角形是等腰三角形，，三角形與三角形是位似圖形，其中對應(yīng)點和坐標(biāo)分別是，則位似中心坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，求一次函數(shù)解析式；先確定位似中心為點P，然后用待定系數(shù)法求出直線的解析式為：，再求出直線與x軸的交點坐標(biāo)，即可得出答案．【詳解】解：連接，如圖所示：∵A與是對應(yīng)點，與為對應(yīng)點，∴與的交點P為位似中心，∵與都在x軸上，∴點P在x軸上，設(shè)直線的解析式為：，把代入得：，解得：，∴直線的解析式為：，把代入得：，解得：∴位似中心坐標(biāo)是，故選：A．5-1（24-25九年級上·湖南郴州·期中）下列圖中的兩個菱形是位似圖形，它們的位似中心是（

）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】A【分析】本題考查位似變換，理解位似變換的定義是解題關(guān)鍵．根據(jù)位似圖形對應(yīng)點的連線交于一點，交點就是位似中心解答即可．【詳解】解：如圖，連接對應(yīng)點，交于點P，則點即為位似中心．故選：A．5-2（24-25九年級上·河南開封·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與是位似圖形，各頂點都在格點上，則位似中心的坐標(biāo)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了位似中心、坐標(biāo)與圖形等知識．根據(jù)圖示，對應(yīng)點的連線都經(jīng)過同一點，該點就是位似中心．據(jù)此進行解答即可．【詳解】解：如下圖，點即為所求的位似中心．故選：D．5-3（24-25九年級上·河北邢臺·期末）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的與位似，則位似中心是（

）A．點R B．點P C．點Q D．點O【答案】D【分析】本題主要考查了位似中心的確定，連接對應(yīng)點，對應(yīng)點連線的交點即為位似中心，作圖可得答案．【詳解】解：如圖所示，位似中心是點．故選：D．5-4（24-25九年級上·河北唐山·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，與（其頂點都在該網(wǎng)格的格點上）是位似三角形．若取格點，則這兩個三角形的位似中心是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】本題考查了位似變換，掌握確定位似圖象的位似中心的方法是解題的關(guān)鍵．連接對應(yīng)點，對應(yīng)點所在的直線相交于一點，即為位似中心，據(jù)此進行作答即可．【詳解】解：∵與（（其頂點都在該網(wǎng)格的格點上）是位似三角形，∴如圖：連接，，

則，，相交于一點Q，∴這兩個三角形的位似中心是點Q．故選：B．題型六、位似圖形相關(guān)概念辨析例6（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，與位似，點為位似中心，且的面積是面積的9倍，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的面積之比等于位似比的平方和位似圖形的性質(zhì)得到，，則，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式求解即可．【詳解】解：∵與位似，點為位似中心，且的面積是面積的9倍，∴，∴，又∵，∴，故選；B．6-1（23-24九年級上·內(nèi)蒙古包頭·期中）下列命題為真命題的是（）A．對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形B．每條線段只有一個黃金分割點C．兩邊對應(yīng)成比例且一個角相等的兩個三角形相似D．位似圖形一定是相似圖形【答案】D【分析】本題主要考查了真假命題的判斷、正方形的判定、黃金分割點、相似三角形的判定以及位似圖形等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．根據(jù)正方形的判定條件分析判斷選項A；根據(jù)黃金分割點的概念分析判斷選項B；根據(jù)相似三角形的判定條件判斷選項C；根據(jù)位似圖形的定義分析判斷選項D．【詳解】解：A、對角線相等且互相垂直的平行四邊形是正方形，故A不符合題意；B、每條線段有兩個黃金分割點，故B不符合題意；C、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，故C不符合題意；D、位似似圖形一定是相似圖形，正確，故D符合題意．故選：D．6-2（23-24九年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，與位似，位似中心為點O，，的面積為18，則面積為．【答案】//【分析】此題考查了位似的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)，先求出，再根據(jù)與位似得到，由相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，與位似，，，的面積為18，，故答案為：．6-3（24-25九年級上·吉林長春·期末）如圖，以點為位似中心，把放大為原來的2倍得到．以下說法正確的是．（填序號）①；②；③點、、在同一條直線上；④．【答案】②③④【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷③正確；①錯誤；②正確；再由，可得，可得，可判斷④正確．【詳解】解：∵以點O為位似中心，把放大為原圖形的2倍得到，∴，且相似比為，點，，三點在同一條直線上，故③正確；∴，，，故①錯誤；②正確；∵，∴，∴，∴，故④正確．故答案為：②③④．6-4（23-24九年級上·江西·期末）如圖，與是位似圖形，相似比為，，則的長為．【答案】6【分析】本題考查了位似圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得，，再證出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【詳解】解：∵與是位似圖形，相似比為，∴，，∴，∴，∵，∴，解得，故答案為：6．題型七、相似三角形的判定與性質(zhì)綜合例7（24-25九年級上·重慶合川·期中）如圖，與是位似圖形，點是位似中心，位似比為，若的周長為4，則的周長等于（

）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】A【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意，得到，進而利用兩個相似三角形的周長比等于相似比列式求解即可得到答案，熟記位似圖形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵與是位似圖形，點是位似中心，∴，∴，∴，∴，∴，故選：A．7-1（24-25九年級上·江蘇常州·期中）如圖，與是位似圖形，點O是位似中心，，的周長為12，的周長為（

）A．6 B．18 C．27 D．48【答案】B【分析】本題考查位似圖形，相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形一定相似，相似三角形的周長比等于相思比，進行求解即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，∴，∴，∴與的周長比為：，∵的周長為12，∴的周長為18；故選B．7-2（24-25九年級上·湖南益陽·期中）與是位似圖形，且與的位似比是，已知的周長是9，則的周長是．【答案】3【分析】本題主要考查了位似圖形的性質(zhì)．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，可得，即可求解．【詳解】解：∵與的位似比是，∴，∵的周長是9，∴的周長是．故答案為：37-3（24-25九年級上·寧夏銀川·期中）如圖與位似，位似中心為點，位似比為，則的比值為．【答案】【分析】本題考查位似變換，解題的關(guān)鍵是理解位似變換的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．利用位似變換的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：∵與位似，位似中心為點，位似比為，∴，即比值為，故答案為：．7-4（24-25九年級上·湖南婁底·期中）如圖，與是位似圖形，點O為位似中心，．若，則的長是．【答案】12【分析】本題考查位似變換，相似三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握位似變換的性質(zhì)．先求出相似比，再進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，由題意得：，∴，∵，∴．故答案為：．題型八、畫已知圖形放大或縮小n倍后的位似圖形例8（24-25九年級上·甘肅張掖·階段練習(xí)）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，以點為位似中心，作與的相似比為的位似圖形，則點的對應(yīng)點可能為（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】A【分析】本題考查了作圖-位似變換，連接并延長，使得，得到的對應(yīng)點，即可求解．【詳解】解：如圖所示連接并延長，使得，得到的對應(yīng)點為，

故選：A．8-1（24-25九年級上·甘肅張掖·期末）如圖1，以O(shè)為位似中心，作出的位似，使與的相似比為．圖2和圖3分別為珍珍和明明的作法，兩人的作法中均保證，則下列說法正確的是（

）A．只有珍珍的作法正確 B．只有明明的作法正確C．兩個人的作法都正確 D．兩個人的作法都不正確【答案】C【分析】本題主要考查已知位似中心畫位似圖形，對應(yīng)邊滿足比值等于位似比，根據(jù)此解題即可．【詳解】解：確定位似中心；分別連接并延長位似中心和頂點；根據(jù)相似比，確定對應(yīng)點的位似圖形的點；順次連接各點，得到位視圖形；而珍珍和明明畫的位似圖形，對應(yīng)邊滿足比值等于位似比，則珍珍和明明都正確．故選：C．8-2（23-24九年級上·河北保定·期末）如圖1，以O(shè)為位似中心，作出的位似，使與的位似比為2：1．圖2和圖3分別為珍珍和明明的作法，兩人的作法均保證，則下列說法正確的是（

）A．只有珍珍正確 B．只有明明正確 C．兩個人都正確 D．兩個人都不正確【答案】C【分析】本題主要考查已知位似中心畫位似圖形，對應(yīng)邊滿足比值等于位似比，根據(jù)此解題即可．【詳解】解：確定位似中心；分別連接并延長位似中心和頂點；根據(jù)相似比，確定對應(yīng)點的位似圖形的點；順次連接各點，得到位視圖形；而珍珍和明明畫的位似圖形，對應(yīng)邊滿足比值等于位似比，則珍珍和明明都正確．故選：C．8-3（23-24九年級上·河北承德·期末）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中，以A為位似中心，把放大到原來的2倍，則點C的對應(yīng)點可能為（

）

A．點D B．點E C．點G D．點F【答案】C【分析】本題考查了位似，位似比，根據(jù)位似中心位似比，結(jié)合勾股定理確定即可．【詳解】∵以A為位似中心，把放大到原來的2倍，且，，∴，故，故選C．8-4（23-24九年級上·河北石家莊·期中）如圖，在由小正方形組成的網(wǎng)格中，以點O為位似中心，把縮小到原來的倍，則點A的對應(yīng)點為（

）A．點D B．點E C．點F D．點G【答案】A【分析】本題考查了作圖—位似變換，解題的關(guān)鍵是根據(jù)位似中心和位似比確定對應(yīng)點的位置．連接并延長到使得，則點是點A的對應(yīng)點，據(jù)此可得答案．【詳解】解：如圖所示，連接并延長到使得，則點是點A的對應(yīng)點，即點A的對應(yīng)點為D點，故選A．易錯點1混淆三角形中位線與中線例1如圖，在中，，，，平面上有一點，連接，，若，取的中點．連接，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了勾股定理，三角形的中位線定理，三角形三邊之間的關(guān)系．取的中點N，連接，則，根據(jù)勾股定理求出，由三角形的中位線定理得出，根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系得出，當(dāng)點B、M、N在同一直線上時，取最大值，即可求解．【詳解】解：取的中點N，連接，∵點N為中點，，∴，∵在中，，，∴，∵點M為中點，點N為中點，，∴，∴在中，，即，當(dāng)點B、M、N在同一直線上時，，此時取最大值，故選：A．易錯點2定義辨析題(混淆位似與相似)例2下列說法中，正確的個數(shù)（

）①位似圖形都相似:②兩個等邊三角形一定是位似圖形；③兩個相似多邊形的面積比為5:9．則周長的比為5:9；④兩個大小不相等的圓一定是位似圖形．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)位似圖形的定義（如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點，對應(yīng)邊互相平行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心．）分別對①②④進行判斷，根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方，周長比等于相似比對③進行判斷．【詳解】解：①位似圖形都相似，故該選項正確；②兩個等邊三角形不一定是位似圖形，故該選項錯誤；③兩個相似多邊形的面積比為5:9．則周長的比為，故該選項錯誤；④兩個大小不相等的圓一定是位似圖形，故該選項正確．正確的是①和④，有兩個，故選：B【點睛】本題考查的是位似圖形、相似多邊形性質(zhì)，掌握位似圖形的定義、相似多邊形的性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．1．如圖，在矩形中，對角線、相交于點，平分交邊于點，點是的中點，連接，若，則的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)、角平分線定義推得，則，再結(jié)合勾股定理求出，推出后，結(jié)合中位線定理即可得解．【詳解】解：矩形中，，，又平分，，，，，，，中，，，點是的中點，點是的中點，是的中位線，即．故選：．【點睛】本題考查的知識點是矩形的性質(zhì)、角平分線的定義、等角對等邊、勾股定理解直角三角形、中位線定理，解題關(guān)鍵是熟練掌握中位線定理．2．如圖，在中，、分別為、邊上的中線，與相交于點，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，相似三角形的性質(zhì)與判定等等，證明是的中位線是解題的關(guān)鍵．先證明是的中位線，得到，證明，，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵分別為邊上的中線，∴是的中位線，∴∴，，∴，∴，，，∴四個選項中只有C選項不成立，故選C．3．2023年7月28日第31屆世界大學(xué)生夏季運動會在成都東安湖體育公園開幕．如圖，貝貝想測量東安湖A，B兩點間的距離，他在東安湖的一側(cè)選取一點O，分別取的中點M，N，但M，N之間被障礙物遮擋，故無法測量線段的長，于是貝貝在延長線上分別選取P，Q兩點，且滿足，貝貝測得線段米，則A，B兩點間的距離是（

）米．A．120 B．140 C．160 D．180【答案】D【分析】本題考查了三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，再根據(jù)三角形中位線定理計算即可．【詳解】解：在和中，，，米，點分別為，的中點，是的中位線，米，故選：D．4．如圖，甲圖案變?yōu)橐覉D案，可以用（

）A．旋轉(zhuǎn) B．平移、旋轉(zhuǎn) C．位似、平移 D．軸對稱、旋轉(zhuǎn)【答案】D【分析】本題考查了平移、對稱、旋轉(zhuǎn)、位似等知識點，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識靈活運用．在平面內(nèi)，將一個圖形繞一點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)；軸對稱的特點是一個圖形繞著一條直線對折，直線兩旁的圖形能夠完全重合；平移是指在同一平面內(nèi)，將一個圖形上的所有點都按照某個直線方向做相同距離的移動，這樣的圖形運動叫做圖形的平移運動，簡稱平移；兩個圖形的對應(yīng)點都交于一點，并且對應(yīng)點到的距離的比值都相等的圖形，叫做位似圖形；根據(jù)旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱、位似圖形的定義進行判斷即可解答．【詳解】解：甲圖案先經(jīng)過軸對稱，再繞根部旋轉(zhuǎn)一點角度即可得到乙，只有D符合題意，故選：D．5．如圖所示，在邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，兩個三角形是位似圖形，則它們的位似中心是（

）A．點O B．點P C．點M D．點N【答案】B【分析】根據(jù)位似變換的定義：對應(yīng)點的連線交于一點，交點就是位似中心．即位似中心一定在對應(yīng)點的連線上．【詳解】解：位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上，點M、N為對應(yīng)點，所以位似中心(如圖)在M、N所在的直線上，點P在直線MN上，所以點P為位似中心．故選：B．【點睛】此題主要考查了位似變換的性質(zhì)，利用位似圖形的位似中心位于對應(yīng)點連線所在的直線上，點M、N為對應(yīng)點，得出位似中心在M、N所在的直線上是解題關(guān)鍵．6．如圖，已知與位似，點為位似中心，，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了位似的性質(zhì)，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)判斷解答即可，掌握位似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵與位似，點為位似中心，∴，原選項正確，不符合題意；、∵與位似，點為位似中心，∴，∴，∴，∴，∴，原選項正確，不符合題意；、∵與位似，點為位似中心，∴，∴，原選項錯誤，符合題意；、∵，∴，∴，原選項正確，不符合題意；故選：．7．如圖，是的中位線，作的平分線交于點G，連接，交于點F．若，當(dāng)時，與相似．【答案】8或【分析】先根據(jù)三角形的中位線性質(zhì)得到，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到，則，再分和兩種情況，利用相似三角形的性質(zhì)分別討論求解即可．【詳解】解：∵是的中位線，，∴，，，∵平分，∴，∵