一、課題名稱：等腰三角形的幾何探究二、學習目標1.知識與技能：理解等腰三角形的定義，掌握等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角、三線合一）和判定定理（等角對等邊），并能運用這些性質(zhì)與判定進行簡單的推理、計算和解決實際問題。2.過程與方法：經(jīng)歷等腰三角形性質(zhì)的探究過程，體會觀察、猜想、實驗、驗證、推理等數(shù)學活動在幾何學習中的作用，初步形成幾何直觀和邏輯推理能力。3.情感態(tài)度與價值觀：通過對等腰三角形對稱性的探究，感受幾何圖形的對稱美與和諧美，激發(fā)學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和合作交流的意識。三、學習重點與難點*學習重點：等腰三角形的性質(zhì)（等邊對等角、三線合一）和判定定理（等角對等邊）的理解與應(yīng)用。*學習難點：等腰三角形性質(zhì)“三線合一”的靈活應(yīng)用及輔助線的添加；等腰三角形判定定理的證明思路。四、學習過程（一）溫故知新，引入課題1.回顧與思考：*我們已經(jīng)學習了三角形的基本概念，三角形按邊可以分為哪幾類？（不等邊三角形、等腰三角形、等邊三角形）*什么是等腰三角形？你能舉出生活中含有等腰三角形形狀的例子嗎？（引導學生回憶，如屋頂、紅領(lǐng)巾、交通警示牌等）2.引入定義：*定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊。兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角。*請同學們在練習本上任意畫一個等腰三角形，并標出它的腰、底邊、頂角和底角。（二）動手操作，探究性質(zhì)探究活動一：等腰三角形的對稱性1.請同學們拿出準備好的等腰三角形紙片（可課前自制，或直接在紙上畫出后剪下）。2.將等腰三角形紙片沿某一條直線折疊，使兩部分能夠完全重合。你發(fā)現(xiàn)了什么？這條直線是什么？3.思考：通過折疊，等腰三角形的兩個底角有什么關(guān)系？兩腰呢？探究活動二：等腰三角形的角的關(guān)系1.觀察你所畫的等腰三角形，測量它的兩個底角的度數(shù)，它們有什么數(shù)量關(guān)系？2.大膽猜想：等腰三角形的兩個底角有什么關(guān)系？（引導學生提出“等腰三角形的兩個底角相等”的猜想，即“等邊對等角”）3.推理論證：*已知：在△ABC中，AB=AC。*求證：∠B=∠C。*思考：如何證明兩個角相等？（可提示學生構(gòu)造兩個全等的三角形）*引導學生思考輔助線的作法：*作頂角的平分線AD，交BC于點D。*作底邊BC上的中線AD。*作底邊BC上的高AD。*選擇一種輔助線作法，嘗試完成證明過程。（教師可根據(jù)學生情況進行引導和板書示范，重點強調(diào)全等三角形的判定依據(jù)）*得出結(jié)論：等腰三角形的兩個底角相等（簡寫成“等邊對等角”）。探究活動三：等腰三角形的“三線合一”1.在上述證明過程中，當我們作頂角的平分線AD后，除了得到∠B=∠C外，還能發(fā)現(xiàn)哪些相等的線段或角？AD與BC有什么位置關(guān)系？2.同樣，若作底邊上的中線AD或底邊上的高AD，你又能得到哪些結(jié)論？3.歸納總結(jié)：*等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。*這個性質(zhì)簡稱為等腰三角形的“三線合一”。*思考：“三線合一”的含義是指這三條線在等腰三角形中是同一條線，對嗎？它的前提條件是什么？（三）運用新知，鞏固性質(zhì)例題解析例1：在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，求∠B和∠C的度數(shù)。（引導學生運用“等邊對等角”及三角形內(nèi)角和定理進行計算）例2：在△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∠B=50°。（1）求∠BAD的度數(shù)；（2）判斷AD與BC的位置關(guān)系，并說明理由。（引導學生運用“三線合一”的性質(zhì)解決問題，體會其在簡化證明和計算中的作用）課堂練習1.等腰三角形的一個底角是70°，則它的頂角是多少度？2.等腰三角形的一個角是100°，則它的另外兩個角是多少度？（注意分類討論）3.如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，若BD=3cm，則BC的長為多少？（四）逆向思考，探究判定1.提出問題：我們知道“等邊對等角”，那么反過來，如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊有什么關(guān)系呢？2.猜想與驗證：*已知：在△ABC中，∠B=∠C。*求證：AB=AC。*思考：如何證明兩條邊相等？（再次引導學生構(gòu)造全等三角形或利用角平分線等輔助線）*學生嘗試證明，教師巡視指導。3.得出結(jié)論：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡寫成“等角對等邊”）。這就是等腰三角形的判定定理。思考與辨析：*“等邊對等角”與“等角對等邊”的條件和結(jié)論有何區(qū)別與聯(lián)系？*它們分別在什么情況下使用？（五）綜合運用，拓展提升例題解析例3：求證：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。（引導學生分兩種情況討論：頂角為60°或底角為60°，分別運用等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理證明）變式訓練1.如圖，在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各內(nèi)角的度數(shù)。2.已知：如圖，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC。求證：AB=AC。（引導學生利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義，結(jié)合等腰三角形的判定定理進行證明）（六）課堂小結(jié)與反思1.本節(jié)課我們學習了等腰三角形的哪些主要性質(zhì)和判定方法？*性質(zhì)：*對稱性：等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線（底邊上的中線、底邊上的高）所在的直線是它的對稱軸。*等邊對等角。*三線合一。*判定：*定義法：有兩條邊相等的三角形是等腰三角形。*等角對等邊。2.在探究這些性質(zhì)和判定的過程中，我們主要運用了哪些數(shù)學思想方法？（如：轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等）3.你在學習過程中遇到了哪些困難？是如何解決的？有哪些收獲和體會？（七）課后作業(yè)與延伸1.必做題：教材對應(yīng)練習題，鞏固等腰三角形的性質(zhì)與判定的基本應(yīng)用。2.選做題：*如圖，在△ABC中，AB=AC，E在CA的延長線上，∠AEF=∠AFE。求證：EF⊥BC。（提示：可過A作AD⊥BC，或延長EF交BC于點G）*嘗試用尺規(guī)作圖的方法，作一個等腰三角形，使其底邊長為已知線段a，底邊上的高為已知線段h。3.思考題：等腰三角形中，腰上的中線、腰上的高、底角的平分線是否也具備某種特殊的性質(zhì)？（如“三線合一”或其他等量關(guān)系），請選擇一個進行探究，并記錄你的探究過程和結(jié)論。五、學習評價*能否準確表述等腰三角形的定義、性質(zhì)和判定定理。*能否獨立完成性質(zhì)和判定定理的簡單證明。*能否運用所學知識解決中等難度的幾何計算和證明題。*在探究活動中是否積極參與，能否與同學進行有效合作與交流。*能否對自