第1課時(shí)弧長(zhǎng)和扇形面積九年級(jí)上冊(cè)初中數(shù)學(xué)已知半徑為r

的圓，周長(zhǎng)是多少？面積是多少？

知識(shí)回顧2.會(huì)利用弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算.1.理解弧長(zhǎng)和扇形面積公式的探求過(guò)程.學(xué)習(xí)目標(biāo)如圖，在運(yùn)動(dòng)會(huì)的4×100米比賽中，甲和乙分別在第1跑道和第2跑道，為什么他們的起跑線不在同一處？怎樣來(lái)計(jì)算彎道的“展直長(zhǎng)度”？因?yàn)橐ＷC這些彎道的“展直長(zhǎng)度”是一樣的.課堂導(dǎo)入計(jì)算彎道對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng).分別計(jì)算下圖中各圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng).OR180°OR90°OR45°ORn°知識(shí)點(diǎn)1新知探究C

=2πR

n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)公式l是弧長(zhǎng)，R是半徑，n表示1°圓心角的倍數(shù)，沒(méi)有單位，弧長(zhǎng)

l的單位和半徑R的單位一致.1.題目中若沒(méi)有寫(xiě)明精確度，可用含π的代數(shù)式表示弧長(zhǎng)，如弧長(zhǎng)為3π，11π等.2.不要混淆弧長(zhǎng)相等和弧相等，弧相等指兩條弧全等，弧長(zhǎng)相等指弧的長(zhǎng)度相等.弧長(zhǎng)相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才是等弧.注意：跟蹤訓(xùn)練新知探究1.半徑為2的圓中，120°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是多少？2.半徑為2的圓中，一段弧長(zhǎng)為2π的弧，求它所對(duì)的

圓心角的度數(shù).例1

制造彎形管道時(shí)，要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”，再下料，試計(jì)算如圖所示管道的展直長(zhǎng)度L.(結(jié)果取整數(shù))因此所要求的展直長(zhǎng)度L=2×700+1570=2970（mm）.

解：由弧長(zhǎng)公式，可得的長(zhǎng)已知扇形的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為10πcm，則該扇形的半徑為

cm.15跟蹤訓(xùn)練新知探究解：設(shè)扇形的半徑是Rcm，則由弧長(zhǎng)公式可得，解得，R=15.扇形知識(shí)點(diǎn)2新知探究由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做扇形．記作:扇形OAB扇形的定義記作:扇形OCED分別計(jì)算下圖中各扇形的面積OR180°OR90°OR45°ORn°知識(shí)點(diǎn)1新知探究S

=πR2扇形面積公式：半徑為R的圓中，圓心角為n°的扇形的面積是

注意：扇形面積公式中的“n”和弧長(zhǎng)公式中的“n”一樣，表示“1°”的圓心角的倍數(shù)，參與計(jì)算時(shí)不帶單位.1.圓心角大小不變時(shí)，對(duì)應(yīng)的扇形面積與半徑有關(guān)，半徑越長(zhǎng)，面積越大.2.圓的半徑不變時(shí)，扇形面積與圓心角有關(guān)，圓心角越大，面積越大.扇形的面積與哪些因素有關(guān)？扇形的面積與圓心角、半徑有關(guān).O

ABDCEFOABCD扇形的弧長(zhǎng)公式與面積公式有聯(lián)系嗎？可類(lèi)比三角形的面積公式：ABOO跟蹤訓(xùn)練新知探究2.已知扇形面積為

，圓心角為60o，則這個(gè)扇形的半徑R=____．1.已知扇形的圓心角為120o，半徑為2，則這個(gè)扇形的面積S扇形=_____.3.已知半徑為2的扇形，其弧長(zhǎng)為

，則這個(gè)扇形的面積為_(kāi)____．例2

如圖,水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面積（精確到0.01m2）.0.6m0.3m弧AB的中點(diǎn)到弦AB的距離半徑OA分析：有水部分的面積=S扇形OAB－

S△OAB0.6m0.3m半徑OA扇形OAB圓心角∠AOB特殊△AOC△OAB高OD=OC－DC底AB半弦ADRt△OAD∵OC=0.6m,DC=0.3m,∴OD=OC－DC=0.3(m).∴OD=DC.又∵AD⊥OC,∴AD是線段OC的垂直平分線.

0.3m0.3m∴AC=AO=OC.從而∠AOD=60°,∠AOB=120°.S

=S扇形OAB－

S△OAB0.6m60°有水部分的面積解：連接OA,OB,作弦AB的垂直平分線，

垂足為D，交于點(diǎn)C,連接AC.弓形的面積可以看成是扇形面積和三角形面積的和或差，實(shí)際應(yīng)用時(shí)，可根據(jù)具體圖形選用對(duì)應(yīng)的公式：1.如圖(1)，弓形ADB的面積小于圓面積的一半，此時(shí)S弓形=S扇形OAB-S△OAB.由弦及弦所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.課堂拓展弓形

(1)已知扇形的半徑為6cm,面積為6πcm2，則該扇形的圓心角的度數(shù)為

.(2)一個(gè)扇形的圓心角為135°，弧長(zhǎng)為3πcm，則此扇形的面積是

cm2.60°6π

跟蹤訓(xùn)練新知探究1.如圖，實(shí)線部分是由兩條等弧組成的游泳池，且這兩條弧所在的圓的半徑均為15m.若每條弧所在的圓都經(jīng)過(guò)另一個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長(zhǎng)是

m.40π

隨堂練習(xí)2.如圖，AC是汽車(chē)擋風(fēng)玻璃前的雨刷器，如果AO=45cm，

CO=5cm，當(dāng)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°時(shí)，則雨刷器AC掃過(guò)的區(qū)域(陰影部分)的面積為

cm2(結(jié)果保留π).500π

歸納總結(jié)：不規(guī)則圖形面積的求解方法在求解陰影部分面積的問(wèn)題中，如果所求的陰影部分是不規(guī)則圖形，那么可以采取各種方法，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為幾個(gè)規(guī)則圖形面積的和或差的形式.與圓有關(guān)的陰影部分面積的問(wèn)題，往往需要利用扇形面積公式或弓形面積的計(jì)算公式.3.如圖，以BC為直徑的⊙O與△ABC的另兩邊分別相交于點(diǎn)D,E.若∠A=60°,BC=4,則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____(結(jié)果保留π).

弧課堂小結(jié)定義面積公式

扇形陰影部分面積求法：整體思想S弓形=S扇形-S三角形S弓形=S扇形+S三角形弓形對(duì)接中考1.（金昌中考）若一個(gè)扇形的圓心角為60°，面積為cm2，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)為

cm（結(jié)果保留π）．．解：設(shè)扇形的半徑為Rcm，弧長(zhǎng)為lcm，根據(jù)扇形面積公式得,解得R＝1或R＝-1（舍去），又∵扇形的面積∴l(xiāng)=解：如圖，作點(diǎn)D關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D′,連接CD′交OB于點(diǎn)E′，連接DE′,OD′,此時(shí)CE′+DE′最小，即CE′+DE′=CD′.由題意得，∠COD=∠DOB=∠BOD′=30°，∴

∠COD′=90°，∴

CD′=的長(zhǎng)

∴陰影部分周長(zhǎng)的最小值為2.(河南中考)如圖，在扇形OBC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交

于點(diǎn)D，點(diǎn)E為半徑OB上一動(dòng)點(diǎn)．若OB＝2，則陰影部分周長(zhǎng)的最小值為

．E′D′′2.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l

作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1的位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為

.解：點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑如圖所示.∵四邊形ABCD是矩形，AB=4，BC=3，∴BC=AD=3，∠ADC=90°，對(duì)角線長(zhǎng)為5．∵根據(jù)題意知，∠ADA′=90°，AD=A′D=BC=3，ABCDC′B′B′′B′′B1C1D1A1A′……

D1ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′

ABCDC′B′B′′B′′B1C1A1A′2.如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=3，邊CD在直線l上，將矩形ABCD沿直線l

作無(wú)滑動(dòng)翻滾，當(dāng)點(diǎn)A第一次翻滾到點(diǎn)A1的位置時(shí)，則點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為

.6π3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠APD=30°.(1)求證：DP是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積.解：(1)如圖，連接OD.因?yàn)椤螦CD=60°，所以∠AOD=2∠ACD=120°,所以∠DOP=180°-120°=60°.因?yàn)椤螦PD=30°，所以∠ODP=180°-30°-60°=90°,所以O(shè)D⊥DP.又OD為⊙O的半徑，所以DP是⊙O的切線.

3.如圖，AB為⊙O的直徑，AC,DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠APD=30°.(1)求證：DP是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為3，求圖中陰影部分的面積.1.在半徑為R的圓中,因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C=2πR,所以n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為

.

2.如圖,一段公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(),則

的展直長(zhǎng)度為(

)

A.3πm B.6π

m C.9π

m D.12π

mB3.由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對(duì)的弧圍成的圖形叫做

.在半徑為R的圓中,因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的扇形的面積就是圓面積S=πR2,所以圓心角為n°的扇形面積是

.

4.若一個(gè)扇形的圓心角為18°,半徑為5,則該扇形的面積為

.5.比較扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式,可以用弧長(zhǎng)表示扇形面積:

,其中l(wèi)為扇形的弧長(zhǎng),R為半徑.

6.已知扇形的半徑為3cm,扇形的弧長(zhǎng)為πcm,則該扇形的面積是

cm2,扇形的圓心角的度數(shù)為

.

扇形

60°弧長(zhǎng)及扇形面積【例】

已知扇形的面積為240π,圓心角為150°,求扇形的半徑及弧長(zhǎng)l.67123451.如圖,用一個(gè)半徑為5cm的定滑輪帶動(dòng)重物上升,滑輪上一點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了108°,假設(shè)繩索(粗細(xì)不計(jì))與滑輪之間沒(méi)有滑動(dòng),則重物上升了(

)A.π

cm B.2πcmC.3πcm D.5πcmC6712345A67123453.如圖,四個(gè)三角形拼成一個(gè)風(fēng)車(chē)圖形,若AB=2,當(dāng)風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)90°時(shí),點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為(

)A.π B.2πC.3π D.4πA67123454.若一個(gè)扇形的面積是13πcm2,半徑是6cm,則此扇形的圓心角是

.

130°67123455.如圖,在?ABCD中,∠B=60°,☉C的半徑為3,則圖中陰影部分的面積是

.

3π解析

在?ABCD中,∵∠B=60°,∴∠C=120°.∵☉C的半徑為3,67