遼寧省2025年成人高校招生考試[數(shù)學(xué)(文)]練習(xí)題庫及答案集合與簡易邏輯題目1已知集合\(A=\{x|-2\leqslantx\leqslant5\}\)，集合\(B=\{x|m+1\leqslantx\leqslant2m-1\}\)，若\(B\subseteqA\)，求實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍。答案本題需分\(B=\varnothing\)和\(B\neq\varnothing\)兩種情況進(jìn)行討論：-當(dāng)\(B=\varnothing\)時：此時\(m+1>2m-1\)，解不等式\(m+1>2m-1\)可得：\(m-2m>-1-1\)，\(-m>-2\)，兩邊同時除以\(-1\)，不等號變向，得到\(m<2\)。-當(dāng)\(B\neq\varnothing\)時：因?yàn)閈(B\subseteqA\)，所以有\(zhòng)(\begin{cases}m+1\leqslant2m-1\\m+1\geqslant-2\\2m-1\leqslant5\end{cases}\)，分別解這三個不等式：-解不等式\(m+1\leqslant2m-1\)：\(m-2m\leqslant-1-1\)，\(-m\leqslant-2\)，兩邊同時除以\(-1\)，不等號變向，得到\(m\geqslant2\)。-解不等式\(m+1\geqslant-2\)：\(m\geqslant-2-1\)，解得\(m\geqslant-3\)。-解不等式\(2m-1\leqslant5\)：\(2m\leqslant5+1\)，\(2m\leqslant6\)，兩邊同時除以\(2\)，得到\(m\leqslant3\)。綜合以上三個不等式的解，取交集可得\(2\leqslantm\leqslant3\)。綜合\(B=\varnothing\)和\(B\neq\varnothing\)兩種情況，取并集，可得實(shí)數(shù)\(m\)的取值范圍是\(m\leqslant3\)。題目2判斷命題“若\(x+y\leqslant5\)，則\(x\leqslant2\)或\(y\leqslant3\)”的真假。答案本題可通過判斷其逆否命題的真假來判斷原命題的真假。原命題的逆否命題為“若\(x>2\)且\(y>3\)，則\(x+y>5\)”。因?yàn)楫?dāng)\(x>2\)且\(y>3\)時，根據(jù)不等式的性質(zhì)，兩個正數(shù)相加，和一定大于這兩個數(shù)分別相加的最小值，即\(x+y>2+3=5\)，所以逆否命題為真命題。由于原命題與它的逆否命題同真同假，所以原命題為真命題。函數(shù)題目3已知函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，求\(f(f(x))\)的定義域。答案本題可先求出\(f(f(x))\)的表達(dá)式，再根據(jù)函數(shù)定義域的要求求出其定義域。-步驟一：求出\(f(f(x))\)的表達(dá)式已知\(f(x)=\frac{1}{x+1}\)，將\(f(x)\)代入\(f(f(x))\)中可得：\(f(f(x))=f(\frac{1}{x+1})=\frac{1}{\frac{1}{x+1}+1}\)。-步驟二：求\(f(f(x))\)的定義域要使\(f(f(x))\)有意義，則分母不能為\(0\)，即\(\begin{cases}x+1\neq0\\\frac{1}{x+1}+1\neq0\end{cases}\)。-解不等式\(x+1\neq0\)，可得\(x\neq-1\)。-解不等式\(\frac{1}{x+1}+1\neq0\)：先將不等式變形為\(\frac{1}{x+1}+1=\frac{1+x+1}{x+1}=\frac{x+2}{x+1}\neq0\)，則\(\begin{cases}x+2\neq0\\x+1\neq0\end{cases}\)，解得\(x\neq-2\)且\(x\neq-1\)。綜合以上兩個不等式的解，取交集可得\(f(f(x))\)的定義域?yàn)閈(\{x|x\neq-1且x\neq-2\}\)。題目4已知二次函數(shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-1,0)\)，\((3,0)\)，且最大值為\(4\)，求該二次函數(shù)的解析式。答案本題可根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用已知條件求出函數(shù)的解析式。-步驟一：根據(jù)二次函數(shù)與\(x\)軸的交點(diǎn)求出對稱軸因?yàn)槎魏瘮?shù)\(y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)\)的圖象經(jīng)過點(diǎn)\((-1,0)\)，\((3,0)\)，根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，二次函數(shù)與\(x\)軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的中點(diǎn)就是對稱軸，所以對稱軸為\(x=\frac{-1+3}{2}=1\)。-步驟二：設(shè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式因?yàn)槎魏瘮?shù)有最大值\(4\)，所以二次函數(shù)的開口向下，即\(a<0\)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,4)\)，則可設(shè)二次函數(shù)的解析式為\(y=a(x-1)^{2}+4(a<0)\)。-步驟三：代入已知點(diǎn)求出\(a\)的值將點(diǎn)\((-1,0)\)代入\(y=a(x-1)^{2}+4\)中可得：\(0=a(-1-1)^{2}+4\)，\(0=4a+4\)，\(4a=-4\)，解得\(a=-1\)。-步驟四：將\(a\)的值代入頂點(diǎn)式得到二次函數(shù)的解析式將\(a=-1\)代入\(y=a(x-1)^{2}+4\)中可得：\(y=-(x-1)^{2}+4\)，展開可得\(y=-x^{2}+2x+3\)。所以，該二次函數(shù)的解析式為\(y=-x^{2}+2x+3\)。不等式題目5解不等式\(\frac{x-1}{x+2}>0\)。答案本題可根據(jù)分式不等式的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為整式不等式，再求解。要使\(\frac{x-1}{x+2}>0\)成立，則分子分母需同號，即\((x-1)(x+2)>0\)。令\((x-1)(x+2)=0\)，則\(x-1=0\)或\(x+2=0\)，解得\(x=1\)或\(x=-2\)。二次函數(shù)\(y=(x-1)(x+2)=x^{2}+x-2\)的圖象開口向上，根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，不等式\((x-1)(x+2)>0\)的解集為\(x<-2\)或\(x>1\)。所以，不等式\(\frac{x-1}{x+2}>0\)的解集為\(\{x|x<-2或x>1\}\)。題目6已知\(x>0\)，\(y>0\)，且\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，求\(x+y\)的最小值。答案本題可利用乘\(1\)法將\(x+y\)進(jìn)行變形，再根據(jù)基本不等式求解其最小值。因?yàn)閈(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)，所以\(x+y=(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})\)，展開可得：\[\begin{align}x+y&=(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})\\&=1+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}+9\\&=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\end{align}\]因?yàn)閈(x>0\)，\(y>0\)，所以根據(jù)基本不等式\(a+b\geqslant2\sqrt{ab}\)（\(a>0\)，\(b>0\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(a=b\)時等號成立），可得：\(\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant2\sqrt{\frac{9x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\sqrt{9}=6\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)時等號成立。所以\(x+y=10+\frac{9x}{y}+\frac{y}{x}\geqslant10+6=16\)，當(dāng)且僅當(dāng)\(\begin{cases}\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\\\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\end{cases}\)時等號成立。解方程組\(\begin{cases}\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\\\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\end{cases}\)：由\(\frac{9x}{y}=\frac{y}{x}\)可得\(y^{2}=9x^{2}\)，因?yàn)閈(x>0\)，\(y>0\)，所以\(y=3x\)。將\(y=3x\)代入\(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1\)中可得：\(\frac{1}{x}+\frac{9}{3x}=1\)，\(\frac{1}{x}+\frac{3}{x}=1\)，\(\frac{4}{x}=1\)，解得\(x=4\)，則\(y=3x=3\times4=12\)。所以，當(dāng)\(x=4\)，\(y=12\)時，\(x+y\)取得最小值\(16\)。數(shù)列題目7已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，\(S_{3}=9\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項(xiàng)公式。答案本題可根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前\(n\)項(xiàng)和公式列出關(guān)于首項(xiàng)\(a_{1}\)和公差\(d\)的方程組，再求解方程組得到\(a_{1}\)和\(d\)的值，最后根據(jù)通項(xiàng)公式求出\(a_{n}\)。設(shè)等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項(xiàng)為\(a_{1}\)，公差為\(d\)。-步驟一：根據(jù)已知條件列出方程組根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)，可得\(a_{3}=a_{1}+2d=5\)。根據(jù)等差數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，可得\(S_{3}=3a_{1}+\frac{3\times(3-1)}{2}d=3a_{1}+3d=9\)。則可得到方程組\(\begin{cases}a_{1}+2d=5\\3a_{1}+3d=9\end{cases}\)。-步驟二：解方程組求出\(a_{1}\)和\(d\)的值由\(3a_{1}+3d=9\)兩邊同時除以\(3\)可得\(a_{1}+d=3\)，即\(a_{1}=3-d\)。將\(a_{1}=3-d\)代入\(a_{1}+2d=5\)中可得：\(3-d+2d=5\)，\(d=5-3=2\)。將\(d=2\)代入\(a_{1}=3-d\)中可得\(a_{1}=3-2=1\)。-步驟三：根據(jù)通項(xiàng)公式求出\(a_{n}\)將\(a_{1}=1\)，\(d=2\)代入\(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\)中可得：\(a_{n}=1+(n-1)\times2=1+2n-2=2n-1\)。所以，數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的通項(xiàng)公式為\(a_{n}=2n-1\)。題目8已知等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{2}=2\)，\(a_{5}=16\)，求數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項(xiàng)和\(S_{n}\)。答案本題可先根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)\(a_{1}\)和公比\(q\)，再根據(jù)等比數(shù)列的前\(n\)項(xiàng)和公式求出\(S_{n}\)。設(shè)等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的首項(xiàng)為\(a_{1}\)，公比為\(q\)。-步驟一：根據(jù)已知條件求出公比\(q\)的值根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式\(a_{n}=a_{1}q^{n-1}\)，可得\(a_{2}=a_{1}q=2\)，\(a_{5}=a_{1}q^{4}=16\)。用\(a_{5}\)除以\(a_{2}\)可得：\(\frac{a_{1}q^{4}}{a_{1}q}=\frac{16}{2}\)，\(q^{3}=8\)，解得\(q=2\)。-步驟二：求出首項(xiàng)\(a_{1}\)的值將\(q=2\)代入\(a_{1}q=2\)中可得：\(a_{1}\times2=2\)，解得