重難點(diǎn)培優(yōu)01集合、常用邏輯用語中的參數(shù)及新定義問題目錄（Ctrl并單擊鼠標(biāo)可跟蹤鏈接）TOC\o"1-2"\h\u01知識(shí)重構(gòu)?重難梳理固根基 102題型精研?技巧通法提能力 2題型一集合與元素的關(guān)系（★★） 2題型二集合的包含關(guān)系（★★★） 7題型三集合的交并補(bǔ)運(yùn)算及容斥原理（★★★★） 10題型四集合的新定義（★★★★★） 13題型五常用邏輯用語中的參數(shù)問題（★★★★） 2103實(shí)戰(zhàn)檢測?分層突破驗(yàn)成效 24檢測Ⅰ組重難知識(shí)鞏固 24檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升 34一、集合常用結(jié)論1、若有限集中有個(gè)元素，則的子集有個(gè)，真子集有個(gè)，非空子集有個(gè)，非空真子集有個(gè)．2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3、．4、,．5、容斥原理：在部分有限集中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)集合中元素的個(gè)數(shù)問題，常用Venn圖表示兩集合的交、并、補(bǔ)。如果用card表示有限集合元素的個(gè)數(shù)，即card（A）表示有限集A的元素個(gè)數(shù)，則有如下結(jié)論：（1）（2）二、集合中的新定義問題1、集合中的新概念問題，往往是通過重新定義相應(yīng)的集合或重新定義集合中的某個(gè)要素，結(jié)合集合的知識(shí)加以創(chuàng)新，我們還可以利用原有集合的相關(guān)知識(shí)來解題．2、集合中的新運(yùn)算問題是通過創(chuàng)新給出有關(guān)集合的一個(gè)全新的運(yùn)算規(guī)則．按照新的運(yùn)算規(guī)則，結(jié)合數(shù)學(xué)中原有的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)則，通過相關(guān)的集合或其他知識(shí)進(jìn)行計(jì)算或邏輯推理等，從而達(dá)到解答的目的．3、集合中的新性質(zhì)問題往往是通過創(chuàng)新集合中給定的定義與性質(zhì)衍生而來的．我們通過可以結(jié)合相應(yīng)的集合概念、關(guān)系、運(yùn)算等相關(guān)知識(shí)，利用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法來解答有關(guān)的集合的新性質(zhì)問題．4、集合新定義問題處理步驟①找：要抓住新定義的本質(zhì)——新定義的要素，首先找出新定義有幾個(gè)要素，少一個(gè)都不是“新的定義”哦；然后找出要素分別是什么②看：看所求是什么？③代：將已知條件代入新定義的要素④解：結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答三、從集合的角度理解充分必要性若條件p，q以集合的形式出現(xiàn)，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，則由A?B可得，p是q的充分條件，（1）若AB，則p是q的充分不必要條件；（2）若A?B，則p是q的必要條件；（3）若AB，則p是q的必要不充分條件；（4）若A＝B，則p是q的充要條件；（5）若A?B且A?B，則p是q的既不充分也不必要條件．充分必要條件判斷精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要條件，大集合是小集合的必要不充分條件；若兩個(gè)集合范圍一樣，就是充要條件的關(guān)系；題型一集合與元素的關(guān)系【技巧通法·提分快招】與集合含義及其表示有關(guān)的問題的解題技巧（1）明確集合的類型，即確定集合是數(shù)集、點(diǎn)集，還是其他集合.（2）理清集合中的元素滿足的限制條件，確定元素的屬性.（3）注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性，確定集合元素的個(gè)數(shù).（4）理清描述法表示的集合中相關(guān)字母變量的取值范圍及條件.1．（24-25高三上·北京通州·期中）設(shè)集合，則（

）A．對任意實(shí)數(shù)a， B．對任意實(shí)數(shù)a，C．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】利用的取值，反例判斷是否成立即可．【詳解】對A，若，則，將代入不全部滿足，此時(shí)可知，故A錯(cuò)誤；對B，當(dāng)時(shí)，則，將代入全部滿足，此時(shí)可知，故B錯(cuò)誤；對C，若，，解之可得，所以C正確；對D，當(dāng)，則，將代入不全滿足，所以，故D錯(cuò)誤.故選：C2．（2025·廣東揭陽·二模）已知集合，則A中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．11 D．13【答案】C【分析】首先求出x的值，然后代入分別求出y的值即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，可得，所以x可能取值為當(dāng)時(shí)：代入得，又，所以，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，.，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，，，此時(shí)得到元素；當(dāng)時(shí)：代入得，所以，此時(shí)得到元素；滿足條件的元素分別為：，，，，共11個(gè)，故選：C3．（24-25高三下·河北保定·模擬預(yù)測）已知集合，，記非空集合S中元素的個(gè)數(shù)為，已知，記實(shí)數(shù)a的所有可能取值構(gòu)成集合是T，則（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】先得出，再分類討論或，因，若，則；若，則問題轉(zhuǎn)化為討論方程的根個(gè)數(shù)，分兩種情況，，但根異于，或，但一根為即可求出.【詳解】對于，有，所以；因?yàn)?，則或，而是方程的根，當(dāng)時(shí)，故，而不是方程的根，故是方程的唯一根，則，經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)滿足；當(dāng)時(shí)，則方程有三個(gè)不同根，則當(dāng)滿足，即，當(dāng)，則滿足；當(dāng)，則滿足；當(dāng)滿足，即，必有為方程的根，即，得，當(dāng)時(shí)，則滿足；當(dāng)，則滿足；則，故.故選：A.4．（2025·河南新鄉(xiāng)·三模）（多選題）已知非空數(shù)集M具有如下性質(zhì)：①若，則；②若，則.下列說法中正確的有（

）.A．. B．.C．若，則. D．若，則.【答案】BC【分析】用特殊值代入判斷A，D，C,列舉法根據(jù)性質(zhì)性質(zhì)①②，判斷B.【詳解】對于，若，令，則，令，則，令，不存在，即，矛盾，所以，故錯(cuò)誤，對于，由于集合非空，取任意元素，根據(jù)性質(zhì)①，得，再根據(jù)性質(zhì)②，得，進(jìn)而，故正確，對于，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，故正確，對于，若，則，故錯(cuò)誤，故選：.5．（2024·遼寧丹東·一模）若為完全平方數(shù)，則正整數(shù)x的取值組成的集合為．【答案】【分析】由題意設(shè)，進(jìn)一步得，分析得到與必然都是偶數(shù)，從而考慮80的分解方式得數(shù)組的可能情況即可進(jìn)一步求解.【詳解】由題意設(shè)，則，注意到是偶數(shù)，所以與的奇偶性相同，（否則若和中，有一個(gè)是奇數(shù)，有一個(gè)是偶數(shù)，則它們的和是奇數(shù)，這與是偶數(shù)矛盾），注意到是偶數(shù)，所以與必然都是偶數(shù)，考慮80的分解方式，滿足題意的數(shù)組只可能是三種情況，所以x的取值可能是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出得到與必然都是偶數(shù)，從而即可順利得解.6．（24-25高三上·上海·期中）如圖，線段相交于，且長度構(gòu)成集合，則的取值個(gè)數(shù)為．

【答案】4【分析】由直角三角形性質(zhì)可得或，后由勾股定理結(jié)合集合互異性可得答案.【詳解】如圖，因?yàn)?，且長度構(gòu)成集合，因?yàn)橹苯侨切沃校边呉欢ù笥谥苯沁吅?，所以或，?dāng)時(shí)，可分為，此時(shí)由勾股定理可得，解得；，此時(shí)由勾股定理可得，解得；，此時(shí)由勾股定理可得，解得；由集合的互異性，可知3需舍去；當(dāng)，可分為：，解得；，解得；，解得；綜上，的值可能為.故答案為：4

題型二集合的包含關(guān)系【技巧通法·提分快招】根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個(gè)集合之間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，要明確集合中的元素，對含參數(shù)的集合是否為空集進(jìn)行分類討論，做到不漏解.①若集合中的元素是一一列舉的，依據(jù)集合間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程（組）求解，此時(shí)注意集合中元素的互異性.②若集合表示的是不等式的解集，常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程（組）或不等式（組）求解，此時(shí)注意檢驗(yàn)端點(diǎn)值能否取到1．（2025·遼寧本溪·模擬預(yù)測）已知集合若，則a的取值構(gòu)成的集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過和兩類情況討論即可.【詳解】由題得，因?yàn)?，所?當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以或，解?或，綜上的取值構(gòu)成的集合為.故選：D.2．（24-25高三上·江蘇·模擬預(yù)測）已知集合，若集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡,即可根據(jù)，對集合討論求解.【詳解】由，則,故若，則，不等式無解，此時(shí),符合題意，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合，則，解得，綜上可得，故選：A3．（24-25高三上·河北承德·模擬預(yù)測）已知集合，．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)得到，當(dāng)時(shí)滿足，求出的取值范圍，當(dāng)時(shí)，列出不等式組求出的取值范圍，結(jié)合兩種情況求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且滿足，，所以當(dāng)時(shí)滿足，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，則有，解得,綜上，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：A．4．（24-25高三上·上?！て谥校┰O(shè)，令，若存在實(shí)數(shù)，則的取值范圍是.【答案】【分析】由題知的值域?yàn)?，可得的值域?yàn)榈恼孀蛹纯汕蟮娜≈捣秶?【詳解】易知函數(shù)，的值域?yàn)?，若函?shù)的值域?yàn)椋嬖趯?shí)數(shù)，則的值域不為，即使函數(shù)，的值域?yàn)榈恼孀蛹纯桑焕枚魏瘮?shù)性質(zhì)可知當(dāng)或時(shí)，函數(shù)值為0，如圖，

所以根據(jù)圖象可知，即的取值范圍為.故答案為：.5．（24-25高三上·安徽·期中）已知集合，集合，若，則的最小值為，的最大值為．【答案】【分析】令，將用表示，由求出的取值范圍即可得解.【詳解】令，由，得，則，顯然，則，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，因此，而，因此，解得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，由，得，所以的最小值為2，的最大值為.故答案為：2；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令，將給定等式用表示，再結(jié)合基本不等式建立不等關(guān)系是求解的關(guān)系.題型三集合的交并補(bǔ)運(yùn)算及容斥原理【技巧通法·提分快招】利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值的取舍.（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.注：在求出參數(shù)后，注意結(jié)果的驗(yàn)證（滿足集合中元素的互異性）.1．（2025·新疆喀什·二模）已知集合，，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求解集合，再得到，然后根據(jù)，即可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以或，所以，所以，因?yàn)椋?，所以?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：.2．（24-25高三下·陜西西安·模擬預(yù)測）已知全集，集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對A，由題可得是的真子集，可判斷；對B，根據(jù)集合和集合的意義判斷；對C，由可判斷；對D，由集合表示非負(fù)偶數(shù)的集合，集合表示能被4整除的非負(fù)整數(shù)，結(jié)合補(bǔ)集和并集運(yùn)算判斷.【詳解】對于A，因?yàn)?，?dāng)是偶數(shù)，令，，此時(shí)，當(dāng)是奇數(shù)，令，，此時(shí)，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)榧媳硎痉秦?fù)偶數(shù)的集合，集合表示能被4整除的非負(fù)整數(shù)，表示自然數(shù)中除去被4整除的數(shù)，所以，故B錯(cuò)誤；對于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，因?yàn)椴缓紨?shù)，不含被4整除的數(shù)，所以不含被4整除的數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C.3．已知全集，集合，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意作出Venn圖，再由集合的運(yùn)算逐一判斷即可.【詳解】全集，集合，滿足，繪制Venn圖，如下：

對于A：，A錯(cuò)誤；對于B：，B錯(cuò)誤；對于C：，C正確；對于D：；D錯(cuò)誤；故選：C.4．（24-25高三上·北京·期中）“運(yùn)動(dòng)改造大腦”，為了增強(qiáng)身體素質(zhì)，某班學(xué)生積極參加學(xué)校組織的體育特色課堂，課堂分為球類項(xiàng)目A?徑賽項(xiàng)目B?其他健身項(xiàng)目C.該班有25名同學(xué)選擇球類項(xiàng)目A，20名同學(xué)選擇徑賽項(xiàng)目B，18名同學(xué)選擇其他健身項(xiàng)目C；其中有6名同學(xué)同時(shí)選擇A和名同學(xué)同時(shí)選擇A和C，3名同學(xué)同時(shí)選擇B和.若全班同學(xué)每人至少選擇一類項(xiàng)目且沒有同學(xué)同時(shí)選擇三類項(xiàng)目，則這個(gè)班同學(xué)人數(shù)是（

）A．51 B．50 C．49 D．48【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合venn圖，列式運(yùn)算得解.【詳解】由題意，，，，，，，因?yàn)槿嗤瑢W(xué)每人至少選擇一類項(xiàng)目且沒有同學(xué)同時(shí)選擇三類項(xiàng)目，所以這個(gè)班同學(xué)人數(shù)是.故選：B.5．（24-25高三上·上海徐匯·開學(xué)考試）2024屆歐洲杯以西班牙奪冠圓滿結(jié)束，小明統(tǒng)計(jì)了其所在班級50名同學(xué)中支持德國，西班牙，英格蘭的人數(shù)，每人都至少支持其中一個(gè)隊(duì)伍，有15人這三支隊(duì)伍都支持，18人不支持德國，20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，則同時(shí)支持兩支隊(duì)伍的同學(xué)的人數(shù)為【答案】16【分析】不妨設(shè)支持德國與西班牙的有人，支持德國與英格蘭的有人，支持西班牙與英格蘭的有人，只支持德國、西班牙、英格蘭的人數(shù)分別為，，，結(jié)合圖列式計(jì)算即得.【詳解】不妨設(shè)支持德國與西班牙的有人，支持德國與英格蘭的有人，支持西班牙與英格蘭的有人，只支持德國、西班牙、英格蘭的人數(shù)分別為，，，如圖，則，由18人不支持德國，得，由20人不支持西班牙，16人不支持英格蘭，得，，則，因此，所以同時(shí)支持兩支隊(duì)伍的同學(xué)的人數(shù)為16人.故答案為：166．已知滿足（且）的有序集合組（A，B）的個(gè)數(shù)為32，則．【答案】3【分析】由題意作出韋恩圖，根據(jù)集合的運(yùn)算，結(jié)合計(jì)數(shù)原理解題即可.【詳解】由題意作出韋恩圖如圖，因?yàn)椋匀胁粚儆诮患脑赜袀€(gè)，剩余的元素屬于集合或，但不能同時(shí)屬于兩者，每個(gè)剩余元素有兩種選擇，因此總分配方式為，所以，解得．故答案為：3題型四集合的新定義【技巧通法·提分快招】解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵點(diǎn)（1）準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化：解決新定義問題時(shí)，一定要讀懂新定義的本質(zhì)含義，緊扣題目所給定義，結(jié)合題目的要求進(jìn)行恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，切忌同已有概念或定義相混淆.（2）方法選取：對于新定義問題，可恰當(dāng)選用特例法、篩選法、一般邏輯推理等方法，并結(jié)合集合的相關(guān)性質(zhì)求解.1．（24-25高三上·北京海淀·開學(xué)考試）設(shè)集合．對于集合的子集A，若任取A中兩個(gè)不同元素，有，且中有且只有一個(gè)為，則稱A是一個(gè)“好子集”．下列結(jié)論正確的是（

）A．一個(gè)“好子集”中最多有個(gè)元素 B．一個(gè)“好子集”中最多有個(gè)元素C．一個(gè)“好子集”中最多有個(gè)元素 D．一個(gè)“好子集”中最多有個(gè)元素【答案】A【分析】不妨設(shè)，則三者為1或0，分類討論，確定，一個(gè)“好子集”中最多有個(gè)元素.【詳解】中有且只有一個(gè)為，不妨設(shè)，則三者為1或0，若三者均為0，則此時(shí)A中只有1個(gè)元素，即，不合要求，舍去，若三者中有1個(gè)0，則，有3個(gè)元素，滿足要求，若三者中有2個(gè)0，或沒有0，則此時(shí)不滿足，綜上，一個(gè)“好子集”中最多有個(gè)元素.故選：A2．（24-25高三上·上?！て谥校┮阎希魧τ谌我鈱?shí)數(shù)對，存在，使成立，則稱集合M是“垂直對點(diǎn)集”.給出下列四個(gè)集合：①；②；③④；其中是“垂直對點(diǎn)集”的序號的個(gè)數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)“垂直對點(diǎn)集”的定義可判斷①；舉出反例判斷②；數(shù)形結(jié)合并結(jié)合“垂直對點(diǎn)集”的定義可判斷③④,即可得答案.【詳解】對于①，，為偶函數(shù)，定義域?yàn)?，對于任意?shí)數(shù)對，則存在，滿足，集合M是“垂直對點(diǎn)集”；對于②，，取實(shí)數(shù)對,假設(shè)存在，使成立，則，與矛盾，即不是“垂直對點(diǎn)集”；對于③，,作出函數(shù)的圖象如圖，圖象過點(diǎn)，向右向上無線延伸，向左向下無限靠近直線，在的圖象上任取一點(diǎn)，連接OA，作，則OB總與函數(shù)圖象相交，設(shè)交函數(shù)圖象于，即對于任意實(shí)數(shù)對，總存在，使得成立，故集合M是“垂直對點(diǎn)集”；對于④，作出函數(shù)的圖象如圖，圖象向左向右無線延伸，在的圖象上任取一點(diǎn)，連接OA，作，則OB總與函數(shù)圖象相交，設(shè)交函數(shù)圖象于，即對于任意實(shí)數(shù)對，總存在，使得成立，故集合M是“垂直對點(diǎn)集”；故集合M是“垂直對點(diǎn)集”的有3個(gè)，故選：D3．（24-25高三上·北京·模擬預(yù)測）設(shè)集合是實(shí)數(shù)集的子集，如果滿足：對任意，都存在，使得，稱為集合的聚點(diǎn)，則在下列集合中，以0為聚點(diǎn)的集合有（

）①

②③

④A．①② B．①③ C．②③ D．①③④【答案】B【分析】根據(jù)聚點(diǎn)的含義，一一判斷各集合是否滿足聚點(diǎn)定義，即可判斷答案.【詳解】對于①，對任意，都存在，使得，故0是集合的聚點(diǎn)；對于②，取，此時(shí)對于任意，都有，即不可能成立，故0不是集合的聚點(diǎn)；對于③，對任意，都存在，即，使得，故0是集合的聚點(diǎn)；對于④，，即隨n的增大而增大，故的最小值為，故當(dāng)時(shí)，不存在x，使得，故0不是集合的聚點(diǎn)；故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解聚點(diǎn)的含義，判斷所給集合是否滿足聚點(diǎn)定義.4．（23-24高三下·江西南昌·模擬預(yù)測）在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類”，記為，即，則下面選項(xiàng)正確的為（

）A．B．C．D．整數(shù)屬于同一“類”的充分不必要條件是“”【答案】C【分析】求被除的余數(shù)，判斷A，求被除的余數(shù)，判斷B，根據(jù)新定義及集合相等的定義判斷C，結(jié)合新定義及充分條件，必要條件的定義判斷D.【詳解】對于A，，A錯(cuò)誤；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，每個(gè)整數(shù)除以后的余數(shù)只有，沒有其他余數(shù)，所以，又，故，C正確；對于D，若，則，若，則，不妨設(shè)，則，所以，，所以除以后余數(shù)相同，所以屬于同一“類”所以整數(shù)屬于同一“類”的充要條件是“”，D錯(cuò)誤；故選：C.5．（24-25高三上·江西南昌·期中）已知有窮數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，記集合的元素個(gè)數(shù)為.(1)若數(shù)列為，試寫出集合，并求的值；(2)若是遞增數(shù)列且，求證：是等比數(shù)列；【答案】(1)，.(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)題意，由的定義，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由的定義以及等比數(shù)列的定義，代入計(jì)算，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以集合，所?（2）證明：因?yàn)槭沁f增數(shù)列，且，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以，所以且互不相等，所以，又因?yàn)?，所以且互不相等，所以所以，所以，所以，所以為等比?shù)列.6．（2025·山東臨沂·二模）對集合，定義集合，記為有限集合的元素個(gè)數(shù)．(1)若，求；(2)給定集合的子集，求集合的元素個(gè)數(shù)；(3)設(shè)為有限集合，證明：．【答案】(1)(2)4(3)證明過程見解析【分析】（1）根據(jù)定義直接寫出結(jié)果即可；（2）利用組合計(jì)數(shù)的方法可求集合中元素的個(gè)數(shù)；（3）對任意元素，可證或，故可證題設(shè)中的不等式.【詳解】（1）因?yàn)橹械脑厥且粗粚儆?，要么只屬于，所以；?）設(shè)，則，因?yàn)?，故符合條件的的個(gè)數(shù)為.（3）對任意元素，因?yàn)榍儆诩现?，不妨設(shè)且．若，則；若，則．故，從而．因此，結(jié)論成立．7．（2025·湖北·模擬預(yù)測）已知集合，，、是的非空子集.記集合除以的余數(shù).若正整數(shù)滿足：存在非空集合、，使得兩兩的交集為空集，且，則稱為“好的”.(1)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求，并直接判斷是否為“好的”；(2)證明：是“好的”，是“好的”；(3)求所有“好的”正整數(shù).【答案】(1)，是“好的”(2)證明見解析(3)除、、外的正整數(shù)【分析】（1）根據(jù)題中定義可求出集合，并由此作出判斷；（2）當(dāng)時(shí)，取集合，；當(dāng)時(shí)，取集合，，結(jié)合題中定義驗(yàn)證可得出結(jié)論；（3）先證明出：若正整數(shù)是“好的”，則也是“好的”，再證：為奇數(shù)是“好的”，不是“好的”，同理易知，不是“好的”，由此可得出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題中定義可得，且，故是“好的”.（2）時(shí)，取，，則的值為、、、，除以8的余數(shù)為4，7，5，0.所以，此時(shí)，合乎題意；時(shí)，取，，的值分別為4，7，12，15，5，8，13，16，20，23，21，24，除以16的余數(shù)為4，7，12，15，5，8，13，0.所以，則，滿足條件.故是“好的”，是“好的”.（3）①首先證明：若正整數(shù)是“好的”，則也是“好的”.（*）事實(shí)上，若正整數(shù)是“好的”，設(shè)，，，此時(shí)集合、滿足時(shí)條件.時(shí)，考慮，，則也滿足條件，（*）得證.②再證：為奇數(shù)是“好的”.（**）事實(shí)上，取，，則滿足條件，（**）得證.由（*）（**）及（2）知除1，2，4外的正整數(shù)均為“好的”.③再證：不是“好的”.對集合，記為中元素個(gè)數(shù)，由條件，.若，則，矛盾.若或，則，則，矛盾.于是不是“好的”.同理易知，2不是“好的”.所以，所求為除1，2，4外的正整數(shù).8．（2025·湖北武漢·二模）已知集合，集合B滿足．(1)判斷，，，中的哪些元素屬于B；(2)證明：若，，則；(3)證明：若，則．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)所給定義判斷元素的倒數(shù)是否屬于即可；（2）先證明若，，則，即可得到，從而得證；（3）依題意可得，從而求出，再說明即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)闆]有倒數(shù)，所以；因?yàn)?，所以；綜上可得，.（2）先證明：若，，則；設(shè)，，為整數(shù)，所以，由于，都是整數(shù)，所以，當(dāng)，時(shí)，，，所以，所以；（3）因?yàn)椋?，所以，都是整?shù)，所以為整數(shù)，所以，假如，則，則應(yīng)為的倍數(shù)，設(shè)為整數(shù)，若，則不是的倍數(shù)；若，則不是的倍數(shù)；若，則不是的倍數(shù)；所以，即.題型五常用邏輯用語中的參數(shù)問題【技巧通法·提分快招】1、充分條件、必要條件的應(yīng)用一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上.解題時(shí)需注意：（1）把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式（組）求解.（2）要注意區(qū)間端點(diǎn)值的檢驗(yàn)，尤其是利用兩個(gè)集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時(shí)，不等式是否能夠取等號決定端點(diǎn)值的取舍，處理不當(dāng)容易漏解或增解.2、根據(jù)命題的真假求參數(shù)的值（范圍）的思路與全稱量詞命題或存在量詞命題真假有關(guān)的參數(shù)的取值范圍問題，本質(zhì)是恒成立問題或有解問題.解決此類問題時(shí)，可以直接求解，也可以利用等價(jià)命題將條件合理轉(zhuǎn)化，得到關(guān)于參數(shù)的方程（組）或不等式（組），再通過解方程（組）或不等式（組）求出參數(shù)的值或范圍.1．（2025·北京·二模）設(shè)平面向量與不共線，，則“與共線”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)共線定理可得，由與不共線，得且，即可結(jié)合充要條件的定義求解.【詳解】若與共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，由于平面向量與不共線，所以且，故，因此“與共線”是“”的充要條件，故選：C2．（2025·河北秦皇島·一模）已知，集合，若是的必要不充分條件，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意得到是的真子集，比較區(qū)間端點(diǎn)，即可求解.【詳解】，，因?yàn)槭堑谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集,可得，等號不同時(shí)成立，結(jié)合，解得，所以的取值范圍為，故選：B3．（23-24高三下·河北滄州·模擬預(yù)測）若，函數(shù)為奇函數(shù)，則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】將值代入函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義式是否成立來判斷充分性；由奇函數(shù)的定義式來構(gòu)造方程求參數(shù)的值，從而判斷必要性.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以此時(shí)是奇函數(shù)，所以p是q的充分條件.若是奇函數(shù)，則，即，所以，即所以p是q的不必要條件.綜上得：p是q的充分不必要條件.故選：A.4．（2025·寧夏銀川·二模）若命題：“，都有”為真命題，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題目條件可得出：命題：“，都有”為真命題；再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其為增函數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}：“，都有”為真命題，所以命題：“，都有”為真命題.令，.則.因?yàn)?，所以，所以函?shù)為增函數(shù).又因?yàn)椋?故選：B.5．（24-25高三下·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）已知命題為假命題，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】寫出為真命題，求出為偶函數(shù)且為函數(shù)的一個(gè)周期，求出，，得到答案.【詳解】由題意得為真命題，令，則定義域?yàn)镽，，故為R上的偶函數(shù)，又，所以為的一個(gè)周期，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋?，所以，故在R上的值域?yàn)?，所以a的取值范圍為.故選：C6．（24-25高三上·浙江杭州·期中）已知，若命題“或”為真命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】從作為題目切入點(diǎn)，分段討論x的取值范圍，結(jié)合命題的真假列出相應(yīng)不等式，最后綜合即可得答案.【詳解】解得，此時(shí)無論取何值，均符合題意；當(dāng)時(shí)，，只需，解得或；當(dāng)時(shí)，，由題中條件，只需對于恒成立，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，圖象為開口向上的拋物線，不能滿足對恒成立，不符合題意；當(dāng)時(shí)，的2個(gè)根為，需，結(jié)合，可得，綜合上述可知的取值范圍是，故選：B.【點(diǎn)睛】將作為題目的切入點(diǎn)，根據(jù)命題的真假分類討論的范圍分類討論求解；檢測Ⅰ組重難知識(shí)鞏固1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】化簡集合A，B，再由集合的并集、補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，，故選：C2．已知集合，且，若命題“”是真命題，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】若命題p為真，則集合B中所有的元素都在集合A中，即.又，所以解得，故.3．已知集合有且僅有1個(gè)真子集，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由集合的真子集個(gè)數(shù),判斷出集合中有且只有一個(gè)元素，從而轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)相等根問題求解即可.【詳解】由集合有且僅有1個(gè)真子集，可得集合中有且只有一個(gè)元素，所以方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值集合為，故選：B.4．（24-25高三下·北京海淀·期中）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先將分別變形，然后根據(jù)數(shù)值的奇偶判斷出的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)楸硎舅衅鏀?shù)，表示部分奇數(shù)，所以.故選：.5．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知全集，若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3【答案】D【分析】求出A中方程的解確定A，再由A的補(bǔ)集與B的交集為空集，確定A與B的包含關(guān)系進(jìn)行分類討論，即可確定m的值.【詳解】因?yàn)榉匠痰呐袆e式，所以，根據(jù)題意得到集合，，即，，因?yàn)?，所以，所以或，若，則，解得，若，則，解得，所以或.故選：D.6．（24-25高三上·湖北·模擬預(yù)測）向50名學(xué)生調(diào)查對兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果：贊成的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成的比贊成的多3人，其余的不贊成；另外，對都不贊成的學(xué)生數(shù)比對都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人.則下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．贊成的不贊成的有9人B．贊成的不贊成的有11人C．對都贊成的有21人D．對都不贊成的有8人【答案】B【分析】根據(jù)題意，用韋恩圖進(jìn)行求解即可.【詳解】贊成A的人數(shù)為，贊成B的人數(shù)為.記50名學(xué)生組成的集合為U，贊成事件A的學(xué)生全體為集合A，贊成事件B的學(xué)生全體為集合B.如圖所示，設(shè)對事件A，B都贊成的學(xué)生人數(shù)為x，則對A，B都不贊成的學(xué)生人數(shù)為.贊成A而不贊成B的人數(shù)為，贊成B而不贊成的人數(shù)為.依題意，解得.所以贊成A的不贊成B的有9人，贊成B的不贊成A的有12人，對A，B都贊成的有21人，對A，B都不贊成的有8人.故選：B7．（24-25高三上·吉林長春·期中）已知集合，集合，集合，則以下元素屬于集合的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算求得，各選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證即可.【詳解】由題意，，又，則，對于A，元素不符合，所以不屬于，故A錯(cuò)誤；對于B，元素不符合，所以不屬于，故B錯(cuò)誤；對于C，元素符合條件，所以屬于，故C正確；對于D，元素不符合，所以不屬于，故D錯(cuò)誤.故選：C.8．“存在，使得”是“為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】分別根據(jù)充分性、必要性的概念及等差數(shù)列的性質(zhì)定義判斷即可.【詳解】必要性：若為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則，故存在，使得，故滿足必要性；充分性：若存在，使得，則，兩式相減可得，所以可知數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等差數(shù)列，但數(shù)列不一定是等差數(shù)列，如時(shí)，數(shù)列，故不滿足充分性.所以“存在，使得”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B9．（2025·河北秦皇島·三模）已知全集，集合，，是全集的三個(gè)子集，定義：表示集合中元素的個(gè)數(shù)，若，，則所有的有序子集列有（

）A．360個(gè) B．640個(gè) C．960個(gè) D．1920個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，結(jié)合排列計(jì)數(shù)問題列式計(jì)算.【詳解】由，得從全集中選擇3個(gè)元素分別作為中的元素，不同方法種數(shù)是，余下的兩個(gè)元素中的每一個(gè)元素只能是屬于中的一個(gè)或都不屬于這3個(gè)集合，因此余下的兩個(gè)元素中的每一個(gè)元素都有4種不同的選擇方法，所以所有的有序子集列有個(gè).故選：C10．（2025·北京東城·二模）已知，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先驗(yàn)證充分性，由已知可得或，即可知之間的關(guān)系；再驗(yàn)證必要性，根據(jù)之間的關(guān)系，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可判斷.【詳解】充分性：因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，或，，當(dāng)時(shí)，或，，可得或，所以充分性不成立，必要性：若，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，滿足，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則，則，滿足，所以必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B.11．（2025·四川綿陽·三模）（多選題）已知集合，對于中的任意兩個(gè)元素都有，則集合的元素個(gè)數(shù)可以為（

）A．4個(gè) B．7個(gè) C．9個(gè) D．10個(gè)【答案】AB【分析】通過對集合中元素滿足的不等式進(jìn)行變形，分析元素之間的關(guān)系，利用函數(shù)單調(diào)性來確定集合中元素個(gè)數(shù)的上限，并通過舉例驗(yàn)證元素個(gè)數(shù)的可能性.【詳解】當(dāng)時(shí)，不滿足集合元素的互異性，排除.不妨設(shè)（效果一樣），已知，則.將其變形為關(guān)于的表達(dá)式：，移項(xiàng)可得，進(jìn)一步得到.因?yàn)榍?，所以，那?由此可知，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù)，若有兩個(gè)，取較小者為，會(huì)與不等式矛盾.令，對求導(dǎo)，可得，所以在上是遞增函數(shù).假設(shè)存在且，令，，由的單調(diào)性可知，這與矛盾，所以中至多只有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多只有中的一個(gè)整數(shù).因?yàn)椋约现炼嘤兄械囊粋€(gè)整數(shù).因?yàn)?，所以集合至多有中的一個(gè)整數(shù).又因?yàn)椋?，，所以集合中可以同時(shí)存在，，.

綜上，集合至多有個(gè)元素.，符合條件，說明集合的元素個(gè)數(shù)可以是個(gè)或個(gè).故選：AB.12．（2025·浙江紹興·模擬預(yù)測）（多選題）已知集合，若對于任意，以及任意，滿足，則稱集合為“一字集”，記為“一字集”，則下列說法正確的是（

）A．B．C．若，且，則D．若，則【答案】ACD【分析】理解“一字集”的定義，根據(jù)該內(nèi)涵對每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析判斷.【詳解】對于選項(xiàng)A：任取兩點(diǎn)在該單位圓內(nèi)，則線段的所有點(diǎn)均滿足，因此屬于該集合，A正確.對于選項(xiàng)B：取特殊值進(jìn)行排除，假設(shè)兩點(diǎn)，令，則它們的中點(diǎn)不滿足，所以B錯(cuò)誤.對于選項(xiàng)C:設(shè)，因?yàn)?所以對于任意，滿足.又因?yàn)?所以對于任意，滿足.所以，所以.所以C正確.對于選項(xiàng)D：若,設(shè)，.那么.因?yàn)?所以.則.所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.13．（24-25高三上·安徽銅陵·模擬預(yù)測）已知集合，．(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，化簡集合，根據(jù)，即可得到滿足的條件，求出結(jié)果；（2）結(jié)合（1）中的兩集合，根據(jù)是的必要不充分條件，可得是的真子集，然后列出不等式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題知，，，令，可得，解得或，令，解得，，則或，，若，則，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由（1）知，或，，若是的必要不充分條件，則是的真子集，所以或，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．（24-25高三下·河南·模擬預(yù)測）已知有限集合（，），若，則稱A為“完美集”.(1)已知，，，，成等差數(shù)列，若集合A為“完美集”，求；(2)已知，是否存在首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，說明理由；(3)已知，且集合A為“完美集”，求A.【答案】(1)－2(2)不存在，理由見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)“完美集”的定義與等差數(shù)列性質(zhì)即可求得結(jié)果.（2）根據(jù)“完美集”的定義得到等式，解得，不符合題意，得到結(jié)果.（3）根據(jù)題干，設(shè)，若集合A為“完美集”，則，再對n分情況討論即可.【詳解】（1）依題意，，，解得；（2）設(shè)數(shù)列的公比為q，依題意，，，因?yàn)榧螦為“完美集”，所以，整理得，解得，不符題意，所以不存在首項(xiàng)為3的等比數(shù)列，使得集合A為“完美集”；（3）設(shè)，若集合A為“完美集”，則，易知，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然不符題意；當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，，故，所以；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，符合題意；當(dāng)時(shí)，，不符題意；綜上，或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義有關(guān)的問題的求解策略：通過給出的一個(gè)新的定義，或約定一種新的運(yùn)算，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的.15．（2025·河南·二模）已知一個(gè)非空數(shù)集A，對，且，記B為A去掉x，y后的集合，若有或，則稱A是一個(gè)好集合．對于一個(gè)非空數(shù)集P，對，且，記Q為P去掉x，y后的集合，若有或或，則稱P是一個(gè)壞集合．(1)證明：集合不是好集合；(2)若A是好集合，證明：存在一個(gè)與A中元素個(gè)數(shù)相同且僅由正實(shí)數(shù)構(gòu)成的壞集合P；(3)證明：不存在有限的好集合A，滿足A中的元素均為正實(shí)數(shù)，且A中的元素個(gè)數(shù)為大于5的奇數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)定義，舉例說明即可；（2）根據(jù)好集合的特點(diǎn)和壞集合的定義可證結(jié)論；（3）利用反證法，假設(shè)存在這樣的有限集A符合題意，得出矛盾，可證結(jié)論成立.【詳解】（1）取，，記，則，，故A不是好集合．（2）記集合，則P中元素均為正數(shù)，且與集合A中元素個(gè)數(shù)相同，下證P為壞集合，因?yàn)锳為好集合，所以，且，都有或（其中B為A去掉a，b后的集合），設(shè)Q為P去掉，后的集合，此時(shí)，，，若，則；若，則與必然有一個(gè)屬于Q，故P為壞集合，命題得證．（3）假設(shè)存在這樣的有限集A，使得A中的元素均為正實(shí)數(shù)，元素個(gè)數(shù)為大于5的奇數(shù)，且A為好集合，則設(shè)，且，，因?yàn)椋O(shè)B為集合A去掉元素，，后構(gòu)成的集合，所以只能，考慮，這個(gè)數(shù)均屬于A，且各不相同，均小于，所以，，…，，因?yàn)?，故，若，即，矛盾，故，又因?yàn)檫@個(gè)數(shù)屬于A，且均小于，所以，…，，即，，再考慮A集合中去掉與記為集合，因?yàn)?，所以，即，所以只能；又，故矛盾，所以原假設(shè)不成立，即不存在有限的好集合A，滿足A中的元素均為正實(shí)數(shù)，且A中的元素個(gè)數(shù)為大于5的奇數(shù)．檢測Ⅱ組創(chuàng)新能力提升1．（24-25高三下·上?！つM預(yù)測）已知、、為三角形的三個(gè)內(nèi)角，則“”是“角為直角”的（

）條件A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】C【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的概念判斷可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，由得，，令，則，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，關(guān)于的連續(xù)函數(shù)在上有零點(diǎn)，∴，滿足條件，但角不是直角，∴由不能得到角為直角.當(dāng)角為直角時(shí)，，，∴，∴由角為直角能得到.∴“”是“角為直角”的必要不充分條件.故選：C.2．我們把一些向量構(gòu)成的集合稱為線性空間，設(shè)是線性空間到自身的一個(gè)變換，將中所有能被變換為零向量的向量組成的集合稱為變換在上的核，記作．已知線性空間，對任意，變換滿足，則中的元素個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，求出，再求出中零向量個(gè)數(shù)即可得解.【詳解】對任意，且，則，令，得，則，得，又，則，令，得，解得，且，即且，又，因此，于是變換將中的元素變換為零向量的，所以中的元素個(gè)數(shù)為4.故選：C3．（24-25高三上·上海寶山·模擬預(yù)測）命題P：的是命題Q：的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】D【分析】將命題P：去掉絕對值符號，分四種情況討論，得出命題Q：不一定成立，即是的不充分條件；將命題Q：變形為后，分或情況討論，得出不一定成立，即是的不必要條件.【詳解】命題Q：可變形為，即，即，即或.()當(dāng)時(shí)，有和兩種情況，此時(shí)不一定成立，故是的不必要條件；()當(dāng)時(shí)，有和兩種情況，此時(shí)不一定成立，故是的不必要條件；綜上兩