第2講空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系[考情分析]高考對該部分的考查，小題主要體現(xiàn)在兩個方面：一是空間線面關(guān)系的命題的真假判斷；二是體積、表面積的求解；解答題以垂直或平行關(guān)系的證明為主，中等難度．考點一空間直線、平面位置關(guān)系的判定核心提煉判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項判斷，解決問題．(2)必要時可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型中觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進行判斷．例1(1)已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列說法正確的是()A．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nB．若m⊥α，m∥n，n⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β答案D解析A選項，兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項錯誤；B選項，若m⊥α，n⊥β，則直線m，n對應(yīng)的方向向量m，n可看作α，β的法向量，由于m∥n，α，β是兩個不同的平面，則α∥β，故B選項錯誤；C選項，若兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于兩個平面交線的直線才垂直于另一個平面，從選項中無法判斷m，n和交線的位置關(guān)系，因此m，n可能相交但不垂直，平行，異面但不垂直，C選項錯誤；D選項，若m?β，又m⊥α，根據(jù)面面垂直的判定定理，即有α⊥β，若m?β，由于m∥n，n∥β，則m∥β，過m任作一個平面，使其和β相交于直線c，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，m∥c，又m⊥α，則c⊥α，結(jié)合c?β，即α⊥β，故D選項正確.(2)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，下列說法正確的有________．(填序號)①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線．答案③④解析因為點A在平面CDD1C1外，點M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點M，所以AM與CC1是異面直線，故①錯誤；如圖，取DD1的中點E，連接AE，則BN∥AE，但AE與AM相交，故②錯誤；因為點B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點B1，所以BN與MB1是異面直線，故③正確，同理④正確．規(guī)律方法對于線面關(guān)系的存在性問題，一般先假設(shè)存在，然后再在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足，則假設(shè)成立；若得出矛盾，則假設(shè)不成立．跟蹤演練1(1)(2022·湖南師大附中模擬)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C與平面AB1D1的交點為M，O為線段B1D1的中點，則下列結(jié)論不正確的是()A．A，M，O三點共線B．M，O，A1，A四點共面C．B，B1，O，M四點共面D．A，O，C，M四點共面答案C解析如圖，因為AA1∥CC1，則A，A1，C1，C四點共面．因為M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，則點M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，同理，O，A也在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，所以A，M，O三點共線，從而M，O，A1，A四點共面，A，O，C，M四點共面．由長方體性質(zhì)知，OM與BB1是異面直線，即B，B1，O，M四點不共面．(2)設(shè)點E為正方形ABCD的中心，M為平面ABCD外一點，△MAB為等腰直角三角形，且∠MAB＝90°，若F是線段MB的中點，則()A．ME≠DF，且直線ME，DF是相交直線B．ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線C．ME≠DF，且直線ME，DF是異面直線D．ME＝DF，且直線ME，DF是異面直線答案B解析連接EF，如圖所示，由題意知AB⊥AD，AB⊥AM，AM＝AD，AB＝AB，則Rt△BAM≌Rt△BAD，所以BM＝BD，因為E，F(xiàn)分別為BD，BM的中點，則EF∥DM，因為FM＝eq\f(1,2)BM＝eq\f(1,2)BD＝DE，故四邊形FMDE是等腰梯形，所以ME＝DF，且直線ME，DF是相交直線．考點二空間角核心提煉(1)異面直線所成的角：先通過平移直線，作出異面直線所成的角，再通過解三角形求角．(2)線面角：先找出斜線在平面上的射影，斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角即為線面角，作線面角的關(guān)鍵是作平面的垂線．(3)二面角：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，即可得到二面角的平面角．例2(1)(2022·新高考全國Ⅰ改編)已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①直線BC1與DA1所成的角為90°；②直線BC1與CA1所成的角為90°；③直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°；④直線BC1與平面ABCD所成的角為45°.答案①②④解析如圖，連接AD1，在正方形A1ADD1中，AD1⊥DA1，因為AD1∥BC1，所以BC1⊥DA1，所以直線BC1與DA1所成的角為90°，故①正確；在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CD⊥平面BCC1B1，又BC1?平面BCC1B1，所以CD⊥BC1.連接B1C，則B1C⊥BC1.因為CD∩B1C＝C，CD，B1C?平面DCB1A1，所以BC1⊥平面DCB1A1，又CA1?平面DCB1A1，所以BC1⊥CA1，所以直線BC1與CA1所成的角為90°，故②正確；連接A1C1，交B1D1于點O，則易得OC1⊥平面BB1D1D，連接OB.因為OB?平面BB1D1D，所以O(shè)C1⊥OB，∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為a，則易得BC1＝eq\r(2)a，OC1＝eq\f(\r(2)a,2)，所以在Rt△BOC1中，OC1＝eq\f(1,2)BC1，所以∠OBC1＝30°，故③錯誤；因為C1C⊥平面ABCD，所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角，易得∠CBC1＝45°，故④正確．(2)如圖，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AD，E為側(cè)棱DD1上一點，若直線BD1∥平面AEC，則二面角E－AC－B的正切值為________．答案－eq\r(2)解析如圖，連接BD交AC于點F，連接EF，B1D1，由題意可知，BD1∥EF，因為F為BD的中點，所以E為DD1的中點，又AC⊥平面BDD1B1，BD，EF?平面BDD1B1，所以EF⊥AC，BD⊥AC，則∠EFD為二面角E－AC－D的平面角，設(shè)AD＝a，則ED＝a，DF＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△EFD中，tan∠EFD＝eq\f(ED,DF)＝eq\r(2)，又二面角E－AC－B與二面角E－AC－D互補，所以二面角E－AC－B的正切值為－eq\r(2).易錯提醒異面直線所成的角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，線面角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，二面角的取值范圍是[0，π]．跟蹤演練2(1)(2022·廣東聯(lián)考)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝CA＝CB＝5，AB＝PC＝2，點D，E分別為AB，PC的中點，則異面直線PD，BE所成角的余弦值為()A.eq\f(11,12)B.eq\f(23,24)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)答案B解析如圖，連接CD，取CD的中點F，連接EF，BF，則EF∥PD，∠BEF為異面直線PD，BE所成的角．由題意可知PD＝CD＝BE＝2eq\r(6)，EF＝eq\r(6)，BF＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)))2＋12)＝eq\r(7)，所以cos∠BEF＝eq\f(24＋6－7,2×2\r(6)×\r(6))＝eq\f(23,24).(2)(2022·全國甲卷)在長方體ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D與平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均為30°，則()A．AB＝2ADB．AB與平面AB1C1D所成的角為30°C．AC＝CB1D．B1D與平面BB1C1C所成的角為45°答案D解析連接BD，如圖，易知∠BDB1是直線B1D與平面ABCD所成的角，所以在Rt△BDB1中，∠BDB1＝30°，設(shè)BB1＝1，則B1D＝2BB1＝2，BD＝eq\r(B1D2－BB\o\al(2,1))＝eq\r(3).易知∠AB1D是直線B1D與平面AA1B1B所成的角，所以在Rt△ADB1中，∠AB1D＝30°.因為B1D＝2，所以AD＝1，AB1＝eq\r(B1D2－AD2)＝eq\r(3)，所以在Rt△ABB1中，AB＝eq\r(AB\o\al(2,1)－BB\o\al(2,1))＝eq\r(2)，所以A項錯誤；易知∠BAB1是直線AB與平面AB1C1D所成的角，因為在Rt△ABB1中，sin∠BAB1＝eq\f(BB1,AB1)＝eq\f(\r(3),3)≠eq\f(1,2)，所以∠BAB1≠30°，所以B項錯誤；在Rt△CBB1中，CB1＝eq\r(BC2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(2)，又AC＝BD＝eq\r(3)，所以C項錯誤；易知∠DB1C是直線B1D與平面BB1C1C所成的角，因為在Rt△DB1C中，CB1＝CD＝eq\r(2)，所以∠DB1C＝45°，所以D項正確．考點三空間平行、垂直關(guān)系核心提煉平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化考向1平行、垂直關(guān)系的證明例3(2022·全國乙卷)如圖，四面體ABCD中，AD⊥CD，AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，E為AC的中點．(1)證明：平面BED⊥平面ACD；(2)設(shè)AB＝BD＝2，∠ACB＝60°，點F在BD上，當(dāng)△AFC的面積最小時，求三棱錐F－ABC的體積．(1)證明因為AD＝CD，E為AC的中點，所以AC⊥DE.在△ADB和△CDB中，因為AD＝CD，∠ADB＝∠BDC，DB＝DB，所以△ADB≌△CDB，所以BA＝BC，又E為AC的中點，所以AC⊥BE.因為BE∩DE＝E，且BE，DE?平面BED，所以AC⊥平面BED，又AC?平面ACD，所以平面BED⊥平面ACD.(2)解由(1)可知BA＝BC，又因為∠ACB＝60°，AB＝2，所以△ABC為邊長為2的正三角形，則AC＝2，BE＝eq\r(3)，AE＝1.因為AD＝CD，AD⊥CD，所以△ADC為等腰直角三角形，所以DE＝1.又BD＝2，所以BD2＝BE2＋DE2，所以DE⊥EB.連接EF(圖略)，易知當(dāng)△AFC的面積最小時，EF取最小值，在Rt△BED中，EF的最小值為E到BD的距離，故當(dāng)△AFC的面積最小時，EF＝eq\f(DE·BE,BD)＝eq\f(\r(3),2).由射影定理知EF2＝DF·FB，又DF＋FB＝BD＝2，所以DF＝eq\f(1,2)，F(xiàn)B＝eq\f(3,2).方法一因為DE⊥AC，DE⊥BE，AC∩BE＝E，AC，BE?平面ABC，所以DE⊥平面ABC，則F到平面ABC的距離d＝eq\f(BF,BD)·DE＝eq\f(3,4).故VF－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·d＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×4×eq\f(3,4)＝eq\f(\r(3),4).方法二由(1)知BD⊥AC，又BD⊥EF，AC∩EF＝E，AC，EF?平面ACF，所以BD⊥平面ACF，所以BF即B到平面ACF的距離，故VF－ABC＝VB－AFC＝eq\f(1,3)S△AFC·BF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·AC·EF·BF＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)×eq\f(3,2)＝eq\f(\r(3),4).考向2翻折問題例4(2022·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬)如圖1，在正方形ABCD中，M，N，E分別為AB，AD，BC的中點，點P在對角線AC上，且eq\f(CP,PA)＝eq\f(3,5).將△AMN，△BMC，△DNC分別沿MN，MC，NC折起，使A，B，D三點重合(記為點F)，得到四面體MNCF，如圖2.(1)若正方形ABCD的邊長為12，求圖2所示的四面體MNCF的體積；(2)在圖2中，求證：EP∥平面FMN.(1)解由題意知，在圖2中CF⊥FM，CF⊥FN，F(xiàn)M∩FN＝F，F(xiàn)M，F(xiàn)N?平面FMN，∴CF⊥平面FMN，且FM＝FN＝6，F(xiàn)C＝12，∴V四面體MNCF＝V三棱錐C－FMN＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×6×6×12＝72.∴四面體MNCF的體積為72.(2)證明在正方形ABCD中．設(shè)AC∩MN＝G，S為DC的中點，連接BD，ES，AC∩BD＝Q，AC∩ES＝R，如圖，則AG＝GQ＝QR＝RC，又eq\f(CP,PA)＝eq\f(3,5).得P為GC的中點．在圖2中，易知MN的中點為G，又E為FC的中點，∴EP為△CFG的中位線，∴EP∥FG.∵EP?平面FMN，F(xiàn)G?平面FMN.∴EP∥平面FMN.易錯提醒翻折問題應(yīng)注意圖形翻折前后變與不變的量以及位置關(guān)系．對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系．跟蹤演練3(2022·西安模擬)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分別是線段A1B，AC1的中點．(1)求證：MN⊥AA1；(2)在線段BC1上是否存在一點P，使得平面MNP∥平面ABC？若存在，指出點P的具體位置；若不存在，請說明理由．(1)證明連接A1C，如圖，因為在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C為平行四邊形，故A1C和AC1相交，且交點為它們的中點N，又因為M為A1B的中點，所以MN為△A1BC的中位線，所以MN∥BC.因為AA1⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AA1⊥BC，所以AA1⊥MN，即MN⊥AA1.(2)解存在，當(dāng)P為BC1的中點時，平面MNP∥平面ABC.連接PN，PM，如圖，因為N為AC1的中點，P為BC1的中點，所以PN∥AB，又PN?平面ABC，AB?平面ABC，所以PN∥平面ABC，又由(1)知MN∥BC，BC?平面ABC，MN?平面ABC，故MN∥平面ABC，又MN∩PN＝N，MN，PN?平面PMN，所以平面MNP∥平面ABC.專題強化練一、選擇題1．(2022·龍巖質(zhì)檢)已知三條直線a，b，c，若a和b是異面直線，b和c是異面直線，那么直線a和c的位置關(guān)系是()A．平行 B．相交C．異面 D．平行、相交或異面答案D解析畫圖分析可知空間直線的三種位置關(guān)系均有可能，故D正確．2．(2022·湖北八市聯(lián)考)設(shè)α，β為兩個不同的平面，則α∥β的一個充要條件可以是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α，β垂直于同一個平面C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一條直線答案D解析對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行不能得出α∥β，α內(nèi)的所有直線與β平行才能得出，故A錯誤；對于B，C，α，β垂直于同一平面或α，β平行于同一條直線，不能確定α，β的位置關(guān)系，故B，C錯誤；對于D，α，β垂直于同一條直線可以得出α∥β，反之，當(dāng)α∥β時，若α垂直于某條直線，則β也垂直于該條直線．3．如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析對于A，如圖，易得平面MNQ∥平面ACD，但平面ACD與AB相交，故直線AB與平面MNQ不平行；對于B，C，易證AB∥MQ，AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，故直線AB與平面MNQ平行；對于D，易證AB∥NQ，AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，所以直線AB與平面MNQ平行．4.(2022·商丘模擬)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BC＝AA1＝eq\r(3)，AC＝1，則異面直線AC1與CB1所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),3)B.eq\f(\r(6),4)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(2\r(5),5)答案B解析把三棱柱補成如圖所示的長方體，連接B1D，CD，則B1D∥AC1，所以∠CB1D(或其補角)即為異面直線AC1與CB1所成的角．由題意可得CD＝AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝eq\r(1＋3)＝2，B1D＝AC1＝eq\r(AC2＋CC\o\al(2,1))＝2，CB1＝eq\r(CB2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(3＋3)＝eq\r(6)，所以在△CB1D中，由余弦定理得cos∠CB1D＝eq\f(CB\o\al(2,1)＋B1D2－CD2,2CB1·B1D)＝eq\f(6＋4－4,2\r(6)×2)＝eq\f(\r(6),4).所以異面直線AC1與CB1所成角的余弦值為eq\f(\r(6),4).5．(2022·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，則()A．平面B1EF⊥平面BDD1B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1ACD．平面B1EF∥平面A1C1D答案A解析對于選項A，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為B1B⊥平面ABCD，EF?平面ABCD，所以B1B⊥EF.因為E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點，所以EF⊥BD，又B1B∩BD＝B，B1B，BD?平面BDD1，所以EF⊥平面BDD1，又EF?平面B1EF，所以平面B1EF⊥平面BDD1，故選項A正確；對于選項B，因為平面A1BD∩平面BDD1＝BD，由選項A知，平面B1EF⊥平面A1BD不成立，故選項B錯誤；對于選項C，由題意知直線AA1與直線B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，故選項C錯誤；對于選項D，連接AB1，B1C(圖略)，易知平面AB1C∥平面A1C1D，又平面AB1C與平面B1EF有公共點B1，所以平面AB1C與平面B1EF不平行，所以平面A1C1D與平面B1EF不平行，故選項D錯誤．6.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB>AD，將△ABD沿著BD翻折至△A′BD，則下列直線中不可能與直線A′B垂直的是()A．直線BC B．直線CDC．直線BD D．直線AD答案C解析A選項，若BC⊥BD，當(dāng)平面A′BD⊥平面BCD時，平面A′BD∩平面BCD＝BD，BC?平面BCD，故BC⊥平面A′BD，則此時BC⊥A′B；B選項，當(dāng)∠ABD>45°時，在翻折過程中，∠A′BA可以取從∠ABD到2∠ABD>90°的范圍，而AB∥CD，即直線A′B與直線CD所成角為∠A′BA，所以存在A′B⊥CD；C選項，由于AB>AD，所以∠ABD為銳角，∠A′BD為銳角，即BD與A′B不可能垂直；D選項，由于BC∥AD，由A選項可知，BC與A′B可能垂直，所以AD與A′B可能垂直．7．(2022·新鄉(xiāng)模擬)在三棱錐A－BCD中，△ABC和△BCD均為邊長為2的等邊三角形，若AB⊥CD，則二面角A－BC－D的余弦值為()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(\r(3),2)答案C解析取BC的中點O，連接OA，OD,因為△ABC和△BCD均為邊長為2的等邊三角形，所以O(shè)A＝OD＝eq\r(3)，且OA⊥BC，OD⊥BC.又因為OA?平面ABC，OD?平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，所以∠AOD為二面角A－BC－D的平面角．取CD的中點E，連接BE，AE，因為△BCD是等邊三角形，所以CD⊥BE，又因為AB⊥CD，AB?平面ABE，BE?平面ABE，AB∩BE＝B，所以CD⊥平面ABE.因為AE?平面ABE，所以CD⊥AE，所以AD＝AC＝2.在△AOD中，cos∠AOD＝eq\f(AO2＋OD2－AD2,2OA·OD)＝eq\f(3＋3－4,2×\r(3)×\r(3))＝eq\f(1,3)，故二面角A－BC－D的余弦值為eq\f(1,3).8．已知六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，則下列命題中錯誤的是()A．AE⊥平面PABB．直線PD與平面ABC所成角為45°C．平面PBC與平面PEF的交線與直線AD垂直D．直線CD與PB所成的角的余弦值為eq\f(\r(5),10)答案C解析對于A，∵PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，∴AE⊥PA，∵六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，∴AE⊥AB，∵PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴AE⊥平面PAB，故A正確；對于B，∵六棱錐P－ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，∴∠PDA即直線PD與平面ABC所成角，PA＝2AB，∴PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°，∴直線PD與平面ABC所成角為45°，故B正確；對于C，∵BC∥EF，EF?平面PEF，BC?平面PEF，∴BC∥平面PEF.設(shè)平面PBC與平面PEF的交線為l，則BC∥l，又BC∥AD，∴AD∥l，故C錯誤；對于D，設(shè)AB＝1，則PA＝2，AE＝eq\r(12＋12－2×1×1×cos120°)＝eq\r(3)，PE＝eq\r(4＋3)＝eq\r(7)，BE＝2，PB＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，∵CD∥BE，∴∠PBE是直線CD與PB所成的角(或所成角的補角)，∴直線CD與PB所成的角的余弦值為cos∠PBE＝eq\f(4＋5－7,2×2×\r(5))＝eq\f(\r(5),10)，故D正確．二、填空題9．已知l是平面α，β外的直線，給出下列三個論斷：①l∥α；②α⊥β；③l⊥β.以其中兩個論斷為條件，余下的論斷為結(jié)論，寫出一個正確命題：________.(用序號表示)答案若①③，則②或若②③，則①(填寫一個即可)解析因為當(dāng)l∥α，α⊥β時，l與β可能平行或者相交，所以①②作為條件，不能得出③；因為l∥α，所以α內(nèi)存在一條直線m與l平行，又l⊥β，所以m⊥β，所以可得α⊥β，即①③作為條件，可以得出②；因為α⊥β，l⊥β，所以l∥α或者l?α，因為l是平面α外的直線，所以l∥α，即②③作為條件，可以得出①.10．三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝1，過線段BC的中點E作平面EFGH與直線AB，CD都平行，且分別交BD，AD，AC于F，G，H，則四邊形EFGH的周長為________．答案2解析因為AB∥平面EFGH，平面ABC∩平面EFGH＝EH，AB?平面ABC，所以AB∥EH，又點E為BC中點，所以EH為△ABC的中位線，故EH＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).同理，EF＝FG＝GH＝eq\f(1,2)，所以四邊形EFGH的周長為2.11．(2022·長春模擬)在正方形ABCD中，O為BD的中點，將平面ABD沿直線BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD，則直線AB與CD所成角的大小為________．答案60°解析如圖，過B，D作BE∥CD，DE∥CB，且BE，DE交于點E，連接AE，OE，所以直線AB與CD所成的角即為∠ABE或其補角，設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則BE＝AB＝AD＝2，而AO⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，AO?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AO⊥平面BCD，又OE?平面BCD，所以AO⊥OE，且AO＝OE＝eq\r(2)，故AE＝2，則△ABE為等邊三角形，故∠ABE＝60°，即直線AB與CD所成角的大小為60°.12.(2022·金華模擬)每個面均為正三角形的八面體稱為正八面體，如圖．若點G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，則下列結(jié)論正確的是________．(填序號)①四邊形AECF是平行四邊形；②GH與MN是異面直線；③GH∥平面EAB；④GH⊥BC.答案①③解析連接AC，EF，設(shè)AC與EF的交點為O，連接BD，MH，EH，EM，則AC與EF相交且相互平分，故四邊形AECF為平行四邊形，故①正確；所以AE∥CF，又G，H，M，N分別是正八面體ABCDEF的棱DE，BC，AD，BF的中點，連接MG，GH，NM，NH，所以GM∥AE，NH∥CF，且GM＝eq\f(1,2)AE，NH＝eq\f(1,2)CF，所以GM∥NH，且GM＝NH，所以四邊形MNHG是平行四邊形，故②錯誤；易證平面MNHG∥平面EAB，又GH?平面MNHG，所以GH∥平面EAB，故③正確；因為EH⊥BC，MH⊥BC，EH∩MH＝H，EH，MH?平面EMH，所以BC⊥平面EMH，而GH?平面EMH