第1頁/共1頁荊州市2026屆高三（9月）起點考試數(shù)學試卷命題人：陳子俊何緒兆徐勤豐審題人：朱中文朱代文張永波黃蓉2025.9本試卷共4頁，19題，全卷滿分150分．考試用時120分鐘．★?？荚図樌镒⒁馐马棧?.答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4.考試結束后，請將答題卡上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復數(shù)除法求出，進而求出及其模.【詳解】由，得，則，所以.故選：D2.已知集合，，則“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集的概念及充分條件、必要條件的定義可求解.【詳解】因為，，若，可能為，推不出，當時，，即，故是的必要不充分條件.故選：C.3.已知正方形的邊長為1，是的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】將表示為以為基底的形式，根據(jù)向量數(shù)量積運算，求得表達式的值.【詳解】，，.故選：A.4.已知等比數(shù)列中，，，則（）A.16 B.16或 C.32 D.32或【答案】B【解析】【分析】求出公比后可求的值.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，故，故，故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式與同角的三角函數(shù)關系求出的值，再由兩角和的正弦公式求解即得.【詳解】由題意，，所以.故選：A.6.已知，，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】同時平方判斷的大小關系，利用函數(shù)在上的單調性比較的大小關系，從而得到答案.【詳解】因為，，且，所以，即，，設函數(shù)，則，當時，，所以在上單調遞減，所以，當時，，即，當時，得，所以，即，綜上，，故選：A.7.一個銳角三角形的三邊長成等差數(shù)列，則該三角形的最小內(nèi)角余弦值的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】可設三角形的三邊長為，不妨設，由此結合三角形為銳角三角形可求出之間的關系，即可得，結合換元法求解，即可求得答案.【詳解】由題意可設三角形的三邊長為，不妨設，由于三邊長成等差數(shù)列，故，由于三角形中，需滿足，（恒成立），結合，則，得；又三角形為銳角三角形，需滿足，即，即，即，結合，可得；又令，則，故，由于在時單調遞增，故在上單調遞增，故當時，取最小值，當時，，故該三角形的最小內(nèi)角余弦值的取值范圍是.故選：D8.若過圓內(nèi)不同于圓心的點恰好可以作5條長度為正整數(shù)的弦，則所有符合條件的點構成的區(qū)域的面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)過圓內(nèi)一點的最長弦長和最短弦長得到過點的最短弦長的取值范圍，從而得到點與圓心之間距離的取值范圍，得到符合條件的點的區(qū)域，進而得到面積.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，因為直徑是最長的弦，所以點在圓內(nèi)，過點的弦中，直徑是最長的弦，長度為，以下分析過點的最短的弦，由垂徑定理知弦，其中為圓心到弦的距離，要使得最短，則最大，由圖可知，，當弦時取到等號，所以當弦時，最大，弦長最短，根據(jù)圓的對稱性，這條長度為正整數(shù)的弦長度分別是，要使得有兩條長度為的弦，則最短弦長小于，要使得沒有長度為的弦，則最短弦長大于，因此，過點的最短的弦長，因弦長最短時弦，所以，，，所以點落在以為圓心，半徑分別為和的圓所夾的圓環(huán)內(nèi)，所以該區(qū)域的面積為，故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.某班10名同學的某次測驗成績?yōu)椋?5，62，65，68，69，70，70，75，80，100．則下列說法正確的有（）A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是70 B.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是70C.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)小于70 D.這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于70【答案】AD【解析】【分析】由數(shù)據(jù)的數(shù)字特征逐一判斷即可求解．【詳解】對于選項A，這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是70，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是70，故A正確；對于選項B，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，故B錯誤；對于選項C，D，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，故C錯誤；D正確．故選：AD．10.已知連續(xù)型隨機變量，設函數(shù)，則下列說法正確的有（）A.是在定義域上的增函數(shù) B.的圖象關于直線對稱C.的圖象關于點對稱 D.的圖象位于兩條直線，之間【答案】ACD【解析】【分析】據(jù)正態(tài)分布的性質，對函數(shù)的單調性、對稱性以及值域進行分析判斷.【詳解】已知，隨著的增大，這個事件發(fā)生的概率是增大的，即是在定義域上的增函數(shù)，所以A選項正確；若函數(shù)的圖象關于直線對稱，則；，，由正態(tài)分布的性質可知，所以的圖象不關于直線對稱，B選項錯誤；因為正態(tài)分布曲線關于對稱，所以，且，即，所以的圖象關于點對稱，C選項正確；由于概率的取值范圍是，所以的圖象位于兩條直線，之間，D選項正確；故選：ACD.11.圓柱的底面在水平面上，底面半徑為1，高為4．與圓柱底面成45°角的平面截圓柱所得的截面為橢圓，截面上的最低點到下底面的距離為1，則下列說法正確的有（）A.圓柱體的表面積為B.圓柱體夾在截面與下底面之間部分的體積為C.圓柱側面夾在截面與下底面之間部分的面積為D.截面橢圓的離心率為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)公式可求圓柱的體積，故可判斷A的正誤，利用對稱性可求圓柱體夾在截面與下底面之間部分的體積或面積，故可判斷BC的正誤，求出橢圓的長軸長和短軸長后可求半焦距，故可求離心率，從而可判斷D的正誤.【詳解】對于A，圓柱的表面積為，故A錯誤；對于B，如圖，設圓柱的上下底面的圓的圓心分別為，設題設中與圓柱底面成45°角的平面為，記截面的最低點為，設在軸截面的邊上，過作平行于底面的截面，交于，則且，故，故圓柱體夾在截面與下底面之間部分的體積為，故B正確；對于C，圓柱體夾在截面與下底面之間部分的面積為，故C正確；對于D，由B中可得橢圓的長軸長為，而短軸長為，故橢圓的半焦距為，故離心率為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入即可求值.【詳解】因為，.故答案為：.13.雙曲線的兩條漸近線與拋物線的準線圍成三角形的面積為______．【答案】2【解析】【分析】求出雙曲線漸近線方程，拋物線準線方程，再求出準線與漸近線交點坐標，即可得解.【詳解】由雙曲線可知，即，所以兩條漸近線方程為，又拋物線的準線方程為，所以準線與漸近線的交點為，所以三角形面積為，故答案為：214.在正方體的8個頂點和6個面的中心（共14個點）中任取4個點，以這4個點為頂點可構成四面體的概率為______．【答案】【解析】【分析】先求出總取法，再分正方體的個面，個中間平面和個對角面三種情況討論，求出四點共面的取法，再利用古典概型的概率公式即可得解.【詳解】從個點中取4個點，共有種取法，四點共面分下面三種情況：1.正方體的個面：每個面包含個頂點和個中心點，此時共有種；2.個中間平面：每個平面包含個點，此時共有種；3.個對角面：每個對角面包含個頂點和個中心點，此時共有種；所以四個點不共面共有種，所以所求概率.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知數(shù)列滿足，且．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義，結合題干條件進行證明即可；（2）先求出數(shù)列通項公式，再利用錯位相減法進行求解即可.【小問1詳解】由，得.又，故數(shù)列是以1為首項，以1為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知：，，故；，，兩式相減，得，，，；故.16.在長方體中，已知，，，點，分別在棱，上，且．（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，證明四邊形和四邊形都為平行四邊形，從而可得出，再根據(jù)線面平行的判斷的了即可得證；（2）以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求出直線的方向向量和平面的法向量，利用向量法求解即可.【小問1詳解】連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以且，又且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面；【小問2詳解】如圖，以點為原點，建立空間直角坐標系，則，故，設平面的法向量為，則有，令，則，所以，所以，所以直線與平面所成角正弦值為．17.已知函數(shù)，．（1）若，討論函數(shù)在上的單調性；（2）若，當時，恒成立，求的最大值．【答案】（1）單調遞增；（2）3.【解析】【分析】（1）把代入，求出的導數(shù)，結合已知區(qū)間及正弦函數(shù)的有界性確定導數(shù)正負判斷單調性.（2）根據(jù)給定條件，等價變形不等式并分離參數(shù)，構造函數(shù)，再利用導數(shù)求出最小值即可.【小問1詳解】當時，，求導得，令函數(shù)，求導得，則函數(shù)在上單調遞增，，即，當且僅當時取等號，當時，，所以函數(shù)在上單調遞增.【小問2詳解】當時，不等式恒成立，令函數(shù)，求導得，令函數(shù)，求導得，而，則，函數(shù)在上單調遞增，則，，函數(shù)在上單調遞增，，則，而，即，因此，又，所以的最大值為3.18.在電競比賽中一般采用“雙敗淘汰制”，這是一種兼顧效率與公平的比賽賽制，基本原則是“失敗2次才被淘汰”“越先淘汰所獲名次越低”，且每場比賽只有勝負之分．現(xiàn)組織，，，共4個電競隊參加比賽，采用“雙敗淘汰制”，其流程如下：第一輪：抽簽隨機分成2組比賽，每組比賽的勝者進入勝者組，敗者進入敗者組．第二輪：勝者組、敗者組分別比賽，勝者組的勝者（記為）進入決賽，敗者組的敗者因失敗2次被淘汰并獲得第4名．第三輪：第二輪勝者組的敗者與敗者組的勝者比賽，勝者（記為）進入決賽，敗者被淘汰并獲得第3名．第四輪：決賽，若獲勝則比賽結束，獲得冠軍，獲得第2名；若獲勝，則需加賽一場，加賽勝者獲得冠軍，敗者獲得第2名．已知隊戰(zhàn)勝其他3支隊伍的概率均為．且各場比賽互不影響．（1）求隊全勝奪冠的概率；（2）設隊在整個賽事中參賽場次為隨機變量，求的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）（2）分布列見詳解；【解析】【分析】（1）由題意可知隊參加的三輪比賽并全部獲勝，進而即可求出隊全勝奪冠的概率；（2）依題意可得隨機變量的可能取值為2，3，4，5，計算出每種取值的概率，進而即可得到的分布列，并可求出其數(shù)學期望．【小問1詳解】由隊全勝奪冠，即隊在所有參加的比賽中均獲勝，所以隊在第一輪獲勝，第二輪獲勝，第四輪獲勝，所以隊全勝奪冠的概率為．【小問2詳解】依題意可得隨機變量的可能取值為2，3，4，5，若，即隊在第一輪，第二輪均失敗，所以，若，隊在整個賽事中參賽場次有三種情況：①隊在第一輪獲勝，第二輪獲勝，第四輪獲勝，其概率為；②隊在第一輪獲勝，第二輪失敗，第三輪失敗，其概率為；③隊在第一輪失敗，第二輪獲勝，第三輪失敗，其概率為，所以，若，隊在整個賽事中參賽場次有三種情況：①隊在第一輪獲勝，第二輪失敗，第三輪獲勝，第四輪失敗，其概率為；②隊在第一輪獲勝，第二輪獲勝，第四輪失敗，加賽一場，其概率；③隊在第一輪失敗，第二輪獲勝，第三輪獲勝，第四輪失敗，其概率為，所以，若，隊在整個賽事中參賽場次有兩種情況：①隊在第一輪獲勝，第二輪失敗，第三輪獲勝，第四輪獲勝，加賽一場，其概率為；②隊在第一輪失敗，第二輪獲勝，第三輪獲勝，第四輪獲勝，加賽一場，其概率為，所以，所以的分布列為：2345故的數(shù)學期望為．19.已知焦點在軸上的橢圓，點，是橢圓上的兩點，且位于軸上方，為軸上一點，為坐標原點．（1）當點在軸上，，且的面積為時，求橢圓的離心率；（2）若點在第一象限，，分別為橢圓的上頂點和右頂點，直線，分別與軸和軸交于點，．記，的面積分別為、，若為定值2，求橢圓的標準方程；（3）對于（2）所求的橢圓，是否存在實數(shù)，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可求出，即可求得答案；（2）設，求出的坐標，即可求出的表達式，繼而求出b，即得答案；（3）假設存在，設直線PQ的方程，聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)關系，繼而結合是以為直角頂點的等腰直角三角形，可利用向量數(shù)量積等于0