2026屆北京市首都師范大附屬中學數(shù)學九年級第一學期期末質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如圖，在中，是邊上一點，延長交的延長線于點，若，則等于（）A． B． C． D．2．如圖，平行四邊形ABCD中，E是BC延長線上一點，連結AE交CD于F，則圖中相似的三角形共有（）A．1對 B．2對C．3對 D．4對3．下列說法正確的是（）A．對角線相等的四邊形一定是矩形B．任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上C．如果有一組數(shù)據(jù)為5，3，6，4，2，那么它的中位數(shù)是6D．“用長分別為、12cm、的三條線段可以圍成三角形”這一事件是不可能事件4．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉48°得到Rt△A′B′C，點A在邊B′C上，則∠B′的大小為()A．42° B．48°C．52° D．58°5．下列方程中，關于x的一元二次方程的是（）A．x+＝2 B．ax2+bx+c＝0C．（x﹣2）（x﹣3）＝0 D．2x2+y＝16．如圖，直線AB與半徑為2的⊙O相切于點C，D是⊙O上一點，且∠EDC=30°，弦EF∥AB，則EF的長度為（）A．2 B．2 C． D．27．如圖，從一塊直徑為24cm的圓形紙片上，剪出一個圓心角為90°的扇形ABC，使點A，B，C都在圓周上，將剪下的扇形圍成一個圓錐的側面，則這個圓錐的底面圓的半徑是（）A．3cm B．2cm C．6cm D．12cm8．已知二次函數(shù)y＝x2＋mx＋n的圖像經過點（―1，―3），則代數(shù)式mn+1有（）A．最小值―3B．最小值3C．最大值―3D．最大值39．兩三角形的相似比是2：3，則其面積之比是（）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：2710．下列美麗的壯錦圖案是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．若，則=___________.12．在一個不透明的布袋中裝有紅色和白色兩種顏色的小球（除顏色以外沒有任何區(qū)別），隨機摸出一球，摸到紅球的概率是，其中白球6個，則紅球有________個．13．如圖，將矩形ABCD繞點C沿順時針方向旋轉90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，則陰影部分的面積為_____．14．點P(4，﹣6)關于原點對稱的點的坐標是_____．15．如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點O落在坐標原點，點A、點C分別位于x軸，y軸的正半軸，G為線段上一點，將沿翻折，O點恰好落在對角線上的點P處，反比例函數(shù)經過點B．二次函數(shù)的圖象經過、G、A三點，則該二次函數(shù)的解析式為_______．（填一般式）16．將一副三角尺按如圖所示的方式疊放在一起，邊AC與BD相交于點E，則的值等于_________．17．拋物線的頂點坐標是__________________．18．已知：是反比例函數(shù)，則m=__________．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，四邊形ABCD的三個頂點A、B、D在⊙O上，BC經過圓心O，且交⊙O于點E，∠A＝120°，∠C＝30°．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CD＝6，求BC的長．（3）若⊙O的半徑為4，則四邊形ABCD的最大面積為．20．（6分）在一次數(shù)學興趣小組活動中，陽光和樂觀兩位同學設計了如圖所示的兩個轉盤做游戲（每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形，并在每個扇形區(qū)域內標上數(shù)字）．游戲規(guī)則如下：兩人分別同時轉動甲、乙轉盤，轉盤停止后，若指針所指區(qū)域內兩數(shù)和小于12，則陽光獲勝，反之則樂觀獲勝（若指針停在等分線上，重轉一次，直到指針指向某一份內為止）．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數(shù)和的所有可能的結果；（2）游戲對雙方公平嗎？請說明理由．21．（6分）計算：3tan30°?tan45°+2sin60°22．（8分）已知的半徑為，點到直線的距離為，且直線與相切，若，分別是方程的兩個根，求的值．23．（8分）如圖，港口位于港口的南偏西方向，燈塔恰好在的中點處，一艘海輪位于港口的正南方向，港口的正東方向處，它沿正北方向航行到達處，側得燈塔在北偏西方向上.求此時海輪距離港口有多遠？24．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣3＝0（2）計算：25．（10分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+3的對稱軸為直線x＝﹣1，分別與x軸交于點A，B（A在B的左側），與y軸交于點C．（1）求b的值；（2）若將線段BC繞點C順時針旋轉90°得到線段CD，問：點D在該拋物線上嗎？請說明理由．26．（10分）小明代表學校參加“我和我的祖國”主題宣傳教育活動，該活動分為兩個階段，第一階段有“歌曲演唱”、“書法展示”、“器樂獨奏”3個項目（依次用、、表示），第二階段有“故事演講”、“詩歌朗誦”2個項目（依次用、表示），參加人員在每個階段各隨機抽取一個項目完成.（1）用畫樹狀圖或列表的方法，列出小明參加項目的所有等可能的結果；（2）求小明恰好抽中、兩個項目的概率.

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、B【分析】根據(jù)平行四邊形的性質可得出AB=CD，，得出，再利用相似三角形的性質得出對應線段成比例，即，從而可得解.【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，且，，故選：．本題考查的知識點有平行四邊形的性質，相似三角形的性質，綜合運用各知識點能夠更好的解決問題.2、C【分析】根據(jù)平行四邊形的對邊平行，利用“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似”找出相似三角形，然后即可選擇答案．【詳解】在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，BC∥AD，所以，△ABE∽△FCE，△FCE∽△FDA，△ADF∽△EBA，共3對．故選C．本題考查了相似三角形的判定，利用平行四邊形的對邊互相平行的性質，再結合“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似”即可解題3、D【分析】根據(jù)矩形的判定定理，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性的大小，中位數(shù)的計算方法，不可能事件的定義依次判斷即可.【詳解】A.對角線相等的平行四邊形是矩形，故該項錯誤；B.任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，不一定有5次正面向上，故該項錯誤；C.一組數(shù)據(jù)為5，3，6，4，2，它的中位數(shù)是4，故該項錯誤；D.“用長分別為、12cm、的三條線段可以圍成三角形”這一事件是不可能事件，正確，故選：D.此題矩形的判定定理，數(shù)據(jù)出現(xiàn)的可能性的大小，中位數(shù)的計算方法，不可能事件的定義，綜合掌握各知識點是解題的關鍵.4、A【解析】試題分析：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，將Rt△ABC繞點C按逆時針方向旋轉48°得到Rt△A′B′C′，∴∠A′=∠BAC=90°，∠ACA′=48°，∴∠B′=90°﹣∠ACA′=42°．故選A．考點：旋轉的性質．5、C【分析】利用一元二次方程的定義判斷即可．含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程是一元二次方程.【詳解】解：A、x+＝2不是整式方程，不符合題意；B、ax2+bx+c＝0不一定是一元二次方程，不符合題意；C、方程整理得：x2﹣5x+6＝0是一元二次方程，符合題意；D、2x2+y＝1不是一元二次方程，不符合題意.故選：C．6、B【解析】本題考查的圓與直線的位置關系中的相切．連接OC,EC所以∠EOC=2∠D=60°，所以△ECO為等邊三角形．又因為弦EF∥AB所以OC垂直EF故∠OEF=30°所以EF=OE=2．7、A【分析】圓的半徑為12，求出AB的長度，用弧長公式可求得的長度，圓錐的底面圓的半徑＝圓錐的弧長÷2π．【詳解】AB＝cm，∴∴圓錐的底面圓的半徑＝÷（2π）＝3cm．故選A．本題綜合考查有關扇形和圓錐的相關計算．解題思路：解決此類問題時要緊緊抓住兩者之間的兩個對應關系：（1）圓錐的母線長等于側面展開圖的扇形半徑；（2）圓錐的底面周長等于側面展開圖的扇形弧長．正確對這兩個關系的記憶是解題的關鍵．8、A【解析】把點（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1進行配方即可.【詳解】∵二次函數(shù)y＝x2＋mx＋n的圖像經過點（-1，-3），∴-3=1-m+n，∴n=-4+m，代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.∴代數(shù)式mn+1有最小值-3.故選A.本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及二次函數(shù)的性質，把函數(shù)mn+1的解析式化成頂點式是解題的關鍵．9、C【解析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．【詳解】∵兩三角形的相似比是2：3，∴其面積之比是4：9，故選C．【點睛】本題考查了相似三角形的性質，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵.10、A【解析】根據(jù)中心對稱圖形的定義逐項進行判斷即可得.【詳解】A、是中心對稱圖形，故此選項正確；B、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、不是中心對稱圖形，故此選項錯誤，故選A．【點睛】本題主要考查了中心對稱圖形，熟練掌握中心對稱圖形的定義是解題的關鍵；把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【分析】根據(jù)題干信息，利用已知得出a=b，進而代入代數(shù)式求出答案即可．【詳解】解：∵，∴a=b，∴=．故答案為：．本題主要考查比例的性質，正確得出a=b，并利用代入代數(shù)式求值是解題關鍵．12、1【分析】設紅球有x個，根據(jù)題意列出方程，解方程并檢驗即可．【詳解】解：設紅球有x個，由題意得：，解得，經檢驗，是原分式方程的解，所以，紅球有1個，故答案為：1．本題主要考查根據(jù)概率求數(shù)量，掌握概率的求法是解題的關鍵．13、【解析】試題解析：連接∵四邊形ABCD是矩形，∴CE=BC=4，∴CE=2CD，由勾股定理得：∴陰影部分的面積是S=S扇形CEB′?S△CDE故答案為14、(﹣4，6)【分析】根據(jù)兩個點關于原點對稱時，它們的坐標符號相反可得答案．【詳解】點P（4，﹣6）關于原點對稱的點的坐標是（﹣4，6），故答案為：（﹣4，6）．本題考查了一點關于原點對稱的問題，橫縱坐標取相反數(shù)就是對稱點的坐標．15、【分析】先由題意得到，再設設，由勾股定理得到，解得x的值，最后將點C、G、A坐標代入二次函數(shù)表達式，即可得到答案.【詳解】解：點，反比例函數(shù)經過點B，則點，則，，∴，設，則，，由勾股定理得：，解得：，故點，將點C、G、A坐標代入二次函數(shù)表達式得：，解得：，故答案為．本題考查求二次函數(shù)解析式，解題的關鍵是熟練掌握待定系數(shù)法.16、【分析】如圖（見解析），先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質可得，設，從而可得，再在中，利用直角三角形的性質、勾股定理可得，由此即可得出答案．【詳解】如圖，過點E作于點F，由題意得：，，是等腰直角三角形，，設，則，在中，，，，解得，則，故答案為：．本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、直角三角形的性質、勾股定理等知識點，通過作輔助線，構造兩個直角三角形是解題關鍵．17、（2，0）．【分析】直接利用頂點式可知頂點坐標．【詳解】頂點坐標是（2，0），故答案為：（2，0）．主要考查了求拋物線頂點坐標的方法．18、-2【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義．即y=（k≠0），只需令m2-5=-1、m-2≠0即可．【詳解】因為y=(m?2)是反比例函數(shù)，所以x的指數(shù)m2?5=?1，即m2=4，解得：m=2或?2；又m?2≠0，所以m≠2，即m=?2.故答案為：?2.本題考查的知識點是反比例函數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練的掌握反比例函數(shù)的定義.三、解答題(共66分)19、（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）連接、，根據(jù)圓內接四邊形的性質得到，求得，又點在上，于是得到結論；（2）由（1）知：又，設為，則為，根據(jù)勾股定理即可得到結論；（3）連接BD，OA，根據(jù)已知條件推出當四邊形ABOD的面積最大時，四邊形ABCD的面積最大，當OA⊥BD時，四邊形ABOD的面積最大，根據(jù)三角形和菱形的面積公式即可得到結論．【詳解】解：（1）證明：連接、，四邊形為圓內接四邊形，，，，又點在上，是的切線；（2）由（1）知：又，，設為，則為，在中，，即，，又，，；（3）連接，，，，，，，，，，，當四邊形的面積最大時，四邊形的面積最大，當時，四邊形的面積最大，四邊形的最大面積，故答案為：．本題考查了圓的綜合題，切線的判定，勾股定理，三角形的面積的計算，正確的作出輔助線是解題的關鍵．20、（1）見解析，兩數(shù)和共有12種等可能結果；（2）游戲對雙方公平，見解析【分析】（1）根據(jù)題意列出表格，得出游戲中兩數(shù)和的所有可能的結果數(shù)；（2）根據(jù)（1）得出兩數(shù)和共有的情況數(shù)和其中和小于12的情況數(shù)，再根據(jù)概率公式分別求出陽光和樂觀獲勝的概率，然后進行比較即可得出答案．【詳解】解：（1）根據(jù)題意列表如下：678939101112410111213511121314可見，兩數(shù)和共有12種等可能結果；（2）∵兩數(shù)和共有12種等可能的情況，其中和小于12的情況有6種，∴陽光獲勝的概率為∴樂觀獲勝的概率是，∵=，∴游戲對雙方公平．解決游戲公平問題的關鍵在于分析事件發(fā)生的可能性，即比較游戲雙方獲勝的概率是否相等，若概率相等，則游戲公平，否則不公平．21、【分析】先計算出特殊的三角函數(shù)值，按照運算順序計算即可.【詳解】解：原式

.本題主要考查特殊銳角的三角函數(shù)值，解題的關鍵是熟記特殊銳角的三角函數(shù)值．22、【分析】根據(jù)直線與圓相切的條件得，再根據(jù)一元二次方程根的判別式列出方程即得．【詳解】∵由題意可知．∴方程的兩根相等∴解得：．本題考查了直線與圓相切的條件及一元二次方程根的判別式，解題關鍵是熟知直線與圓相切的條件是圓心到直線的距離等于圓的半徑，判別式時，一元二次方程有兩個相等實數(shù)根．23、海輪距離港口的距離為【分析】過點C作CF⊥AD于點F，設CF=x，根據(jù)正切的定義用x表示出AF，根據(jù)等腰直角三角形的性質用x表示出EF，根據(jù)三角形中位線定理列出方程，解方程得到答案．【詳解】解:如圖，過點作于點．設，表示出利用，求出列方程：求出求出答：海輪距離港口的距離為．本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，掌握方向角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．24、（1）x1＝2+，x2＝2﹣；（2）1【分析】(1)方程利用配方法求出解即可；(2)原式利用二次根式性質，絕對值的代數(shù)意義，零指數(shù)冪法則，以及特殊角的三角函數(shù)值計算即可求出值．【詳解】(1)方程整理得：x2﹣4x=3，配方得：x2﹣4x+4=3+4，即(x﹣2)2=7，開方得：x﹣2=±，解得：x1=2+，x2=2﹣；(2)=1．本題考查了利用配方法求一元二次方程的解以及實數(shù)的混合運算，涉及了：零指數(shù)、二次根式以及特殊角的三角函數(shù)值．解題的關鍵