專題6-2數(shù)列大題綜合18種題型目錄TOC\o"1-1"\h\u講高考 1題型全歸納 2【題型一】恒成立求參 2【題型二】數(shù)列“存在型”求參 3【題型三】“存在型”證明題 3【題型四】數(shù)列“存在型不定方程型 3【題型五】雙數(shù)列相同項“存在型” 4【題型六】新數(shù)列與“子數(shù)列”型 4【題型七】“下標(biāo)”數(shù)列型 5【題型八】指數(shù)型常規(guī)裂項求和 5【題型九】“指數(shù)等差型”裂項求和 5【題型十】“指數(shù)分子拆分型”裂項求和 6【題型十一】“正負裂和”型裂項求和 7【題型十二】“分離常數(shù)型”裂項求和 7【題型十三】先放縮再裂項求和 8【題型十四】前n項積型 8【題型十五】解數(shù)列不等式 8【題型十六】證明數(shù)列不等式 9【題型十七】求和：范圍最值型 9【題型十八】“隱和型” 10專題訓(xùn)練 10講高考1．（·湖南·高考真題）數(shù)列滿足．(1)求，并求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求使的所有k的值，并說明理由．2．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求證：；(3)求．3．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．4．（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．5．（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）記為數(shù)列的前n項和，為數(shù)列的前n項積，已知．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列;（2）求的通項公式．題型全歸納【題型一】恒成立求參【講題型】例題1.已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式;(2)數(shù)列的前項和為，且對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（參考數(shù)據(jù):）【講技巧】一般情況下數(shù)列恒成立，通過分參等，轉(zhuǎn)化為“數(shù)列型函數(shù)”，再借助函數(shù)單調(diào)性求最值。求最值時候要注意“數(shù)列型函數(shù)”是離散型?！揪氼}型】已知數(shù)列中，.(1)求證：是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，若不等式成立的自然數(shù)恰有4個，求正整數(shù)的值.【題型二】數(shù)列“存在型”求參【講題型】例題1.設(shè)正項數(shù)列的前項和為，首項為1，已知對任意整數(shù)，當(dāng)時，（為正常數(shù)）恒成立．(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)證明：數(shù)列是遞增數(shù)列；(3)是否存在正常數(shù)，使得為等差數(shù)列？若存在，求出常數(shù)的值；若不存在，說明理由．【練題型】已知是數(shù)列的前項和，且，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式(2)記數(shù)列的前項和為，是否存在實數(shù)使得數(shù)列成等差數(shù)列，若存在，求出實數(shù)的值若不存在，說明理由．【題型三】“存在型”證明題【講題型】例題1.已知正項數(shù)列，其前n項和，滿足.(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達式；(2)數(shù)列中是否存在連續(xù)三項，使得構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.【講技巧】數(shù)列這類“存在某些項等”證明型題，對于運算，特別是含字母的運算要求較高。在二輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練時，要注意對計算方面的拆解分析【練題型】在數(shù)列中，已知，，且對于任意正整數(shù)n都有.(1)令，求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)m是一個正數(shù)，無論m為何值，是否都有一個正整數(shù)n使成立.【題型四】數(shù)列“存在型不定方程型【講題型】例題1.設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，已知，，數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)是否存在，使得是數(shù)列中的項？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【講技巧】涉及到“存在型不定方程”，可以從分類討論方面入手，可以從奇偶數(shù)方面分析，可以從約數(shù)整除方面討論?！揪氼}型】已知數(shù)列滿足.(1)證明：是等比數(shù)列.(2)判斷是否可能是數(shù)列中的項.若是，求出的最大值；若不是，請說明理由.【題型五】雙數(shù)列相同項“存在型”【講題型】例題1.已知是等差數(shù)列，是公比不為1的等比數(shù)列，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若集合，且，求中所有元素之和.【講技巧】雙數(shù)列相同項，一般情況下，也是解“不定方程”【練題型】已知數(shù)列的通項公式為，等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，的前n項和分別為，，求滿足（）的所有數(shù)對．【題型六】新數(shù)列與“子數(shù)列”型【講題型】例題1.已知數(shù)列，其前項和分別為，且分別滿足，.(1)求數(shù)列，的通項公式.(2)將數(shù)列，的各項按，，，…，順序排列組成數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【練題型】已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前n項和為，求．【題型七】“下標(biāo)”數(shù)列型【講題型】例題1.已知數(shù)列，，是數(shù)列的前n項和，已知對于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列和的通項公式．(2)記，求數(shù)列的前n項和．【練題型】定義集合，數(shù)列滿足(1)定義數(shù)列，證明：為等比數(shù)列(2)記數(shù)列的前項和為，求滿足的正整數(shù)【題型八】指數(shù)型常規(guī)裂項求和【講題型】例題1.設(shè)數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列的前項和，求的值.【講技巧】純指數(shù)型裂項，裂項公式思維供參考：【練題型】已知數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，設(shè)的前n項和為，若對恒成立，求實數(shù)m的取值范圍.【題型九】“指數(shù)等差型”裂項求和【講題型】例題1..等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求；(3)令，設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.天津市寶坻區(qū)第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【講技巧】指數(shù)等差型裂項，裂項公式思維供參考：注意：一般情況下，分子的mn+t=,如果裂項系數(shù)不好找，可以待定系數(shù)法【練題型】已知為等差數(shù)列，為公比大于0的等比數(shù)列，且，，，.(1)求和的通項公式；(2)設(shè)求數(shù)列的前項和.【題型十】“指數(shù)分子拆分型”裂項求和【講題型】例題1.已知數(shù)列的前項和為，，．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和為．【講技巧】指數(shù)分子拆分型裂項，裂項公式思維供參考：注意：公式僅供思維參考，這個結(jié)構(gòu)，常數(shù)“1”那個位置，可以是任意某個常數(shù)，注意具體常數(shù)具體拆分裂項。【練題型】已知數(shù)列是公比的等比數(shù)列，前三項和為13，且，，恰好分別是等差數(shù)列的第一項，第三項，第五項．(1)求和的通項公式；(2)已知，數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和；(3)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【題型十一】“正負裂和”型裂項求和【講題型】例題1.記正項數(shù)列的前n項積為，且．(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前2n項和．【講技巧】正負相間型裂和，裂項公式思維供參考：【練題型】已知數(shù)列的滿足，.(1)求的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：.【題型十二】“分離常數(shù)型”裂項求和【講題型】例題1.數(shù)列是正項等比數(shù)列，已知且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【講技巧】“分離常數(shù)型”裂項求和，裂項公式思維供參考：分子分母多為一元二次，分母可因式分解，分子可通過構(gòu)造分母來分離常數(shù)【練題型】已知等差數(shù)列的通項公式為，記數(shù)列的前n項和為，且數(shù)列為等差數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求的通項公式．【題型十三】先放縮再裂項求和【講題型】例題1.已知數(shù)列的前項和，且，正項等比數(shù)列滿足：，(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和；(3)證明：.【練題型】已知函數(shù)，(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)若恒成立，①求a的取值范圍；②設(shè)，證明：【題型十四】前n項積型【講題型】例題1.在等比數(shù)列中，，前項和為是和的等差中項．(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求的最大值．【講技巧】可以類比前n項和求通項過程來求數(shù)列前n項積：1.n=1，得a12.n時，，所以【練題型】已知數(shù)列滿足,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)數(shù)列滿足,,若,求k的值.【題型十五】解數(shù)列不等式【講題型】例題1.已知數(shù)列的首項，且滿足．(1)已知數(shù)列是等比數(shù)列，求公比；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．【練題型】已知等差數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，且的前項和為，求滿足不等式的的值.【題型十六】證明數(shù)列不等式【講題型】例題1.已知等差數(shù)列滿足，，的前n項和為．(1)求及的通項公式；(2)記，求證：．【練題型】已知數(shù)列，，.(1)求數(shù)列通項公式；(2)若數(shù)列滿足：.（i）證明：；（ii）證明：.【題型十七】求和：范圍最值型【講題型】例題1.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項和為，求的取值范圍.【練題型】已知數(shù)列的前n項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，數(shù)列是否存在最大項，若存在，求出最大項.【題型十八】“隱和型”【講題型】例題1.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1，公差d＞0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數(shù)列{bn}的第二、三、四項.(1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列{cn}對任意自然數(shù)n均有成立，求的值.【練題型】已知等比數(shù)列的前項和為．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當(dāng)時，，求數(shù)列的通項公式．1．已知為數(shù)列的前項積，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和.2．記為數(shù)列的前n項和，已知.(1)求；(2)設(shè)，數(shù)列的前