2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)期末考試題庫(kù)：抽樣調(diào)查方法與抽樣方法比較試題考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題2分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代表字母填在括號(hào)內(nèi)）1.在概率抽樣中，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（SRS）的主要特點(diǎn)是（）。A.抽樣過(guò)程復(fù)雜，成本高B.適用于任何形狀的總體分布C.總體中每個(gè)單元被抽中的概率相等D.必須先對(duì)總體單元進(jìn)行編號(hào)2.某地區(qū)人口總數(shù)為100萬(wàn)，按年齡段分為青年、中年、老年三個(gè)層，為進(jìn)行抽樣調(diào)查，從每個(gè)層中按比例抽取樣本，這種抽樣方法稱為（）。A.整群抽樣B.系統(tǒng)抽樣C.分層抽樣D.多階段抽樣3.分層抽樣的主要優(yōu)點(diǎn)在于（）。A.抽樣組織方便B.能保證樣本的代表性，提高估計(jì)精度C.適用于總體單元分布非常分散的情況D.抽樣成本通常低于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣4.在整群抽樣中，將總體劃分為若干群，抽樣時(shí)直接抽取群，然后對(duì)抽中的群進(jìn)行調(diào)查，這種方法的誤差通常（）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。A.大于B.小于C.等于D.不確定，取決于群內(nèi)差異5.系統(tǒng)抽樣的抽樣間隔為k，若總體中存在周期性變動(dòng)，且周期與k具有倍數(shù)關(guān)系，則系統(tǒng)抽樣可能產(chǎn)生（）。A.無(wú)偏估計(jì)B.系統(tǒng)性偏差C.抽樣誤差增大D.樣本代表性增強(qiáng)6.抽樣誤差是指（）。A.測(cè)量工具造成的誤差B.調(diào)查人員主觀造成的誤差C.由于抽樣導(dǎo)致樣本結(jié)果與總體真值之間的差異D.登記錯(cuò)誤造成的誤差7.在其他條件相同的情況下，增加樣本量通常會(huì)（）。A.降低抽樣誤差B.增加抽樣誤差C.不影響抽樣誤差D.可能降低也可能增加抽樣誤差8.如果總體單元數(shù)量巨大，無(wú)法獲得完整的抽樣框，可以考慮使用（）。A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣B.分層抽樣C.整群抽樣D.概率比例抽樣（PPS）9.比較分層抽樣和整群抽樣，如果希望獲得更高的估計(jì)精度，通常傾向于選擇（）。A.整群抽樣，因?yàn)閷?shí)施更方便B.分層抽樣，因?yàn)榭梢钥s小抽樣誤差C.兩者效果相同D.需要根據(jù)總體方差來(lái)決定10.選擇抽樣方法時(shí)，最重要的考慮因素是（）。A.抽樣成本B.調(diào)查人員的偏好C.總體分布的形狀D.研究者對(duì)抽樣誤差的控制要求二、簡(jiǎn)答題（每小題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的操作步驟。2.與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比，整群抽樣通常誤差更大，為什么？3.分層抽樣的原理是什么？它如何有助于提高估計(jì)精度？4.在什么情況下，系統(tǒng)抽樣可能不是一種好的抽樣方法？三、比較題（每小題10分，共30分）1.比較分層抽樣和整群抽樣在以下方面的差異：*抽樣單位*抽樣過(guò)程*誤差來(lái)源與大小*適用條件2.假設(shè)要調(diào)查一個(gè)大型工廠員工的工作滿意度。工廠分為多個(gè)車間，車間內(nèi)員工人數(shù)差異很大。比較以下三種抽樣方法的適用性，并說(shuō)明理由：*簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣*按車間規(guī)模進(jìn)行分層的比例分層抽樣*以車間為單位進(jìn)行的整群抽樣3.比較系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在估計(jì)目標(biāo)量（如總體均值）時(shí)的主要異同點(diǎn)。四、計(jì)算與分析題（共30分）1.某社區(qū)有2000戶家庭，欲采用整群抽樣方法調(diào)查家庭收入。將社區(qū)按門牌號(hào)分為200個(gè)群，每群10戶?，F(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)群，調(diào)查結(jié)果顯示這5個(gè)群的戶均收入分別為：8500元，7200元，9100元，8300元，7900元。試根據(jù)此信息，估計(jì)該社區(qū)的平均家庭收入，并計(jì)算估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤。（15分）2.假設(shè)對(duì)上述社區(qū)2000戶家庭進(jìn)行抽樣，采用按收入水平（高、中、低）進(jìn)行分層的比例分層抽樣。已知各層戶數(shù)占比為：高收入層20%，中等收入層50%，低收入層30%。若計(jì)劃總體樣本量為200戶，請(qǐng)計(jì)算各層應(yīng)抽取的樣本量。如果已知各層內(nèi)部方差，請(qǐng)簡(jiǎn)述如何根據(jù)方差大小進(jìn)行優(yōu)化分配（Neyman分配法），以進(jìn)一步提高估計(jì)精度。（15分）試卷答案一、選擇題1.C2.C3.B4.A5.B6.C7.A8.D9.B10.D二、簡(jiǎn)答題1.簡(jiǎn)述簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的操作步驟。答案：首先，將總體中的所有單元編號(hào)（1,2,...,N）；其次，根據(jù)樣本量n，使用隨機(jī)數(shù)表或隨機(jī)數(shù)生成器抽取n個(gè)不重復(fù)的號(hào)碼；最后，將與抽中號(hào)碼對(duì)應(yīng)的總體單元組成樣本。解析思路：考察對(duì)SRS基本流程的掌握。需要清晰描述編號(hào)、抽樣、組成樣本三個(gè)核心步驟。2.與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣相比，整群抽樣通常誤差更大，為什么？答案：因?yàn)檎撼闃訉⒊闃訂挝痪奂扇?，樣本單位在空間上或類別上可能存在相關(guān)性。抽中一個(gè)群后，該群內(nèi)的所有單元都被納入樣本，導(dǎo)致樣本變異減少（相對(duì)于SRS），從而降低了抽樣方差（誤差）的估計(jì)效率。但通常群內(nèi)差異小于群間差異，使得估計(jì)量的變異性增大，表現(xiàn)為實(shí)際誤差可能更大或估計(jì)精度更低。解析思路：理解整群抽樣的核心特征——群內(nèi)同質(zhì)性強(qiáng)、群間異質(zhì)性相對(duì)弱。解釋這種結(jié)構(gòu)如何影響樣本變異和最終估計(jì)精度。3.分層抽樣的原理是什么？它如何有助于提高估計(jì)精度？答案：原理是將總體按某個(gè)重要標(biāo)志劃分為若干層，確保各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)，層間異質(zhì)性大，然后在各層內(nèi)獨(dú)立抽取樣本（通常比例抽樣或最優(yōu)分配）。它有助于提高估計(jì)精度，因?yàn)椋孩僭诟鲗觾?nèi)抽樣的誤差較?。虎谕ㄟ^(guò)分層控制了主要變異來(lái)源，使得樣本更能代表總體結(jié)構(gòu)；③可以對(duì)各層進(jìn)行獨(dú)立分析，提供更詳細(xì)的子總體信息。解析思路：考察對(duì)分層抽樣原理和精度提升機(jī)制的掌握。需要說(shuō)明分層標(biāo)準(zhǔn)、抽樣過(guò)程以及層內(nèi)同質(zhì)、層間異質(zhì)如何共同作用以提高精度。4.在什么情況下，系統(tǒng)抽樣可能不是一種好的抽樣方法？答案：當(dāng)總體存在周期性或系統(tǒng)性變化，且抽樣間隔k與這種周期性具有倍數(shù)關(guān)系或整數(shù)倍關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)抽樣可能導(dǎo)致樣本單位呈現(xiàn)系統(tǒng)性偏差，無(wú)法代表總體，從而使得估計(jì)結(jié)果不可靠。此外，如果抽樣框的起始點(diǎn)選擇不當(dāng)或存在邏輯順序問(wèn)題，也可能影響效果。解析思路：關(guān)鍵在于理解系統(tǒng)抽樣潛在的系統(tǒng)性偏差來(lái)源，即周期性與抽樣間隔的匹配問(wèn)題。三、比較題1.比較分層抽樣和整群抽樣在以下方面的差異：*抽樣單位：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣和整群抽樣通常以總體基本單元為抽樣單位；分層抽樣以總體基本單元為抽樣單位，但在抽樣前先劃分為層。*抽樣過(guò)程：SRS直接抽取基本單元；整群抽樣先抽取群，再抽取群內(nèi)單元；分層抽樣先分層，再在各層內(nèi)抽取單元。*誤差來(lái)源與大?。篠RS誤差主要來(lái)自單元變異；整群抽樣誤差除了單元變異，還顯著受到群間變異的影響，通常誤差大于SRS（若群內(nèi)異質(zhì)性小于群間異質(zhì)性）；分層抽樣誤差主要受層內(nèi)變異和抽樣比例影響，通過(guò)縮小層內(nèi)變異和精確分層可降低誤差，通常誤差小于或等于SRS。*適用條件：SRS適用于均勻總體或抽樣框完整；整群抽樣適用于總體單元分布廣泛、難以獲得完整抽樣框、或需按地理/行政區(qū)域組織調(diào)查的情況；分層抽樣適用于總體內(nèi)部存在明顯層次差異、希望提高精度或需要按層進(jìn)行分析的情況，且需要了解總體分層信息或能按已知特征分層。解析思路：要求全面比較兩個(gè)方法的多個(gè)維度。需清晰區(qū)分其操作流程、誤差構(gòu)成（特別是方差來(lái)源）以及各自適用的具體場(chǎng)景。2.假設(shè)要調(diào)查一個(gè)大型工廠員工的工作滿意度。工廠分為多個(gè)車間，車間內(nèi)員工人數(shù)差異很大。比較以下三種抽樣方法的適用性，并說(shuō)明理由：*簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：不適用。因?yàn)楣S規(guī)模大，員工分布廣，直接隨機(jī)抽取難以保證樣本在車間間的代表性，且成本高，實(shí)施困難。*按車間規(guī)模進(jìn)行分層的比例分層抽樣：適用。車間是重要的劃分標(biāo)準(zhǔn)（可視為自然分層），按規(guī)模比例抽樣能保證各車間員工在樣本中都有代表性，尤其能保證人數(shù)多的大車間有足夠樣本量，有助于提高對(duì)整個(gè)工廠以及各車間的估計(jì)精度。*以車間為單位進(jìn)行的整群抽樣：可能適用，但需謹(jǐn)慎。若調(diào)查目的側(cè)重于了解整體工廠情況，且車間內(nèi)部員工工作滿意度差異相對(duì)較小、車間間差異較大，則此方法可行，成本較低，組織方便。但若車間內(nèi)部滿意度差異也很大，則整群抽樣誤差可能較大，不如分層抽樣精度高。解析思路：考察根據(jù)實(shí)際情境選擇抽樣方法的能力。需分析調(diào)查對(duì)象特征、總體結(jié)構(gòu)、抽樣目標(biāo)以及各方法的優(yōu)勢(shì)和潛在問(wèn)題，給出合理解釋。3.比較系統(tǒng)抽樣與簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣在估計(jì)目標(biāo)量時(shí)的主要異同點(diǎn)。*相同點(diǎn)：①都屬于概率抽樣，能保證每個(gè)單元被抽中的概率已知且非零，從而可以進(jìn)行無(wú)偏估計(jì)；②估計(jì)的目標(biāo)量（如總體均值）的計(jì)算方法基本相同，即樣本均值作為總體均值的點(diǎn)估計(jì)；③在理想條件下（無(wú)系統(tǒng)偏差），兩者的抽樣誤差（方差）理論上相同，都取決于樣本量n和總體方差σ2（或群間/層內(nèi)方差）。*不同點(diǎn)：①抽樣過(guò)程不同，系統(tǒng)抽樣按固定間隔抽取，SRS是隨機(jī)抽取n個(gè)不重復(fù)單元；②理論方差計(jì)算上可能略有差異（系統(tǒng)抽樣方差還與單元排序和間隔k有關(guān)）；③主要風(fēng)險(xiǎn)不同，系統(tǒng)抽樣有產(chǎn)生系統(tǒng)性偏差的風(fēng)險(xiǎn)（若存在周期性結(jié)構(gòu)且k與之相關(guān)），而SRS理論上無(wú)此風(fēng)險(xiǎn)；④實(shí)施上的便利性可能不同，系統(tǒng)抽樣在有序抽樣框中更方便。解析思路：要求區(qū)分兩種方法的共同基礎(chǔ)（概率抽樣、估計(jì)原理、誤差理論）和關(guān)鍵差異（操作、風(fēng)險(xiǎn)、特定計(jì)算）。避免混淆兩者在實(shí)踐中的優(yōu)劣。四、計(jì)算與分析題1.某社區(qū)有2000戶家庭，欲采用整群抽樣方法調(diào)查家庭收入。將社區(qū)按門牌號(hào)分為200個(gè)群，每群10戶?，F(xiàn)隨機(jī)抽取5個(gè)群，調(diào)查結(jié)果顯示這5個(gè)群的戶均收入分別為：8500元，7200元，9100元，8300元，7900元。試根據(jù)此信息，估計(jì)該社區(qū)的平均家庭收入，并計(jì)算估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤。（15分）估計(jì)平均家庭收入：群均值樣本均值（x?_cl）：(8500+7200+9100+8300+7900)/5=8100元總體平均收入估計(jì)值（x?_est）：x?_cl=8100元估計(jì)值的標(biāo)準(zhǔn)誤（SE_ests）：總體群數(shù)（M）：200抽中群數(shù)（m）：5群內(nèi)方差估計(jì)（s2_clus）：[(8500-8100)2+(7200-8100)2+(9100-8100)2+(8300-8100)2+(7900-8100)2]/(m-1)=[(400)2+(1400)2+(1000)2+(200)2+(200)2]/4=(160000+1960000+1000000+40000+40000)/4=3120000/4=780000（注意：此處簡(jiǎn)化計(jì)算，未使用每個(gè)群內(nèi)所有戶收入計(jì)算方差，實(shí)際應(yīng)基于每個(gè)抽中群內(nèi)的10戶數(shù)據(jù)計(jì)算群內(nèi)方差）標(biāo)準(zhǔn)誤（SE_ests）=√[(M-m)/(M-1)]*√(s2_clus/m)≈√[(200-5)/(200-1)]*√(780000/5)≈√(195/199)*√(156000)≈0.995*395.0(近似值)≈394.8（更精確計(jì)算：SE_ests=√[(200-5)/200]*√[780000/5]=√(195/200)*√156000≈0.9874*394.95≈389.0）最終結(jié)果：估計(jì)平均家庭收入為8100元，標(biāo)準(zhǔn)誤約為389.0元（根據(jù)簡(jiǎn)化計(jì)算）或389.0元（根據(jù)更精確公式）。解析思路：考察整群抽樣估計(jì)和標(biāo)準(zhǔn)誤的計(jì)算。關(guān)鍵在于掌握群均值的計(jì)算、群內(nèi)方差的估計(jì)（即使題目數(shù)據(jù)不全，也要展示計(jì)算思路）、以及整群抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤的公式及其各參數(shù)含義（M,m,s2_clus）。注意M和m的代入及平方根的計(jì)算。2.假設(shè)對(duì)上述社區(qū)2000戶家庭進(jìn)行抽樣，采用按收入水平（高、中、低）進(jìn)行分層的比例分層抽樣。已知各層戶數(shù)占比為：高收入層20%，中等收入層50%，低收入層30%。若計(jì)劃總體樣本量為200戶，請(qǐng)計(jì)算各層應(yīng)抽取的樣本量。如果已知各層內(nèi)部方差，請(qǐng)簡(jiǎn)述如何根據(jù)方差大小進(jìn)行優(yōu)化分配（Neyman分配法），以進(jìn)一步提高估計(jì)精度。（15分）比例分層抽樣樣本量計(jì)算：總樣本量（n）：200高收入層占比（w_H）：20%=0.2中等收入層占比（w_M）：50%=0.5低收入層占比（w_L）：30%=0.3各層樣本量（n_H,n_M,n_L）：n_H=n*w_H=200*0.2=40戶n_M=n*w_M=200*0.5=100戶n_L=n*w_L=200*0.3=60戶（檢查：40+100+60=200，正確）優(yōu)化分配（Neyman分配法）：原則：將更多樣本分配給內(nèi)部方差較小的層，較少樣本分配給內(nèi)部方差較大的層。需要各層內(nèi)部方差（s2_H,s2_M,s2_L）的估計(jì)值。假設(shè)已知：s2_H=1500000,s2_M=900000,s2_L=1200000各層單位平均數(shù)（μ_H,μ_M,μ_L）的估計(jì)值（通常用層內(nèi)樣本均值代替）：μ_H_est=10000元,μ_M_est=8000元,μ_L_est=6000元總體平均數(shù)估計(jì)值（μ_est）：(0.2*10000+0.5*8000+0.3*6000)=8200元各層方差與平均數(shù)乘積之比（Var(μ_H)/μ_H2,...）：R_H=s2_H/μ_H_est2=1500000/(10000)2=1500000/100000000=0.015R_M=s2_M/μ_M_est2=900000/(8000)2=900000/64000000=0.01406R_L=s2_L/μ_L_est2=1200000/(6000)2=1200000/36000000=0.03333按比例排序：R_M<R_H<R_L優(yōu)化分配樣本量：總樣本量仍為200。按方差比的大小分配：最少樣本量應(yīng)分配給方差比最小的層（M層），最多樣本量分配給方差比最大的層（L層）。設(shè)分配給M層的樣本量為n_M'，則