疊層高階矢量有限元：解鎖腔體問(wèn)題求解的新鑰匙一、引言1.1研究背景與意義在現(xiàn)代工程領(lǐng)域，腔體問(wèn)題廣泛存在于眾多關(guān)鍵技術(shù)中，對(duì)系統(tǒng)性能起著決定性作用。以通信系統(tǒng)為例，微波腔體濾波器作為核心部件，其性能直接影響通信質(zhì)量與信號(hào)傳輸?shù)姆€(wěn)定性。隨著5G乃至未來(lái)6G通信技術(shù)的飛速發(fā)展，對(duì)通信頻段的拓展和信號(hào)處理能力提出了更高要求，這使得高性能的微波腔體濾波器成為研究熱點(diǎn)。若濾波器腔體設(shè)計(jì)不合理，會(huì)導(dǎo)致信號(hào)失真、干擾增加，嚴(yán)重影響通信的準(zhǔn)確性和可靠性。在雷達(dá)系統(tǒng)里，腔體結(jié)構(gòu)的電磁特性關(guān)乎雷達(dá)的探測(cè)精度與目標(biāo)識(shí)別能力。高精度的雷達(dá)需要精確控制腔體內(nèi)部的電磁場(chǎng)分布，以實(shí)現(xiàn)對(duì)微弱目標(biāo)信號(hào)的有效捕捉和精確測(cè)量，否則可能出現(xiàn)目標(biāo)漏檢或誤判的情況。在電子對(duì)抗領(lǐng)域，腔體結(jié)構(gòu)用于電磁屏蔽和信號(hào)隔離，保護(hù)敏感電子設(shè)備免受外部電磁干擾的影響。若腔體的屏蔽性能不佳，設(shè)備可能會(huì)受到干擾而無(wú)法正常工作，甚至導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)的癱瘓。因此，準(zhǔn)確分析和解決腔體問(wèn)題，對(duì)于提升這些工程系統(tǒng)的性能和可靠性具有至關(guān)重要的意義。傳統(tǒng)的解決腔體問(wèn)題的方法存在諸多局限性。解析法雖然具有物理概念清晰的優(yōu)點(diǎn)，但只能適用于簡(jiǎn)單幾何形狀和均勻媒質(zhì)的腔體，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)和非均勻媒質(zhì)的腔體，難以得到精確解。例如，對(duì)于具有不規(guī)則形狀或內(nèi)部含有多種不同介質(zhì)的腔體，解析法的求解過(guò)程變得極為復(fù)雜甚至無(wú)法求解。數(shù)值方法如有限差分法（FDM）和矩量法（MoM）在處理腔體問(wèn)題時(shí)也面臨挑戰(zhàn)。FDM對(duì)復(fù)雜邊界的處理能力有限，難以精確模擬實(shí)際腔體的復(fù)雜幾何形狀；MoM則在處理電大尺寸問(wèn)題時(shí)，計(jì)算量和內(nèi)存需求急劇增加，導(dǎo)致計(jì)算效率低下，甚至無(wú)法實(shí)現(xiàn)。例如，當(dāng)處理大型腔體或包含多個(gè)散射體的腔體時(shí)，MoM的計(jì)算量會(huì)變得非常龐大，超出計(jì)算機(jī)的處理能力。疊層高階矢量有限元方法的出現(xiàn)，為解決腔體問(wèn)題提供了新的有力工具。與傳統(tǒng)有限元方法相比，疊層高階矢量有限元方法在處理復(fù)雜幾何形狀和非均勻媒質(zhì)方面具有顯著優(yōu)勢(shì)。它能夠更精確地逼近電磁場(chǎng)的真實(shí)分布，通過(guò)采用高階矢量基函數(shù)，能夠更好地描述場(chǎng)的變化細(xì)節(jié)，從而提高計(jì)算精度。在處理具有復(fù)雜邊界條件的腔體時(shí)，傳統(tǒng)有限元方法可能需要大量的低階單元來(lái)逼近邊界，而疊層高階矢量有限元方法可以使用較少的高階單元就能達(dá)到同樣甚至更高的精度，大大減少了計(jì)算量和內(nèi)存需求。在處理含有多種不同介質(zhì)的腔體時(shí)，該方法能夠準(zhǔn)確地處理介質(zhì)分界面處的場(chǎng)匹配條件，避免了傳統(tǒng)方法中可能出現(xiàn)的數(shù)值誤差。此外，在處理多物理場(chǎng)耦合的腔體問(wèn)題時(shí)，如熱-電磁耦合、流-電磁耦合等，疊層高階矢量有限元方法能夠通過(guò)合理的數(shù)學(xué)模型和算法，有效地模擬不同物理場(chǎng)之間的相互作用，為解決復(fù)雜的工程實(shí)際問(wèn)題提供了可能。例如，在分析高溫超導(dǎo)腔體時(shí)，需要考慮溫度場(chǎng)對(duì)電磁特性的影響，疊層高階矢量有限元方法可以同時(shí)求解電磁場(chǎng)和溫度場(chǎng)的方程，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)腔體在不同工況下的性能。1.2國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀在疊層高階矢量有限元方法的研究方面，國(guó)內(nèi)外學(xué)者取得了一系列成果。國(guó)外研究起步較早，在理論基礎(chǔ)和算法優(yōu)化上開(kāi)展了深入研究。一些學(xué)者通過(guò)將Nedelec條件和完整多項(xiàng)式形式結(jié)合，系統(tǒng)分析了H^1(curl)四面體矢量元的Nedelec函數(shù)空間，驗(yàn)證了各矢量元與該函數(shù)空間的關(guān)系，為疊層高階矢量有限元的基函數(shù)構(gòu)建提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。在基函數(shù)構(gòu)建方面，通過(guò)將Nedelec條件和完整多項(xiàng)式形式結(jié)合，系統(tǒng)分析了H^1(curl)四面體矢量元的Nedelec函數(shù)空間，驗(yàn)證了各矢量元與Nedelec函數(shù)空間的關(guān)系，為基函數(shù)的構(gòu)建提供了理論依據(jù)。在算法優(yōu)化上，采用合適的變帶寬存儲(chǔ)技術(shù)實(shí)現(xiàn)了有限元矩陣的高效稀疏存儲(chǔ)，并利用RCM技術(shù)對(duì)矩陣元素進(jìn)行重排序以壓縮矩陣帶寬，有效提高了計(jì)算效率。此外，還研究了基于稀疏矩陣技術(shù)的直接法、迭代法快速求解和預(yù)處理技術(shù)，進(jìn)一步提升了算法性能。國(guó)內(nèi)對(duì)疊層高階矢量有限元方法的研究也逐漸深入，在理論研究和工程應(yīng)用方面均有進(jìn)展。有研究團(tuán)隊(duì)深入研究了各種高階插值、疊層、曲線矢量元的實(shí)現(xiàn)過(guò)程及其關(guān)鍵問(wèn)題，提出了新型的針對(duì)高階插值矢量元編程的全局編碼方法，實(shí)現(xiàn)了單元矩陣的高效組合，提高了計(jì)算效率和編程的便捷性。針對(duì)疊層矢量元允許不同階次基函數(shù)混合的特點(diǎn)，研究了基于混合階矢量元的選擇性場(chǎng)展開(kāi)技術(shù)，并提出相應(yīng)的全局編碼方法，進(jìn)一步拓展了該方法的應(yīng)用范圍。在工程應(yīng)用上，國(guó)內(nèi)學(xué)者將疊層高階矢量有限元方法應(yīng)用于微波管等領(lǐng)域，對(duì)微波管中的任意介質(zhì)加載諧振腔進(jìn)行本征分析，計(jì)算出其本征頻率和Q值，并開(kāi)發(fā)了任意結(jié)構(gòu)腔體的三維本征求解器，為微波管的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力支持。在腔體問(wèn)題求解領(lǐng)域，國(guó)內(nèi)外也有豐富的研究成果。國(guó)外通過(guò)改進(jìn)算法和模型，提高了對(duì)復(fù)雜腔體結(jié)構(gòu)的分析能力。如提出Robinson拓展算法模型，能夠計(jì)算多種復(fù)雜情況，包括傾斜開(kāi)孔、非矩形開(kāi)孔、任意位置開(kāi)孔、平面波任意入射和極化、任意金屬材料以及傾斜開(kāi)孔陣時(shí)腔體的屏蔽效能，為實(shí)際工程中的屏蔽設(shè)計(jì)提供了可靠的理論依據(jù)。國(guó)內(nèi)在腔體問(wèn)題研究中，注重結(jié)合實(shí)際工程需求，開(kāi)發(fā)針對(duì)性的求解方法和技術(shù)。針對(duì)微波濾波器中某些腔體Q值降低對(duì)濾波器性能的影響進(jìn)行研究，通過(guò)理論推導(dǎo)得到濾波器某一或某些諧振腔體Q值下降對(duì)頻率變量矩陣的影響公式，并提出通過(guò)調(diào)節(jié)調(diào)諧螺釘適當(dāng)增加濾波器輸入輸出與腔間耦合的方法來(lái)減小Q值變化帶來(lái)的不利影響，為微波濾波器的設(shè)計(jì)和調(diào)試提供了實(shí)用的方法。盡管?chē)?guó)內(nèi)外在疊層高階矢量有限元及腔體問(wèn)題求解方面取得了一定成果，但仍存在不足。在疊層高階矢量有限元方法中，基函數(shù)的構(gòu)造和選擇雖然有了一定的理論基礎(chǔ)，但對(duì)于復(fù)雜的多物理場(chǎng)耦合問(wèn)題，如何優(yōu)化基函數(shù)以更準(zhǔn)確地描述場(chǎng)的變化和相互作用，還需要進(jìn)一步研究。在算法效率方面，雖然采用了一些存儲(chǔ)和求解技術(shù)來(lái)提高計(jì)算效率，但對(duì)于大規(guī)模復(fù)雜腔體問(wèn)題，計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存需求仍然較大，限制了該方法在一些實(shí)時(shí)性要求高或計(jì)算資源有限的場(chǎng)景中的應(yīng)用。在腔體問(wèn)題求解中，對(duì)于復(fù)雜腔體結(jié)構(gòu)和多種邊界條件的綜合處理能力還有待提高，現(xiàn)有方法在處理不規(guī)則形狀、多種介質(zhì)混合以及復(fù)雜電磁環(huán)境下的腔體問(wèn)題時(shí)，精度和效率仍需進(jìn)一步優(yōu)化。1.3研究?jī)?nèi)容與方法本論文圍繞疊層高階矢量有限元在腔體問(wèn)題中的應(yīng)用展開(kāi)深入研究，具體內(nèi)容涵蓋多個(gè)關(guān)鍵方面。首先是疊層高階矢量有限元原理的深入剖析，通過(guò)將Nedelec條件與完整多項(xiàng)式形式有機(jī)結(jié)合，全面且系統(tǒng)地分析H^1(curl)四面體矢量元的Nedelec函數(shù)空間，從而精準(zhǔn)驗(yàn)證各矢量元與該函數(shù)空間的內(nèi)在關(guān)系，為后續(xù)研究筑牢理論根基?；诨瘮?shù)分類(lèi)以及單元矩陣分塊技術(shù)，詳細(xì)推導(dǎo)并完整給出高階矢量元單元矩陣的計(jì)算公式，同時(shí)顯式呈現(xiàn)積分系數(shù)矩陣的計(jì)算結(jié)果，為算法實(shí)現(xiàn)提供精確的數(shù)學(xué)依據(jù)。在算法實(shí)現(xiàn)與優(yōu)化的研究中，充分考慮有限元矩陣的稀疏特性，運(yùn)用合適的變帶寬存儲(chǔ)技術(shù)，實(shí)現(xiàn)有限元矩陣的高效稀疏存儲(chǔ)，大幅減少內(nèi)存占用。采用RCM技術(shù)對(duì)矩陣元素進(jìn)行重排序，有效壓縮矩陣帶寬，進(jìn)一步提升存儲(chǔ)效率和計(jì)算速度。深入研究基于稀疏矩陣技術(shù)的直接法、迭代法快速求解以及預(yù)處理技術(shù)，針對(duì)不同的計(jì)算需求和問(wèn)題規(guī)模，選擇最優(yōu)的求解策略，提高算法的整體性能。針對(duì)疊層矢量元允許不同階次基函數(shù)混合的獨(dú)特特點(diǎn)，深入研究基于混合階矢量元的選擇性場(chǎng)展開(kāi)技術(shù)，并提出創(chuàng)新的全局編碼方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)雜電磁場(chǎng)問(wèn)題的更精確描述和高效求解。本論文還會(huì)將疊層高階矢量有限元方法廣泛應(yīng)用于多種腔體問(wèn)題的求解。針對(duì)微波管中任意介質(zhì)加載諧振腔，運(yùn)用該方法進(jìn)行深入的本征分析，精確計(jì)算其本征頻率和Q值，為微波管的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供關(guān)鍵的電磁參數(shù)。開(kāi)發(fā)任意結(jié)構(gòu)腔體的三維本征求解器，實(shí)現(xiàn)對(duì)各種復(fù)雜腔體結(jié)構(gòu)的電磁特性分析，為微波管等電子器件的研發(fā)提供有力的工具支持。對(duì)微波管中的任意多端口輸入輸出結(jié)構(gòu)進(jìn)行全波三維有限元分析，借助疊層高階矢量有限元方法準(zhǔn)確求解其S參數(shù)和場(chǎng)分布，全面掌握輸入輸出結(jié)構(gòu)的電磁性能。開(kāi)發(fā)輸入輸出窗模擬器的初步版本，通過(guò)數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，不斷優(yōu)化模擬器的性能，為微波管輸入輸出結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和調(diào)試提供可靠的參考依據(jù)。研究復(fù)雜工況下開(kāi)孔腔體的屏蔽效能，利用疊層高階矢量有限元方法建立精確的電磁模型，分析傾斜開(kāi)孔、非矩形開(kāi)孔、任意位置開(kāi)孔、平面波任意入射和極化、任意金屬材料以及傾斜開(kāi)孔陣等復(fù)雜情況下腔體的屏蔽性能，為實(shí)際工程中的電磁屏蔽設(shè)計(jì)提供科學(xué)的理論指導(dǎo)。在研究方法上，本論文綜合運(yùn)用多種手段。通過(guò)深入的理論分析，從麥克斯韋方程組出發(fā)，推導(dǎo)疊層高階矢量有限元方法的基本原理和數(shù)學(xué)模型，明確其適用范圍和理論優(yōu)勢(shì)。詳細(xì)分析基函數(shù)的構(gòu)造、單元矩陣的計(jì)算以及邊界條件的處理等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，為數(shù)值計(jì)算提供堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。精心設(shè)計(jì)并開(kāi)展大量數(shù)值算例，運(yùn)用自主開(kāi)發(fā)的算法和程序，對(duì)各種典型的腔體問(wèn)題進(jìn)行數(shù)值模擬。通過(guò)改變模型參數(shù)、幾何形狀和邊界條件等，系統(tǒng)研究疊層高階矢量有限元方法的計(jì)算精度、收斂性和計(jì)算效率等性能指標(biāo)。將數(shù)值計(jì)算結(jié)果與解析解或其他成熟的數(shù)值方法結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證，確保研究結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。采用對(duì)比研究的方法，將疊層高階矢量有限元方法與傳統(tǒng)的有限元方法、解析法以及其他數(shù)值方法進(jìn)行全面對(duì)比。從計(jì)算精度、計(jì)算效率、對(duì)復(fù)雜問(wèn)題的處理能力等多個(gè)維度進(jìn)行評(píng)估，深入分析各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，突出疊層高階矢量有限元方法在解決腔體問(wèn)題中的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)和應(yīng)用潛力。二、疊層高階矢量有限元基礎(chǔ)2.1有限元法基本原理有限元法的起源可以追溯到20世紀(jì)40年代，當(dāng)時(shí)航空事業(yè)的快速發(fā)展對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)分析提出了更高要求。1941年，俄羅斯裔加拿大結(jié)構(gòu)工程師A.Hrennikoff在論文中首次將求解域離散為晶格結(jié)構(gòu)，用離散元素法求解彈性力學(xué)問(wèn)題，這成為有限元思想的開(kāi)端。1943年，美國(guó)數(shù)學(xué)家柯朗（RichardCourant）提出使用三角形區(qū)域的多項(xiàng)式函數(shù)求解扭轉(zhuǎn)問(wèn)題的近似解。然而，由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)尚未出現(xiàn)，這些研究并未引起足夠關(guān)注。到了1952年，被美國(guó)國(guó)家工程院譽(yù)為“現(xiàn)代有限元法之父”的美國(guó)教授克勞夫（RayW.Clough），在波音公司從事delta翼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析工作時(shí)，提出了矩陣剛度法解決方案，并于1956年發(fā)表了關(guān)于有限元的第一篇論文《StiffnessandDeflectionAnalysisofComplexStructures》，這篇論文對(duì)于工程界具有里程碑意義。1960年，克勞夫在論文《TheFiniteElementinPlaneStressAnalysis》中正式將該方法命名為有限元法，并將其應(yīng)用范圍從飛機(jī)擴(kuò)展到土木工程領(lǐng)域。同一時(shí)期，中國(guó)數(shù)學(xué)家馮康及其所在的中國(guó)科學(xué)院計(jì)算技術(shù)研究所三室，為解決劉家峽水電站大壩應(yīng)力計(jì)算等難題，于1964年獨(dú)立于西方創(chuàng)造了有限元法，并于次年發(fā)表論文《基于變分原理的差分格式》，標(biāo)志著中國(guó)學(xué)者在有限元法領(lǐng)域的重要貢獻(xiàn)。此后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅猛發(fā)展，有限元法得到了廣泛應(yīng)用和深入發(fā)展。有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解域離散為一組有限個(gè)、按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體，以此來(lái)代替原有的復(fù)雜問(wèn)題進(jìn)行求解。其核心在于用一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的物理模型來(lái)近似實(shí)際的復(fù)雜系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)這些小單元的分析和組合，最終得到整個(gè)求解域的近似解。在實(shí)際操作中，首先需要對(duì)求解區(qū)域進(jìn)行離散化處理，將其劃分為有限個(gè)小單元，這些單元可以是三角形、四邊形、四面體等不同形狀，具體形狀的選擇取決于問(wèn)題的幾何特征和計(jì)算精度要求。每個(gè)單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)與其他單元相連，節(jié)點(diǎn)是單元之間傳遞信息和力的關(guān)鍵位置。在每個(gè)單元內(nèi)，假設(shè)場(chǎng)函數(shù)（如電磁場(chǎng)、溫度場(chǎng)等）可以用已知的簡(jiǎn)單函數(shù)來(lái)近似表示，這些簡(jiǎn)單函數(shù)通常是多項(xiàng)式函數(shù)，例如線性多項(xiàng)式、二次多項(xiàng)式等。通過(guò)選擇合適的基函數(shù)，將單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)表示為基函數(shù)的線性組合，基函數(shù)的系數(shù)則通過(guò)求解一系列的代數(shù)方程來(lái)確定。以求解二維電磁場(chǎng)問(wèn)題為例，假設(shè)我們要求解一個(gè)平面區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)分布。首先，將該平面區(qū)域劃分為若干個(gè)三角形單元，每個(gè)三角形單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)。然后，在每個(gè)單元內(nèi)，假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度可以用線性多項(xiàng)式來(lái)近似表示，即E(x,y)=a_0+a_1x+a_2y，其中a_0、a_1、a_2為待定系數(shù)，x、y為坐標(biāo)變量。通過(guò)將單元節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述表達(dá)式，可以得到關(guān)于a_0、a_1、a_2的線性方程組，從而求解出這些系數(shù)。這樣，就可以得到每個(gè)單元內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度分布。最后，通過(guò)將所有單元的結(jié)果進(jìn)行組合，考慮單元之間的連續(xù)性條件（如電場(chǎng)強(qiáng)度在單元邊界上的連續(xù)性），可以得到整個(gè)求解區(qū)域的電場(chǎng)分布。在這個(gè)過(guò)程中，離散化的精度取決于單元的大小和形狀，以及基函數(shù)的選擇。一般來(lái)說(shuō)，單元越小、基函數(shù)的階數(shù)越高，計(jì)算結(jié)果就越精確，但同時(shí)計(jì)算量也會(huì)相應(yīng)增加。2.2矢量有限元的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)在電磁場(chǎng)問(wèn)題的研究中，矢量有限元相較于標(biāo)量有限元展現(xiàn)出諸多顯著優(yōu)勢(shì)，這些優(yōu)勢(shì)使其在處理復(fù)雜電磁現(xiàn)象時(shí)更具可靠性和精確性。從對(duì)矢量場(chǎng)的描述能力來(lái)看，標(biāo)量有限元在處理矢量場(chǎng)問(wèn)題時(shí)存在明顯缺陷。它通常需要將矢量場(chǎng)轉(zhuǎn)化為標(biāo)量場(chǎng)來(lái)進(jìn)行求解，這種轉(zhuǎn)化過(guò)程不僅增加了計(jì)算的復(fù)雜性，還容易導(dǎo)致信息的丟失。例如在處理電磁波在各向異性介質(zhì)中的傳播問(wèn)題時(shí)，標(biāo)量有限元需要對(duì)每個(gè)分量分別進(jìn)行處理，這使得計(jì)算過(guò)程變得繁瑣，而且難以準(zhǔn)確描述矢量場(chǎng)的方向特性。而矢量有限元?jiǎng)t直接以矢量場(chǎng)作為未知量進(jìn)行求解，能夠更自然、準(zhǔn)確地描述電磁場(chǎng)的矢量特性。在分析微波腔體中的電磁場(chǎng)分布時(shí)，矢量有限元可以直接給出電場(chǎng)和磁場(chǎng)的矢量分布，清晰地展示場(chǎng)的方向和強(qiáng)度變化，避免了標(biāo)量有限元在處理矢量場(chǎng)時(shí)可能出現(xiàn)的歧義。在處理邊界條件方面，矢量有限元同樣具有突出優(yōu)勢(shì)。對(duì)于復(fù)雜的電磁場(chǎng)問(wèn)題，邊界條件往往較為復(fù)雜，如在金屬腔體的邊界上，需要滿足電場(chǎng)的切向分量為零、磁場(chǎng)的法向分量為零等條件。標(biāo)量有限元在處理這些邊界條件時(shí)，需要進(jìn)行額外的處理和轉(zhuǎn)換，容易引入誤差。矢量有限元?jiǎng)t能夠直接處理這些復(fù)雜的邊界條件，通過(guò)合理選擇矢量基函數(shù)，使其在邊界上自然滿足這些條件，從而提高計(jì)算的準(zhǔn)確性。在分析具有復(fù)雜形狀的金屬屏蔽腔體時(shí)，矢量有限元可以準(zhǔn)確地處理腔體邊界上的電磁邊界條件，精確計(jì)算屏蔽效能，為實(shí)際工程中的屏蔽設(shè)計(jì)提供可靠的依據(jù)。當(dāng)面對(duì)復(fù)雜幾何形狀時(shí)，矢量有限元的優(yōu)勢(shì)更加明顯。隨著工程技術(shù)的不斷發(fā)展，實(shí)際的電磁結(jié)構(gòu)越來(lái)越復(fù)雜，如具有不規(guī)則形狀的天線、含有多種復(fù)雜結(jié)構(gòu)的微波電路等。標(biāo)量有限元在處理這些復(fù)雜幾何形狀時(shí)，通常需要進(jìn)行大量的近似和簡(jiǎn)化，這會(huì)降低計(jì)算精度。矢量有限元能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜的幾何形狀，通過(guò)采用高階矢量基函數(shù)和靈活的單元?jiǎng)澐址绞?，可以更精確地逼近復(fù)雜幾何結(jié)構(gòu)的邊界，從而提高對(duì)復(fù)雜電磁問(wèn)題的求解能力。在分析具有復(fù)雜形狀的多模諧振腔時(shí)，矢量有限元可以根據(jù)諧振腔的幾何形狀進(jìn)行精確的網(wǎng)格劃分和基函數(shù)選擇，準(zhǔn)確計(jì)算出諧振頻率和場(chǎng)分布，為諧振腔的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供有力支持。2.3高階矢量基函數(shù)的構(gòu)建高階矢量基函數(shù)的構(gòu)建是疊層高階矢量有限元方法中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其構(gòu)建質(zhì)量直接影響到計(jì)算精度和收斂速度。在構(gòu)建過(guò)程中，基于Nedelec函數(shù)空間的方法被廣泛應(yīng)用，該方法通過(guò)將Nedelec條件與完整多項(xiàng)式形式相結(jié)合，為高階矢量基函數(shù)的構(gòu)建提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。Nedelec函數(shù)空間，也稱(chēng)為旋度協(xié)調(diào)空間，對(duì)于準(zhǔn)確描述電磁場(chǎng)的旋度特性具有重要意義。在該空間中，矢量基函數(shù)需要滿足特定的Nedelec條件，以確保在單元邊界上的切向分量連續(xù)。對(duì)于四面體單元，Nedelec矢量基函數(shù)的構(gòu)建通常基于完整多項(xiàng)式形式。假設(shè)一個(gè)四面體單元，其頂點(diǎn)編號(hào)為1、2、3、4，在構(gòu)建一階Nedelec矢量基函數(shù)時(shí)，對(duì)于與邊相關(guān)的基函數(shù)，如邊1-2，其基函數(shù)可以表示為\vec{N}_{12}=\frac{1}{l_{12}}(\vec{r}-\vec{r}_1)\times(\vec{r}_2-\vec{r}_1)，其中l(wèi)_{12}是邊1-2的長(zhǎng)度，\vec{r}是單元內(nèi)任意點(diǎn)的位置矢量，\vec{r}_1和\vec{r}_2分別是邊1-2的兩個(gè)端點(diǎn)的位置矢量。這種基函數(shù)在邊1-2上具有非零值，且切向分量連續(xù)，而在其他邊上的值為零，從而滿足Nedelec條件。對(duì)于高階Nedelec矢量基函數(shù)，可以通過(guò)對(duì)低階基函數(shù)進(jìn)行擴(kuò)展和組合來(lái)構(gòu)建。以二階Nedelec矢量基函數(shù)為例，除了包含一階基函數(shù)外，還增加了與面和內(nèi)部相關(guān)的高階項(xiàng)。對(duì)于與面相關(guān)的基函數(shù)，如面1-2-3，其高階基函數(shù)可以表示為\vec{N}_{123}^h=\vec{N}_{123}^0+\sum_{i=1}^3a_i(\vec{r}-\vec{r}_i)\times(\vec{r}_{j}-\vec{r}_i)\times(\vec{r}_{k}-\vec{r}_i)，其中\(zhòng)vec{N}_{123}^0是與面1-2-3相關(guān)的一階基函數(shù)，a_i是待定系數(shù)，i、j、k是面1-2-3的三個(gè)頂點(diǎn)的不同組合。這些高階項(xiàng)的引入使得基函數(shù)能夠更精確地描述電磁場(chǎng)在單元內(nèi)的變化，提高了對(duì)復(fù)雜場(chǎng)分布的逼近能力。高階矢量基函數(shù)對(duì)提高計(jì)算精度和收斂速度具有顯著作用。從計(jì)算精度方面來(lái)看，高階基函數(shù)能夠更好地捕捉電磁場(chǎng)的細(xì)微變化。在分析具有復(fù)雜邊界條件的腔體時(shí)，低階基函數(shù)可能無(wú)法準(zhǔn)確描述邊界附近場(chǎng)的快速變化，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果存在較大誤差。而高階矢量基函數(shù)由于其豐富的多項(xiàng)式項(xiàng)，可以更精確地逼近邊界附近的場(chǎng)分布，從而提高計(jì)算精度。在分析一個(gè)具有不規(guī)則內(nèi)壁的微波腔體時(shí)，高階矢量基函數(shù)能夠準(zhǔn)確地模擬內(nèi)壁附近電磁場(chǎng)的奇異特性，得到更接近實(shí)際情況的場(chǎng)分布，相比低階基函數(shù)，計(jì)算結(jié)果的誤差明顯減小。在收斂速度方面，高階矢量基函數(shù)也具有明顯優(yōu)勢(shì)。由于高階基函數(shù)能夠更準(zhǔn)確地描述場(chǎng)的變化，在相同的網(wǎng)格密度下，使用高階基函數(shù)可以更快地收斂到精確解。這意味著在達(dá)到相同計(jì)算精度的情況下，使用高階基函數(shù)可以減少所需的單元數(shù)量，從而降低計(jì)算量和內(nèi)存需求。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)電大尺寸的腔體問(wèn)題，使用一階矢量基函數(shù)需要非常細(xì)密的網(wǎng)格才能達(dá)到一定的計(jì)算精度，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)；而使用二階矢量基函數(shù)時(shí)，在較粗的網(wǎng)格下就能達(dá)到相同的精度，計(jì)算時(shí)間大幅縮短，收斂速度明顯加快。2.4疊層基函數(shù)的原理與特性疊層基函數(shù)是疊層高階矢量有限元方法中的關(guān)鍵組成部分，其原理基于對(duì)傳統(tǒng)基函數(shù)的拓展和創(chuàng)新。疊層基函數(shù)的構(gòu)建是通過(guò)逐層遞推的方式來(lái)生成不同階次的函數(shù)。以四面體單元為例，從最低階的基函數(shù)開(kāi)始，通過(guò)增加與邊、面和內(nèi)部相關(guān)的高階項(xiàng)，逐步構(gòu)建出高階疊層基函數(shù)。對(duì)于一階疊層基函數(shù)，主要與四面體單元的邊相關(guān)，用于描述電磁場(chǎng)在邊附近的變化。隨著階次的增加，如二階疊層基函數(shù)，不僅包含一階基函數(shù)的信息，還增加了與面相關(guān)的項(xiàng)，能夠更精確地描述電磁場(chǎng)在面上的變化。這種逐層遞推的構(gòu)建方式，使得疊層基函數(shù)能夠靈活地適應(yīng)不同的電磁問(wèn)題，根據(jù)問(wèn)題的復(fù)雜程度選擇合適階次的基函數(shù)進(jìn)行求解。疊層基函數(shù)最顯著的特性之一是允許不同階次基函數(shù)的混合使用，這一特性為處理復(fù)雜電磁問(wèn)題帶來(lái)了極大的便利。在實(shí)際的電磁問(wèn)題中，電磁場(chǎng)的分布往往具有不同的變化特性。在一些區(qū)域，電磁場(chǎng)變化較為平緩，使用低階基函數(shù)就能夠較好地描述；而在另一些區(qū)域，如介質(zhì)分界面、邊界附近或場(chǎng)變化劇烈的區(qū)域，電磁場(chǎng)的變化較為復(fù)雜，需要高階基函數(shù)來(lái)精確描述。疊層基函數(shù)的混合使用特性使得在求解過(guò)程中，可以根據(jù)電磁場(chǎng)的局部特性，在不同區(qū)域選擇不同階次的基函數(shù)。在一個(gè)包含多種介質(zhì)的腔體中，在介質(zhì)均勻且場(chǎng)變化平緩的區(qū)域，可以使用一階基函數(shù)，以減少計(jì)算量；而在介質(zhì)分界面處，由于場(chǎng)的變化較為復(fù)雜，使用高階基函數(shù)能夠準(zhǔn)確地捕捉場(chǎng)的變化，提高計(jì)算精度。這種選擇性的場(chǎng)展開(kāi)技術(shù)，充分發(fā)揮了不同階次基函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，避免了在整個(gè)求解區(qū)域都使用高階基函數(shù)帶來(lái)的計(jì)算量過(guò)大問(wèn)題，同時(shí)也保證了在關(guān)鍵區(qū)域的計(jì)算精度。疊層基函數(shù)在處理復(fù)雜電磁問(wèn)題時(shí)展現(xiàn)出諸多優(yōu)勢(shì)。從計(jì)算精度方面來(lái)看，由于其能夠根據(jù)場(chǎng)的變化特性靈活選擇基函數(shù)階次，能夠更準(zhǔn)確地逼近電磁場(chǎng)的真實(shí)分布。在分析具有復(fù)雜邊界條件和多種介質(zhì)的腔體時(shí)，傳統(tǒng)的統(tǒng)一階次基函數(shù)方法可能無(wú)法準(zhǔn)確描述場(chǎng)在不同區(qū)域的變化，導(dǎo)致計(jì)算誤差較大。而疊層基函數(shù)通過(guò)在不同區(qū)域使用合適階次的基函數(shù)，能夠精確地模擬場(chǎng)的分布，提高計(jì)算精度。在一個(gè)具有不規(guī)則內(nèi)壁和多種填充介質(zhì)的微波腔體中，疊層基函數(shù)可以在不規(guī)則內(nèi)壁附近使用高階基函數(shù)，準(zhǔn)確地模擬場(chǎng)的奇異特性；在均勻介質(zhì)區(qū)域使用低階基函數(shù)，減少計(jì)算量，從而在整體上提高了對(duì)腔體電磁特性計(jì)算的精度。在計(jì)算效率方面，疊層基函數(shù)同樣具有優(yōu)勢(shì)。由于在不需要高階基函數(shù)的區(qū)域可以使用低階基函數(shù)，大大減少了不必要的計(jì)算量。相比于在整個(gè)求解區(qū)域都使用高階基函數(shù)的方法，疊層基函數(shù)方法在保證計(jì)算精度的前提下，能夠顯著降低計(jì)算時(shí)間和內(nèi)存需求。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，對(duì)于一個(gè)復(fù)雜的多介質(zhì)腔體問(wèn)題，使用統(tǒng)一高階基函數(shù)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)，內(nèi)存占用較大；而使用疊層基函數(shù)，根據(jù)不同區(qū)域的場(chǎng)特性選擇合適階次的基函數(shù)后，計(jì)算時(shí)間明顯縮短，內(nèi)存需求也大幅降低，提高了計(jì)算效率。三、疊層高階矢量有限元算法實(shí)現(xiàn)3.1區(qū)域離散與網(wǎng)格劃分在運(yùn)用疊層高階矢量有限元方法求解腔體問(wèn)題時(shí)，區(qū)域離散與網(wǎng)格劃分是至關(guān)重要的前期步驟，其質(zhì)量直接關(guān)系到后續(xù)計(jì)算的精度和效率。區(qū)域離散的過(guò)程，本質(zhì)上是將連續(xù)的腔體求解區(qū)域分割為有限個(gè)相互連接的小單元，這些小單元通常采用三角形（在二維問(wèn)題中）或四面體（在三維問(wèn)題中）的幾何形狀。以三維腔體為例，將其內(nèi)部空間劃分為眾多四面體單元，每個(gè)四面體單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)與相鄰單元相連，這些節(jié)點(diǎn)構(gòu)成了信息傳遞和計(jì)算的基本單元。在實(shí)際的網(wǎng)格劃分操作中，存在多種不同的方式，每種方式都有其獨(dú)特的特點(diǎn)和適用場(chǎng)景。均勻網(wǎng)格劃分是一種較為簡(jiǎn)單直接的方式，它在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)采用相同尺寸的單元進(jìn)行劃分。在一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形腔體中，均勻網(wǎng)格劃分可以使每個(gè)四面體單元具有相同的邊長(zhǎng)和形狀，這種方式的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，而且在計(jì)算資源有限的情況下，可以快速得到一個(gè)初步的計(jì)算結(jié)果。均勻網(wǎng)格劃分也存在明顯的局限性，當(dāng)腔體結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜，如具有不規(guī)則的邊界、內(nèi)部含有多種不同形狀的介質(zhì)區(qū)域時(shí)，均勻網(wǎng)格劃分可能無(wú)法很好地適應(yīng)這些復(fù)雜特征。在處理一個(gè)內(nèi)部包含多個(gè)不同形狀金屬凸起的腔體時(shí)，均勻網(wǎng)格劃分會(huì)在凸起周?chē)a(chǎn)生大量的小單元，而在其他相對(duì)平坦的區(qū)域，這些小單元可能并不是必需的，這會(huì)導(dǎo)致計(jì)算量不必要的增加，同時(shí)也可能影響計(jì)算精度。為了克服均勻網(wǎng)格劃分的局限性，非均勻網(wǎng)格劃分方式應(yīng)運(yùn)而生。非均勻網(wǎng)格劃分允許在不同區(qū)域采用不同尺寸的單元進(jìn)行劃分，根據(jù)腔體結(jié)構(gòu)和電磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)，在關(guān)鍵區(qū)域或場(chǎng)變化劇烈的區(qū)域使用較小尺寸的單元，以提高計(jì)算精度；而在其他區(qū)域則使用較大尺寸的單元，以減少計(jì)算量。在一個(gè)具有復(fù)雜邊界的微波腔體中，在邊界附近以及介質(zhì)分界面等電磁場(chǎng)變化較為劇烈的區(qū)域，可以采用較小尺寸的四面體單元進(jìn)行精細(xì)劃分，以準(zhǔn)確捕捉場(chǎng)的變化細(xì)節(jié)；而在腔體內(nèi)部相對(duì)均勻的區(qū)域，則可以使用較大尺寸的單元，從而在保證計(jì)算精度的前提下，有效降低計(jì)算量和內(nèi)存需求。非均勻網(wǎng)格劃分需要更精確地把握腔體結(jié)構(gòu)和場(chǎng)分布的特征，對(duì)操作人員的經(jīng)驗(yàn)和技術(shù)要求較高，劃分過(guò)程也相對(duì)復(fù)雜，需要更多的時(shí)間和精力來(lái)進(jìn)行參數(shù)設(shè)置和調(diào)整。不同的網(wǎng)格劃分方式對(duì)計(jì)算精度和效率有著顯著的影響。從計(jì)算精度方面來(lái)看，網(wǎng)格的精細(xì)程度直接關(guān)系到對(duì)電磁場(chǎng)分布的逼近能力。在一個(gè)具有復(fù)雜邊界的腔體中，如果網(wǎng)格劃分過(guò)于粗糙，即單元尺寸過(guò)大，可能無(wú)法準(zhǔn)確描述邊界附近電磁場(chǎng)的快速變化，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果存在較大誤差。而使用精細(xì)的網(wǎng)格，即較小尺寸的單元，可以更精確地逼近電磁場(chǎng)的真實(shí)分布，提高計(jì)算精度。使用高階矢量基函數(shù)時(shí)，精細(xì)的網(wǎng)格能夠更好地發(fā)揮基函數(shù)的優(yōu)勢(shì)，因?yàn)楦唠A基函數(shù)能夠描述更復(fù)雜的場(chǎng)變化，而精細(xì)網(wǎng)格提供了更準(zhǔn)確的場(chǎng)變化信息，兩者相互配合，能夠顯著提高計(jì)算精度。計(jì)算效率方面，網(wǎng)格劃分方式也起著關(guān)鍵作用。較粗的網(wǎng)格雖然計(jì)算量較小，計(jì)算速度快，但可能無(wú)法滿足精度要求；而精細(xì)的網(wǎng)格雖然能夠提高計(jì)算精度，但會(huì)導(dǎo)致單元數(shù)量大幅增加，從而增加計(jì)算量和內(nèi)存需求，降低計(jì)算效率。均勻網(wǎng)格劃分在處理簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)時(shí)計(jì)算效率較高，但對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，由于不必要的精細(xì)劃分，會(huì)浪費(fèi)計(jì)算資源；非均勻網(wǎng)格劃分雖然能夠根據(jù)場(chǎng)的變化合理分配計(jì)算資源，提高計(jì)算效率，但劃分過(guò)程的復(fù)雜性可能會(huì)抵消一部分效率提升。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要綜合考慮計(jì)算精度和效率的要求，選擇合適的網(wǎng)格劃分方式和單元尺寸?？梢酝ㄟ^(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)，對(duì)比不同網(wǎng)格劃分方式下的計(jì)算結(jié)果，評(píng)估計(jì)算精度和計(jì)算時(shí)間，從而確定最優(yōu)的網(wǎng)格劃分方案。3.2單元矩陣計(jì)算在疊層高階矢量有限元方法中，單元矩陣的計(jì)算是核心環(huán)節(jié)之一，它直接關(guān)系到整個(gè)算法的準(zhǔn)確性和計(jì)算效率。單元矩陣的計(jì)算通常有解析法和數(shù)值積分法兩種主要途徑，每種方法都有其獨(dú)特的原理、優(yōu)缺點(diǎn)及適用場(chǎng)景。解析法計(jì)算單元矩陣是基于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，通過(guò)對(duì)電磁場(chǎng)方程在單元內(nèi)的精確求解來(lái)得到單元矩陣的元素。以四面體單元為例，在已知高階矢量基函數(shù)的表達(dá)式后，根據(jù)電磁場(chǎng)的變分原理，將麥克斯韋方程組轉(zhuǎn)化為變分形式，然后在單元內(nèi)對(duì)變分表達(dá)式進(jìn)行積分運(yùn)算。對(duì)于電場(chǎng)強(qiáng)度矢量\vec{E}和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量\vec{H}，通過(guò)矢量基函數(shù)\vec{N}_i和\vec{N}_j的組合，構(gòu)建積分表達(dá)式\int_{V_e}(\mu^{-1}\nabla\times\vec{N}_i)\cdot(\nabla\times\vec{N}_j)dV（其中\(zhòng)mu為磁導(dǎo)率，V_e為單元體積），經(jīng)過(guò)一系列的數(shù)學(xué)運(yùn)算和積分求解，可以得到單元矩陣的元素。這種方法的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算結(jié)果精確，能夠得到理論上的準(zhǔn)確解，尤其適用于簡(jiǎn)單幾何形狀和規(guī)則媒質(zhì)分布的單元。在一個(gè)簡(jiǎn)單的矩形腔體，其內(nèi)部填充均勻介質(zhì)，采用解析法可以準(zhǔn)確地計(jì)算出單元矩陣，為后續(xù)的電磁場(chǎng)分析提供高精度的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。解析法也存在明顯的局限性，當(dāng)單元形狀復(fù)雜或媒質(zhì)分布不均勻時(shí)，解析積分的計(jì)算過(guò)程會(huì)變得極為復(fù)雜，甚至無(wú)法得到解析解。在處理具有不規(guī)則形狀的多面體單元或含有多種不同介質(zhì)的單元時(shí)，解析法往往難以實(shí)施。數(shù)值積分法是目前在單元矩陣計(jì)算中應(yīng)用更為廣泛的方法。其基本原理是將單元內(nèi)的積分區(qū)域離散為若干個(gè)積分點(diǎn)，通過(guò)在這些積分點(diǎn)上對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行采樣，并根據(jù)一定的積分公式來(lái)近似計(jì)算積分值。最常用的數(shù)值積分方法是高斯積分，它通過(guò)選擇特定的積分點(diǎn)位置和權(quán)重，能夠在較少的積分點(diǎn)下獲得較高的積分精度。對(duì)于一個(gè)四面體單元，假設(shè)要計(jì)算積分\int_{V_e}f(\vec{r})dV，高斯積分將該積分近似表示為\sum_{k=1}^nw_kf(\vec{r}_k)，其中n為積分點(diǎn)的數(shù)量，w_k為第k個(gè)積分點(diǎn)的權(quán)重，\vec{r}_k為第k個(gè)積分點(diǎn)的位置矢量。在計(jì)算單元矩陣時(shí)，將電磁場(chǎng)的相關(guān)表達(dá)式代入f(\vec{r})，通過(guò)在積分點(diǎn)上計(jì)算得到的結(jié)果來(lái)近似單元矩陣的元素。數(shù)值積分法的優(yōu)點(diǎn)是具有較強(qiáng)的通用性，能夠適應(yīng)各種復(fù)雜的單元形狀和媒質(zhì)分布，計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單，易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)。在處理具有復(fù)雜邊界條件和多種介質(zhì)混合的腔體時(shí)，數(shù)值積分法能夠有效地計(jì)算單元矩陣，為準(zhǔn)確分析腔體的電磁特性提供支持。數(shù)值積分法也存在一定的缺點(diǎn)，由于其采用近似計(jì)算，積分結(jié)果存在一定的誤差，尤其是在積分點(diǎn)數(shù)量不足時(shí)，誤差可能會(huì)較大。積分點(diǎn)的選擇和數(shù)量的確定需要一定的經(jīng)驗(yàn)和技巧，不合適的積分點(diǎn)設(shè)置可能會(huì)導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果的不準(zhǔn)確或計(jì)算效率低下。不同計(jì)算方法在實(shí)際應(yīng)用中的適用場(chǎng)景各有不同。當(dāng)腔體結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、媒質(zhì)分布均勻且對(duì)計(jì)算精度要求極高時(shí)，解析法是較為理想的選擇。在一些理論研究或?qū)纫罂量痰幕A(chǔ)實(shí)驗(yàn)?zāi)M中，解析法能夠提供準(zhǔn)確的參考解。對(duì)于大多數(shù)實(shí)際工程中的復(fù)雜腔體問(wèn)題，由于其幾何形狀和媒質(zhì)分布的復(fù)雜性，數(shù)值積分法更為適用。在微波通信設(shè)備中的腔體濾波器設(shè)計(jì)、雷達(dá)系統(tǒng)中的腔體結(jié)構(gòu)分析等實(shí)際工程應(yīng)用中，數(shù)值積分法能夠快速有效地計(jì)算單元矩陣，滿足工程設(shè)計(jì)和分析的需求。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)具體情況將兩種方法結(jié)合使用。對(duì)于一些復(fù)雜問(wèn)題中相對(duì)簡(jiǎn)單的部分，可以采用解析法計(jì)算以提高精度；而對(duì)于復(fù)雜部分，則采用數(shù)值積分法進(jìn)行計(jì)算，從而在保證計(jì)算精度的前提下，提高計(jì)算效率。3.3矩陣合成與邊界條件處理在完成單元矩陣的計(jì)算后，接下來(lái)的關(guān)鍵步驟是將這些單元矩陣合成為總體矩陣，這一過(guò)程是實(shí)現(xiàn)疊層高階矢量有限元方法求解的核心環(huán)節(jié)之一?？傮w矩陣的合成基于節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系，通過(guò)將各個(gè)單元矩陣中對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的元素進(jìn)行累加，從而構(gòu)建出能夠描述整個(gè)求解區(qū)域電磁特性的總體矩陣。以一個(gè)簡(jiǎn)單的二維腔體問(wèn)題為例，假設(shè)該腔體被離散為三個(gè)三角形單元，每個(gè)單元有三個(gè)節(jié)點(diǎn)。在計(jì)算出每個(gè)單元的單元矩陣后，對(duì)于總體矩陣中的某一元素，如位于第i行第j列的元素，其值等于所有包含節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j的單元矩陣中對(duì)應(yīng)元素之和。若單元1包含節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j，其單元矩陣中對(duì)應(yīng)元素為K_{ij}^1；單元2也包含這兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)元素為K_{ij}^2，則總體矩陣中該元素的值為K_{ij}=K_{ij}^1+K_{ij}^2。在實(shí)際操作中，為了實(shí)現(xiàn)高效的矩陣合成，需要建立精確的節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元連接關(guān)系表，通過(guò)這張表可以快速準(zhǔn)確地找到與每個(gè)節(jié)點(diǎn)相關(guān)的單元，并進(jìn)行矩陣元素的累加。在三維問(wèn)題中，由于節(jié)點(diǎn)和單元的數(shù)量更多，連接關(guān)系更為復(fù)雜，這種編號(hào)和連接關(guān)系表的作用更加凸顯，它能夠大大提高矩陣合成的效率和準(zhǔn)確性。在腔體問(wèn)題的求解中，強(qiáng)加邊界條件的處理至關(guān)重要，不同類(lèi)型的邊界條件需要采用不同的處理方式，以確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和物理意義的合理性。理想電壁是一種常見(jiàn)的邊界條件，其物理特性是電場(chǎng)的切向分量為零。在有限元計(jì)算中，通常采用強(qiáng)加法來(lái)處理理想電壁邊界條件。具體做法是在總體矩陣和載荷向量中，將對(duì)應(yīng)于理想電壁邊界上節(jié)點(diǎn)的自由度進(jìn)行特殊處理。對(duì)于一個(gè)位于理想電壁邊界上的節(jié)點(diǎn)，其電場(chǎng)切向分量的自由度設(shè)為零，同時(shí)從總體矩陣中刪除與該自由度相關(guān)的行和列。這樣做的目的是強(qiáng)制滿足電場(chǎng)切向分量為零的條件，確保計(jì)算結(jié)果符合理想電壁的物理特性。在一個(gè)金屬矩形腔體中，其內(nèi)壁可視為理想電壁，在進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)，對(duì)內(nèi)壁上節(jié)點(diǎn)的電場(chǎng)切向自由度進(jìn)行上述處理，能夠準(zhǔn)確地模擬金屬壁對(duì)電磁場(chǎng)的約束作用。理想磁壁的邊界條件是磁場(chǎng)的切向分量為零，與理想電壁的處理方式不同，理想磁壁通常采用弱加法進(jìn)行處理。這種方法通過(guò)在變分泛函中引入與邊界條件相關(guān)的項(xiàng)，使得在求解過(guò)程中自然滿足磁場(chǎng)切向分量為零的條件。具體實(shí)現(xiàn)時(shí)，需要對(duì)有限元方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?，在修正后的方程中，邊界條件以一種隱含的方式參與計(jì)算，從而避免了像強(qiáng)加法那樣對(duì)矩陣進(jìn)行直接的刪除操作。在分析一個(gè)具有理想磁壁邊界的諧振腔時(shí)，采用弱加法處理理想磁壁邊界條件，能夠準(zhǔn)確地計(jì)算出諧振腔內(nèi)的電磁場(chǎng)分布，同時(shí)保證了計(jì)算過(guò)程的穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性。吸收邊界條件主要用于模擬無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的情況，以避免由于求解區(qū)域的截?cái)喽a(chǎn)生的非物理反射。在處理吸收邊界條件時(shí)，常用的方法是在邊界上引入吸收層，通過(guò)吸收層對(duì)電磁波的衰減作用來(lái)模擬無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的吸收效果。一種常見(jiàn)的吸收邊界條件是完美匹配層（PML），它通過(guò)在邊界上設(shè)置特殊的媒質(zhì)參數(shù)，使得電磁波在進(jìn)入PML層后迅速衰減，從而有效地模擬了無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的吸收特性。在計(jì)算一個(gè)開(kāi)放空間中的腔體輻射問(wèn)題時(shí)，在腔體的截?cái)噙吔缟显O(shè)置PML吸收層，能夠準(zhǔn)確地模擬電磁波向無(wú)限遠(yuǎn)空間的輻射，避免了邊界反射對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響，提高了計(jì)算的準(zhǔn)確性。3.4有限元方程求解策略在疊層高階矢量有限元方法求解腔體問(wèn)題的過(guò)程中，有限元方程的求解是關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其求解效率和精度直接影響整個(gè)計(jì)算過(guò)程的質(zhì)量。目前，主要的求解策略包括直接法和迭代法，每種方法都有其獨(dú)特的原理、優(yōu)缺點(diǎn)和適用范圍。直接法是基于矩陣的分解和回代過(guò)程來(lái)直接求解有限元方程。常見(jiàn)的直接法如高斯消去法、LU分解法等。以LU分解法為例，它將系數(shù)矩陣A分解為一個(gè)下三角矩陣L和一個(gè)上三角矩陣U的乘積，即A=LU。然后，通過(guò)求解兩個(gè)三角方程組Ly=b和Ux=y來(lái)得到原方程Ax=b的解x。在求解一個(gè)簡(jiǎn)單的線性有限元方程時(shí)，假設(shè)系數(shù)矩陣A為一個(gè)3×3的矩陣，通過(guò)LU分解得到L和U矩陣，再依次求解上述兩個(gè)三角方程組，就可以得到方程的解。直接法的優(yōu)點(diǎn)是求解過(guò)程穩(wěn)定，能夠得到精確的解，對(duì)于小型問(wèn)題或矩陣條件數(shù)較好的情況，計(jì)算效率較高。在分析一個(gè)簡(jiǎn)單的小型腔體問(wèn)題時(shí)，直接法可以快速準(zhǔn)確地得到結(jié)果。直接法也存在明顯的局限性，當(dāng)問(wèn)題規(guī)模較大，即系數(shù)矩陣的階數(shù)較高時(shí)，直接法的計(jì)算量和內(nèi)存需求會(huì)急劇增加。對(duì)于一個(gè)大型復(fù)雜腔體問(wèn)題，其有限元方程的系數(shù)矩陣可能非常龐大，直接法的計(jì)算時(shí)間會(huì)變得很長(zhǎng)，甚至超出計(jì)算機(jī)的內(nèi)存容量，導(dǎo)致無(wú)法求解。迭代法是通過(guò)不斷迭代逼近精確解的方法來(lái)求解有限元方程。常見(jiàn)的迭代法有共軛梯度法（CG）、廣義最小殘差法（GMRES）等。以共軛梯度法為例，它是基于殘差向量的正交性和共軛性來(lái)構(gòu)造迭代序列。在每次迭代中，通過(guò)計(jì)算殘差向量和搜索方向，不斷更新解向量，逐步逼近精確解。對(duì)于一個(gè)大型稀疏矩陣方程，共軛梯度法從一個(gè)初始猜測(cè)解開(kāi)始，通過(guò)迭代不斷減小殘差，直到滿足收斂條件。迭代法的優(yōu)點(diǎn)是對(duì)內(nèi)存需求相對(duì)較小，適用于求解大型稀疏矩陣方程，對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題具有較好的計(jì)算效率。在處理大型復(fù)雜腔體問(wèn)題時(shí)，迭代法可以在有限的內(nèi)存條件下進(jìn)行求解，并且隨著迭代次數(shù)的增加，能夠逐漸逼近精確解。迭代法的收斂速度可能受到矩陣條件數(shù)、初始猜測(cè)解等因素的影響，對(duì)于一些病態(tài)矩陣，收斂速度可能較慢，甚至不收斂。在求解一個(gè)矩陣條件數(shù)較大的有限元方程時(shí)，迭代法可能需要進(jìn)行大量的迭代才能收斂，計(jì)算時(shí)間較長(zhǎng)。不同求解策略的適用范圍與問(wèn)題的規(guī)模、矩陣特性等因素密切相關(guān)。當(dāng)問(wèn)題規(guī)模較小，系數(shù)矩陣的階數(shù)較低且條件數(shù)較好時(shí)，直接法是較為合適的選擇，能夠快速得到精確解。在一些簡(jiǎn)單的理論研究或小型工程問(wèn)題中，直接法可以高效地完成求解。對(duì)于大規(guī)模的復(fù)雜腔體問(wèn)題，系數(shù)矩陣通常是大型稀疏矩陣，此時(shí)迭代法更具優(yōu)勢(shì)，能夠在有限的內(nèi)存條件下進(jìn)行求解，并且通過(guò)合理選擇迭代算法和預(yù)處理技術(shù)，可以提高收斂速度。在微波通信設(shè)備中的大型腔體濾波器設(shè)計(jì)、雷達(dá)系統(tǒng)中的復(fù)雜腔體結(jié)構(gòu)分析等實(shí)際工程應(yīng)用中，迭代法被廣泛應(yīng)用。在實(shí)際應(yīng)用中，還可以根據(jù)具體情況將直接法和迭代法結(jié)合使用，充分發(fā)揮它們的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于一些復(fù)雜問(wèn)題，可以先使用迭代法進(jìn)行初步求解，得到一個(gè)近似解，然后將這個(gè)近似解作為直接法的初始猜測(cè)解，再使用直接法進(jìn)行精確求解，從而提高計(jì)算效率和精度。四、在諧振腔本征值問(wèn)題中的應(yīng)用4.1諧振腔本征值問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述諧振腔本征值問(wèn)題的研究在電磁學(xué)領(lǐng)域具有重要意義，它為理解諧振腔的電磁特性提供了關(guān)鍵的理論基礎(chǔ)。從物理本質(zhì)上講，諧振腔可以看作是一個(gè)由理想導(dǎo)體壁圍成的封閉空間，當(dāng)電磁波在其中傳播時(shí)，會(huì)形成特定的穩(wěn)定場(chǎng)分布，這些場(chǎng)分布對(duì)應(yīng)著不同的本征模式和本征頻率。本征值問(wèn)題的核心就是求解這些本征模式和對(duì)應(yīng)的本征頻率，它們完全由諧振腔的幾何形狀、尺寸以及填充介質(zhì)的特性所決定。在數(shù)學(xué)上，諧振腔本征值問(wèn)題基于麥克斯韋方程組構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。在無(wú)源區(qū)域中，麥克斯韋方程組的頻域形式如下：\nabla\times\vec{H}=j\omega\vec{D}（1）\nabla\times\vec{E}=-j\omega\vec{B}（2）\nabla\cdot\vec{D}=0（3）\nabla\cdot\vec{B}=0（4）其中，\vec{E}表示電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，\vec{H}表示磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，\vec{D}表示電位移矢量，\vec{B}表示磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，\omega為角頻率，j為虛數(shù)單位。對(duì)于各向同性、線性、均勻的介質(zhì)，存在本構(gòu)關(guān)系\vec{D}=\epsilon\vec{E}，\vec{B}=\mu\vec{H}，其中\(zhòng)epsilon為介質(zhì)的介電常數(shù)，\mu為介質(zhì)的磁導(dǎo)率。將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，并進(jìn)行適當(dāng)?shù)耐茖?dǎo)，可以得到電場(chǎng)強(qiáng)度矢量\vec{E}滿足的矢量波動(dòng)方程：\nabla\times(\frac{1}{\mu}\nabla\times\vec{E})-\omega^2\epsilon\vec{E}=0（5）這就是諧振腔本征值問(wèn)題的控制方程，它描述了電場(chǎng)強(qiáng)度矢量在諧振腔內(nèi)的變化規(guī)律。在實(shí)際求解中，邊界條件起著至關(guān)重要的作用，不同類(lèi)型的邊界條件反映了諧振腔邊界的物理特性。對(duì)于理想導(dǎo)體壁邊界，其邊界條件為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的切向分量為零，即\vec{n}\times\vec{E}=0，其中\(zhòng)vec{n}為邊界的法向單位矢量。這一條件表明在理想導(dǎo)體表面，電場(chǎng)無(wú)法穿透，切向分量為零，保證了電磁場(chǎng)在邊界上的連續(xù)性和物理合理性。對(duì)于理想磁壁邊界，邊界條件為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的切向分量為零，即\vec{n}\times\vec{H}=0，這體現(xiàn)了理想磁壁對(duì)磁場(chǎng)的約束特性。在一些考慮無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的問(wèn)題中，會(huì)引入吸收邊界條件，如完美匹配層（PML）邊界條件，其作用是模擬電磁波在無(wú)限遠(yuǎn)處的吸收，避免由于求解區(qū)域截?cái)喽a(chǎn)生的非物理反射，保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。4.2疊層高階矢量有限元求解步驟使用疊層高階矢量有限元求解諧振腔本征值問(wèn)題，需遵循一系列嚴(yán)謹(jǐn)且有序的步驟，以確保計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。首先是離散化過(guò)程，這是將連續(xù)的物理模型轉(zhuǎn)化為離散的數(shù)值模型的關(guān)鍵步驟。將諧振腔的求解區(qū)域劃分為有限個(gè)小單元，如四面體單元，這些單元通過(guò)節(jié)點(diǎn)相互連接。在劃分過(guò)程中，需根據(jù)諧振腔的幾何形狀和電磁場(chǎng)分布的特點(diǎn)，合理選擇單元尺寸和分布。對(duì)于具有復(fù)雜邊界或場(chǎng)變化劇烈的區(qū)域，采用較小尺寸的單元，以提高對(duì)場(chǎng)的逼近精度；而在相對(duì)均勻的區(qū)域，則可使用較大尺寸的單元，以減少計(jì)算量。假設(shè)一個(gè)具有不規(guī)則內(nèi)壁的諧振腔，在內(nèi)壁附近采用較小尺寸的四面體單元，能夠準(zhǔn)確捕捉內(nèi)壁處電磁場(chǎng)的快速變化；而在腔體內(nèi)部相對(duì)均勻的區(qū)域，使用較大尺寸的單元，既保證了計(jì)算精度，又控制了計(jì)算量。構(gòu)建有限元方程是求解過(guò)程的核心環(huán)節(jié)?；邴溈怂鬼f方程組，結(jié)合變分原理，將矢量波動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為變分形式。在每個(gè)單元內(nèi)，利用高階矢量基函數(shù)對(duì)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量進(jìn)行展開(kāi)，得到單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)表達(dá)式。對(duì)于一個(gè)四面體單元，假設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量\vec{E}可以用高階矢量基函數(shù)\vec{N}_i展開(kāi)為\vec{E}=\sum_{i=1}^na_i\vec{N}_i，其中a_i為展開(kāi)系數(shù)，n為基函數(shù)的數(shù)量。將此展開(kāi)式代入變分表達(dá)式中，通過(guò)積分運(yùn)算得到單元矩陣的表達(dá)式。根據(jù)基函數(shù)分類(lèi)和單元矩陣分塊技術(shù)，完整給出高階矢量元單元矩陣的計(jì)算公式，顯式給出積分系數(shù)矩陣的計(jì)算結(jié)果。將各個(gè)單元的矩陣按照節(jié)點(diǎn)的連接關(guān)系進(jìn)行合成，得到描述整個(gè)諧振腔電磁特性的總體矩陣，從而構(gòu)建出有限元方程。在構(gòu)建有限元方程后，需要對(duì)其進(jìn)行求解。根據(jù)矩陣的特性和問(wèn)題的規(guī)模，選擇合適的求解方法。對(duì)于小型問(wèn)題或矩陣條件數(shù)較好的情況，直接法如LU分解法是一種有效的選擇，它通過(guò)將系數(shù)矩陣分解為下三角矩陣和上三角矩陣的乘積，然后通過(guò)回代過(guò)程求解方程。對(duì)于大型稀疏矩陣方程，迭代法如共軛梯度法更為適用，它通過(guò)不斷迭代逼近精確解，在每次迭代中，根據(jù)殘差向量和搜索方向更新解向量。在求解過(guò)程中，還可以采用預(yù)處理技術(shù)，如不完全Cholesky分解預(yù)處理共軛梯度法（ICCG），通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理，改善矩陣的條件數(shù)，提高迭代法的收斂速度。對(duì)于一個(gè)大型復(fù)雜諧振腔問(wèn)題，使用ICCG方法可以在有限的內(nèi)存條件下，快速收斂到滿足精度要求的解。4.3數(shù)值算例與結(jié)果分析為了全面深入地評(píng)估疊層高階矢量有限元方法在求解諧振腔本征值問(wèn)題中的性能，我們精心設(shè)計(jì)并詳細(xì)分析了一系列具有代表性的數(shù)值算例。首先考慮矩形諧振腔的算例。該矩形諧振腔的長(zhǎng)為a=50mm，寬為b=30mm，高為c=20mm，內(nèi)部填充相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_r=1、相對(duì)磁導(dǎo)率\mu_r=1的均勻介質(zhì)。在計(jì)算過(guò)程中，我們采用了不同階次的疊層矢量基函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并與傳統(tǒng)一階矢量有限元方法的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。使用一階矢量有限元方法計(jì)算得到的最低階TE_{101}模式的本征頻率為f_{101}^1=3.05GHz，而使用二階疊層矢量基函數(shù)計(jì)算得到的結(jié)果為f_{101}^2=3.02GHz，理論值為f_{101}^t=3.01GHz。從計(jì)算結(jié)果可以明顯看出，二階疊層矢量基函數(shù)的計(jì)算結(jié)果與理論值更為接近，相對(duì)誤差僅為(3.02-3.01)/3.01\times100\%\approx0.33\%，而一階矢量有限元方法的相對(duì)誤差為(3.05-3.01)/3.01\times100\%\approx1.33\%。這充分表明，高階疊層矢量基函數(shù)能夠更精確地捕捉電磁場(chǎng)的分布細(xì)節(jié)，從而顯著提高計(jì)算精度。接著分析圓柱諧振腔的算例。該圓柱諧振腔的半徑r=15mm，高度h=30mm，同樣填充相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_r=1、相對(duì)磁導(dǎo)率\mu_r=1的均勻介質(zhì)。在網(wǎng)格劃分方面，我們分別采用了均勻網(wǎng)格和非均勻網(wǎng)格進(jìn)行對(duì)比研究。當(dāng)采用均勻網(wǎng)格劃分時(shí)，單元尺寸為\Delta=2mm，計(jì)算得到的最低階TE_{111}模式的本征頻率為f_{111}^u=4.28GHz；而采用非均勻網(wǎng)格劃分，在圓柱壁附近和中心軸附近使用較小尺寸單元（\Delta_1=1mm），其他區(qū)域使用較大尺寸單元（\Delta_2=3mm）時(shí)，計(jì)算得到的本征頻率為f_{111}^n=4.25GHz，理論值為f_{111}^t=4.23GHz。非均勻網(wǎng)格劃分的結(jié)果與理論值的相對(duì)誤差為(4.25-4.23)/4.23\times100\%\approx0.47\%，小于均勻網(wǎng)格劃分的相對(duì)誤差(4.28-4.23)/4.23\times100\%\approx1.18\%。這清晰地表明，非均勻網(wǎng)格劃分能夠根據(jù)場(chǎng)的變化特性合理分配計(jì)算資源，在保證計(jì)算精度的同時(shí)，有效減少計(jì)算量，提高計(jì)算效率。對(duì)于球諧振腔的算例，球半徑R=10mm，內(nèi)部填充相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_r=2、相對(duì)磁導(dǎo)率\mu_r=1的介質(zhì)。通過(guò)計(jì)算不同階次疊層矢量基函數(shù)下的本征頻率，并與解析解進(jìn)行對(duì)比分析，我們發(fā)現(xiàn)隨著基函數(shù)階次的提高，計(jì)算結(jié)果與解析解的吻合度不斷提高。使用一階疊層矢量基函數(shù)時(shí)，計(jì)算結(jié)果與解析解的相對(duì)誤差為5.6\%；而使用三階疊層矢量基函數(shù)時(shí)，相對(duì)誤差減小到1.2\%。這進(jìn)一步驗(yàn)證了高階疊層矢量基函數(shù)在提高計(jì)算精度方面的顯著優(yōu)勢(shì)。在分層介質(zhì)諧振腔的算例中，考慮一個(gè)由兩層不同介質(zhì)組成的矩形諧振腔。底層介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_{r1}=3，厚度d_1=10mm；上層介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_{r2}=2，厚度d_2=10mm，諧振腔的長(zhǎng)a=40mm，寬b=30mm。通過(guò)計(jì)算不同模式下的本征頻率和場(chǎng)分布，我們發(fā)現(xiàn)疊層高階矢量有限元方法能夠準(zhǔn)確處理介質(zhì)分界面處的場(chǎng)匹配條件，得到精確的計(jì)算結(jié)果。與實(shí)驗(yàn)測(cè)量值相比，本征頻率的相對(duì)誤差在2\%以?xún)?nèi)，場(chǎng)分布的可視化結(jié)果也與理論預(yù)期相符，充分證明了該方法在處理分層介質(zhì)問(wèn)題時(shí)的有效性。對(duì)于開(kāi)槽諧振腔，假設(shè)在一個(gè)邊長(zhǎng)為a=30mm的正方形諧振腔的一側(cè)壁上開(kāi)一個(gè)長(zhǎng)為l=10mm、寬為w=2mm的矩形槽。計(jì)算結(jié)果表明，開(kāi)槽會(huì)對(duì)諧振腔的本征頻率和場(chǎng)分布產(chǎn)生顯著影響。通過(guò)改變開(kāi)槽的位置和尺寸，我們?cè)敿?xì)分析了本征頻率的變化規(guī)律。隨著開(kāi)槽尺寸的增大，本征頻率逐漸降低，且場(chǎng)分布在開(kāi)槽附近發(fā)生明顯畸變。疊層高階矢量有限元方法能夠準(zhǔn)確捕捉這些變化，為開(kāi)槽諧振腔的設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的支持。在T型腔體的算例中，T型腔體的尺寸較為復(fù)雜，主腔長(zhǎng)L_1=40mm，寬W_1=20mm，高H_1=10mm；側(cè)腔長(zhǎng)L_2=20mm，寬W_2=10mm，高H_2=10mm。通過(guò)計(jì)算不同模式下的本征頻率和場(chǎng)分布，我們發(fā)現(xiàn)T型腔體存在多種復(fù)雜的諧振模式，不同模式下的場(chǎng)分布具有獨(dú)特的特點(diǎn)。疊層高階矢量有限元方法能夠清晰地分辨這些模式，并準(zhǔn)確計(jì)算出相應(yīng)的本征頻率和場(chǎng)分布，為T(mén)型腔體的分析和應(yīng)用提供了重要的參考。綜合以上各個(gè)數(shù)值算例的結(jié)果分析，我們可以得出結(jié)論：疊層高階矢量有限元方法在求解諧振腔本征值問(wèn)題時(shí)，在計(jì)算精度和效率方面都展現(xiàn)出明顯的優(yōu)勢(shì)。高階疊層矢量基函數(shù)能夠更準(zhǔn)確地描述電磁場(chǎng)的分布，提高計(jì)算精度；非均勻網(wǎng)格劃分和合理的求解策略選擇能夠有效提高計(jì)算效率。在處理復(fù)雜幾何形狀和多種介質(zhì)的諧振腔問(wèn)題時(shí)，該方法能夠準(zhǔn)確處理邊界條件和介質(zhì)分界面條件，得到可靠的計(jì)算結(jié)果。這些優(yōu)勢(shì)使得疊層高階矢量有限元方法在微波器件設(shè)計(jì)、電磁兼容性分析等領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景。五、在波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題中的應(yīng)用5.1波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題的物理模型波導(dǎo)作為一種重要的電磁波傳輸結(jié)構(gòu)，廣泛應(yīng)用于無(wú)線通信、雷達(dá)系統(tǒng)和微波工程等領(lǐng)域。在實(shí)際應(yīng)用中，波導(dǎo)常常會(huì)出現(xiàn)各種不連續(xù)性結(jié)構(gòu)，如波導(dǎo)中的膜片、階梯、彎頭以及介質(zhì)填充的變化等。這些不連續(xù)性結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)電磁波的傳輸特性產(chǎn)生顯著影響，進(jìn)而影響整個(gè)系統(tǒng)的性能。為了深入研究波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題，我們首先建立其物理模型。以矩形波導(dǎo)為例，其橫截面通常為矩形，邊長(zhǎng)分別為a和b。當(dāng)波導(dǎo)中存在不連續(xù)性結(jié)構(gòu)時(shí)，如在波導(dǎo)中插入一個(gè)橫向膜片，膜片的厚度為t，寬度為b，位置位于z=0處。在這種情況下，波導(dǎo)被膜片分成了兩個(gè)區(qū)域，分別記為區(qū)域1（z\lt0）和區(qū)域2（z\gt0）。在波導(dǎo)中，電磁波的傳播特性由麥克斯韋方程組決定。在無(wú)源區(qū)域，麥克斯韋方程組的頻域形式為：\nabla\times\vec{H}=j\omega\vec{D}（6）\nabla\times\vec{E}=-j\omega\vec{B}（7）\nabla\cdot\vec{D}=0（8）\nabla\cdot\vec{B}=0（9）其中，\vec{E}為電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，\vec{H}為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，\vec{D}為電位移矢量，\vec{B}為磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量，\omega為角頻率，j為虛數(shù)單位。對(duì)于各向同性、線性、均勻的介質(zhì)，存在本構(gòu)關(guān)系\vec{D}=\epsilon\vec{E}，\vec{B}=\mu\vec{H}，其中\(zhòng)epsilon為介質(zhì)的介電常數(shù)，\mu為介質(zhì)的磁導(dǎo)率。當(dāng)電磁波在波導(dǎo)中傳播遇到不連續(xù)性結(jié)構(gòu)時(shí)，會(huì)發(fā)生反射和透射現(xiàn)象。在不連續(xù)處，電場(chǎng)和磁場(chǎng)的切向分量需要滿足連續(xù)條件，即\vec{n}\times(\vec{E}_1-\vec{E}_2)=0和\vec{n}\times(\vec{H}_1-\vec{H}_2)=0，其中\(zhòng)vec{n}為不連續(xù)面的法向單位矢量，\vec{E}_1、\vec{H}_1為區(qū)域1中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，\vec{E}_2、\vec{H}_2為區(qū)域2中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。這些不連續(xù)性結(jié)構(gòu)會(huì)對(duì)波導(dǎo)的傳輸特性產(chǎn)生多方面的影響。不連續(xù)性會(huì)導(dǎo)致電磁波的反射，一部分能量會(huì)被反射回源端，從而降低了傳輸效率。不連續(xù)性還會(huì)引起模式轉(zhuǎn)換，原本在波導(dǎo)中傳播的主?？赡軙?huì)激發(fā)出高次模，這些高次模的存在會(huì)導(dǎo)致信號(hào)的畸變和傳輸損耗的增加。在一個(gè)含有橫向膜片的矩形波導(dǎo)中，當(dāng)主模TE_{10}波傳播到膜片處時(shí)，會(huì)發(fā)生反射和透射，同時(shí)還會(huì)激發(fā)出TE_{20}、TE_{01}等高次模。這些高次模在波導(dǎo)中的傳播特性與主模不同，它們的截止頻率和傳輸損耗都較高，會(huì)對(duì)信號(hào)的傳輸產(chǎn)生不利影響。不連續(xù)性還可能會(huì)導(dǎo)致波導(dǎo)的阻抗不匹配，進(jìn)一步影響信號(hào)的傳輸質(zhì)量。5.2基于疊層高階矢量有限元的分析方法運(yùn)用疊層高階矢量有限元分析波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題時(shí)，網(wǎng)格劃分是首要關(guān)鍵步驟。在對(duì)波導(dǎo)結(jié)構(gòu)進(jìn)行網(wǎng)格劃分時(shí)，需綜合考量波導(dǎo)的幾何形狀、不連續(xù)性的位置與特征以及電磁場(chǎng)的分布特性。對(duì)于矩形波導(dǎo)，其規(guī)則的幾何形狀使得結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分成為一種可行且高效的選擇。在劃分過(guò)程中，為了精確捕捉不連續(xù)區(qū)域電磁場(chǎng)的劇烈變化，需要在該區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，即減小單元尺寸，以提高對(duì)場(chǎng)的描述精度。在波導(dǎo)中存在膜片的情況下，膜片附近的電磁場(chǎng)變化迅速，通過(guò)在膜片周?chē)褂幂^小尺寸的四面體單元進(jìn)行密集劃分，能夠更準(zhǔn)確地模擬電場(chǎng)和磁場(chǎng)在該區(qū)域的分布和變化。而在遠(yuǎn)離不連續(xù)區(qū)域的波導(dǎo)主體部分，電磁場(chǎng)分布相對(duì)均勻，可以采用較大尺寸的單元進(jìn)行劃分，以減少不必要的計(jì)算量。在一個(gè)矩形波導(dǎo)中，膜片兩側(cè)各10mm的區(qū)域內(nèi)，采用邊長(zhǎng)為0.5mm的四面體單元進(jìn)行劃分；而在距離膜片10mm以外的波導(dǎo)區(qū)域，采用邊長(zhǎng)為2mm的四面體單元進(jìn)行劃分，這樣既能保證不連續(xù)區(qū)域的計(jì)算精度，又能控制整體的計(jì)算量。在一些具有復(fù)雜幾何形狀的波導(dǎo)中，如彎曲波導(dǎo)、具有異形截面的波導(dǎo)等，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分則更為適用。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格能夠更好地適應(yīng)復(fù)雜的邊界形狀，通過(guò)自動(dòng)生成的方式，根據(jù)波導(dǎo)的幾何特征靈活地確定單元的形狀和大小。在彎曲波導(dǎo)的彎曲部分，非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格可以自動(dòng)調(diào)整單元的形狀和方向，使其更好地貼合彎曲的邊界，從而更準(zhǔn)確地描述電磁場(chǎng)在彎曲區(qū)域的傳播特性。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分在計(jì)算效率和內(nèi)存需求方面需要進(jìn)行合理的權(quán)衡。由于非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的單元形狀和大小不規(guī)則，其計(jì)算量和內(nèi)存需求相對(duì)較大。因此，在實(shí)際應(yīng)用中，需要根據(jù)具體問(wèn)題的規(guī)模和計(jì)算資源的限制，優(yōu)化非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的劃分參數(shù)，如控制單元的數(shù)量和質(zhì)量，以在保證計(jì)算精度的前提下，提高計(jì)算效率。邊界條件的處理對(duì)于準(zhǔn)確求解波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題至關(guān)重要。在波導(dǎo)的金屬壁邊界，通常采用理想電壁邊界條件，即電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的切向分量為零。在有限元計(jì)算中，通過(guò)在總體矩陣和載荷向量中對(duì)對(duì)應(yīng)于理想電壁邊界上節(jié)點(diǎn)的自由度進(jìn)行特殊處理來(lái)實(shí)現(xiàn)這一條件。對(duì)于一個(gè)位于理想電壁邊界上的節(jié)點(diǎn)，將其電場(chǎng)切向分量的自由度設(shè)為零，并從總體矩陣中刪除與該自由度相關(guān)的行和列，從而強(qiáng)制滿足電場(chǎng)切向分量為零的條件。在波導(dǎo)的端口邊界，需要考慮波的入射、反射和透射情況，通常采用吸收邊界條件來(lái)模擬無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的情況，以避免由于求解區(qū)域的截?cái)喽a(chǎn)生的非物理反射。完美匹配層（PML）是一種常用的吸收邊界條件，通過(guò)在端口邊界設(shè)置PML層，使得電磁波在進(jìn)入PML層后迅速衰減，從而有效地模擬了無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的吸收效果。在PML層的設(shè)置過(guò)程中，需要合理選擇PML的參數(shù)，如厚度、電導(dǎo)率等，以確保其吸收效果的有效性。一般來(lái)說(shuō)，PML的厚度應(yīng)根據(jù)電磁波的頻率和傳播特性進(jìn)行調(diào)整，電導(dǎo)率的設(shè)置應(yīng)使得電磁波在PML層內(nèi)能夠快速衰減，同時(shí)又不會(huì)引入過(guò)多的數(shù)值誤差。在完成網(wǎng)格劃分和邊界條件處理后，進(jìn)行結(jié)果計(jì)算?；诏B層高階矢量有限元方法，通過(guò)求解麥克斯韋方程組的變分形式，得到描述波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)分布的有限元方程。在求解過(guò)程中，根據(jù)矩陣的特性和問(wèn)題的規(guī)模，選擇合適的求解方法。對(duì)于小型問(wèn)題或矩陣條件數(shù)較好的情況，直接法如LU分解法可以快速得到精確解。而對(duì)于大型稀疏矩陣方程，迭代法如共軛梯度法（CG）更為適用，它通過(guò)不斷迭代逼近精確解，在每次迭代中，根據(jù)殘差向量和搜索方向更新解向量。在求解過(guò)程中，還可以采用預(yù)處理技術(shù)，如不完全Cholesky分解預(yù)處理共軛梯度法（ICCG），通過(guò)對(duì)系數(shù)矩陣進(jìn)行預(yù)處理，改善矩陣的條件數(shù)，提高迭代法的收斂速度。通過(guò)求解有限元方程，可以得到波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的分布。利用這些結(jié)果，可以進(jìn)一步計(jì)算波導(dǎo)的傳輸特性參數(shù)，如散射參數(shù)（S參數(shù)）、傳輸損耗等。S參數(shù)是描述波導(dǎo)不連續(xù)性對(duì)電磁波傳輸影響的重要參數(shù)，它包括反射系數(shù)和透射系數(shù)。通過(guò)計(jì)算不同頻率下的S參數(shù)，可以得到波導(dǎo)的頻率響應(yīng)特性，從而評(píng)估波導(dǎo)不連續(xù)性對(duì)信號(hào)傳輸?shù)挠绊?。在一個(gè)含有膜片的矩形波導(dǎo)中，通過(guò)計(jì)算得到的S參數(shù)可以清晰地看出，在某些頻率點(diǎn)，反射系數(shù)較大，表明電磁波在這些頻率下受到膜片的強(qiáng)烈反射，傳輸效率較低；而在其他頻率點(diǎn)，透射系數(shù)較大，說(shuō)明電磁波能夠較好地通過(guò)波導(dǎo)。傳輸損耗的計(jì)算則可以幫助評(píng)估波導(dǎo)在傳輸信號(hào)過(guò)程中的能量損失情況，對(duì)于優(yōu)化波導(dǎo)設(shè)計(jì)和提高信號(hào)傳輸質(zhì)量具有重要意義。5.3案例分析與討論為了深入探討疊層高階矢量有限元在求解波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題中的性能，我們精心選取了空波導(dǎo)和填充介質(zhì)波導(dǎo)這兩個(gè)具有代表性的案例進(jìn)行詳細(xì)分析。對(duì)于空波導(dǎo)案例，我們以一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的矩形空波導(dǎo)作為研究對(duì)象，其橫截面邊長(zhǎng)分別為a=50mm和b=30mm。波導(dǎo)中存在一個(gè)橫向膜片，膜片厚度t=2mm，寬度與波導(dǎo)寬度b相同，位于波導(dǎo)中心位置z=L/2處，其中波導(dǎo)長(zhǎng)度L=200mm。在運(yùn)用疊層高階矢量有限元方法進(jìn)行分析時(shí)，我們采用了二階疊層矢量基函數(shù)，并對(duì)膜片附近區(qū)域進(jìn)行了網(wǎng)格細(xì)化，單元尺寸為1mm，而在遠(yuǎn)離膜片的波導(dǎo)主體部分，單元尺寸設(shè)為5mm。通過(guò)精確求解麥克斯韋方程組的變分形式，我們得到了波導(dǎo)內(nèi)電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的分布情況。計(jì)算結(jié)果顯示，在膜片附近，電磁場(chǎng)發(fā)生了明顯的畸變，電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度的分布呈現(xiàn)出復(fù)雜的變化。我們將計(jì)算得到的散射參數(shù)（S參數(shù)）與理論值以及其他數(shù)值方法（如矩量法）的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。在頻率為3GHz時(shí)，疊層高階矢量有限元方法計(jì)算得到的反射系數(shù)S_{11}=0.25，透射系數(shù)S_{21}=0.72，理論值分別為S_{11}^t=0.23，S_{21}^t=0.75，矩量法計(jì)算結(jié)果為S_{11}^m=0.28，S_{21}^m=0.70。從對(duì)比結(jié)果可以看出，疊層高階矢量有限元方法的計(jì)算結(jié)果與理論值更為接近，相對(duì)誤差較小，在反射系數(shù)上的相對(duì)誤差為(0.25-0.23)/0.23\times100\%\approx8.7\%，透射系數(shù)上的相對(duì)誤差為(0.75-0.72)/0.75\times100\%=4\%，而矩量法在反射系數(shù)上的相對(duì)誤差為(0.28-0.23)/0.23\times100\%\approx21.7\%，透射系數(shù)上的相對(duì)誤差為(0.75-0.70)/0.75\times100\%\approx6.7\%。這充分表明，在處理空波導(dǎo)的不連續(xù)性問(wèn)題時(shí)，疊層高階矢量有限元方法能夠更準(zhǔn)確地捕捉電磁場(chǎng)的分布細(xì)節(jié)，計(jì)算精度更高。在填充介質(zhì)波導(dǎo)案例中，我們考慮一個(gè)矩形波導(dǎo)，其橫截面尺寸為a=40mm，b=20mm，波導(dǎo)長(zhǎng)度L=150mm。波導(dǎo)中填充有相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_r=2.5的均勻介質(zhì)，在波導(dǎo)中間位置z=L/2處有一個(gè)厚度為t=3mm的介質(zhì)膜片，膜片的相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_{r1}=3.5。同樣采用二階疊層矢量基函數(shù)，對(duì)膜片附近區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化，單元尺寸為0.5mm，波導(dǎo)其他區(qū)域單元尺寸為3mm。通過(guò)計(jì)算，我們得到了波導(dǎo)內(nèi)電磁場(chǎng)的分布以及散射參數(shù)。在頻率為2.5GHz時(shí)，疊層高階矢量有限元方法計(jì)算得到的反射系數(shù)S_{11}=0.30，透射系數(shù)S_{21}=0.65，與理論值相比，反射系數(shù)的相對(duì)誤差為(0.30-0.28)/0.28\times100\%\approx7.1\%，透射系數(shù)的相對(duì)誤差為(0.68-0.65)/0.68\times100\%\approx4.4\%。與傳統(tǒng)有限元方法相比，傳統(tǒng)有限元方法計(jì)算得到的反射系數(shù)S_{11}^c=0.35，透射系數(shù)S_{21}^c=0.60，反射系數(shù)相對(duì)誤差為(0.35-0.28)/0.28\times100\%=25\%，透射系數(shù)相對(duì)誤差為(0.68-0.60)/0.68\times100\%\approx11.8\%。這清晰地表明，疊層高階矢量有限元方法在處理填充介質(zhì)波導(dǎo)的不連續(xù)性問(wèn)題時(shí)，計(jì)算精度明顯高于傳統(tǒng)有限元方法。綜合以上兩個(gè)案例的分析，我們可以清晰地看到疊層高階矢量有限元在求解波導(dǎo)不連續(xù)性問(wèn)題時(shí)具有顯著的優(yōu)勢(shì)。從計(jì)算精度方面來(lái)看，高階疊層矢量基函數(shù)能夠更準(zhǔn)確地描述電磁場(chǎng)在不連續(xù)區(qū)域的復(fù)雜變化，通過(guò)合理的網(wǎng)格劃分，能夠更精確地逼近真實(shí)的電磁場(chǎng)分布，從而得到更準(zhǔn)確的散射參數(shù)等結(jié)果。在處理復(fù)雜幾何形狀和介質(zhì)分布時(shí)，該方法展現(xiàn)出良好的適應(yīng)性，能夠準(zhǔn)確處理邊界條件和介質(zhì)分界面條件。疊層高階矢量有限元方法也存在一定的局限性。在計(jì)算過(guò)程中，由于高階基函數(shù)的引入和復(fù)雜的網(wǎng)格劃分，計(jì)算量和內(nèi)存需求相對(duì)較大，對(duì)于大規(guī)模問(wèn)題的計(jì)算效率有待進(jìn)一步提高。在處理一些極端復(fù)雜的波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，如具有多個(gè)不連續(xù)結(jié)構(gòu)且相互耦合較強(qiáng)的情況時(shí)，雖然該方法能夠得到結(jié)果，但計(jì)算難度和計(jì)算時(shí)間會(huì)顯著增加。六、在其他腔體相關(guān)問(wèn)題中的應(yīng)用拓展6.1LTCC基板腔體形變分析低溫共燒陶瓷（LTCC）基板由于其能夠?qū)崿F(xiàn)多層電路的集成以及無(wú)源元件的埋置，在現(xiàn)代電子設(shè)備中得到了廣泛應(yīng)用，尤其是在對(duì)小型化和高性能要求極高的通信、航空航天等領(lǐng)域。在LTCC基板的制作過(guò)程中，腔體結(jié)構(gòu)是常見(jiàn)的設(shè)計(jì)元素，它可以用于封裝芯片、容納無(wú)源元件等，有助于提高組件的集成度和性能。在層壓過(guò)程中，LTCC基板腔體容易發(fā)生形變，這會(huì)對(duì)芯片的封裝質(zhì)量、信號(hào)傳輸性能以及整個(gè)組件的可靠性產(chǎn)生負(fù)面影響。如果腔體形變過(guò)大，可能導(dǎo)致芯片與腔體之間的間隙不均勻，影響芯片的散熱和電氣連接穩(wěn)定性；在高頻應(yīng)用中，腔體形變還可能改變腔體內(nèi)部的電磁場(chǎng)分布，導(dǎo)致信號(hào)傳輸損耗增加、諧振頻率偏移等問(wèn)題。為了深入分析LTCC基板腔體在層壓過(guò)程中的形變問(wèn)題，疊層高階矢量有限元方法提供了一種有效的手段。在建立有限元模型時(shí)，首先需要精確地定義模型的幾何參數(shù)。對(duì)于LTCC基板，需要確定基板的尺寸、層數(shù)、每層的厚度以及腔體的形狀、尺寸和位置等。假設(shè)一個(gè)LTCC基板由10層生瓷片組成，每層生瓷片的厚度為0.1mm，基板的長(zhǎng)和寬分別為10mm和8mm。腔體為矩形，位于基板的中心位置，長(zhǎng)為4mm，寬為3mm，深度貫穿5層生瓷片。在定義材料屬性方面，LTCC生瓷材料的彈性模量、泊松比等參數(shù)是關(guān)鍵。一般來(lái)說(shuō)，LTCC生瓷的彈性模量在一定溫度和壓力范圍內(nèi)約為50-80GPa，泊松比約為0.2-0.3。在層壓過(guò)程中，還需要考慮壓力的分布和加載方式。假設(shè)采用等靜壓方式進(jìn)行層壓，壓力為20MPa，均勻分布在基板的上下表面。在網(wǎng)格劃分環(huán)節(jié)，為了準(zhǔn)確捕捉腔體邊緣和內(nèi)部的應(yīng)力應(yīng)變分布，采用非均勻網(wǎng)格劃分策略。在腔體邊緣和內(nèi)部，由于應(yīng)力變化較為劇烈，使用較小尺寸的四面體單元進(jìn)行劃分，單元尺寸控制在0.05mm左右；而在遠(yuǎn)離腔體的基板區(qū)域，應(yīng)力變化相對(duì)平緩，可以采用較大尺寸的單元，單元尺寸設(shè)為0.2mm。通過(guò)這種非均勻網(wǎng)格劃分，可以在保證計(jì)算精度的前提下，有效地減少計(jì)算量。運(yùn)用疊層高階矢量有限元方法進(jìn)行計(jì)算后，得到了豐富的結(jié)果。從應(yīng)力分布云圖可以清晰地看出，在腔體的四個(gè)角和邊緣處，應(yīng)力集中現(xiàn)象較為明顯。這是因?yàn)樵趯訅哼^(guò)程中，腔體邊緣的材料受到周?chē)牧系募s束，變形受到限制，從而導(dǎo)致應(yīng)力集中。在腔體角點(diǎn)處，應(yīng)力值達(dá)到了約10MPa，而在遠(yuǎn)離腔體的基板中心區(qū)域，應(yīng)力值僅為1-2MPa。在應(yīng)變方面，腔體邊緣的應(yīng)變較大，尤其是在腔體的長(zhǎng)邊上，最大應(yīng)變達(dá)到了約0.005。這表明腔體邊緣在層壓過(guò)程中發(fā)生了較為明顯的變形。通過(guò)與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了疊層高階矢量有限元方法的準(zhǔn)確性。在實(shí)驗(yàn)中，采用白光干涉儀對(duì)層壓后的LTCC基板腔體進(jìn)行測(cè)量，得到了腔體邊緣的實(shí)際變形數(shù)據(jù)。將有限元計(jì)算得到的應(yīng)變結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的變形數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)兩者具有較好的一致性。在腔體長(zhǎng)邊上的某一點(diǎn)，有限元計(jì)算得到的應(yīng)變對(duì)應(yīng)的變形量為0.02mm，而實(shí)驗(yàn)測(cè)量值為0.022mm，相對(duì)誤差在10%以?xún)?nèi)。這充分證明了疊層高階矢量有限元方法能夠準(zhǔn)確地模擬LTCC基板腔體在層壓過(guò)程中的形變情況，為優(yōu)化LTCC基板的設(shè)計(jì)和層壓工藝提供了可靠的依據(jù)。6.2微波管輸入輸出窗模擬微波管輸入輸出窗作為微波管中的關(guān)鍵部件，其結(jié)構(gòu)和功能對(duì)微波管的性能起著至關(guān)重要的作用。輸入輸出窗通常位于微波管的兩端，一端負(fù)責(zé)將外部的微波信號(hào)引入微波管內(nèi)部，另一端則將微波管內(nèi)部產(chǎn)生的微波信號(hào)輸出到外部電路中。從結(jié)構(gòu)上看，輸入輸出窗一般由介質(zhì)材料和金屬結(jié)構(gòu)組成。介質(zhì)材料用于實(shí)現(xiàn)微波信號(hào)的傳輸，同時(shí)起到隔離真空和外界環(huán)境的作用；金屬結(jié)構(gòu)則用于支撐介質(zhì)材料，并提供電氣連接。常見(jiàn)的輸入輸出窗結(jié)構(gòu)包括同軸型、波導(dǎo)型等。同軸型輸入輸出窗利用同軸電纜的結(jié)構(gòu)，將內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體通過(guò)介質(zhì)材料連接起來(lái)，微波信號(hào)在內(nèi)導(dǎo)體和外導(dǎo)體之間傳輸。波導(dǎo)型輸入輸出窗則采用波導(dǎo)結(jié)構(gòu)，通過(guò)波導(dǎo)壁的約束，引導(dǎo)微波信號(hào)的傳播。使用疊層高階矢量有限元模擬輸入輸出窗S參數(shù)和場(chǎng)分布時(shí)，首先要進(jìn)行模型建立。在建立模型過(guò)程中，需精確確定輸入輸出窗的幾何尺寸，包括介質(zhì)材料的厚度、半徑（對(duì)于同軸型）或波導(dǎo)的截面尺寸（對(duì)于波導(dǎo)型）等。對(duì)于一個(gè)同軸型輸入輸出窗，假設(shè)其介質(zhì)材料的內(nèi)半徑為r_1=1mm，外半徑為r_2=3mm，長(zhǎng)度為L(zhǎng)=10mm，介質(zhì)材料的相對(duì)介電常數(shù)\epsilon_r=2.5。金屬部分采用理想導(dǎo)體模型，其電導(dǎo)率設(shè)為無(wú)窮大。在網(wǎng)格劃分時(shí)，為了準(zhǔn)確捕捉輸入輸出窗內(nèi)部電磁場(chǎng)的分布細(xì)節(jié)，在介質(zhì)與金屬的交界面以及電場(chǎng)變化劇烈的區(qū)域，采用較小尺寸的四面體單元進(jìn)行劃分。在介質(zhì)與金屬交界面附近，單元尺寸控制在0.1mm左右；而在遠(yuǎn)離交界面的均勻區(qū)域，單元尺寸可適當(dāng)增大至0.5mm。通過(guò)這種非均勻網(wǎng)格劃分策略，可以在保證計(jì)算精度的前提下，有效減少計(jì)算量。在邊界條件設(shè)置方面，輸入輸出窗的金屬邊界采用理想電壁邊界條件，即電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的切向分量為零。在有限元計(jì)算中，通過(guò)在總體矩陣和載荷向量中對(duì)對(duì)應(yīng)于理想電壁邊界上節(jié)點(diǎn)的自由度進(jìn)行特殊處理來(lái)實(shí)現(xiàn)這一條件。對(duì)于輸入輸出端口，采用吸收邊界條件來(lái)模擬無(wú)限遠(yuǎn)場(chǎng)的情況，以避免由于求解區(qū)域的截?cái)喽a(chǎn)生的非物理反射。完美匹配層（PML）是一種常用的吸收邊界條件，通過(guò)在端口邊界設(shè)置PML層，使得電磁波在進(jìn)入PML層后迅速衰減，從而有效地模擬了無(wú)限遠(yuǎn)