1.1.2空間向量的數(shù)量積運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.類(lèi)比平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，理解并計(jì)算空間向量的數(shù)量積（重點(diǎn)）數(shù)學(xué)抽象2.理解并掌握空間向量數(shù)量積的性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的判斷和計(jì)算（難點(diǎn)）數(shù)學(xué)運(yùn)算導(dǎo)導(dǎo)復(fù)習(xí)引入回顧平面向量夾角和數(shù)量積的定義：類(lèi)比平面向量的知識(shí)，空間向量的夾角和數(shù)量積又將如何定義呢？新知形成探究1：類(lèi)比平面向量，如何得出空間向量夾角的概念？1、空間向量的夾角及其表示ba.OBαA學(xué)OABOABOAB新知形成向量夾角范圍為學(xué)

展+評(píng)典型例題題型一向量夾角訓(xùn)練1

（1）對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，“a∥b”是“＜a，b＞＝0”的（

B

）A.

充分不必要條件B.

必要不充分條件C.

充要條件D.

既不充分也不必要條件B練

120°60°新知形成探究2：類(lèi)比平面向量，如何得出空間向量數(shù)量積定義？學(xué)知識(shí)點(diǎn)2：空間向量的數(shù)量積2、定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos<a，b>叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.即a·b=|a||b|cos<a，b>.結(jié)果為數(shù)值思考：向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它什么時(shí)候?yàn)檎?，什么時(shí)候?yàn)樨?fù)？數(shù)量積符號(hào)由cos

的符號(hào)所決定。學(xué)設(shè)是非零向量，它們的夾角是θ，是與方向相同的單位向量，則：3、向量數(shù)量積的性質(zhì)學(xué)4.

運(yùn)算律：

（1）（λa）·b＝

，λ∈R；（2）交換律：a·b＝

?；（3）分配律：（a＋b）·c＝

?.

提醒：不滿足結(jié)合律和消去律λ（a·b）

b·a

a·c＋b·c

展+評(píng)典型例題例2如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線長(zhǎng)都等于1，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算：題型二數(shù)量積的運(yùn)算

A.2B.1C.

2

D.

A

－1問(wèn)題3

如圖，在平面向量中，我們學(xué)習(xí)了向量的投影向量，類(lèi)似地，對(duì)于空間任意兩個(gè)非零向量a，b，怎樣得到向量a在向量b上的投影向量呢？

新知形成學(xué)作法圖形表示符號(hào)表示向量a在向量b上的投影向量將向量a，b（直線l）平移到同一個(gè)平面α內(nèi)，利用平面上向量的投影，得到與向量b（直線l的方向向量）共線的向量c

c＝｜a｜·cos

＜a，b＞

向量a在直線l上的投影向量新知形成學(xué)作法圖形表示符號(hào)表示向量a在

平面β上

的投影向

量分別由向量a的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B作平面β的垂線，垂足分別為A'，B'，得到向量

新知形成學(xué)【例3】已知向量a，b，｜a｜＝6，｜b｜＝8，＜a，b＞＝120°，則a在b上的投影向量為

，b在a上的投影向量為

?.

典型例題題型三投影向量展+評(píng)訓(xùn)練3

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，CB⊥AB，AB＝BC＝a，PA＝b.

【例4】(1)已知在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，

AA1＝AB＝AD＝1，且這三條棱彼此之間的夾角都是60°，則AC1的長(zhǎng)為（

B

）A.6B.

C.3D.

B展+評(píng)典型例題題型四用數(shù)量積求夾角和模

A.30°B.60°C.90°D.120°B【例5】

如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都為a，

M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).證明：MN⊥AB.

典型例題題型五用數(shù)量積證明垂直問(wèn)題

訓(xùn)練4

（1）已知空間四邊形OABC各邊及對(duì)角線長(zhǎng)都等于2，E，F(xiàn)分別

為AB，OC的中點(diǎn)，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為

?；

1.

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°

的是（

）A.

與

B.

與

C.

與

D.

與

√

A.

－

bB.

b√C.

bD.

－

b

A.

B.2C.

D.1√

60°1課堂小結(jié)1.理清單

（1）空間向量的夾角；（2）空間向量的數(shù)量積；（3）投影向量；（4）空間向量數(shù)量積的應(yīng)用.2.應(yīng)體會(huì)（1）求空間向量的夾角、數(shù)量積及投影向量時(shí)常用到數(shù)形結(jié)合思想；（2）空間向量數(shù)量積的應(yīng)用中注意轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.3.避易錯(cuò)當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.展+評(píng)典型例題題型三用數(shù)量積求長(zhǎng)度例3如圖，已知?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且