專題10圓的證明與計算問題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FG⊥AB于點G．（1）試判斷FG與⊙O的位置關系，并說明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的長．2．如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC＝60°，求線段EF的長．3.如圖所示，在的內接中，，，作于點P，交于另一點B，C是上的一個動點（不與A，M重合），射線交線段的延長線于點D，分別連接和，交于點E．（1）求證：．（2）若，，求的長．（3）在點C運動過程中，當時，求的值．4.如圖所示：與的邊相切于點C，與、分別交于點D、E，．是的直徑．連接，過C作交于G，連接、，與交于點F．（1）求證：直線與相切；（2）求證：；（3）若時，過A作交于M、N兩點（M在線段上），求的長．5.如圖，是的直徑，直線與相切于點，直線與相切于點，點（異于點）在上，點在上，且，延長與相交于點E，連接并延長交于點．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如圖，連接并延長與分別相交于點、，連接．若，，求．6.已知：如圖，AB是的直徑，點為上一點，點D是上一點，連接并延長至點C，使與AE交于點F．（1）求證：是的切線；（2）若平分，求證：．7.如圖，在中，，平分交于點D，O為上一點，經(jīng)過點A、D的分別交、于點E、F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑；（3）求證：．8.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點C，使BC＝OB，點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D，點P是⊙O上一動點（不與點A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個確定的值．回答這個確定的值是多少？并對小明發(fā)現(xiàn)的結論加以證明．9.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點（與點A，B不重合），過點C作直線PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求證：直線PQ是⊙O的切線．（2）過點A作AD⊥PQ于點D，交⊙O于點E，若⊙O的半徑為2，sin∠DAC＝，求圖中陰影部分的面積．10.如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．11．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，E是BC的中點，OE＝3cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長．已知是的外接圓，AD為的直徑，，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，過點D作，交于點G，點H為GD的中點，連接OH，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若的面積為，求線段CG的長．如圖，在中，，平分交于點，過點和點的圓，圓心在線段上，交于點，交于點．（1）判斷與的位置關系，并說明理由；（2）若，，求長．如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作，垂足為點．（1）求證：；（2）判斷直線與的位置關系，并說明理由．15．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，F(xiàn)是AD延長線上一點，連接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．（1）求證：CF是⊙O的切線；（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的長．16．如圖，⊙O與等邊△ABC的邊AC，AB分別交于點D，E，AE是直徑，過點D作DF⊥BC于點F．（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）連接EF，當EF是⊙O的切線時，求⊙O的半徑r與等邊△ABC的邊長a之間的數(shù)量關系．

專題10圓的證明與計算問題（解析版）1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點，以CD為直徑的⊙O分別交AC，BC于點E，F(xiàn)兩點，過點F作FG⊥AB于點G．（1）試判斷FG與⊙O的位置關系，并說明理由．（2）若AC＝3，CD＝2.5，求FG的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）如圖，連接OF，根據(jù)直角三角形的性質得到CD＝BD，得到∠DBC＝∠DCB，根據(jù)等腰三角形的性質得到∠OFC＝∠OCF，得到∠OFC＝∠DBC，推出∠OFG＝90°，于是得到結論；（2）連接DF，根據(jù)勾股定理得到BC＝＝4，根據(jù)圓周角定理得到∠DFC＝90°，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結論．【解答】（1）FG與⊙O相切，理由：如圖，連接OF，∵∠ACB＝90°，D為AB的中點，∴CD＝BD，∴∠DBC＝∠DCB，∵OF＝OC，∴∠OFC＝∠OCF，∴∠OFC＝∠DBC，∴OF∥DB，∴∠OFG+∠DGF＝180°，∵FG⊥AB，∴∠DGF＝90°，∴∠OFG＝90°，∴FG與⊙O相切；（2）連接DF，∵CD＝2.5，∴AB＝2CD＝5，∴BC＝＝4，∵CD為⊙O的直徑，∴∠DFC＝90°，∴FD⊥BC，∵DB＝DC，∴BF＝BC＝2，∵sin∠ABC＝，即＝，∴FG＝．【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，平行線的判定和性質，勾股定理，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關鍵．2．如圖，AB是⊙O的直徑，AC與⊙O交于點F，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足為E．（1）試判斷直線DE與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若⊙O的半徑為2，∠BAC＝60°，求線段EF的長．【答案】見解析。【解析】（1）欲證明DE是⊙O的切線，只要證明∠ODE＝90°即可；（2）過O作OG⊥AF于G，得到AF＝2AG，根據(jù)直角三角形的性質得到AG＝OA＝1，得到AF＝2，推出四邊形AODF是菱形，得到DF∥OA，DF＝OA＝2，于是得到結論．解：（1）直線DE與⊙O相切，連結OD．∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，即∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線；（2）過O作OG⊥AF于G，∴AF＝2AG，∵∠BAC＝60°，OA＝2，∴AG＝OA＝1，∴AF＝2，∴AF＝OD，∴四邊形AODF是菱形，∴DF∥OA，DF＝OA＝2，∴∠EFD＝∠BAC＝60°，∴EF＝DF＝1．【點撥】本題考查切線的判定和性質、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，屬于中考常考題型．3.如圖所示，在的內接中，，，作于點P，交于另一點B，C是上的一個動點（不與A，M重合），射線交線段的延長線于點D，分別連接和，交于點E．（1）求證：．（2）若，，求的長．（3）在點C運動過程中，當時，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）利用圓周角定理得到∠CMA=∠ABC，再利用兩角分別相等即可證明相似；（2）連接OC，先證明MN是直徑，再求出AP和NP的長，接著證明，利用相似三角形的性質求出OE和PE，再利用勾股定理求解即可；（3）先過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，設出再利用三角函數(shù)和勾股定理分別表示出PB和PG，最后利用相似三角形的性質表示出EG，然后表示出ME和NE，算出比值即可．【詳解】（1）解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴．（2）連接OC，∵，∴MN是直徑，∵，∴OM=ON=OC=5，∵，且，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴OC⊥MN，∴∠COE=90°，∵AB⊥MN，∴∠BPE=90°，∴∠BPE=∠COE，又∵∠BEP=∠CEO，∴∴，即由，∴，∴，，∴．（3）過C點作CG⊥MN，垂足為G，連接CN，∵MN是直徑，∴∠MCN=90°，∴∠CNM+∠DMP=90°，∵∠D+∠DMP=90°，∴∠D=∠CNM，∵，∴，設∴∴∴∴∴∵，且，∴，，∵，∴，∴，∴，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴，∴，即∴，∴，，∴，∴的值為．【點睛】考查圓的相關知識、相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)、勾股定理等知識，涉及到了動點問題，解題關鍵是構造相似三角形，正確表示出各線段并找出它們的關系，本題綜合性較強，屬于壓軸題．4.如圖所示：與的邊相切于點C，與、分別交于點D、E，．是的直徑．連接，過C作交于G，連接、，與交于點F．（1）求證：直線與相切；（2）求證：；（3）若時，過A作交于M、N兩點（M在線段上），求的長．【答案】(1)詳見解析;(2)詳見解析;(3)10+．【解析】(1)由兩組平行條件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS證明△BOE≌△BOC,進而推出AB是圓的切線;(2)將DG與OE的交點作為H,根據(jù)直角的性質得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根據(jù)圓周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一組公共角可得△FED∽△DEC,得出,進而推出,即;(3)先根據(jù)題意算出EC,再根據(jù)勾股定理得出直徑CD,從而得出半徑,再利用(2)中的比例條件將AC算出來,延長BO到I,連接ON,根據(jù)垂徑定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分別求出AI和IN,即可得出AN．【詳解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC，∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE，又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE，由題意得：EO=CO，BO=BO，∴△BOE≌△BOC(SAS),∴∠BEO=∠BCO=90°,∴AB是⊙O的切線．(2)如圖所示DG與OE交點作為H點,∵EO//GC,∴∠EHD=∠DGC=90°,又由(1)所知∠AEO=90°,∴AE//DF,∴△AEC∽△DFC,∴,由圓周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,∵DO//GC,∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,又∵∠FED=∠DEC,∴△FED∽△DEC,∴,∴,即．(3)∵,與∠ACE相等角的tan值都相同．∴ED=6,則EC=12,根據(jù)勾股定理可得．∴EO=DO=CO=．由(2)可得,在Rt△AEO中,可得,即,∴,解得AE=,則AC=,AO=．連接ON,延長BO交MN于點I,根據(jù)垂徑定理可知OI⊥MN,∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE．在Rt△AIO中,可得,即,解得OI=5,則AI=10,在Rt△OIN中,,即,解得IN=．∴AN=AI+IN=10+．【點睛】本題考查圓的綜合知識及相似全等,關鍵在于根據(jù)條件結合知識點,特別是輔助線的做法要迎合題目給出的條件．5.如圖，是的直徑，直線與相切于點，直線與相切于點，點（異于點）在上，點在上，且，延長與相交于點E，連接并延長交于點．（1）求證：是的切線；（2）求證：；（3）如圖，連接并延長與分別相交于點、，連接．若，，求．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）【解析】（1）連接OD，根據(jù)等邊對等角可知：∠CAD=∠CDA，∠OAD=∠ODA，再根據(jù)切線的性質可知∠CAO=∠CAD+∠OAD=∠CDA+∠ODA=90°=∠ODC，由切線的判定定理可得結論；（2）連接BD，根據(jù)等邊對等角可知∠ODB=∠OBD，再根據(jù)切線的性質可知∠ODE=∠OBE=90°，由等量減等量差相等得∠EDB=∠EBD，再根據(jù)等角對等邊得到ED=EB，然后根據(jù)平行線的性質及對頂角相等可得∠EDF=∠EFD，推出DE=EF，由此得出結論；（3）過E點作EL⊥AM于L，根據(jù)勾股定理可求出BE的長，即可求出tan∠BOE的值，再利用倍角公式即可求出tan∠BHE的值．【詳解】（1）連接OD，∵，∴∠CAD=∠CDA，∵OA=OD∴∠OAD=∠ODA，∵直線與相切于點，∴∠CAO=∠CAD+∠OAD=90°∴∠ODC=∠CDA+∠ODA=90°∴CE是的切線；（2）連接BD∵OD=OB∴∠ODB=∠OBD，∵CE是的切線，BF是的切線，∴∠OBD=∠ODE=90°∴∠EDB=∠EBD∴ED=EB∵AM⊥AB，BN⊥AB∴AM∥BN∴∠CAD=∠BFD∵∠CAD=∠CDA=∠EDF∴∠BFD=∠EDF∴EF=ED∴BE=EF（3）過E點作EL⊥AM于L，則四邊形ABEL是矩形，設BE=x，則CL=4-x，CE=4+X∴(4+x)2=(4-x)2+62解得：x=∵∠BOE=2∠BHE解得：tan∠BHE=或-3（-3不和題意舍去）∴tan∠BHE=【點睛】本題主要考查了切線的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角函數(shù)/，勾股定理等知識，熟練掌握這些知識點并能熟練應用是解題的關鍵．6.已知：如圖，AB是的直徑，點為上一點，點D是上一點，連接并延長至點C，使與AE交于點F．（1）求證：是的切線；（2）若平分，求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解析】（1）利用為直徑，得出，利用得出，從而得出，進而得出結論；（2）證出即可得出結論．證明：（1）為直徑，，在中，，又，，，即,，又為的直徑，是的切線；（2）平分，，又，，又，，，．【點睛】本題考查了切線的判定，同弧所對的圓周角相等，三角形相似的判定和性質；證明切線有兩種情況（1）有交點，作半徑，證垂直；（2）無交點，作垂直，證半徑．7.如圖，在中，，平分交于點D，O為上一點，經(jīng)過點A、D的分別交、于點E、F．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑；（3）求證：．【答案】（1）見解析（2）8（3）見解析【解析】（1）連接OD，由AD為角平分線得到一對角相等，再由等邊對等角得到一對角相等，等量代換得到內錯角相等，進而得到OD與AC平行，得到OD與BC垂直，即可得證；（2）連接EF，設圓的半徑為r，由sinB的值，利用銳角三角函數(shù)定義即可求出r的值；（3）先判斷出∠AEF＝∠B．再判斷出∠AEF＝∠ADF，進而得出∠B＝∠ADF，進而判斷出△ABD∽△ADF，即可得出結論．【詳解】（1）如圖，連接OD，則OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵點D在⊙O上，∴BC是⊙O的切線；（2）由（1）知，OD⊥BC，∴∠BDO＝90°，設⊙O的半徑為R，則OA＝OD＝OE＝R，∵BE＝8，∴OB＝BE＋OE＝8＋R，在Rt△BDO中，sinB＝，∴sinB＝＝，∴R＝5;(3)連接OD，DF，EF，∵AE是⊙O的直徑，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴，∴AD2＝AB?AF．【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的判定，圓周角的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，求出圓的半徑是解本題的關鍵．8.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為：“一切平面圖形中最美的是圓”．請研究如下美麗的圓．如圖，線段AB是⊙O的直徑，延長AB至點C，使BC＝OB，點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D，點P是⊙O上一動點（不與點A，B重合），連接CD，PE，PC．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）小明在研究的過程中發(fā)現(xiàn)是一個確定的值．回答這個確定的值是多少？并對小明發(fā)現(xiàn)的結論加以證明．【答案】（1）見解析；（2），解析【解析】本題考查了切線的判定與性質及相似三角形的判定與性質．（1）連接OD，DB，由已知可得DE垂直平分OB，于是DB＝DO，而OB＝OD，所以DB＝DO＝OB，即△ODB是等邊三角形，于是∠BDO＝60°，再由等腰三角形的性質及三角形的外角性質可得∠CDB＝30°，從而可得∠ODC＝90°，所以OD⊥CD，所以CD是⊙O的切線；（2）連接OP，由已知條件得OP＝OB＝BC＝2OE，再利用“兩組邊成比例，夾角相等”證明△OEP∽△OPC，最后由相似三角形的對應邊成比例得到結論．【詳解】解：（1）如答圖，連接OD，DB，∵點E是線段OB的中點，DE⊥AB交⊙O于點D，∴DE垂直平分OB，∴DB＝DO．∵DO＝OB，∴DB＝DO＝OB，∴△ODB是等邊三角形，∴∠BDO＝∠DBO＝60°．∵BC＝OB＝BD，且∠DBE為△BDC的外角，∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．∵∠DBO＝60°，∴∠CDB＝30°．∴∠ODC＝∠BDO＋∠BDC＝60°＋30°＝90°，∴OD⊥CD，∴CD是⊙O的切線；（2）這個確定的值是．證明：如答圖，連接OP，∵OP＝OB＝BC＝2OE，∴＝＝，又∵∠COP＝∠POE，∴△OEP∽△OPC，∴＝＝．【點撥】考查切線的判定與性質及相似三角形的判定與性質，熟練掌握相關性質及定理是解題的關鍵．9.如圖，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點（與點A，B不重合），過點C作直線PQ，使得∠ACQ＝∠ABC．（1）求證：直線PQ是⊙O的切線．（2）過點A作AD⊥PQ于點D，交⊙O于點E，若⊙O的半徑為2，sin∠DAC＝，求圖中陰影部分的面積．【答案】（1）見解析；（2）﹣．【解析】（1）連接OC，由直徑所對的圓周角為直角，可得∠ACB＝90°；利用等腰三角形的性質及已知條件∠ACQ＝∠ABC，可求得∠OCQ＝90°，按照切線的判定定理可得結論．（2）由sin∠DAC＝，可得∠DAC＝30°，從而可得∠ACD的度數(shù)，進而判定△AEO為等邊三角形，則∠AOE的度數(shù)可得；利用S陰影＝S扇形﹣S△AEO，可求得答案．【詳解】解：（1）證明：如圖，連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO．∵∠ACQ＝∠ABC，∴∠CAB+∠ABC＝∠ACO+∠ACQ＝∠OCQ＝90°，即OC⊥PQ，∴直線PQ是⊙O的切線．（2）連接OE，∵sin∠DAC＝，AD⊥PQ，∴∠DAC＝30°，∠ACD＝∠ABC=60°．∴∠BAC=30°，∴∠BAD=∠DAC+∠BAC=60°，又∵OA＝OE，∴△AEO為等邊三角形，∴∠AOE＝60°．∴S陰影＝S扇形﹣S△AEO＝S扇形﹣OA?OE?sin60°＝＝．∴圖中陰影部分的面積為﹣．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，求弓形的面積和扇形的面積，等腰三角形的性質，等邊三角形的判定和性質，以及三角函數(shù)，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行解題．10.如圖，AB為⊙O的直徑，C為BA延長線上一點，CD是⊙O的切線，D為切點，OF⊥AD于點E，交CD于點F．（1）求證：∠ADC=∠AOF；（2）若sinC=，BD=8，求EF的長．【答案】（1）見解析；（2）2．【解析】（1）連接OD，根據(jù)CD是⊙O的切線，可推出∠ADC+∠ODA=90°，根據(jù)OF⊥AD，∠AOF+∠DAO=90°，根據(jù)OD=OA，可得∠ODA=∠DAO，即可證明；（2）設半徑為r，根據(jù)在Rt△OCD中，，可得，AC=2r，由AB為⊙O的直徑，得出∠ADB=90°，再根據(jù)推出OF⊥AD，OF∥BD，然后由平行線分線段成比例定理可得，求出OE，，求出OF，即可求出EF．【詳解】（1）證明：連接OD，∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥CD，∴∠ADC+∠ODA=90°，∵OF⊥AD，∴∠AOF+∠DAO=90°，∵OD=OA，∴∠ODA=∠DAO，∴∠ADC=∠AOF；（2）設半徑r，在Rt△OCD中，，∴，∴，∵OA=r，∴AC=OC-OA=2r，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°，又∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴，∴OE=4，∵，∴，∴．【點睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，銳角三角函數(shù)，切線的性質，直徑所對的圓周角是90°，靈活運用知識點是解題關鍵．11．如圖，在半徑為5cm的⊙O中，AB是⊙O的直徑，CD是過⊙O上一點C的直線，且AD⊥DC于點D，AC平分∠BAD，E是BC的中點，OE＝3cm．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）求AD的長．【答案】見解析?！窘馕觥浚?）連接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，AD∥OC，根據(jù)AD⊥DC，即可證明CD是⊙O的切線；（2）由OE是△ABC的中位線，得AC＝6，再證明△DAC∽△CAB，得＝，即＝，從而可得AD＝．【解答】（1）證明：連接OC，如圖：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAO，∵OA＝OC，∴∠CAO＝∠OCA，∴∠DAC＝∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∴CD是⊙O的切線；（2）∵E是BC的中點，且OA＝OB，∴OE是△ABC的中位線，AC＝2OE，∵OE＝3，∴AC＝6，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°＝∠ADC，又∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴＝，即＝，∴AD＝．已知是的外接圓，AD為的直徑，，垂足為E，連接BO，延長BO交AC于點F．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，過點D作，交于點G，點H為GD的中點，連接OH，求證：；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接CG，若的面積為，求線段CG的長．【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）CG=．【解析】（1）先推出∠BAD=∠CAD，然后根據(jù)圓周角定理可得出∠BOD=2∠BAD=2∠CAD，根據(jù)∠BOD=∠AOF，可得出∠AOF=2∠CAD，根據(jù)∠BFC=∠AOF+∠CAD，即可證明結論；（2）連接OG，證明△OBE≌△DOH，即可證明結論；（3）連接AG，過A點作AM⊥CG于點M，過F點作FN⊥AD于點N，先推出DE=2OE，設OE=m，則DE=2m，OB=OD=OA=3m，AE=4m，根據(jù)勾股定理得出CE=BE=，再求出tan∠BOE===，tan∠EAC===，根據(jù)tan∠AOF=tan∠BOE=，得出=，設ON=a，則NF=a，可得tan∠EAC=，解出AN，根據(jù)AN+NO=AO，解出a=m，再根據(jù)S△AOF=·OA·FN=，可求出m=1，可得出DH=1，OD=3，BE=CE=OH=，AE=4，根據(jù)勾股定理可得AC=，根據(jù)OD=OA，DH=HG，得出AG=2OH=，推出cos∠ADG=cos∠ACM，即可求出CM=，利用勾股定理可得AM=，GM=，即可得出答案．【詳解】（1）∵AD為的直徑，，∴，BE=CE，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BOD=2∠BAD，∴∠BOD=2∠CAD，∵∠BOD=∠AOF，∴∠AOF=2∠CAD，∵∠BFC=∠AOF+∠CAD，∴∠BFC=2∠CAD+∠CAD=3∠CAD；（2）連接OG，∵點H為GD的中點，OG=OD，∴DH=GH，OH⊥DG，∵AD⊥BC，∴∠AEB=∠OHD=90°，∵DG∥BF，∴∠BOH=∠OHD=90°，即∠DOH+∠BOD=90°，∵∠BOD+∠OBE=90°，∴∠OBE=∠DOH，又∵OB=OD，∴△OBE≌△DOH，∴BE=OH；（3）如圖，連接AG，過A點作AM⊥CG于點M，過F點作FN⊥AD于點N，由（2）可知DH=OE，∵DG=2DH=2OE，DG=DE，∴DE=2OE，設OE=m，則DE=2m，∴OB=OD=OA=3m，∴AE=4m，在Rt△OBE中，BE==，∴CE=BE=，tan∠BOE===，tan∠EAC===，∵tan∠AOF=tan∠BOE=，∴=，設ON=a，則NF=a，∴tan∠EAC=，∴AN=4a，∵AN+NO=AO，∴4a+a=3m，∴a=m，∴FN=×m=m，∵S△AOF=·OA·FN=，∴·3m·m=，∴m2=1，∴m=±1，∵m>0，∴m=1，∴DH=1，OD=3，由（2）得BE=CE=OH=，AE=4，在Rt△AEC中AC=，∵OD=OA，DH=HG，∴AG=2OH=，∵∠ADG+∠ACG=180°，∠ACM+∠ACG=180°，∴∠ADG=∠ACM，∴cos∠ADG=cos∠ACM，∴，∴，∴CM=，在Rt△ACM中，AM==，在Rt△AGM中，GM==，∴CG=GM-CM=．【點睛】本題考查了圓周角定理，全等三角形性質和判定，銳角三角函數(shù)，垂徑定理，勾股定理，掌握知識點靈活運用是解題關鍵．如圖，在中，，平分交于點，過點和點的圓，圓心在線段上，交于點，交于點．（1）判斷與的位置關系，并說明理由；（2）若，，求長．【答案】（1）與相切．證明見解析；（2）【解析】（1）利用角平分線的定義證明結合等腰三角形的性質證明從而證明結合可得答案；（2）連接，先利用勾股定理求解的長，再證明利用相似三角形的性質列方程組求解即可得到答案．【詳解】解：（1）與相切．理由如下：如圖，連接，平分，在上，是的切線．（2）連接為的直徑，，，解得：所以：的長為：【點睛】本題考查的切線的判定與性質，圓的基本性質，圓周角定理，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．如圖，在中，，以為直徑的交于點，過點作，垂足為點．（1）求證：；（2）判斷直線與的位置關系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）直線與相切，理由見解析．【解析】（1）∵AB為的直徑∴在和中∴（HL）（