小題滿分練2一、選擇題1．(2022·濟寧模擬)若集合A＝{x|x2－2x－3<0}，B＝{x|3x≥9}，則A∪B等于()A．(－1,2] B．[2,3)C．(－1，＋∞) D．(－∞，3)答案C解析A＝{x|x2－2x－3<0}＝{x|－1<x<3}，B＝{x|3x≥9}＝{x|x≥2}，故A∪B＝(－1，＋∞)．2．(2022·新高考全國Ⅰ)若i(1－z)＝1，則z＋eq\x\to(z)等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D3．(2022·唐山模擬)已知角α的頂點為坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，點A(－1,3)在角α的終邊上，則sin2α等于()A.eq\f(3,10)B.eq\f(3,5)C．－eq\f(3,10)D．－eq\f(3,5)答案D解析根據(jù)三角函數(shù)的定義可知sinα＝eq\f(y,\r(x2＋y2))＝eq\f(3,\r(－12＋32))＝eq\f(3,\r(10))，cosα＝eq\f(x,\r(x2＋y2))＝eq\f(－1,\r(－12＋32))＝－eq\f(1,\r(10))，由二倍角公式得sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\f(3,\r(10))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(10))))＝－eq\f(3,5).4．(2022·開封模擬)已知公差為1的等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,5)＝a3a6，若該數(shù)列的前n項和Sn＝0，則n等于()A．10B．11C．12D．13答案D解析設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則d＝1，又因為aeq\o\al(2,5)＝a3a6，所以(a1＋4d)2＝(a1＋2d)·(a1＋5d)，則a1＝－6，由Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝－6n＋eq\f(nn－1,2)＝eq\f(1,2)n2－eq\f(13,2)n＝0，解得n＝13.5.(2022·廣州模擬)如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝4CD，點E為AD的中點，設(shè)eq\o(BE,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，則x＋y等于()A.eq\f(9,8)B.eq\f(5,8)C.eq\f(5,4)D.eq\f(3,2)答案A解析連接BD(圖略)，因為E為AD的中點，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))，因為eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(BA,\s\up6(→))))＝eq\f(5,8)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，因為eq\o(BE,\s\up6(→))＝xeq\o(BA,\s\up6(→))＋yeq\o(BC,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(5,8)，y＝eq\f(1,2)，所以x＋y＝eq\f(5,8)＋eq\f(1,2)＝eq\f(9,8).6．(2022·廣東六校聯(lián)考)一般來說，事物總是經(jīng)過發(fā)生、發(fā)展、成熟三個階段，每個階段的發(fā)展速度各不相同，通常在發(fā)生階段變化速度較為緩慢、在發(fā)展階段變化速度加快、在成熟階段變化速度又趨于緩慢，按照上述三個階段發(fā)展規(guī)律得到的變化曲線稱為生長曲線．美國生物學家和人口統(tǒng)計學家雷蒙德·皮爾提出一種能較好地描述生物生長規(guī)律的生長曲線，稱為“皮爾曲線”，常用的“皮爾曲線”的函數(shù)解析式為f(x)＝eq\f(K,1＋be－ax)(K>0，a>0，b>0)，x∈[0，＋∞)，該函數(shù)也可以簡化為f(x)＝eq\f(K,1＋akx＋b)(K>0，a>1，k<0)的形式．已知f(x)＝eq\f(10,1＋3kx＋b)(x∈N)描述的是一種果樹的高度隨著時間x(單位：年)的變化規(guī)律，若剛栽種時該果樹的高為1m，經(jīng)過一年，該果樹的高為2.5m，則該果樹的高度超過8m，至少需要()A．4年B．3年C．5年D．2年答案A解析由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝1，,f1＝2.5，))則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋3b＝10，,1＋3k＋b＝4，))解得b＝2，k＝－1，∴f(x)＝eq\f(10,1＋3－x＋2).由函數(shù)解析式知，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，而f(3)＝eq\f(10,1＋3－1)＝eq\f(30,4)＝7.5<8，f(4)＝eq\f(10,1＋3－2)＝9>8，∴該果樹的高度超過8m，至少需要4年．7．(2022·瀘州模擬)《易·系辭上》有“河出圖，洛出書”之說，河圖、洛書是中華文化，陰陽術(shù)數(shù)之源，其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如圖，白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)，若從陽數(shù)和陰數(shù)中各取一數(shù)分別記為a，b，則滿足|a－b|＝1的概率為()A.eq\f(8,25)B.eq\f(9,25)C.eq\f(18,25)D.eq\f(16,25)答案B解析陽數(shù)為1,3,5,7,9，陰數(shù)為2,4,6,8,10，則選出的(a，b)的所有情況如下：(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(1,10)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(3,10)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(5,8)，(5,10)，(7,2)，(7,4)，(7,6)，(7,8)，(7,10)，(9,2)，(9,4)，(9,6)，(9,8)，(9,10)，共有25種情況，其中滿足|a－b|＝1的有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9種情況，所以概率為eq\f(9,25).8.(2022·滄州模擬)《幾何原本》是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓錐為直角圓錐．如圖，若AB，CD都是直角圓錐SO底面圓的直徑，且∠AOD＝eq\f(π,3)，則異面直線SA與BD所成角的余弦值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),4)C.eq\f(\r(6),4)D.eq\f(\r(6),3)答案C解析如圖，連接AD，BC，AC，SC.因為O為AB，CD的中點，且AB＝CD，所以四邊形ADBC為矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其補角為異面直線SA與BD所成的角．設(shè)圓O的半徑為1，則SA＝SC＝eq\r(2).因為∠AOD＝eq\f(π,3)，所以∠ADO＝eq\f(π,3).在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝eq\r(3).所以在△SAC中，由余弦定理得cos∠SAC＝eq\f(\r(2)2＋\r(3)2－\r(2)2,2×\r(2)×\r(3))＝eq\f(\r(6),4)，所以異面直線SA與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(6),4).9．(2022·東北師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,ex＋1)＋ax，則下列關(guān)于f(x)的結(jié)論中不正確的是()A．若a≤0，則f(x)單調(diào)遞減B．若a≥1，則f(x)單調(diào)遞增C．若0<a<1，則f(x)有極值點D．f(－x)＋f(x)＝2答案C解析對于A，f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋a，當a≤0時，f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋a<0，故A正確；對于B，當a≥1時，f′(x)＝－eq\f(2ex,ex＋12)＋1＋a－1＝eq\f(e2x＋1,ex＋12)＋a－1>0，故f(x)單調(diào)遞增，故B正確；對于D，f(－x)＋f(x)＝eq\f(2,e－x＋1)－ax＋eq\f(2,ex＋1)＋ax＝eq\f(2ex,1＋ex)＋eq\f(2,ex＋1)＝2，故D正確．10．(2022·石家莊模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列條件能判斷△ABC是鈍角三角形的有()A．a(chǎn)＝3，b＝3，c＝4B.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2aC.eq\f(sinA－sinB,sinC＋sinB)＝eq\f(c,a＋b)D．b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC答案C解析因為a＝3，b＝3，c＝4，所以角C最大，由cosC＝eq\f(32＋32－42,2×3×3)＝eq\f(1,9)>0?0<C<eq\f(π,2)，所以不能判斷△ABC為鈍角三角形，故A不正確，由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－2a?－cacosB＝－2a?ccosB＝2?B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，不能判斷△ABC是鈍角三角形，因此B不正確；由正弦定理，知eq\f(sinA－sinB,sinC＋sinB)＝eq\f(c,a＋b)?eq\f(a－b,c＋b)＝eq\f(c,a＋b)?b2＋c2－a2＝－bc，由余弦定理可知cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－bc,2bc)＝－eq\f(1,2)?A＝eq\f(2π,3)，所以△ABC是鈍角三角形，因此C正確；由正弦定理，知b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC?sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC?sinBsinC＝cosBcosC?cos(B＋C)＝0?cos(π－A)＝0?cosA＝0?A＝eq\f(π,2)，所以△ABC是直角三角形，因此D不正確．11．已知x＋y＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋8(x，y>0)，則x＋y的最小值為()A．5eq\r(3) B．9C．4＋eq\r(26) D．10答案B解析x＋y＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＋8?x＋y－8＝eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)，兩邊同時乘以“x＋y”得(x＋y－8)(x＋y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)，所以(x＋y－8)(x＋y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))(x＋y)＝5＋eq\f(y,x)＋eq\f(4x,y)≥9，當且僅當y＝2x時等號成立，令t＝x＋y，所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9，因為x＋y>0，所以x＋y≥9，即(x＋y)min＝9.12．(2022·臨沂模擬)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，點P在第二象限內(nèi)，且滿足|F1P|＝a，(eq\o(F2P,\s\up6(→))＋eq\o(F2F1,\s\up6(→)))·eq\o(F1P,\s\up6(→))＝0，線段F1P與雙曲線C交于點Q，若|F1P|＝3|F1Q|.則C的離心率為()A.eq\f(\r(21),3)B.eq\f(\r(30),5)C.eq\f(\r(51),6)D.eq\f(\r(105),10)答案C解析取線段F1P的中點E，連接F2E，因為(eq\o(F2P,\s\up6(→))＋eq\o(F2F1,\s\up6(→)))·eq\o(F1P,\s\up6(→))＝0，所以F2E⊥F1P，所以△F1F2P是等腰三角形，且|F2P|＝|F1F2|＝2c，在Rt△F1EF2中，由余弦定理得cos∠F2F1E＝eq\f(|F1E|,|F1F2|)＝eq\f(\f(a,2),2c)＝eq\f(a,4c)，連接F2Q，又|F1Q|＝eq\f(a,3)，點Q在雙曲線C上，由|F2Q|－|F1Q|＝2a，則|F2Q|＝eq\f(7a,3)，在△F1QF2中，cos∠F2F1Q＝eq\f(|F1F2|2＋|F1Q|2－|F2Q|2,2|F1F2|·|F1Q|)＝eq\f(2c2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)a))2,2×2c×\f(a,3))＝eq\f(a,4c)，整理得12c2＝17a2，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(51),6).二、填空題13．(2022·大連模擬)已知命題“?x∈R，x2－2ax＋3a≤0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是________________________________________________________________________．答案(0,3)解析由題意知“?x∈R，x2－2ax＋3a>0”為真命題，所以Δ＝4a2－12a<0，解得0＜a＜3.14．若x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y≥0，,x＋y－3≥0，,x－4≤0，))則z＝2x－y的最大值為________．答案9解析不等式組表示的可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，由z＝2x－y，得y＝2x－z，作出直線y＝2x，向下平移過點A時，目標函數(shù)取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－4＝0，,x＋y－3＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝－1，))即A(4，－1)，所以z＝2x－y的最大值為2×4－(－1)＝9.15．(2022·福州質(zhì)檢)寫出一個使等式eq\f(sinα,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＋eq\f(cosα,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝2成立的α的值為________．答案eq\f(π,8)(答案不唯一，只要滿足α＝eq\f(2k＋1,4)π－eq\f(π,8)(k∈Z)即可)解析∵eq\f(sinα,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＋eq\f(cosα,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(sinαcos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosαsin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6))),\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3))))＝2，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,3)))，∴2α＋eq\f(π,3)＋2α＋eq\