《分層隨機抽樣》教學設計教材：蘇教版必修3課本2-1第45-47頁教學內容解析《分層隨機抽樣》是蘇教版普通高中課程標準實驗教科書必修三第2章第一節(jié)的第三課時。必修三的關于統(tǒng)計的這一教學內容，作用是讓學生感受統(tǒng)計的“用樣本估計總體”的思想，學會收集數(shù)據(jù)，進而對其進行整理，選用合適的方法進行分析，最后能用特征數(shù)反映總體的特征。初步掌握在實際問題中，用統(tǒng)計知識分析、解釋生活現(xiàn)象的基本方法。分層抽樣這一節(jié)內容是對前面簡單隨機抽樣和系統(tǒng)抽樣方法的一個補充，學完這節(jié)課后，學生可以形成較為完整的抽樣方法體系，為后面對總體的分析打下堅實的基礎，所以本節(jié)課起到承上啟下的作用。本節(jié)課，教材共設置了一個案例和一個實踐操作問題，從“為什么要進行分層抽樣”到“如何實施分層抽樣”，最后闡述“各種抽樣方法的適用范圍和特點”。整節(jié)課，深入淺出地將一個看似簡單的數(shù)學概念進行全新地解讀，引導學生用數(shù)學的思維方法分析現(xiàn)實的問題，能夠透過繁雜的現(xiàn)象，看出其中蘊含的數(shù)學道理，全面提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。經過思考，教者為了凸顯統(tǒng)計抽樣的必要性和為什么要進行分層抽樣，對美國歷史上發(fā)生的預測總統(tǒng)大選的失敗的案例引入課題，層層深入地說明抽樣的要求和分層抽樣的適用范圍。統(tǒng)計是應用型的數(shù)學知識，脫離了實踐操作，就是空談。本節(jié)課，教者安排了一個操作案例，從日常的教學活動中選取了“班級學生平均身高估計”這個課題，讓學生實際操作，真正體現(xiàn)數(shù)學在解決實際問題中的價值和作用，進而真正將統(tǒng)計知識應用到實際問題中。教學目標設計1.通過具體實例的研究，了解分層抽樣的方法以及科學，合理選用抽樣方法的必要性。2.了解分層抽樣的操作步驟3.通過對實際問題的對比分析，了解各種抽樣方法的適用范圍，使學生能根據(jù)具體情況選擇適當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題。4.了解分層隨機抽樣的必要性5.通過實例，在與簡單隨機抽樣的比較中，讓學生思考，討論它的特點，并能根據(jù)實際問題的需要設計恰當?shù)某闃臃椒ǎ嵘龑W生的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。學生學情分析在必修三的學習中，由于教材的內容在蘇教版初中教材中已有涉及，學生對統(tǒng)計的思想有初步的了解，學生對這部分內容比較熟悉，教學上更應側重于應用和實踐操作。所以，設置什么樣案例，讓問題更有代表性，怎樣進行課題實踐操作，讓每個學生參與其中，得到體驗和提升，是本節(jié)課成敗的關鍵所在，也是教者著力最多的地方。教學策略分析為了達成教學目標，突出重點，突破難點，同時由于本節(jié)課是實踐操作型的特點，運用兩種教學模式，充分調動學生的積極性，構建有效課堂。一是采用傳統(tǒng)的“教師講授引導式”。本節(jié)課的開始，教師通過具體案例，將統(tǒng)計的思想和抽樣的要求滲透其中，緊扣教材內容，讓學生明確本節(jié)課要完成的任務；二是“學生動手實踐檢驗”，結合具體問題，從收集數(shù)據(jù)，找出正確的抽樣方法，到最后數(shù)據(jù)的分析整理，讓學生從中探尋、感悟統(tǒng)計的思想，可以在具體情境中，選擇正確的抽樣方法獨立完成一次統(tǒng)計抽樣過程。五、教學過程5.1設置情境師：今年是美國總統(tǒng)大選年，希拉里和特朗普正在為總統(tǒng)寶座爭得你死我活。在結果出來之前，各大民調機構和媒體會對選舉結果紛紛做出預測。不過美國歷史上曾經發(fā)生過一次著名的預測失敗的案例.案例1936年美國一著名雜志社為了預測總統(tǒng)候選人羅斯福與蘭登兩人誰能當選，為了了解公眾的意向，調查者通過電話簿和車輛登記簿上的名單給一大批人發(fā)了調查表，最后收回回信200多萬封，在調查史上是少有的容量，花費了大量的人力、物力，雜志社相信自己的調查結果——蘭登將以57％對43％的比例獲勝．最后選舉的結果卻是羅斯福以62％對38％的巨大優(yōu)勢獲勝．試分析這次調查失敗的主要原因．（注意在1936年電話和汽車只有少數(shù)富人擁有）.師：美國各個階層對選誰當總統(tǒng)存在著較大分歧，而雜志社從富人階層中選取的樣本不具有代表性，不能代表全體美國人民的意向，所以導致預測結果失敗。那么當總體中的個體差異比較大時，我們如何抽樣，讓樣本具有更好的代表性呢？我們來看這樣一個問題?！驹O計意圖】：統(tǒng)計的思想是用樣本去估計總體，所以抽取一個能代表總體的樣本是進行數(shù)學分析的前題。什么是“好”的樣本？較之于生硬的說教，不如舉例說明。通過所舉的案例學生很快就能理解，抽樣要有“代表性”，這樣才能對總體作出合理的估計，達到正確估計總體的目的。那對總體中的個體差異較大的情況，我們如何抽取樣本，激發(fā)學生的好奇心，引入本節(jié)課的課題。這個案例同時意在培養(yǎng)學生學會用數(shù)學的眼光觀察世界的習慣，用數(shù)學的語言去解釋，表達身邊的世界。5.2提出問題問題：為了估計我們班級全體學生（共有50人，其中男生30人，女生20人）的平均身高，我想從班級學生中抽取出容量為10的樣本進行調查，請問你將如何抽樣？（學生討論）方案1用簡單隨機抽樣從50人中抽取10人方案2用系統(tǒng)抽樣法從50人中抽取10人師：還有同學有其他的想法嗎？方案3從男生中抽取6人，從女生中抽取4人合成10人的樣本師：請大家自由討論下，這三種方案，哪種方案比較好？學生自由討論師：所抽出的樣本中什么因素會對樣本的平均身高產生重大影響？生：性別因素師：為什么？生：因為男女生的身高存在明顯的差異。下面我們具體看一下這幾種抽樣方法全班同學采用簡單隨機抽樣，抽取容量為10的樣本。生：簡單隨機抽樣，有可能抽出的男生偏多，或者女生偏多，這樣會與總體的真實情況出入較大。②利用學生的學號，用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取10位同學的成績作為樣本。生：系統(tǒng)抽樣雖然較簡單隨機抽樣更加便捷，但仍然沒有考慮到樣本中男女生的人數(shù)偏多或偏少的問題。師：方案3明顯是考慮到了男女的因素，不會出現(xiàn)男女生人數(shù)偏多或偏少的問題，但為什么男生，女生抽出的人數(shù)是6人和4人，而不是各抽5人呢？原因1：因為總體中的男女生人數(shù)之比是3：2，而樣本是要反映總體，所以樣本中男女生之比是3：2師：非常好，有沒有要補充的？原因2：如果男生，女生都各抽5人的話，男女生被抽到的可能性是不一樣的?？傮w中男生人數(shù)比女生少，所以男生被抽到的可能性比女生小。師：科學合理的抽樣要求每個個體被抽到的可能性是相同的，男生抽6人，女生抽4人，則無論男生和女生被抽到的可能性是一樣的，所以是合理的抽樣?！驹O計意圖】：“性別差異”是影響身高的重要因素，簡單隨機抽樣不能穩(wěn)定地體現(xiàn)“男生人數(shù)與女生人數(shù)是3：2”的抽樣要求。將幾種抽樣方案進行對比，學生能夠感受到“按人數(shù)之比”進行抽樣的必要性。師:剛才是我們進行理論分析的結果，那在實際操作中，考慮到了男女因素的方案3是否就一定具有優(yōu)勢呢？統(tǒng)計學是對數(shù)據(jù)進行收集、整理和分析的數(shù)學分支。歷史上，數(shù)學家為了收集數(shù)據(jù)，可以做大量重復的試驗。比如，數(shù)學家布豐為了檢驗拋擲硬幣，出現(xiàn)正面向上的概率是1/2,曾經不間斷地拋擲硬幣4000多次，從而驗證了這個結論。今天我們不妨也學習數(shù)學家也做個小小的數(shù)學實驗，來檢驗一下這幾種抽樣方法。5.3數(shù)學實驗5.3.1準備材料：提供高二某班級身高數(shù)據(jù)一份。5.3.2實驗過程：（1）兩人一個小組，共分為二個大組.第一大組采用方案1，利用隨機數(shù)表法抽取10個數(shù)據(jù)樣本，并用計算器算出樣本的平均值。第二大組采用方案3，先在男生中抽取6個數(shù)據(jù)，再在女生中抽取4個數(shù)據(jù)合成樣本，并用計算器算出樣本的平均值.師：我們得到多組數(shù)據(jù)后，如何對數(shù)據(jù)進行分析，進一步判斷哪組樣本數(shù)據(jù)更接近總體真實水平？（2）用計算機描繪出各組數(shù)據(jù)的折線圖。5.3.3實驗結論：通過數(shù)據(jù)的折線圖，和班級學生身高的實際平均水平作比較，可以發(fā)現(xiàn)采用方案3抽取的樣本算出的平均值和總體的平均值最為接近，而且數(shù)據(jù)的波動性更小?！驹O計意圖】：新課程理念要求“教師是引導者、方法的建立者，而不是簡單的知識的傳授者”，倡導學生“自主、合作、探究”的學習方法。所以，盡管方案3看起來有明顯的優(yōu)點，但我們應該要培養(yǎng)學生看問題不能流于表面，即使不能進行嚴格的理論證明，也要通過實踐去驗證自己的認識是否正確。讓學生完整地進行一次數(shù)據(jù)收集、整理、分析，解釋的過程，親身體會統(tǒng)計學的學科特點，進一步地，提高學生數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)，全方位地體現(xiàn)新課程理念。5.3.4實驗反思師：如果已知班級有個女生個子很高，已經和男生差不多高了，怎么辦？生1：可以將她剔除掉，生2：如果剔除的話，就違反了公平性原則，就不是科學合理的抽樣。為了減小誤差，可以把她的身高數(shù)據(jù)劃歸到男生生這一例中去。師：很有道理，這也就是說我們按照比例抽樣，必須要滿足每一類型之間的差異要比較大，但是在每一個類型內部，個體之間差異要盡可能的小，否則就失去了按比例抽樣的意義。師：方案3就是我們今天要介紹的分層抽樣【設計意圖】創(chuàng)設一個情境，讓學生體會分層抽樣中對“層”的要求，即層與層之間差異明顯，層次分明，把握住分層的重點。5.4數(shù)學建構，形成概念你能概括出分層抽樣的概念嗎？分層抽樣的定義分層抽樣的適用范圍總體“差異明顯”分層抽樣的目的為了使樣本充分地反映總體的情況（樣本有代表性）分層的原則分成“層次分明”的幾部分，（層和層之間的差異要大）分層抽樣的特點按各部分在總體所占的比實施抽樣師：你能規(guī)劃下分層抽樣的具體抽樣步驟嗎？生：（1）將總體按一定的標準分層；（分層）（2）計算各層的個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比；（定比）（3）按各層個體數(shù)與總體的個體數(shù)的比確定各層應抽取的樣本容量；（確定各層的樣本容量）（4）在每一層進行抽樣。師：分層抽樣，在實際生活中應用非常廣泛，你能舉出一些在實際生活中用到分層抽樣的例子嗎？【設計意圖】以上，師生進行了大量的數(shù)學實踐活動，教師需要引導學生用數(shù)學的眼光從客觀現(xiàn)實的原型中，形成抽象的數(shù)學概念?！皩嶒?、觀察、驗證、歸納、應用”是本節(jié)課的一條主線，至此，達到了進一步增強學生的抽象思維能力的目標。5.5數(shù)學應用師：我們現(xiàn)在所處的是“大數(shù)據(jù)時代”，互聯(lián)網(wǎng)日益成為人們獲取數(shù)據(jù)的一個重要來源。例1.某電視臺在因特網(wǎng)上就觀眾對某一節(jié)目的喜愛程度進行調查，參加調查的總人數(shù)為12000人，其中持各種態(tài)度的人數(shù)如表所示：很喜愛喜愛一般不喜歡2435456739261072電視臺為進一步了解觀眾的具體想法和意見，打算從中抽取60人進行更為詳細的調查，應怎樣進行抽樣？分析：利用分層抽樣去抽取生1因為總體中人數(shù)較多，所以不宜采用簡單隨機抽樣。 師：人數(shù)較多能否采用系統(tǒng)抽樣?生：由于持不同的態(tài)度的人數(shù)差異較大，故也不宜用系統(tǒng)抽樣方法，而以分層抽樣為妥。師：那每一層具體要抽取多少人呢？（板書例題）師：接下來我們具體到每一層應該如何抽樣？生：考慮到人數(shù)較多，用系統(tǒng)抽樣。師：分層抽樣主要是解決總體中差異比較明顯的抽樣，但具體到每一層，則應該用系統(tǒng)抽樣或是簡單隨機抽樣?！驹O計意圖】“問題是數(shù)學的心臟”，此處，安排一個與本節(jié)課開頭類似的案例，學生同樣要經歷選擇簡單隨機抽樣還是分層抽樣的思維過程。但是，此時，學生已經了解分層抽樣的概念，能夠明確地提出選擇分層抽樣的理由。對于分層抽樣，學生已經從最初的感知上升到較為深刻的認識，同時，能夠在數(shù)據(jù)處理中，靈活地應用，達到了提高學生數(shù)學實踐能力的目標。師：目前我們已經學習了三種抽樣方法，這就要求我們在實際問題中根據(jù)問題的特點科學地選取合理的抽樣方法。例2.下列問題中，采用怎樣的抽樣方法較為合理？(1)從10臺冰箱中抽取3臺進行質量檢查；(2)某影院有32排座位，每排有40個座位，座位號為1—40．有一次報告會坐滿了聽眾，報告會結束以后為聽取意見，需留下32名聽眾進行座談；(3)某學校有160名教職工，其中教師120名，行政人員16名，后勤人員24名．為了了解教職工對校務公開方面的意見，擬抽取一個容量為20的樣本．分析（1）總體容量比較小，用抽簽法或隨機數(shù)表法都很方便．（2）總體容量比較大，由于人員沒有明顯差異，且剛好32排，每排人數(shù)相同，可用系統(tǒng)抽樣．（3）由于學校各類人員對這一問題看法差異可能很大，故應采用分層抽樣方法．【設計意圖】表面上，這是一組辨析題，學生需要分析具體條件，選擇合理的抽樣方法進行抽樣，溫故知新，加深對不同抽樣方法的理解。深層次上講，統(tǒng)計是應用數(shù)學，產生于生產生活需要，揭示每個實際問題背后的數(shù)學原理，并能用數(shù)學的方法對收集的數(shù)據(jù)進行整理、分析，再進一步指導人們的生產生活。本章是高中階段與生活實際結合最緊密的內容，教師應充分利用這一特點，設置多種情境，讓學生置身于多種不同的生活場景，充分感受數(shù)學知識在實際生活中廣泛應用，培養(yǎng)學生的理性思維能力．通過例2的學習，我們進一步了解到了三種抽樣方法的特點及適用范圍，那么這三種抽樣方法，那么之間的區(qū)別和聯(lián)系是什么？我們一起來看一下．類別特點相互聯(lián)系適用范圍共同點簡單隨機抽樣從總體中逐個抽取總體中的個體個數(shù)較少抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相同系統(tǒng)抽樣將總體平均分成幾部分，按一定的規(guī)則分別在各部分抽取在起始部分抽樣時，采用簡單隨機抽樣總體中的個體個數(shù)較多分層抽樣將總體分成幾層，按各層個體數(shù)之比抽取各層抽樣時采用簡單隨機抽樣或系統(tǒng)抽樣總體由差異明顯的幾部分組成5.6反思（需要大家去討論）某城市的兩所中學分別對自己學校12-14歲學生的身高進行了抽樣統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)這兩所學校12-14歲學生的平均身高竟相差了19CM，這可能嗎？他們在抽樣的過程中可能出現(xiàn)了哪些問題？抽樣的代表性不好沒有分層抽樣，只是進行了簡單隨機抽樣，分層抽樣要考慮到年齡因素，性別因素．樣本的容量較小，也可能會導致差距過大．3.學校的類型可能不同等原因．5.7課堂練習1．某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛、6000輛、和2000輛.為檢驗該公司的產品質量，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取46輛進行檢驗，這三種型號的轎車應分別抽取、、和輛.2．某所學校有小學部、初中部和高中部，在校小學生、初中生和高中生之比為5：2：3，且已知初中生有800人.現(xiàn)要從這所學校中抽取一個容量為80的樣本以了解他們對某一問題的看法，應采用什么抽樣方法？從小學部、初中部及高中部各抽取多少名？總體上看，平均多少名學生中抽取到一名學生？六、教學設計說明“分層抽樣”在很多教師和學生看來，似乎是很淺顯的數(shù)學概念，有很多教師認為，根本不需要“大費周章”地學習它。其實，我們從數(shù)學知識的發(fā)生、發(fā)展、應用、拓展的角度來深入思考這節(jié)課該怎樣上，才能感受到數(shù)學教學的魅力。首先，我們?yōu)槭裁匆M行分層抽樣？回答了這個問題，也就理解了分層抽樣的特點和適用范圍。我們希望讓知識自然的發(fā)生，而不是教師的照本宣科。教者從一個熱點時事，美國總統(tǒng)競選結果預測提出問題，讓學生從荒謬的結論中反思，進而提出“當總體中個體差異明顯時，抽樣要有兼顧這種差異”的抽樣要求，觸及分層抽樣的特點，展開本節(jié)課的學習，達到“四兩撥千斤”的效果。接下來，教師和學生就“估計班級全體學生平均身高，需要從班級學生中抽取出樣本進行調查”這個問題展開討論。師生共同分析、研究、探討，究竟采用何種方法進行抽樣，為后面的實踐操作做好準備。我們從理論上進行分析，鼓勵學生深入思考，不要在教師的影響下亦步亦趨，而是真正培養(yǎng)學生的理性思維能力。在這個環(huán)節(jié)，我們不但辨析了各自抽樣的適用范圍，而且確實了下面將要進行的數(shù)學實驗的目的。此時，學生經過對各種抽樣方法的辨析，初步了解了分層抽樣的特點，迫切希望通過實驗來驗證理論分析的正確性，學生的內心充滿對實驗結果的期待，達到了“引而不發(fā)躍入也”。本節(jié)課最有趣的環(huán)節(jié)就是數(shù)學實驗。教師此時是引導員，引導學生進入場地，各自進行實驗；教師也是技術員，將學生能整理的數(shù)據(jù)輸入電腦，進行操作，將結果呈現(xiàn)給學生；教師也是組織者，有序地安排各大組的學生代表進行實驗結果的匯報，與其他組的同學互享學習成果；教師也是觀察者，通過聆聽學生的報告，把握學生學習的動態(tài)，關注他們的學習進展，發(fā)現(xiàn)他們存在的不足。師生在這個環(huán)節(jié)，都是學習者，教學互長，共同促進。課程進行到這里，學生已經全面學習了“分層抽樣”的概念，數(shù)學知識自然形成。學生不但知道了什么是“分層抽樣”，而且通過上面的實驗，總結出分層抽樣的步驟，加強了動手實踐能力。為了增強教學效果，教師安排了兩個例題，進一步辨析，幫助學生識別各種抽樣方法特點，在解決具體問題時，準確地選擇合理的抽樣方法，達到本節(jié)課的教學目的。通過本節(jié)課的教學，教師重新認識到數(shù)學教育對學生能力培養(yǎng)的重