22.2一元二次方程的解法第5課時一元二次方程的根與系數的關系第22章一元二次方程

方程

x1

x2

x1+x2

x1?x2

x2-3x+2=0x2-2x-3=0x2-5x+4=0問題：你發(fā)現(xiàn)這些一元二次方程的兩根x1+x2，x1?x2與對應的一元二次方程的系數有什么關系？2

132-1

3

2-31

4

54一元二次方程的根與系數的關系一

方程

-2x1+x2，x1?x2與對應的一元二次方程的系數有什么關系?猜想：當二次項系數為1時，方程x2+px+q=0的兩根為x1,,x2.9x2-6x+1=03x2-4x-1=03x2+7x+2=0猜想：

如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數且a≠0）的兩根為x1、x2，則：

x1+x2和x1.x2與系數a，b，c的關系解：任何一個一元二次方程的根與系數的關系：如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=,x1

·x2=-（韋達定理）注：能用根與系數的關系的前提條件為b2-4ac≥0一、直接運用根與系數的關系例1.不解方程，求下列方程兩根的和與積.利用一元二次方程的根與系數的關系解決問題二在使用根與系數的關系時，應注意：⑴不是一般式的要先化成一般式；⑵在使用x1+x2=－時，注意“－”不要漏寫.二、求關于兩根的代數式的值例2.設是方程的兩個根，利用根與系數的關系，求下列各式的值.

解:由題意知三、構造新方程例3.求一個一元二次方程，使它的兩個根是2和3，且二次項系數為1.解:（x-2)（x-3）=0,

x2-5x+6=0.(答案不唯一）例4.方程的兩根的和為6，一根為2，求p、q的值.四、求方程中的待定系數解:若方程的另一個根為x1,由題意得2+x1=-p=6,2x1=q,即x1=4,p=-6,q=8.一正根，一負根△＞0x1x2＜0兩個正根△≥0x1x2＞0x1+x2＞0兩個負根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0課堂小結一元二次方程根與系數的關系？注：能用根與系數的關系的前提條件為b2-4ac≥0.如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根分別為x1，x2，則有1.已知x1、x2是一元二次方程x2－2x＝0的兩個實數根，則下列結論錯誤的是（

D

）A.

x1≠x2B.

－2x1＝0C.

x1＋x2＝2D.

x1·x2＝22.已知x1、x2是一元二次方程x2＋2ax＋b＝0的兩根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，則a、b的值分別是（

D

）A.

a＝3，b＝1B.

a＝3，b＝－1C.

a＝－

，b＝－1D.

a＝－

，b＝1DD1234567891011121314151617

A.

B.

－

C.

－

D.

4.已知x1、x2是關于x的方程x2＋bx－3＝0的兩根，且滿足x1＋x2－3x1·x2＝5，則b的值為（

A

）A.

4B.

－4C.

3D.

－3CA12345678910111213141516175.

（1）

（2024·巴中）已知方程x2－2x＋k＝0的一個根為－2，則方程的另一個根為

4

.

4

11

12345678910111213141516176.已知一元二次方程2x2－9x＋3＝0的兩根為x1和x2，求下面各式的值：（1）

（x1＋1）（x2＋1）.

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

7.

（2023·樂山）且x1＝3x2，則m的值為（

C

）A.

4B.

8C.

12D.

168.已知關于x的一元二次方程x2－2（1－m）x＋m2＝0的兩個實數根為x1、x2，若x1·x2＝1，則m的值為（

A

）A.

－1B.

1C.

1或－1D.

CA12345678910111213141516179.在解一元二次方程x2＋px＋q＝0時，小紅看錯了常數項q，得到方程的兩根是－3、1；小明看錯了一次項系數p，得到方程的兩根是5、－4，則原來的方程是（

B

）A.

x2＋2x－3＝0B.

x2＋2x－20＝0C.

x2－2x－20＝0D.

x2－2x－3＝010.關于x的方程（x－1）（x＋2）＝p2（p為常數）的根的情況，下列結論正確的是（

C

）A.有兩個正根B.有兩個負根C.有一個正根，一個負根D.沒有實數根BC123456789101112131415161711.已知關于x的一元二次方程

x2＋2x＋k＋1＝0的兩個實數根x1、x2滿足x1＋x2－x1·x2＜－1，則k的取值范圍可以在數軸上表示為（

D

）

D20

1234567891011121314151617

－1

123456789101112131415161715.已知關于x的方程x2－4mx＋4m2－4＝0.（1）求證：此方程有兩個不相等的實數根.解：（1）

∵

Δ＝（－4m）2－4（4m2－4）＝16m2－16m2＋16＝16＞0，∴此方程有兩個不相等的實數根.（2）若此方程的一個根是另一個根的3倍，求m的值.解：（