微重點(diǎn)6幾何特征在解三角形中的應(yīng)用專題二

三角函數(shù)與解三角形解三角形在平面幾何中的應(yīng)用，是高考的重點(diǎn)，主要考查正、余弦定理、平面幾何的幾何特征、性質(zhì)(中線、角平分線等)，選擇、填空、解答題都可以出現(xiàn)，難度中等.考點(diǎn)一三角形的中線及應(yīng)用考點(diǎn)二三角形的角平分線及應(yīng)用專題強(qiáng)化練考點(diǎn)三四邊形問題內(nèi)容索引三角形的中線及應(yīng)用

考點(diǎn)一例1因?yàn)樵凇鰽BC中sinB≠0，又sin2A＋cos2A＝1，(2)若BC邊上的中線AD＝2，求△ABC面積的最大值.規(guī)律方法跟蹤演練1(2022·德州模擬)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知c2＝ab，點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，CDsin∠ACB＝asinB.(1)證明：CD＝c；由于c2＝ab，所以CD＝c.(2)求cos∠ACB的值.三角形的角平分線及應(yīng)用

考點(diǎn)二例2(2022·保定模擬)已知在△ABC中，∠BAC＝120°，∠BAC的角平分線與BC相交于點(diǎn)D.(1)若AC＝2AB＝2，求CD的長(zhǎng)；因?yàn)锳C＝2AB＝2，∠BAC＝120°，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AB·AC·cos∠BAC＝7，(2)若AD＝1，求AB＋AC的最小值.由題意得，△ABC的面積等于△ABD的面積與△ACD的面積之和，又AB＝c，AC＝b，整理得bc＝b＋c.當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)等號(hào)成立，即AB＋AC的最小值為4.角平分線是平面幾何的一個(gè)重要特征，解題方法主要有兩種，一是利用角平分線定理，找邊之間的關(guān)系；二是角平分線把三角形分成兩個(gè)三角形，利用等面積法求解.規(guī)律方法跟蹤演練2①③④因?yàn)閎＝ccos∠BAC，由正弦定理可得sinB＝sinCcos∠BAC＝sin(∠BAC＋C)，所以sin∠BACcosC＝0，因?yàn)閟in∠BAC≠0，設(shè)AC＝x，則AB＝8x，四邊形問題

考點(diǎn)三例3選擇①：由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC選擇②：設(shè)∠BAC＝∠CAD＝θ，解得2sinθ＝cosθ，解多邊形問題，一般是把要求的量放到三角形中，利用正、余弦定理求解，關(guān)鍵是選擇好三角形，否則就會(huì)使問題復(fù)雜化，所以解多邊形問題的實(shí)質(zhì)還是解三角形問題.規(guī)律方法跟蹤演練3(1)如圖，在四邊形ABCD中，AB＝1，BC＝3，∠ABC＝120°，∠ACD＝90°，∠CDA＝60°，則BD的長(zhǎng)度為√設(shè)∠ACB＝α，在△ABC中，由余弦定理得AC2＝10－6cos120°＝13，在△BCD中，由余弦定理得A.39

B.36C.42 D.48√由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，專題強(qiáng)化練

12345678√12345678∴c＝5(負(fù)根舍去)，∵BC2＝b2＋c2－2bccos∠BAC12345678√12345678如圖，延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，∵BE＝EC＋BC＝AE，12345678√12345678設(shè)∠ABC＝θ，則∠ADC＝π－θ，∵在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosθ，在△ACD中，AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos(π－θ)，∴AB2＋BC2－2AB·BC·cosθ＝AD2＋CD2＋2AD·CD·cosθ，則61－60cosθ＝25＋24cosθ，1234567812345678令A(yù)C＝t，則AB＝2t，解得t＝3(負(fù)值舍去)，∴AB＝6，AC＝3，123456785.(2022·長(zhǎng)沙質(zhì)檢)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中A＝60°，B＝45°，若將六個(gè)和△ABC全等的三角形圍成如圖的正六邊形，設(shè)其面積為S1，陰影部分面積為S2，則

＝________.12345678因?yàn)锳＝60°，B＝45°，則C＝75°，所以sinC＝sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°123456781234567812345678∵CD為角平分線，∴S△ABC＝S△ACD＋S△BCD，1234567812345678(2)若CD＝CB＝2，求△ABC的面積.123456787.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且ccosA＋(a＋2b)cosC＝0.(1)求C的大?。?234567由ccosA＋(a＋2b)cosC＝0，得sinCcosA＋(sinA＋2sinB)cosC＝0，即－2sinBcosC＝sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB.因?yàn)?°<B<180°，所以sinB>0，8又0°<C<180°，所以C＝120°.12345678(2)若△ABC的面積等于

，D為BC邊的中點(diǎn)，當(dāng)中線AD的長(zhǎng)最短時(shí)，求AB邊的長(zhǎng).1234567所以ab＝16.在△ACD中，由余弦定理可得81234567此時(shí)AB2＝a2＋b2－2abcos120°812345678(1)求AC