第1頁（共1頁）2023年浙江省嘉興一中強基招生數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（）A．在A、C點的左邊 B．在A、C點的右邊 C．在A、C點之間 D．上述三種均可能2．（5分）計算的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．23．（5分）若實數(shù)a，b滿足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，則（1+a2）（1+b2）＝（）A．18 B．12 C．9 D．64．（5分）如圖，在△ABC中，M是AC的中點，P，若BM與AP，AQ分別交于D，則BD，DE（）A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：3：2 D．5：2：15．（5分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象的頂點在第二象限，且過點（1，0），ab＝（）A．0 B． C．﹣ D．﹣26．（5分）△ABC的三條外角平分線相交成一個△LMN，則△LMN（）A．一定是直角三角形 B．一定是鈍角三角形 C．一定是銳角三角形 D．不一定是銳角三角形7．（5分）若m2＝n+2，n2＝m+2，（m≠n），則m3﹣2mn+n3的值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣28．（5分）在△ABC中，AD是高，且AD2＝BD?CD，那么∠BAC的度數(shù)是（）A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不確定二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知a2﹣a（b+c）+b2+c2﹣bc＝0，則（）A．a(chǎn)，b，c互不相等 B．必有a＝b C．必有b＝c D．a(chǎn)bc＝0（多選）10．（5分）周長相同的正三角形、正方形、正六邊形的面積分別是S3，S4，S6，則（）A．S6＞S4＞S3 B．S6＞S3＞S4 C． D．（多選）11．（5分）已知x是無理數(shù)，且（x+1）（x+3）是有理數(shù)，在上述假定下（）A．x2是無理數(shù) B．（x﹣1）（x﹣3）是無理數(shù) C．（x+1）2是有理數(shù) D．（x﹣1）2是無理數(shù)（多選）12．（5分）已知a、b為正實數(shù)，且對任何實數(shù)t，都有不等式﹣t2+2t≤a+b≤9t2﹣18t+10，則（）A． B． C． D．三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．13．（5分）已知，則＝．14．（5分）已知a，b為整數(shù)，且滿足（）（）?＝．15．（5分）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形＝．16．（5分）有理數(shù)a≠1，我們把稱為a的差倒數(shù)的差倒數(shù)是．如果，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…依次類推．那么a2024＝．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）若（x﹣1）（x+1）（x+5）＝x3+bx2+cx+d，求b+d的值．18．（12分）關(guān)于x的方程x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0恰有一個實數(shù)根．求實數(shù)a的取值范圍．19．（12分）已知D是△ABC的邊AC上的點，AD：DC＝2：1，∠C＝45°，試判斷直線AB與△BCD的外接圓位置關(guān)系．20．（12分）若x＜0，方程組的解為（x1，y1），（x2，y2），且，求k的值．21．（12分）已知m，n，p為正整數(shù)，m＜n．設(shè)A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）證明：m+n＝p+3；（2）求圖象經(jīng)過A，B，C三點的二次函數(shù)的解析式．22．（12分）有18支足球隊進(jìn)行單循環(huán)賽，即每個參賽隊同其他各隊進(jìn)行一場比賽，假設(shè)比賽的結(jié)果沒有平局1和b1分別表示第i（i＝1，2，3，…，18）支球隊在整個賽程中勝與負(fù)的局?jǐn)?shù)．求（﹣）+（﹣）+?+（﹣）

2023年浙江省嘉興一中強基招生數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CBACBCDD二．多選題（共4小題）題號9101112答案BCADABDAC一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（5分）不相等的有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別是A、B、C，如果|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|（）A．在A、C點的左邊 B．在A、C點的右邊 C．在A、C點之間 D．上述三種均可能【解答】解：∵|a﹣b|+|b﹣c|＝|a﹣c|，∴點B在A、C點之間．故選：C．2．（5分）計算的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【解答】解：＝（﹣﹣++﹣﹣++﹣﹣）×（﹣8）＝﹣×（﹣8）＝8．故選：B．3．（5分）若實數(shù)a，b滿足a2+3a＝2，b2+3b＝2，且a≠b，則（1+a2）（1+b2）＝（）A．18 B．12 C．9 D．6【解答】解：∵a2+3a﹣7＝0，b2+7b﹣2＝0，∴a，b為方程x4+3x﹣2＝7的兩個不同實根．∴a+b＝﹣3，ab＝﹣2，∴（2+a2）（1+b3）＝1+a2+b2+a2b2＝7+（a+b）2﹣2ab+a4b2＝1+5+4+4＝18．故選：A．4．（5分）如圖，在△ABC中，M是AC的中點，P，若BM與AP，AQ分別交于D，則BD，DE（）A．3：2：1 B．4：2：1 C．5：3：2 D．5：2：1【解答】解：過A作AF∥BC交BM延長線于F，設(shè)BC＝3a則BP＝PQ＝QC＝a；∵AM＝CM，AF∥BC，∴AF：BC＝AM：CM＝1，∴AF＝BC＝3a，∴BD：DF＝BP：AF＝1：3，∴BD＝，同理可得：BE＝，BM＝，∴DE＝BE﹣BD＝，EM＝BM﹣BE＝，∴BD：DE：EM＝：：＝4：3：2；故選：C．5．（5分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+1（a≠0）的圖象的頂點在第二象限，且過點（1，0），ab＝（）A．0 B． C．﹣ D．﹣2【解答】解：依題意知a＜0，﹣＜2，故b＜0，且b＝﹣a﹣1，于是﹣5＜a＜0，∴﹣1＜6a+1＜1又a﹣b為整數(shù)，∴2a+1＝0，故a＝b＝﹣，ab＝，故選：B．6．（5分）△ABC的三條外角平分線相交成一個△LMN，則△LMN（）A．一定是直角三角形 B．一定是鈍角三角形 C．一定是銳角三角形 D．不一定是銳角三角形【解答】解：∵∠NAB＝（∠ABC+∠ACB）（∠ACB+∠BAC），∴∠N＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）﹣∠ACB．∵90°﹣∠ACB＜90°．∴∠C′＜90°．同理：∠T＜90°，∠M＜90°．∴△LMN一定是銳角三角形．故選：C．7．（5分）若m2＝n+2，n2＝m+2，（m≠n），則m3﹣2mn+n3的值為（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【解答】解：根據(jù)題意，原式＝（n+2）m﹣2mn+n（m+8）＝mn+2m﹣2mn+mn+8n＝2（m+n），又m2＝n+3，n2＝m+2，故有m7﹣n2＝n﹣m，得m+n＝﹣1，故原式＝2（m+n）＝﹣2．故選：D．8．（5分）在△ABC中，AD是高，且AD2＝BD?CD，那么∠BAC的度數(shù)是（）A．小于90° B．等于90° C．大于90° D．不確定【解答】解：如圖（1），由AD2＝BD?CD，有＝，又∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ADB∽△CDA，∴∠B＝∠CAD，∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝∠BAD+∠B＝90°，如圖（2），雖然AD2＝BD?CD，D點在△ABC外，∴∠BAC＜90°，∴∠BAC的度數(shù)不確定．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．（多選）9．（5分）已知a2﹣a（b+c）+b2+c2﹣bc＝0，則（）A．a(chǎn)，b，c互不相等 B．必有a＝b C．必有b＝c D．a(chǎn)bc＝0【解答】解：a2﹣a（b+c）+b2+c6﹣bc＝a2﹣a（b+c）+＝（a﹣）2+＝7，∴a﹣＝0，，即b﹣c＝2要恒成立，即b＝c，當(dāng)b＝c時，a﹣，故a＝c，∴a＝b＝c，故選：BC．（多選）10．（5分）周長相同的正三角形、正方形、正六邊形的面積分別是S3，S4，S6，則（）A．S6＞S4＞S3 B．S6＞S3＞S4 C． D．【解答】解：設(shè)正三角形、正方形，則正三角形的邊長為4a，正方形的邊長為3a，如圖，過正三角形ABC的頂點A坐AD⊥BC于D，則BD＝BC＝2a，由勾股定理得：AD＝＝2a，∴S△ABC＝×2a×2a2，∵正方形的邊長為3a，∴正方形的面積為7a2，∵正六邊形的邊長為2a，∴正六邊形的面積為×2a×a2，∴S4＞S4＞S3，∵8S6＝54a5，2S7＝18a2，6S3＝36a2，∴9S6＝8S4+6S3，故選：AD．（多選）11．（5分）已知x是無理數(shù)，且（x+1）（x+3）是有理數(shù)，在上述假定下（）A．x2是無理數(shù) B．（x﹣1）（x﹣3）是無理數(shù) C．（x+1）2是有理數(shù) D．（x﹣1）2是無理數(shù)【解答】解：∵x是無理數(shù)，且（x+1）（x+3）＝x3+4x+3是有理數(shù)，設(shè)x8+4x+3＝k（k是有理數(shù)），則x7＝﹣4x+（k﹣3），∵x是無理數(shù)，∴﹣8x+（k﹣3）是無理數(shù)，∴x2是無理數(shù)，故A選項正確；（x﹣3）（x﹣3）＝（x2+2x+3）﹣8x，而有理數(shù)減無理數(shù)仍為無理數(shù)，（x+2）2＝（x2+4x+3）﹣2x﹣2是無理數(shù)，故C選項錯誤；（x﹣1）2＝（x3+4x+3）﹣8x﹣2是無理數(shù)；故D選項正確；∴正確的有：3個．故選：ABD．（多選）12．（5分）已知a、b為正實數(shù)，且對任何實數(shù)t，都有不等式﹣t2+2t≤a+b≤9t2﹣18t+10，則（）A． B． C． D．【解答】解：根據(jù)配方法可得，﹣t2+2t＝﹣（t﹣5）2+1≤6，9t2﹣18t+10＝3（t﹣1）2+2≥1，已知a、b為正實數(shù)，都有不等式﹣t2+2t≤a+b≤9t2﹣18t+10，∴a+b＝5，∵根據(jù)均值不等式ab＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝，故A選項符合題意；∴＝≥4，不符合題意；a2+b2≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝，故C選項符合題意；（）2＝a+b+2＝3+2，∵ab≤，∴（）2≤2，即，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝，故D選項不符合題意，故選：AC．三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共20分．13．（5分）已知，則＝1．【解答】解：由于，即＝5；故＝＝＝1．故答案為8．14．（5分）已知a，b為整數(shù)，且滿足（）（）?＝3．【解答】解：左邊＝，即＝，∴（3b﹣2）（3a﹣5）＝4，而a，且不相等，∴3b﹣6，3a﹣2只可能取值5，﹣4．不妨設(shè)b＜a，則，或，∵由第一個方程組得，第二個方程組無解∴a+b＝3．15．（5分）如圖，把一個面積為1的正方形等分成兩個面積為的矩形的矩形等分成兩個面積為的矩形，再把面積為的矩形等分成兩個面積為的矩形＝．【解答】解：原式＝1﹣＝．16．（5分）有理數(shù)a≠1，我們把稱為a的差倒數(shù)的差倒數(shù)是．如果，a2是a1的差倒數(shù)，a3是a2的差倒數(shù)，a4是a3的差倒數(shù)，…依次類推．那么a2024＝．【解答】解：∵a1＝﹣，a2是a1的差倒數(shù)，∴a5＝＝，∵a3是a2的差倒數(shù)，∴a6＝＝4，∵a2是a3的差倒數(shù)，∴a4＝＝﹣，…∵2024÷3＝674……8，∴a2024＝，故答案為：．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．（10分）若（x﹣1）（x+1）（x+5）＝x3+bx2+cx+d，求b+d的值．【解答】解：當(dāng)x＝1時，1+b+c+d＝3①，當(dāng)x＝﹣1時，﹣1+b﹣c+d＝4②，①+②得：2（b+d）＝0，∴b+d＝3．18．（12分）關(guān)于x的方程x3﹣ax2﹣2ax+a2﹣1＝0恰有一個實數(shù)根．求實數(shù)a的取值范圍．【解答】解：原方程寫成關(guān)于a的一元二次方程為a2﹣（x2+4x）a+（x3﹣1）＝4，即a2﹣（x2+8x）a+（x﹣1）（x2+x+3）＝0，∴[a﹣（x﹣1）][a﹣（x3+x+1）]＝0，①當(dāng)Δ＜2時，x2+x+1﹣a＝2無實數(shù)解，由判別式知；②當(dāng)Δ＝3時，此時，舍去，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為；19．（12分）已知D是△ABC的邊AC上的點，AD：DC＝2：1，∠C＝45°，試判斷直線AB與△BCD的外接圓位置關(guān)系．【解答】解：如圖，作△BCD的外接圓，聯(lián)結(jié)OB，OD．因為∠BOD是所對的圓心角，所以∠BOD＝90°，同理，因為∠DBC＝∠ADB﹣∠ACB＝15°，所以∠DOC＝30°，所以∠BOC＝120°，因為OB＝OC，所以，在△OEC中，因為∠EOC＝∠ECO＝30°，所以O(shè)E＝EC，在△BOE中，因為∠BOE＝90°，所以BE＝2EO＝2EC，所以，則AB∥DO，故∠ABO＝90°，∴AB是△BCD的外接圓的切線．20．（12分）若x＜0，方程組的解為（x1，y1），（x2，y2），且，求k的值．【解答】解：解方程組，消去y得到（1﹣k7）x2+2kx﹣8＝0，由題意1﹣k2≠0，Δ＞0，x8+x2＜0，x3x2＞0，∴﹣＜3，，解得，又∵，∴k＝或，綜上得．21．（12分）已知m，n，p為正整數(shù)，m＜n．設(shè)A（﹣m，0），B（n，0），C（0，p），且OA2+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）．（1）證明：m+n＝p+3；（2）求圖象經(jīng)過A，B，C三點的二次函數(shù)的解析式．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，OC⊥AB，∴OA?OB＝OC2，即mn＝p2．∵OA8+OB2+OC2＝3（OA+OB+OC）