第第頁北師大版（2024）八年級上冊數(shù)學第二章1認識實數(shù)教案第1課時無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)一、新課導入設計【情境導入】老師：同學們，我們學過不計其數(shù)的數(shù)，概括起來我們在小學階段以及七年級階段都學過哪些數(shù)呢？學生：在小學我們學過自然數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、負數(shù)．學生：在七年級我們還學過有理數(shù)．老師：對，我們在小學學了自然數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、負數(shù)，在七年級我們把數(shù)從小學學過的正數(shù)、零、負數(shù)擴充到了有理數(shù)范圍，有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，那么有理數(shù)范圍是否就能滿足我們實際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個問題．二、數(shù)學文化拓展閱讀無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)畢達哥拉斯學派是以古希臘哲學家、數(shù)學家、天文學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580—約前500)為代表人物的一個學派．畢達哥拉斯學派發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，這是數(shù)學史上的一件大事，它導致了第一次數(shù)學危機．畢達哥拉斯學派有一個信條——“萬物皆數(shù)”，即“宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比”．也就是一切現(xiàn)象都可以用有理數(shù)去描述．公元前5世紀，畢達哥拉斯學派的一個成員希帕索斯(Hippasus)發(fā)現(xiàn)邊長為1的正方形的對角線的長不能用整數(shù)或整數(shù)之比來表示．這個發(fā)現(xiàn)動搖了畢達哥拉斯學派的信條，引起了信徒們的恐慌．據(jù)說，希帕索斯為此被投入了大海，他為發(fā)現(xiàn)真理而獻出了寶貴的生命．但真理是不可戰(zhàn)勝的，后來，古希臘人終于正視了希帕索斯的發(fā)現(xiàn)，并進一步給出了證明．假設邊長為1的正方形的對角線的長可寫成兩個整數(shù)p，q的比eq\f(p,q)(p，q互質(zhì))，于是有(eq\f(p,q))2＝2，p2＝2q2.因此，p2是偶數(shù)，p是偶數(shù)．于是可設p＝2m，那么p2＝4m2＝2q2，q2＝2m2.這就是說，q2是偶數(shù)，q也是偶數(shù)，這與“p，q是互質(zhì)的兩個整數(shù)”的假設矛盾．從無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)可以看出，無理數(shù)并不“無理”，它和有理數(shù)一樣，都是現(xiàn)實世界中客觀存在的量的反映．教學設計課題第1課時無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)授課人素養(yǎng)目標1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實際背景和引入的必要性．2．借助計算器探索無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，并從中體會無限逼近的思想．3．理解無理數(shù)的概念，能判斷一個數(shù)是否為無理數(shù).續(xù)表教學重點1.無理數(shù)的探索過程．2．了解無理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別，并能正確判斷.教學難點1.無理數(shù)概念的建立．2．會判斷一個數(shù)是無理數(shù)還是有理數(shù)，理解有理數(shù)與無理數(shù)的本質(zhì)區(qū)別.授課類型新授課課時教學活動教學步驟師生活動設計意圖回顧1.有理數(shù)的概念是什么？2．有理數(shù)的分類有哪些？讓學生回憶并回答，為本節(jié)課的學習提供遷移或類比方法.活動一：創(chuàng)設情境、導入新課【課堂引入】A→A→B跑，誰先到達終點B呢？通過學生熟悉的故事引起學生的關(guān)注和興趣，同時也為新課的展開做鋪墊.活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】師：今天的龜兔賽跑故事誰會取勝？學生計算之后得出結(jié)論．師：它們各用多長時間？生：龜用50分，兔用32分．師：如果我們將BC＝400米改成200米結(jié)果會怎樣？學生先自己計算，再小組討論，但求不出結(jié)果．師：為什么算不出呢？我們?nèi)绻OAB＝m，m2＝130，你能求出m嗎？它是整數(shù)嗎？它是分數(shù)嗎？它是有理數(shù)嗎？學生討論之后排除整數(shù)，因為整數(shù)的平方?jīng)]有等于130的；也排除分數(shù)，因為分數(shù)的平方是分數(shù)，既不是整數(shù)也不是分數(shù)，因此它不是有理數(shù)．師：以上的例子說明我們學習的有理數(shù)已經(jīng)不夠用了，在日常生活中不能用有理數(shù)表示的現(xiàn)象還有很多，現(xiàn)在讓我們動手體驗一下吧！活動1：學生拿出課前準備的兩個邊長均為1的正方形彩紙(顏色不同)，把兩個正方形剪拼成一個大正方形，認真討論之后，動手剪一剪、拼一拼，設法得到一個面積為2的正方形并展示．1.通過類比思想，由特殊到一般，循序漸進地進行探究，激發(fā)學生對數(shù)學的學習興趣.續(xù)表教學步驟師生活動設計意圖活動二：實踐探究、交流新知教師用大屏幕將學生剪拼的正方形展示給全班同學并提問：(1)設大正方形的邊長為a，a滿足什么條件？(2)a可能是整數(shù)嗎？說說你的理由．(3)a可能是分數(shù)嗎？說說你的理由，并與同伴進行交流．學生因為有了前面的經(jīng)驗，很快得出a既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，所以a不是有理數(shù)．活動2：面積為2的正方形的邊長a究竟是多少呢？(1)如圖，三個正方形的邊長之間有怎樣的大小關(guān)系？說說你的理由．(2)邊長a的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位呢？……借助計算器進行探索．師生活動：先讓學生分組討論并整理過程，教師最后用課件呈現(xiàn)探索過程如下：邊長a面積S1<a<21<S<41.4<a<1.51.96<S<2.251.41<a<1.421.9881<S<2.01641.414<a<1.4151.999396<S<2.0022251.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449還可以繼續(xù)算下去嗎？a可能是有限小數(shù)嗎？事實上，a＝1.41421356…它是一個無限不循環(huán)小數(shù).師生共同總結(jié)：事實上，有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示．反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)．那些不是有理數(shù)的數(shù)，用小數(shù)表示是無限不循環(huán)小數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù).無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．2.引導學生通過動手拼圖、觀察、計算、思考、交流，感受無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感知生活中確實存在著不同于有理數(shù)的數(shù)，即無理數(shù).活動三：開放訓練、體現(xiàn)應用【典型例題】例(教材第27頁例)下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？3.14，－eq\f(4,3)，0.eq\o(57,\s\up6(··,))，0.1010001000001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加2).解：3.14，－eq\f(4,3)，0.eq\o(57,\s\up6(··,))是有理數(shù)；0.1010001000001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加2)是無理數(shù).【變式訓練】已知半徑為1的圓.(1)它的周長l是有理數(shù)還是無理數(shù)？說說你的理由；(2)估計l的值(結(jié)果精確到十分位)；(3)如果結(jié)果精確到百分位呢？解：(1)它的周長l＝2π是無理數(shù)，理由如下：2π是無限不循環(huán)小數(shù).(2)結(jié)果精確到十分位，2π≈6.3.(3)結(jié)果精確到百分位，2π≈6.28.師生活動：學生先思考，教師作適當引導，最后呈現(xiàn)結(jié)果．通過教學讓學生對無理數(shù)有更深刻的認識.續(xù)表教學步驟師生活動設計意圖活動四：課堂檢測【課堂檢測】1.下列說法正確的是(B)A．有理數(shù)只是有限小數(shù)B．無理數(shù)是無限小數(shù)C．無限小數(shù)是無理數(shù)D.eq\f(π,3)是分數(shù)2．在eq\f(1,3)，3.1415926，0.7070070007…(相鄰兩個7之間0的個數(shù)逐次加1)，0.6，π中，無理數(shù)有(B)A．1個B．2個C．3個D．4個3．把下列各數(shù)填在相應的大括號內(nèi)：eq\f(π,2)，－|－3|，－eq\f(1,3)，0，eq\f(22,7)，－3.eq\o(1,\s\up6(·))，1.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1)．整數(shù){－|－3|，0…}；分數(shù){－eq\f(1,3)，eq\f(22,7)，－3.eq\o(1,\s\up6(·))…}；無理數(shù){eq\f(π,2)，1.1010010001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加1)…}．師生活動：學生進行當堂檢測，完成后，教師進行批閱、點評、講解．通過設置當堂檢測，進一步讓學生鞏固新知，及時檢測學習效果，做到“堂堂清”.課堂小結(jié)1.課堂小結(jié)：(1)你在本節(jié)課中有哪些收獲？哪些進步？(2)學習本節(jié)課后，還存在哪些困惑？2．布置作業(yè)：教材第30頁習題2.1第1，2，3，4，5，6題.小結(jié)環(huán)節(jié)的設置能夠讓學生養(yǎng)成自主歸納課堂重點的習慣，提高學生的學習能力.板書設計第1課時無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)1．有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示．反過來，任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)．2．無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)．提綱挈領(lǐng)，重點突出.教學反思在本節(jié)課的教學過程中，通過拼圖、計算等活動，學生較好地參與到課堂中來，對無理數(shù)的產(chǎn)生有了直觀的感受，大部分學生能夠理解無理數(shù)的概念，并能初步判斷一個數(shù)是否為無理數(shù)．但在教學中也發(fā)現(xiàn)一些問題，如部分學生在利用勾股定理進行計算時不夠熟練，影響了探究活動的進度；在講解無理數(shù)的概念時，對于無限不循環(huán)小數(shù)的理解，部分學生仍存在困難，需要在后續(xù)教學中通過更多實例進一步強化．此外，在時間把控上，可更加緊湊一些，給學生更多的時間進行課堂練習和交流討論．在今后的教學中，要注重對學生基礎知識的鞏固，加強對學生思維能力的培養(yǎng)，提高課堂教學的效率和質(zhì)量．反思，更進一步提升.

第2課時實數(shù)新課導入設計【復習導入】問題1：什么是有理數(shù)？有理數(shù)怎樣分類？問題2：什么是無理數(shù)？教學設計課題第2課時實數(shù)授課人素養(yǎng)目標1.理解實數(shù)的概念，明晰實數(shù)與有理數(shù)、無理數(shù)的關(guān)系，能精準對實數(shù)進行分類．2．熟知在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義，并能熟練運用．3．理解有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)同樣適用．4．掌握實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應的關(guān)系.教學重點1.實數(shù)的概念、分類及性質(zhì)．2．理解實數(shù)與數(shù)軸的點一一對應的關(guān)系．3．理解有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)的應用.教學難點1.理解實數(shù)與數(shù)軸的點一一對應的關(guān)系．2．理解有理數(shù)的運算法則和運算律在實數(shù)范圍內(nèi)的應用.授課類型新授課課時教學設計教學步驟師生活動設計意圖回顧提問：什么是有理數(shù)？什么是無理數(shù)？舉例說明．復習回顧舊知識，為新課的引入做鋪墊.活動一：創(chuàng)設情境、導入新課【課堂引入】如下圖所示，直徑為1個單位長度的圓從原點沿數(shù)軸向右滾動一周，圓上的一點由原點到達點O′，點O′對應的數(shù)是多少？學生活動：小組合作探究．教師總結(jié)：從圖中可以看出OO′的長是這個圓的周長，則點O′對應的數(shù)是π.我們知道數(shù)軸上的點與有理數(shù)不是一一對應的．而π是無理數(shù)，因此，數(shù)軸上的點除了可以用有理數(shù)表示，還可以用無理數(shù)表示，那么這些數(shù)是否也像有理數(shù)一樣具有相反數(shù)、倒數(shù)和絕對值呢？接下來我們一起來學習結(jié)合有理數(shù)與無理數(shù)的新數(shù)種——實數(shù)．生動形象的實際情境，能喚起學生的學習興趣，提高學生的學習積極性，對比有理數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，激發(fā)學生對無理數(shù)、實數(shù)相關(guān)知識的求知欲.續(xù)表教學步驟師生活動設計意圖活動二：實踐探究、交流新知【探究新知】1．實數(shù)的概念和分類活動1：教師隨機將寫有下面數(shù)的卡片發(fā)給學生，兩名隊長分別舉著寫著“有理數(shù)”和“無理數(shù)”的牌子，請學生快速找自己的組織．其余同學觀察有無站錯隊伍的“臥底”．3．14，－eq\f(4,3)，0.eq\o(5,\s\up6(·))eq\o(7,\s\up6(·))，0，0.1010001000001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加2)．教師總結(jié)：這些數(shù)被分成了兩個不同的群體，這兩個組織有一個共同的名字——實數(shù)，從而引出實數(shù)的概念．實數(shù)的定義：____________和____________統(tǒng)稱為實數(shù)．與有理數(shù)一樣，實數(shù)也有正、負之分．活動2：學生根據(jù)隊長手中的“正數(shù)”“負數(shù)”牌，重新確認自己的身份，找到自己應去的新組織(手持0的同學無法找到自己的組織)．把上面各數(shù)分別填入下面相應的集合內(nèi)：知識整理：無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有正負之分．總結(jié)：從實數(shù)的概念也可以進行如下分類：實數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(,))從符號考慮，實數(shù)可以分為：實數(shù)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(,0,))2．實數(shù)的相關(guān)概念想一想：a是一個有理數(shù)，它的相反數(shù)是____________，它的絕對值是____________，當a≠0時，它的倒數(shù)是____________．若a是一個實數(shù)呢？教師引導學生共同總結(jié)：在實數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值的意義完全一樣．教師繼續(xù)提問：回憶有理數(shù)的加減乘除運算，大膽猜想一下在實數(shù)范圍內(nèi)能否進行運算？教師總結(jié)：有理數(shù)的運算及運算律對實數(shù)仍然適用．在實數(shù)運算中，當遇到無理數(shù)且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確度，用相應的近似有限小數(shù)代替無理數(shù)進行計算．例如，求無理數(shù)a＝1.41421356…與π＝3.14159265…的和(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位)，可直接舍去a和π小數(shù)點后第三位以后的數(shù)字，得a≈1.414，π≈3.141，因此a＋π≈1.414＋3.141＝4.555≈4.56.1.通過活動方式，不僅對有理數(shù)和無理數(shù)進行回顧，更激起學生學習的興趣．再次通過活動讓學生感知不同的分類標準，結(jié)果會發(fā)生變化，從而感受到實數(shù)的兩種分類方法．2．學生根據(jù)有理數(shù)的學習經(jīng)驗，嘗試著完成，通過小組交流互動，明確答案的合理性，體會類比思想方法.續(xù)表教學步驟師生活動設計意圖活動二：實踐探究、交流新知3.實數(shù)與數(shù)軸上點的關(guān)系面積為2的正方形的邊長是a，面積為5的正方形的邊長是b.(1)如圖，OA＝OB，數(shù)軸上點A對應a，b中的哪個數(shù)？(2)你能在數(shù)軸上找到另一個數(shù)對應的點嗎？(3)如果將所有有理數(shù)都標到數(shù)軸上，那么數(shù)軸被填滿了嗎？師生活動：學生先觀察圖形，分小組合作探究，教師適時引導．師生共同解決以上問題：(1)根據(jù)勾股定理，得OB2＝12＋12＝2，又因為a2＝2，所以點A對應的數(shù)是a.(2)如圖所示，在數(shù)軸上2個單位長度處作垂線段，使垂線段長度為1，連接OB，則根據(jù)勾股定理OB2＝5，以點O為圓心，OB的長為半徑畫弧，交數(shù)軸與點A，則OA＝OB，所以數(shù)軸上點A對應的數(shù)就是b.(3)如果將所有有理數(shù)都標在數(shù)軸上，數(shù)軸上未被填滿，在數(shù)軸上還可以表示無理數(shù)．歸納：事實上，每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù)．即實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的．在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大．3.觀察說出運算律，讓學生再次體驗類比思想，同時培養(yǎng)學生大膽猜想的意識．也為下節(jié)課的學習埋下伏筆，激起學生的求知欲和好奇心．4．從分類導入，類比有理數(shù)，逐步涉及實數(shù)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值、數(shù)軸以及相關(guān)運算等知識點，使學生在對比熟悉的有理數(shù)相關(guān)知識中，較易于掌握實數(shù)的相關(guān)知識點.活動三：開放訓練、體現(xiàn)應用【典型例題】例1把下列數(shù)填入相應的橫線上．eq\f(5π,3)，0.eq\o(6,\s\up6(·))，－eq\f(3,4)，3，0.12345679810111213…(小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成)．(1)整數(shù)：3；(2)分數(shù)：0.eq\o(6,\s\up6(·))，－eq\f(3,4)；(3)有理數(shù)：0.eq\o(6,\s\up6(·))，－eq\f(3,4)，3；(4)無理數(shù)：eq\f(5π,3)，0.123__456__798__101__112__13…(小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成)；(5)實數(shù)：eq\f(5π,3)，0.eq\o(6,\s\up6(·))，－eq\f(3,4)，3，0.123__456__798__101__112__13…(小數(shù)部分由相繼的正整數(shù)組成)．例2如圖，已知一個實數(shù)a在數(shù)軸上對應的位置為點A，則下列說法錯誤的是(C)A．a(chǎn)的相反數(shù)是－aB．a(chǎn)的倒數(shù)是eq\f(1,a)C．a(chǎn)的絕對值是aD．a(chǎn)的絕對值是－a續(xù)表教學步驟師生活動設計意圖活動三：開放訓練、體現(xiàn)應用【變式訓練】實數(shù)a，b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，下列結(jié)論中正確的是(B)A．a(chǎn)>－1B．b>－aC．a(chǎn)＋b<0D．a(chǎn)b>0師生活動：學生先思考，教師作適當引導，最后呈現(xiàn)結(jié)果．對知識進行鞏固練習，加深學生對